第頁第04講正弦定理和余弦定理1、正弦定理1.1正弦定理的描述①文字語言：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等.②符號語言：在中，若角、及所對邊的邊長分別為，及，則有1.2正弦定理的推廣及常用變形公式在中，若角、及所對邊的邊長分別為，及，其外接圓半徑為，則①②；；；③④⑤，，（可實現(xiàn)邊到角的轉(zhuǎn)化）⑥，，（可實現(xiàn)角到邊的轉(zhuǎn)化）2、余弦定理2.1余弦定理的描述①文字語言：三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角的余弦的積的兩倍.②符號語言：在中，內(nèi)角，所對的邊分別是,則：；；2.2余弦定理的推論；；3、三角形常用面積公式①；②；③（其中，是三角形的各邊長，是三角形的內(nèi)切圓半徑）；④(其中，是三角形的各邊長，是三角形的外接圓半徑).4、常用結(jié)論在三角形中的三角函數(shù)關(guān)系①②③④⑤⑥若⑦若或高頻考點一：利用正、余弦定理解三角形角度1：三角形個數(shù)問題【例題1-1】在中，，則的解的個數(shù)是（

）A．0個B．2個C．1個D．1個或2個【答案】B【詳解】如圖，在中，因為，所以，所以，所以可以構(gòu)成兩個三角形，所以的解的個數(shù)是2個，故A，C，D錯誤.故選：B.【例題1-2】在中，，若解三角形時有兩解，則的取值范圍是（

）A．B．C．D．【答案】C【詳解】根據(jù)題意作圖，如下圖所示當x的值確定以后，以C為圓心，2為半徑的圓與c邊的交點即為頂點A的位置，由圖可知，兩種臨界條件分別為：（1）圓與c邊所在直線相切，此時，三角形只有一個解，此時根據(jù)正弦定理，，可得；（2）圓過B時，，三角形只有一個解，此時；所以當時，三角形有兩個解，所以x的取值范圍為.故選：C.【變式1-1】已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，，，若只有一解，則實數(shù)x的取值范圍為（

）A．B．C．D．或【答案】D【詳解】如圖，，為正三角形，則點在射線上.易得當在時，只有一解，此時；當在或右邊時只有一解，此時.故或故選：D【變式1-2】（多選）在中，角所對的邊分別為，且.若有兩解，則的值可以是（

）A．4B．5C．7D．10【答案】BC【詳解】解：如圖：要使有兩個解，則，即，解得：，故選：BC角度2：利用正弦定理解三角形【例題2-1】在中，角的對邊分別為，已知則（

）A．45°或135°B．135°C．45°D．60°或120°【答案】C【詳解】由正弦定理得：得：，因為，所以，所以.故選：C【例題2-2】（多選）在中，已知，，的外接圓面積為，則（

）A．B．C．D．【答案】AD【詳解】設(shè)的外接圓半徑為，則，解得；在中，由正弦定理得：，又，則，再由正弦定理得：，因為，所以，則或，故選：AD.【變式2-1】在中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，，那么（

）A．B．C．或D．【答案】B【詳解】因為，由正弦定理，可得，又因為，所以，故，所以.故選：B.【變式2-2】在中，角的對邊分別為，且，，則_________.【答案】【詳解】由正弦定理得，即，，∵，∴，，，，∴，由正弦定理得，所以.故答案為：角度3：利用余弦定理解三角形【例題3-1】已知銳角的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，若，，求角．【答案】【詳解】，，，整理可得，即，所以，，.【例題3-2】在中，內(nèi)角的對邊分別為，已知為銳角，且.(1)若，求實數(shù)的值；(2)若，求面積的最大值；(3)若，點為的中點，且，求邊的長.【答案】(1)；(2)；(3)【詳解】（1）為銳角，且，，即，由余弦定理可知，即，又，即，所以，故實數(shù)的值為1.（2）由（1）得：，又，即，當且僅當時取等號，，當且僅當時取等號，面積的最大值為.（3）在中，，，，，即①；在中，，，代入①化簡得：，解得或（舍去），的長為.【變式3-1】在中，角所對的邊分別為，已知，則角___________.【答案】【詳解】由，得，所以，則，又，所以.故答案為：.【變式3-2】的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，，則C＝______【答案】【詳解】由余弦定理得，即，所以，又，所以，可得．故答案為：角度4：正余弦定理綜合應(yīng)用【例題4-1】已知銳角中，角，，的對邊分別為，，．若，，，則（

）A．9B．8C．5D．4【答案】C【詳解】∵，，∴，，∴．∵為銳角三角形，∴，∴．而，∴．由余弦定理可得，∴，∴，則．故選：C【例題4-2】中，，，，為邊上一點，且，則的面積等于________.【答案】【詳解】在中，，，，由余弦定理得：，即有，而，解得，由正弦定理得：，顯然為銳角，則，，因為D為BC邊上一點，且，則，所以的面積.故答案為：【變式4-1】在△ABC中，若，，△ABC的面積，則（

）A．B．C．D．【答案】D【詳解】由已知，可得，，，.故選：D.【變式4-2】在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．且，，，則______．【答案】【詳解】∵，根據(jù)正弦定理得，∴，又，∴，，再根據(jù)余弦定理得∴，解得．故答案為：．高頻考點二：判斷三角形的形狀【例題5-1】已知的三個內(nèi)角所對的邊分別為．若，則該三角形的形狀一定是（

）A．鈍角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．銳角三角形【答案】C【詳解】因為，由正弦定理（為外接圓的直徑），可得，所以．又因為，所以．即為等腰三角形.故選：C【例題5-2】若，且，那么是（

）A．直角三角形B．等邊三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形【答案】B【詳解】由，得，化簡得，所以由余弦定理得，因為，所以，因為，所以由正余弦定理角化邊得，化簡得，所以，所以為等邊三角形，故選：B【變式5-1】在△ABC中，已知，且，則△ABC的形狀是（

）A．等腰三角形B．等邊三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形【答案】D【詳解】在△ABC中,,，故△ABC為直角三角形，，即，，故△ABC為等腰三角形，綜上：△ABC的形狀是等腰直角三角形.故選：D.【變式5-2】在中，角所對的邊分別為，已知，，則的形狀為（

）A．等腰三角形B．直角三角形C．等邊三角形D．等腰直角三角形【答案】C【詳解】由正弦定理得：，，又，，，則；，，或，又，，，為等邊三角形.故選：C.高頻考點三：三角形面積相關(guān)問題角度1：求三角形面積【例題6-1】已知在非中，，，且，則的面積為（

）A．1B．C．2D．3【答案】C【詳解】，，又不是直角三角形，，，即，又，，解得，，即，，，故選：C．【例題6-2】在中，已知的平分線，則的面積為_____________.【答案】【詳解】如圖：因為是的平分線，所以，不妨設(shè)，，由題意得，由余弦定理得：，，所以，解得，負值舍去，所以．所以，可得，所以．故答案為：.【變式6-1】在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c．若，且，則該三角形的面積為（

）A．1B．2C．2D．【答案】D【詳解】因為，所以，所以．由正弦定理得：，由余弦定理得，，所以，因為，所以．故選：D．【變式6-2】在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．(1)求角B的大??；(2)若，求的面積．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由，得，因為所以，，所以，因為，所以.（2）由（1）知，，因為，所以，因為，所以，所以.由正弦定理，得.所以.角度2：三角形面積的最值（范圍）【例題7-1】在中，、、三個內(nèi)角所對的邊依次為、、，且，若，則的面積的最大值為___________【答案】【詳解】由余弦定理，，∵，∴.由余弦定理及基本不等式，，∴，當且僅當時取等號，∴當且僅當時，的面積的最大值為.故答案為：.【例題7-2】已知為銳角三角形，角所對的邊分別為，且．(1)求的取值范圍；(2)若，求面積的取值范圍．【答案】(1)(2)【詳解】（1）因為，由正弦定理可得：，則，所以或，即或，所以，因為為銳角三角形，可得，即，解得：，所以，，，故的取值范圍為.（2）在中，由正弦定理可得，又，，，因為，當時，，

當時，，又，在上單調(diào)遞增，當時，的面積最小，最小值為.綜上所述，三角形面積的最小值為.【變式7-1】在銳角中，角所對的邊分別為，它的面積等于且，則的面積的取值范圍是_________.【答案】【詳解】，，即，又，；由得：，；由正弦定理得：，，，；為銳角三角形，，解得：，，，則，.故答案為：.高頻考點四：三角形周長（邊）相關(guān)問題角度1：求三角形周長（邊長）【例題8-1】在中，角，，所對的邊分別為，，，且滿足.(1)求角的大??；(2)已知，的面積為，求邊長的值.【答案】(1)；(2)．【詳解】（1）在中，由正弦定理得：因為，所以，從而，又，所以，又，所以；（2）在中，，得，由余弦定理得：．所以．【變式8-1】在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且.(1)求角A的大小；(2)若，且的面積為，求的周長.【答案】(1)(2)【詳解】（1）由題意及正弦定理知，，，，.（2），又，由①，②可得，所以的周長為.角度2：三角形周長（邊長）的最值【例題9-1】若的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，滿足.(1)求角；(2)若，求周長的取值范圍.【答案】(1)(2)【詳解】（1）由正弦定理可得：，，，（2）因為，，所以，故由正弦定理得：所以，所以周長因為，則，所以，故求周長的取值范圍為.【變式9-1】記的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，已知.(1)求；(2)若，求周長的取值范圍.【答案】(1)；(2)【詳解】（1），由倍角公式得，由余弦定理，，化簡得，則，由，得.（2）由正弦定理得︰，∴，，，，由，，∴，即（當且僅當時，等號成立），從而周長的取值范圍是第05講正弦定理和余弦定理隨堂檢測1．在中，若，則（

）A．B．C．2D．【答案】C【詳解】因為，所以，所以，則.故選：C.2．記的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，若，，，則（

）A．2B．4C．6D．8【答案】D【詳解】根據(jù)正弦定理有，得；故選：D.3．在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，，，則的面積為（

）．A．B．C．D．【答案】B【詳解】.故選：B4．設(shè)的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若則的形狀為（

）A．等腰三角形B．等腰三角形或直角三角形C．直角三角形D．銳角三角形【答案】B【詳解】由得,由二倍角公式可得或，由于在，,所以或,故為等腰三角形或直角三角形，故選：B5．在中，角、、所對的邊分別為、、，設(shè)為的面積，且，則的最大值為（

）A．B．1C．D．2【答案】B【詳解】由余弦定理知：，由條件：，，即，

，

，

，時取最大值1；故選：B．6.在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，，則面積的最大值為（

）A．B．C．D．【答案】B【詳解】由正弦定理得：，由余弦定理得：，即當且僅當時，即，，時取等號，,則，所以面積的最大值.故選：B7.記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，若外接圓面積為，則面積的最大值為______．【答案】【詳解】由已知及正弦定理得，所以，所以，又，所以．由的外接圓面積為，得外接圓的半徑1．由正弦定理得，所以，所以，解得，所以的面積，當且僅當時