第1頁/共25頁2022學年度嘉定一中高二年級第一學期期中考試數(shù)學試卷1.己知i為虛數(shù)單位，則i在復平面上對應的點在第 象限.2.已知扇形的中心角為2弧度，扇形的半徑為3，則此扇形的弧長為 . 3.已知正三棱錐底面邊長為3，高為2，則斜高為.+}（其中i為虛數(shù)單位則滿足條件的集合M的個數(shù)為5.已知圓錐的軸截面是斜邊為23的直角三角形，則該圓錐的體積為.7.有以下命題：①如果一條線段的中點在一個平面內，那么它的兩個端點也在這個平面內；②若直線a和b是異面直線，直線b和c是異面直線，則直線a和c也是異面直線；③四邊形有三條邊在同一平面內，則第四條邊也在這個平面內；④如果兩個角的兩邊分別平行，則這兩個角相等.其中正確命題的序號是.（把你認為正確命題的序號都填上）28.甲乙兩名實習生每人各加工一個零件，若甲實習生加工的零件為一等品的概率為3，乙實習生加工的零3件為一等品的概率為4，兩個零件中能否被加工成一等品相互獨立，則這兩個零件中恰好有一個一等品的概率為.9.如圖，四個邊長為1的正方形排成一個大正方形，AB是大正方形的一條邊，Pi(i=1,2,…,7)是小正方形的其余各個頂點，則的不同值的個數(shù)為.第2頁/共25頁10.如圖，六角螺帽毛坯是由一個正六棱柱挖去一個圓柱所構成的．已知螺帽的底面正六邊形邊長為2cm，高為2cm，內孔半徑為0.5cm，則此六角螺帽毛坯的體積是cm3.11.已知A、B、C為△ABC的三個內角，有如下②若△ABC是銳角三角形，則cosA+cosB<sinA+sinB；③若G、H分別為△ABC的外心和垂心，且AB=1,AC=3，則HG.BC=4；其中正確命題的序號是 .和線段B1C上的動點，則ΔPEQ周長的最小值為 .13.下列說法中正確的是()A.各個面都是三角形的幾何體是三棱錐B.以三角形的一條邊所在直線為旋轉軸，其余兩邊旋轉形成的曲面所圍成的幾何體叫圓錐C.若棱錐的側棱長與底面多邊形的邊長相等，則該棱錐可能是六棱錐第3頁/共25頁D.若球O的半徑為2，球心到平面α的距離為1，則球O被平面α截得的截面面積為3πB.C.4D.815.已知一個圓柱底面圓半徑為1，高為2，上底面的直徑為AB，C是底面圓周上的一個動點，關于△ABC的面積大小下列說法正確的是()A.△ABC的面積是定值B.△ABC的面積沒有最大值C.△ABC的面積最大值是·5D.△ABC的面積最大值是2*n≥2）為已知實常數(shù)，x∈R，下列關于函數(shù)f(x)的性質判斷正確的個數(shù)是()=0，則f對任意實數(shù)x恒成立；②若f(0)=0，則函數(shù)f(x)為奇函數(shù)；③若則函數(shù)f(x)為偶函數(shù)；④當f2≠0時，若f則x1-x2=kA.4B.3C.2D.117.如圖，某種水箱用的“浮球”是由兩個半球和一個圓柱筒組成，已知球的直徑是6cm，圓柱筒長2cm.（1）這種“浮球”的體積是多少cm3?（2）要在這樣2500個“浮球”表面涂一層膠質，如果每平方米需要涂膠100克，共需膠多少?第4頁/共25頁f(k)，求f(k)及其最小值.19.某旅游區(qū)每年各個月份接待游客的人數(shù)近似地滿足周期性規(guī)律，因而第n個月從事旅游服務工作的人數(shù)f(n)可近似地用函數(shù)f(n)=Acos(wn+θ)+k來刻畫，其中正整數(shù)n表示月份且n∈[1,12]，例如n=1表示1月份，A和k是正整數(shù)，w>0，θ∈(0,π).統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)，該地區(qū)每年各個月份從事旅游服務工作的人數(shù)有以下規(guī)律：①每年相同的月份，該地區(qū)從事旅游服務工作的人數(shù)基本相同；②該地區(qū)從事旅游服務工作的人數(shù)最多的8月份和最少的2月份相差400人；③2月份該地區(qū)從事旅游服務工作的人數(shù)為100人，隨后逐月遞增直到8月份達到最多.（1）試根據(jù)已知信息，求f(n)的表達式；（2）一般地，當該地區(qū)從事旅游服務工作的人數(shù)在400或400以上時，該地區(qū)也進入了一年中的旅游“旺季”，那么，一年中的哪幾個月是該地區(qū)的旅游“旺季”？請說明理由.20.已知a、b、c分別為△ABC的三個內角A、B、C的對邊.現(xiàn)有如下四個條件（1）對條件①化簡，并判斷含有條件①的三角形的形狀；（2）從以上四個條件中任選幾個作為一個組合，請寫出能構成三角形的所有組合，并說明理由；（3）從上述能構成三角形的組合中任選一組，求出對應三角形邊c的長及三角形面積.21.如圖，在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是棱AA1上的一個動點.（1）判斷三棱錐B1-BED1的體積是否為定值，若是求出其體積，若不是說明理由；（2）是否存在點E，使得B1D丄平面BED1，若存在請找出點E的位置，若不存在，說明理由；（3）過點A1和C作正方體的截面α.①判斷截面α的形狀，并求出截面面積的最小值；②當截面α的面積取最小值時，在線段BC1上是否存在一個動點M，使得DM丄α,若存在求出M的位置，若不存在請說明理由.第6頁/共25頁2022學年度嘉定一中高二年級第一學期期中考試數(shù)學試卷1.己知i為虛數(shù)單位，則i在復平面上對應的點在第象限.【答案】四【解析】【分析】計算復數(shù)轉化為復數(shù)的代數(shù)形式，得到其在復平面上對應的點的坐標.)，在第四象限.故答案為：四.2.已知扇形的中心角為2弧度，扇形的半徑為3，則此扇形的弧長為.【答案】6【解析】【分析】利用弧長公式l=αr求弧長.【詳解】因為扇形的中心角為2弧度，扇形半徑為3，所以扇形的弧長l=2×3=6.故答案為：6.3.已知正三棱錐底面邊長為3，高為，則斜高為.【答案】1【解析】【分析】由正三棱錐的幾何特征，過頂點向底面作垂線，計算斜高.【詳解】過P作PO垂直于平面ABC，過O作OD垂直于BC，連接PD，因為正三棱錐底面邊長為3，所以OD=又因為三棱錐高為，所以斜高第7頁/共25頁故答案為：1.+}（其中i為虛數(shù)單位則滿足條件的集合M的個數(shù)為.【答案】8【解析】【分析】因為in具有周期性，分別計算n取1,2,3,4時x的值，根據(jù)集合元素的個數(shù)，寫出子集個數(shù).4-4=2，所以集合{-2,0,2}的子集個數(shù)為23=8個.故答案為：8個. 5.已知圓錐的軸截面是斜邊為23的直角三角形，則該圓錐的體積為. 【答案】3π【解析】【分析】由圓錐的軸截面是等腰三角形，得圓錐的底面半徑，及母線長，求出圓錐的高，得圓錐的體積. 【詳解】圓錐的軸截面是等腰三角形，且是斜邊長為23的直角三角形，所以該圓錐軸截面是等腰三角形， 得圓錐底面半徑為，母線長為6，所以圓錐的高為體積為×3π× 故答案為：3π.6.已知關于x的方程x2+ax+b=0(a,b∈R)的一個根是i（其中i為虛數(shù)單位則|a-bi|=.【答案】1【解析】【分析】根據(jù)虛根成對原理可得-i也為方程的根，利用韋達定理求出a、b，再根據(jù)復數(shù)模的計算公式計算可得.【詳解】解：因為關于x的方程x2+ax+b=0(a,b所以其另外一個根為-i，第8頁/共25頁故答案為：17.有以下命題：①如果一條線段的中點在一個平面內，那么它的兩個端點也在這個平面內；②若直線a和b是異面直線，直線b和c是異面直線，則直線a和c也是異面直線；③四邊形有三條邊在同一平面內，則第四條邊也在這個平面內；④如果兩個角的兩邊分別平行，則這兩個角相等.其中正確命題的序號是.（把你認為正確命題的序號都填上）【答案】③【解析】【分析】根據(jù)線段與平面的位置關系判斷①,根據(jù)空間中直線與直線的位置關系判斷②,顯然四邊形的四個點均在同一平面內，即可判斷③,根據(jù)空間等角定理判斷④.【詳解】解：①如果一條線段的中點在一個平面內，則線段與平面可能相交或線段在平面內，故①錯誤；②若直線a和b是異面直線，直線b和c是異面直線，則直線a和c可能平行、異面、相交，故②錯誤；③若一個四邊形有三條邊在同一個平面內，即四邊形的四個頂點均再同一個平面內，則第四條邊也在這個平面內，故③正確；④如果兩個角的兩邊分別平行，則這兩個角相等或互補，故④錯誤.故答案為：③.8.甲乙兩名實習生每人各加工一個零件，若甲實習生加工的零件為一等品的概率為，乙實習生加工的零件為一等品的概率為，兩個零件中能否被加工成一等品相互獨立，則這兩個零件中恰好有一個一等品的概率為.【答案】【解析】【分析】兩個零件中恰好有一個一等品，即甲加工的零件為一等品且乙加工的零件不是一等品，或乙加工的零件為一等品且甲加工的零件不是一等品，計算概率即可.【詳解】甲加工的零件為一等品且乙加工的零件不是一等品的概率為，乙加工的零件為一等品且甲加工的零件不是一等品的概率為第9頁/共25頁所以兩個零件中恰好有一個一等品的概率為.故答案為：.9.如圖，四個邊長為1的正方形排成一個大正方形，AB是大正方形的一條邊，Pi(i=1,2,…,7)是小正方形的其余各個頂點，則的不同值的個數(shù)為.【答案】3【解析】【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的幾何意義，只需分析在上的投影即可.)在-上的投影，由圖，在上的投影相同，故答案為：3.10.如圖，六角螺帽毛坯是由一個正六棱柱挖去一個圓柱所構成的．已知螺帽的底面正六邊形邊長為2cm，高為2cm，內孔半徑為0.5cm，則此六角螺帽毛坯的體積是cm3.【答案】12【解析】【分析】先求正六棱柱體積，再求圓柱體積，相減得結果.第10頁/共25頁 故答案為：12【點睛】本題考查正六棱柱體積、圓柱體積，考查基本分析求解能力，屬基礎題.11.已知A、B、C為△ABC的三個內角，有如下命題：其中正確命題的序號是.【答案】①②③④【解析】【分析】由三角恒等變換公式，平面向量數(shù)量積的運算律對命題逐一判斷兀22 故答案為：①②③④和線段B1C上的動點，則ΔPEQ周長的最小值為.第11頁/共25頁【答案】【解析】【分析】由題意得：△PEQ周長取最小值時,P在B1C1上.在平面B1C1CB上,設E關于B1C的對稱點為M,關于B1C1的對稱點為N,求出MN,即可得到△PEQ周長的最小值.【詳解】由題意得：△PEQ周長取最小值時,P在B1C1上,在平面B1C1CB上,設E關于B1C的對稱點為M,關于B1C1的對稱點為N,連結MN,當MN與B1C1的交點為P,MN與B1C的交點Q時,則MN是△PEQ周長的最小值,第12頁/共25頁 ∴△PEQ周長的最小值為10. 故答案為：10【點睛】本題主要考查了立體幾何中的線段最值問題,需要根據(jù)題意轉換對應的線段長度,再利用三角形的性質求最小值即可.屬于中檔題.13.下列說法中正確的是()A.各個面都是三角形的幾何體是三棱錐B.以三角形的一條邊所在直線為旋轉軸，其余兩邊旋轉形成的曲面所圍成的幾何體叫圓錐C.若棱錐的側棱長與底面多邊形的邊長相等，則該棱錐可能是六棱錐D.若球O的半徑為2，球心到平面α的距離為1，則球O被平面α截得的截面面積為3π【答案】D【解析】【分析】棱錐是有一個面是多邊形，其余各面是有公共頂點的三角形的幾何體；圓錐是以直角三角形一條直角邊為軸旋轉，其余兩邊旋轉所圍成的幾何體；正六邊形中心到頂點的距離等于邊長；球心與截面圓圓心的連線垂直于截面.【詳解】棱錐是有一個面是多邊形，其余各面是有公共頂點的三角形的幾何體，所以A錯，三棱錐不僅各面是三角形，還要除底面外其余各面都有公共頂點；圓錐是以直角三角形一條直角邊為軸旋轉，其余兩邊旋轉所圍成的幾何體，以斜邊為軸旋轉不是圓錐，所正六邊形中心到頂點的距離等于邊長，所以正六棱錐側棱一定大于底面邊長，所以C錯；截面圓面積為3π,D正確.故選：D.B.C.4D.8【答案】C【解析】【分析】由兩向量夾角的正切值計算余弦值，再計算投影.第13頁/共25頁因為tan且向量夾角取值范圍為，所以cos所以在方向上的投影為故選：C.15.已知一個圓柱底面圓半徑為1，高為2，上底面的直徑為AB，C是底面圓周上的一個動點，關于△ABC的面積大小下列說法正確的是()A.△ABC的面積是定值B.△ABC的面積沒有最大值C.△ABC的面積最大值是·5D.△ABC的面積最大值是2【答案】C【解析】【分析】AB長度不變，分析C到直線AB距離的取值范圍，得到三角形面積的取值范圍.【詳解】如圖，過C作CD垂直于AB，過D作DE垂直于底面，連接CE，因為CD垂直于AB，DE垂直于圓柱底面，所以DE垂直于AB，所以AB垂直于平面CDE， 所以CE垂直于AB，C是底面圓周上動點，所以CE最大等于底面半徑，等于1，所以CD最大為·5，即面 故選：C.*n≥2）為已知實常數(shù)，x∈R，下列關于函數(shù)f(x)的性質判斷正確的個數(shù)是()=0，則f對任意實數(shù)x恒成立；②若f(0)=0，則函數(shù)f(x)為奇函數(shù)；③若第14頁/共25頁f(|(),|=0，則函數(shù)f(x)為偶函數(shù)；④當f2(0)+f2(|(),|≠0時，若f(x1)=f(x2)=0，則x1-x2=kA.4B.3C.2D.1【答案】A【解析】f(x)-f(-x)=0，得到f(x)為偶函數(shù)，然后對四個命題進行判斷，得到答案.n)，*nsin2sinnsinn)2sina2nsinan所以函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，故②正確；(2,(2,(2,(2,(2,1)2sin2)(2,(2,(2,(2,(2,nsinn=-2sinx(-a1cosa1-a2co所以函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，故③正確；若f(0)=f(|(),|=0，則函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，也為偶函數(shù)，第15頁/共25頁所以f(x)=0對任意實數(shù)x恒成立，故①正確；當≠0時，若f2sinnsinnsin2n所以所以sinx1-sinx2=0，可得x1-x2=k故④正確.故選：A.【點睛】本題考查數(shù)列與三角函數(shù)的綜合，主要考查的三角函數(shù)的化簡，考查新定義三角函數(shù)的性質，對題意的理解和計算能力要求較高，屬于難題.17.如圖，某種水箱用的“浮球”是由兩個半球和一個圓柱筒組成，已知球的直徑是6cm，圓柱筒長2cm.（1）這種“浮球”的體積是多少cm3?（2）要在這樣2500個“浮球”表面涂一層膠質，如果每平方米需要涂膠100克，共需膠多少?（2）1200π克【解析】【分析】根據(jù)圓柱和球的體積公式，面積公式計算即可.第16頁/共25頁【小問1詳解】V33【小問2詳解】2322500個浮球的表面積為2500×48兀cm2.（1）用OA，OB表示OP；f(k)，求f(k)及其最小值.【解析】【分析】（1）根據(jù)向量的線性運算求解. ·21.7222第17頁/共25頁f(k)的最小值為.【點睛】本題考查平面向量的線性運算，考查向量的數(shù)量積，解題關鍵是利用數(shù)量積的定義把模的運算轉化為數(shù)量積.19.某旅游區(qū)每年各個月份接待游客的人數(shù)近似地滿足周期性規(guī)律，因而第n個月從事旅游服務工作的人數(shù)f(n)可近似地用函數(shù)f(n)=Acos(wn+θ)+k來刻畫，其中正整數(shù)n表示月份且n∈[1,12]，例如n=1表示1月份，A和k是正整數(shù)，w>0，θ∈(0,π).統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)，該地區(qū)每年各個月份從事旅游服務工作的人數(shù)有以下規(guī)律：①每年相同的月份，該地區(qū)從事旅游服務工作的人數(shù)基本相同；②該地區(qū)從事旅游服務工作的人數(shù)最多的8月份和最少的2月份相差400人；③2月份該地區(qū)從事旅游服務工作的人數(shù)為100人，隨后逐月遞增直到8月份達到最多.（1）試根據(jù)已知信息，求f(n)的表達式；（2）一般地，當該地區(qū)從事旅游服務工作的人數(shù)在400或400以上時，該地區(qū)也進入了一年中的旅游“旺季”，那么，一年中的哪幾個月是該地區(qū)的旅游“旺季”？請說明理由.=200cos+300；答案見解析.【解析】【詳解】試題分析1）根據(jù)三條規(guī)律，知該函數(shù)為周期為12的周期函數(shù)，進而求得w，利用規(guī)律②③可求得三角函數(shù)解析式中的振幅A，k和θ,則函數(shù)的解析式可得2）利用余弦函數(shù)的性質根據(jù)題意求得試題解析1）根據(jù)三條規(guī)律，知該函數(shù)為周期為12的周期函數(shù)，所以w=.∵該地區(qū)從事旅游服務工作的人數(shù)最多的8月份和最少的2月份相差400人，2月份該地區(qū)從事旅游服務工作的人數(shù)為100人解得∵最少的2月份該地區(qū)從事旅游服務工作的人數(shù)為100人第18頁/共25頁（2）令f(n)=Acos(wn+θ)+k≥400答：一年中6,7,8,9,10月是該地區(qū)的旅游“旺季”.20.已知a、b、c分別為△ABC的三個內角A、B、C的對邊.現(xiàn)有如下四個條件（1）對條件①化簡，并判斷含有條件①的三角形的形狀；（2）從以上四個條件中任選幾個作為一個組合，請寫出能構成三角形的所有組合，并說明理由；（3）從上述能構成三角形的組合中任選一組，求出對應三角形邊c的長及三角形面積.cosB=鈍角三角形；（2）①③④和②③④;（3）答案見解析.【解析】【分析】（1）利用余弦定理，即可求得cosB，結合B的范圍即可判斷三角形形狀；（2）利用正弦定理化簡②,結合（1）中所求以及余弦函數(shù)的單調性即可判斷；（3）根據(jù)（2）中所求，結合余弦定理和三角形面積公式，求解即可.第19頁/共25頁則含有條件①的三角形的形狀為鈍角三角形.【小問2詳解】條件①的化簡結果為：cosB=-條件②：acosB=(·c-b)cosA， 由整形定理可得sinAcosB+sinBcosA=·2sinCcosA，32(2,432(2,4則條件①和條件②不能同時選擇.故能構成三角形的所有組合為：①③④和②③④.【小問3詳解】當選擇①③④時，由余弦定理可得：cosB整理得：c2+4c-2=0，解得c=-2-6（舍）或-6-2 當選擇②③④時，由余弦定理可得cosA=此時三角形有兩解，第20頁/共25頁綜上所述：選擇①③④時，c=6-2，三角形ABC的面積21.如圖，在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是棱AA1上的一個動點.（1）判斷三棱錐B1-BED1的體積是否為定值，若是求出其體積，若不是說明理由；（2）是否存在點E，使得B1D丄平面BED1，若存在請找出點E的位置，若不存在，說明理由；（3）過點A1和C作正方體的截面α.①判斷截面α的形狀，并求出截面面積的最小值；②當截面α的面積取最小值時，在線段BC