2025年小升初數(shù)學試題抽屜原理一、抽屜原理的核心概念與公式抽屜原理又稱鴿巢原理，是組合數(shù)學中的基本原理之一，最早由德國數(shù)學家狄利克雷提出。其核心思想可以通過兩個基本定理來表述：（一）第一抽屜原理基礎(chǔ)形式：將多于n件物品任意放入n個抽屜中，則至少有一個抽屜中存放的物品不少于2件。例如，將5個蘋果放入4個抽屜，無論怎么放置，總有一個抽屜至少有2個蘋果。擴展形式：將多于mn件物品放入n個抽屜中，則至少有一個抽屜中存放的物品不少于m+1件。公式表示為：若物品總數(shù)為N，抽屜數(shù)為k，則至少有一個抽屜的物品數(shù)≥[\lceil\frac{N}{k}\rceil]（其中[\lceilx\rceil]表示向上取整）。如將23支鉛筆放入5個文具盒，計算得23÷5=4.6，向上取整為5，即總有一個文具盒至少放入5支鉛筆。（二）第二抽屜原理基礎(chǔ)形式：將少于n件物品放入n個抽屜中，則至少有一個抽屜為空。例如，將3本書放入4個抽屜，一定有一個抽屜沒有書。擴展形式：將mn-1件物品放入n個抽屜中，則至少有一個抽屜中存放的物品不多于m-1件。如將14個橘子放入5個盤子，14=5×3-1，則至少有一個盤子最多放2個橘子。（三）最不利原則解決抽屜原理問題的關(guān)鍵策略，即先考慮最極端、最不利的情況，再在此基礎(chǔ)上進行分析。例如，要保證從一副撲克牌（54張）中抽到2張同花色的牌，最不利情況是先抽到大小王及4種花色各1張，共6張，再抽1張即可滿足條件，因此至少需抽7張。二、小升初典型試題分類解析（一）基本概念應(yīng)用題例題1：把10個蘋果放入3個抽屜，至少有一個抽屜中放有多少個蘋果？解析：根據(jù)第一抽屜原理擴展形式，10÷3=3……1，向上取整得4，因此至少有一個抽屜放有4個蘋果。例題2：某校初一年級有312名學生，至少有多少人的生日在同一個月？解析：一年有12個月（抽屜數(shù)），312÷12=26，剛好整除，因此至少有26人生日在同一個月。若學生人數(shù)為313人，則313÷12=26……1，至少有27人生日在同一個月。（二）顏色與組合問題例題3：從裝有紅、藍、黃、白、綠五種顏色球的口袋中摸出兩個球，至少有多少人參與才能保證有2人摸出的球顏色完全相同？解析：先計算可能的顏色組合（抽屜數(shù)）：同色組合：5種（紅紅、藍藍、黃黃、白白、綠綠）異色組合：[C_5^2=10]種（紅藍、紅黃、紅白、紅綠、藍黃、藍白、藍綠、黃白、黃綠、白綠）總組合數(shù)=5+10=15種，因此至少需15+1=16人參與。例題4：有紅、黃、藍三種顏色的帽子各3頂，至少取出多少頂才能保證有兩種顏色？解析：最不利情況是先取光一種顏色的3頂帽子，再取1頂必為其他顏色，因此至少需取3+1=4頂。（三）數(shù)字與數(shù)列問題例題5：從1到20這20個自然數(shù)中任取11個數(shù)，證明必有兩個數(shù)的差是10。解析：構(gòu)造抽屜：（1,11）、（2,12）、……、（10,20），共10個抽屜。任取11個數(shù)時，根據(jù)第一抽屜原理，至少有一個抽屜取到2個數(shù)，其差為10。例題6：有5050張數(shù)字卡片，1張寫“1”，2張寫“2”，……，100張寫“100”。至少取出多少張才能保證有10張數(shù)字相同的卡片？解析：最不利情況是先取1-9張數(shù)字的所有卡片（1+2+……+9=45張），再取10-100張數(shù)字各9張（91種數(shù)字×9=819張），此時共45+819=864張，再取1張即可滿足條件，因此至少需取865張。（四）幾何與位置問題例題7：在邊長為2的正方形內(nèi)任意放入5個點，證明其中必有兩個點之間的距離不大于√2。解析：將正方形平均分成4個邊長為1的小正方形（抽屜），每個小正方形對角線長為√2。5個點放入4個小正方形，至少有一個小正方形包含2個點，因此這兩點距離不大于小正方形對角線長√2。例題8：在長100米的筆直馬路一側(cè)站12人，證明至少有兩人距離小于10米。解析：假設(shè)所有人間距≥10米，則12人至少需要11個間隔，總長度≥11×10=110米，超過100米，矛盾。因此至少有兩人距離小于10米。（五）邏輯推理綜合題例題9：某班50名學生訂閱《數(shù)學周報》《語文報》《英語報》中的至少一種，至少有多少名學生訂閱的報紙種類相同？解析：訂閱方式有7種（抽屜數(shù)）：單訂1種3種，訂2種3種，訂3種1種。50÷7=7……1，因此至少有8名學生訂閱種類相同。例題10：六（1）班49名學生英語成績除3人外均在86分以上（滿分100分），證明至少有4人成績相同。解析：86分以上（含86分）至100分共有15個分數(shù)（抽屜數(shù)：100-86+1=15），46名學生分配到15個分數(shù)段，46÷15=3……1，因此至少有3+1=4人成績相同。三、解題技巧與易錯點總結(jié)（一）關(guān)鍵解題步驟確定抽屜與物品：明確問題中“抽屜”（分類標準）和“物品”（待分配對象）的數(shù)量。如顏色問題中“顏色組合”為抽屜，“人數(shù)”為物品。計算最不利情況：先考慮極端情況，再進行加1運算。例如，保證n個物品相同，需?。╪-1）×抽屜數(shù)+1。驗證整除與余數(shù)：若物品數(shù)能被抽屜數(shù)整除，則結(jié)果為商；否則為商+1。（二）常見易錯點抽屜數(shù)計算錯誤：如例題3中忽略“同色組合”或“異色組合”，導(dǎo)致抽屜數(shù)漏算。忽略“至少”與“至多”區(qū)別：第一抽屜原理關(guān)注“至少有一個抽屜≥m”，第二抽屜原理關(guān)注“至少有一個抽屜≤m”。幾何問題抽屜構(gòu)造：需合理劃分區(qū)域（如正方形分割為小正方形或扇形），確保覆蓋所有