2025年線性代數(shù)計算機視覺中的線性代數(shù)試題一、選擇題（每題3分，共30分）在計算機視覺中，圖像旋轉(zhuǎn)變換對應(yīng)的矩陣是（）A.對角矩陣B.正交矩陣C.對稱矩陣D.奇異矩陣已知相機內(nèi)參矩陣(K=\begin{bmatrix}f_x&0&c_x\0&f_y&c_y\0&0&1\end{bmatrix})，其中(f_x,f_y)的物理意義是（）A.圖像中心點坐標(biāo)B.焦距的像素表示C.畸變系數(shù)D.相機主距SIFT特征提取中，高斯差分金字塔的構(gòu)建過程本質(zhì)上是（）A.特征值分解B.低通濾波C.主成分分析D.奇異值分解設(shè)圖像的像素坐標(biāo)向量為(\mathbf{x})，經(jīng)過仿射變換(\mathbf{x}'=A\mathbf{x}+\mathbf{t})后，其變換矩陣(A)的秩為（）A.1B.2C.3D.與圖像維度相關(guān)以下哪種線性代數(shù)工具用于求解相機位姿估計中的PnP問題（）A.最小二乘法B.傅里葉變換C.小波變換D.拉普拉斯算子圖像去噪中常用的高斯濾波，其卷積核矩陣的行向量滿足（）A.線性相關(guān)B.正交性C.單位向量D.概率分布歸一化設(shè)某卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的卷積核為(3\times3)矩陣，輸入特征圖尺寸為(28\times28)，則輸出特征圖的尺寸為（）A.(26\times26)B.(27\times27)C.(28\times28)D.(29\times29)雙目視覺中，視差計算的本質(zhì)是求解（）A.特征值問題B.線性方程組C.矩陣的逆D.行列式以下哪種矩陣分解方法用于圖像壓縮中的主成分分析（）A.LU分解B.QR分解C.SVD分解D.Cholesky分解已知某圖像的協(xié)方差矩陣(\Sigma)的特征值為(\lambda_1=100,\lambda_2=10)，則該圖像的主要能量集中在（）個主成分方向A.1B.2C.3D.無法確定二、填空題（每題3分，共30分）圖像的齊次坐標(biāo)表示將2D像素點((x,y))擴展為三維向量________，其作用是統(tǒng)一表示________和________變換。相機標(biāo)定中，外參矩陣由________矩陣和________向量組成，用于描述相機坐標(biāo)系到世界坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換。設(shè)某特征點的描述子向量為(\mathbf{a}=[1,2,3]^T)，(\mathbf=[4,5,6]^T)，則其余弦相似度為________。線性代數(shù)中，矩陣的跡等于其所有________之和，在深度學(xué)習(xí)中可用于表示________。圖像的仿射變換矩陣(A=\begin{bmatrix}a&b&c\d&e&f\end{bmatrix})中，參數(shù)(c,f)控制________變換。設(shè)某卷積層的輸入通道數(shù)為3，輸出通道數(shù)為16，卷積核尺寸為(3\times3)，則該層的參數(shù)數(shù)量為________。單應(yīng)性矩陣(H)用于描述________平面與________平面之間的映射關(guān)系，其自由度為________。梯度下降算法中，參數(shù)更新公式(\theta=\theta-\eta\nablaJ(\theta))的矩陣形式本質(zhì)是求解________問題。已知某圖像的灰度值矩陣(M)為實對稱矩陣，則其特征向量必________。光流估計中，亮度恒定假設(shè)的數(shù)學(xué)表達式為________，其中(I_x,I_y)分別表示圖像在________方向的梯度。三、計算題（共40分）（10分）已知圖像旋轉(zhuǎn)變換矩陣(R(\theta)=\begin{bmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\sin\theta&\cos\theta\end{bmatrix})，求：（1）當(dāng)(\theta=90^\circ)時的旋轉(zhuǎn)矩陣；（2）點((1,0))經(jīng)過該旋轉(zhuǎn)后的坐標(biāo)；（3）證明(R(\theta))為正交矩陣。（10分）設(shè)某相機的內(nèi)參矩陣(K=\begin{bmatrix}500&0&320\0&500&240\0&0&1\end{bmatrix})，世界坐標(biāo)系下一點(P=(1,2,3)^T)，求其在圖像平面上的投影坐標(biāo)（不考慮畸變）。（10分）已知某卷積核(K=\begin{bmatrix}1&0&-1\2&0&-2\1&0&-1\end{bmatrix})，輸入圖像的局部區(qū)域(M=\begin{bmatrix}10&20&30\40&50&60\70&80&90\end{bmatrix})，計算卷積結(jié)果。（10分）設(shè)線性方程組(Ax=b)的增廣矩陣為：[\left[\begin{array}{ccc|c}1&2&3&4\2&5&7&9\3&7&10&13\end{array}\right]]（1）求系數(shù)矩陣(A)的秩；（2）判斷方程組解的情況并求解。四、綜合應(yīng)用題（共60分）（15分）圖像去噪與矩陣低秩近似（1）解釋為什么圖像的噪聲可以通過低秩矩陣恢復(fù)；（2）寫出核范數(shù)最小化模型的數(shù)學(xué)表達式；（3）簡述奇異值分解（SVD）在圖像去噪中的應(yīng)用步驟。（15分）相機位姿估計已知世界坐標(biāo)系下的3個控制點(P_1=(0,0,0)^T)，(P_2=(1,0,0)^T)，(P_3=(0,1,0)^T)，其在圖像上的投影點分別為(p_1=(320,240)^T)，(p_2=(420,240)^T)，(p_3=(320,340)^T)，相機內(nèi)參(f_x=f_y=500)，(c_x=320)，(c_y=240)。（1）計算各控制點的歸一化圖像坐標(biāo)；（2）估計相機的旋轉(zhuǎn)矩陣(R)（只需寫出求解思路）。（15分）卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)與線性代數(shù)（1）解釋卷積運算的矩陣表示方法；（2）設(shè)輸入圖像為(4\times4)矩陣，卷積核為(2\times2)，步長為1，零填充為0，寫出其對應(yīng)的Toeplitz矩陣；（3）說明池化層的作用，并寫出最大池化的矩陣表達。（15分）三維重建中的三角化已知左相機坐標(biāo)系下一點(P)的坐標(biāo)為((X_1,Y_1,Z_1))，右相機坐標(biāo)系下該點的坐標(biāo)為((X_2,Y_2,Z_2))，兩相機的相對位姿為旋轉(zhuǎn)矩陣(R)和平移向量(\mathbf{t})。（1）寫出坐標(biāo)變換關(guān)系式；（2）推導(dǎo)三角化求解(P)世界坐標(biāo)的線性方程組；（3）說明最小二乘法求解該方程組的原理。五、證明題（共20分）（10分）證明：圖像的傅里葉變換滿足線性性質(zhì)，即(\mathcal{F}{af(x,y)+bg(x,y)}=a\mathcal{F}{f(x,y)}+b\mathcal{F}{g(x,y)})，其中(a,b)為常數(shù)。（10分）證明：實對稱矩陣的不同特征值對應(yīng)的特征向量相互正交。參考答案及解析（部分）一、選擇題B解析：圖像旋轉(zhuǎn)變換矩陣滿足(R^TR=I)，為正交矩陣。B解析：(f_x,f_y)是焦距在x、y方向的像素表示，由物理焦距和像素尺寸計算得到。B解析：高斯差分金字塔通過不同標(biāo)準(zhǔn)差的高斯核對圖像進行低通濾波，構(gòu)建尺度空間。B解析：2D仿射變換矩陣(A)為(2\times2)矩陣，滿秩時秩為2。A解析：PnP問題通過最小二乘法求解相機位姿參數(shù)。二、填空題((x,y,1)^T)，平移，旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)，平移(\frac{32}{\sqrt{14}\cdot\sqrt{81}}=\frac{32}{9\sqrt{14}}\approx0.97)特征值，損失函數(shù)的正則化項平移三、計算題（1）(R(90^\circ)=\begin{bmatrix}0&-1\1&0\end{bmatrix})（2）((0,1)^T)（3）證明：(R^TR=\begin{bmatrix}0&1\-1&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0&-1\1&0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&0\0&1\end{bmatrix}=I)，故為正交矩陣。投影坐標(biāo)計算：相機坐標(biāo)系下坐標(biāo)(P_c=(1,2,3)^T)，歸一化坐標(biāo)((X/Z,Y/Z)=(1/3,2/3))，像素坐標(biāo)((f_x\cdotX/Z+c_x,f_y\cdotY/Z+c_y)=(500/3+320,1000/3+240)\approx(486.67,573.33))。卷積結(jié)果：[\begin{bmatrix}110+020+(-1)30+240+050+(-2)60+170+080+(-1)*90\end{bmatrix}=-40]四、綜合應(yīng)用題（1）圖像信號具有低秩性，噪聲導(dǎo)致秩升高，通過低秩近似可恢復(fù)原始圖像；（2）(\min|X|_*\quad\text{s.t.}\quad|X-M|_F\leq\epsilon)，其中(M)為含噪圖像；（3）對含噪圖像做SVD，保留大奇異值對應(yīng)的分量，重構(gòu)圖像。（1）歸一化坐標(biāo)：(p_1'=(0,0)^T)，(p_2'=(100/500,0)=(0.2,0)^T)，(p_3'=(0,100/500)=(0,0.2)^T)；（2）通過求解PnP問題，利用控制點對應(yīng)關(guān)系構(gòu)建線性方程組，估計旋轉(zhuǎn)矩陣(R)。（1）卷積運算可表示為輸入圖像的向量化與Toeplitz矩陣的乘積；（2）Toeplitz矩陣構(gòu)造：將卷積核按行展開為列向量，重復(fù)排列形成塊循環(huán)矩陣；（3）池化層降低特征維度，最大池化通過取局部區(qū)域最大值實現(xiàn)，矩陣表示為稀疏采樣矩陣。（1）(X_2=RX_1+\mathbf{t})（2）由投影關(guān)系(x_i=K(RP+\mathbf{t}))，消去尺度因子后構(gòu)建線性方程組；（3）通過最小化殘差平方和(|Ax-b|_2^2)，求解(x=(A^TA)^{-1}A^Tb)。五、證明題線性性質(zhì)證明：[\mathcal{F}{af+bg}=\iint(af+bg)e^{-j2\pi(ux+vy)}dxdy=a\iintfe^{-j2\pi(ux+vy)}dxdy+b\iintge^{-j2\pi(ux+vy)}dxdy=a\mathcal{F}{f}+b\mathcal{F}{g}]正交性證明：設(shè)(A)為實對稱矩陣，(\lambda_1,\lambda_2)為不同特征值，(\mathbf{u},\mathbf{v})為對應(yīng)特征向量，則(A\mathbf{u}=\lambda_1\mathbf{u})，(A\mathbf{v}=\lambda_2\mathbf{v})。由(\mathbf{u}^TA\mathbf{v}=\lambda_2\mathbf{u}^T\mathbf{v})和((A\mathbf{u})^T\mathbf{v}=\lambda_1\mathbf{u}^T\mathbf{v})，兩式相減得((\lambda_1-\lambda_2)\mathbf{u}^T\mathbf{v}=0)，因(