PAGE專題11函數(shù)的零點與方程的解目錄概覽A考點精研?競賽考點專項攻堅考點一求函數(shù)的零點 6考點二零點存在性定理的應(yīng)用 6考點三二分法 6考點四根據(jù)函數(shù)零點（方程的根）求參數(shù)的值或取值范圍 7考點五確定函數(shù)零點（方程的根）的個數(shù) 8考點六求函數(shù)零點（方程的根）的和 9考點七嵌套函數(shù)問題 9考點八比較函數(shù)零點（方程根）的大小 10考點九二次函數(shù)的零點分布 11考點十指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的零點分布 12考點十一函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用 14B實戰(zhàn)進(jìn)階?競賽選拔模擬特訓(xùn)（精選各地競賽、強(qiáng)基試題27道）【歸納重點知識】知識點01函數(shù)的零點1.函數(shù)的零點使得f(x0)＝0的數(shù)x0稱為方程f(x)＝0的解，也稱為函數(shù)f(x)的零點.2.函數(shù)的零點、函數(shù)的圖象與x軸的交點、對應(yīng)方程的解的關(guān)系：3.零點存在定理若函數(shù)y＝f(x)在閉區(qū)間[a，b]上的圖象是一條連續(xù)的曲線，并且在區(qū)間端點的函數(shù)值一正一負(fù)，即f(a)·f(b)＜0，則在開區(qū)間(a，b)內(nèi)，函數(shù)y＝f(x)至少有一個零點，即在區(qū)間(a，b)內(nèi)相應(yīng)的方程f(x)＝0至少有一個解.[微提醒](1)函數(shù)的零點是實數(shù)，而不是點，是方程f(x)＝0的實根.零點一定在定義域內(nèi).(2)由函數(shù)y＝f(x)(圖象是連續(xù)不斷的)在閉區(qū)間[a，b]上有零點不一定能推出f(a)f(b)＜0，如圖所示.知識點02二分法對于一般的函數(shù)y＝f(x)，x∈[a，b]，若函數(shù)y＝f(x)的圖象是一條連續(xù)的曲線，f(a)·f(b)＜0，則每次取區(qū)間的中點，將區(qū)間一分為二，再經(jīng)比較，按需要留下其中一個小區(qū)間的求方程近似解的方法稱為二分法.【熟記重要結(jié)論（二級結(jié)論）】1.若連續(xù)不斷的函數(shù)f(x)是定義域上的單調(diào)函數(shù)，則f(x)至多有一個零點.2.連續(xù)不斷的函數(shù)，其相鄰兩個零點之間的所有函數(shù)值保持同號.3.f(a)f(b)＜0是y＝f(x)在閉區(qū)間[a，b]上有零點的充分不必要條件.4．二次函數(shù)圖象與零點的關(guān)系 二次函數(shù)的圖象與軸的交點 無零點個數(shù)2105.二次函數(shù)零點的實根分布設(shè)方程的不等兩根為且，相應(yīng)的二次函數(shù)為，方程的根即為二次函數(shù)圖象與軸的交點，它們的分布情況見下面各表（每種情況對應(yīng)的均是充要條件）表一：（兩根與0的大小比較即根的正負(fù)情況）分布情況兩個負(fù)根即兩根都小于0兩個正根即兩根都大于0一正根一負(fù)根即一個根小于0，一個大于0大致圖象（）得出的結(jié)論大致圖象（）得出的結(jié)論綜合結(jié)論（不討論）

表二：（兩根與的大小比較）分布情況兩根都小于即兩根都大于即一個根小于，一個大于即大致圖象（）得出的結(jié)論大致圖象（）得出的結(jié)論綜合結(jié)論（不討論）

表三：（根在區(qū)間上的分布）分布情況兩根都在內(nèi)兩根有且僅有一根在內(nèi)（圖象有兩種情況，只畫了一種）一根在內(nèi)，另一根在內(nèi)，大致圖象（）得出的結(jié)論或大致圖象（）得出的結(jié)論或綜合結(jié)論（不討論）——————根在區(qū)間上的分布還有一種情況：兩根分別在區(qū)間外，即在區(qū)間兩側(cè)，（圖形分別如下）需滿足的條件是（1）時，；（2）時，考點一求函數(shù)的零點1．已知是函數(shù)的零點，則（

）A．0 B．1 C．2 D．32．已知函數(shù)，則其的零點為（

）A．1 B． C．2 D．3．已知函數(shù)是偶函數(shù)，則函數(shù)的零點是.考點二零點存在性定理的應(yīng)用4．函數(shù)在下列區(qū)間一定有零點的是（

）A． B． C． D．5．已知函數(shù)在區(qū)間上有零點，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．6．若函數(shù)，則下列區(qū)間中一定包含零點的區(qū)間是（

）A． B． C． D．考點三二分法7．已知函數(shù)，利用二分法求的零點的近似值，若零點的初值區(qū)間為，精確度為，則可以是（

）A． B． C． D．8．若用二分法求方程在初始區(qū)間內(nèi)的近似解，則第三次取區(qū)間的中點（

）A． B． C． D．9．已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有且僅有1個零點，在利用二分法求函數(shù)零點的近似值時，經(jīng)過3次二分法后確定的零點所在區(qū)間為（

）A． B．C． D．10．現(xiàn)有a個乒乓球，從外觀上看完全相同，除了1個乒乓球質(zhì)量不符合標(biāo)準(zhǔn)外，其余的乒乓球質(zhì)量均相同.你能用一架天平盡快把這個“壞乒乓球”找出來嗎？(1)當(dāng)時，若只稱3次就可以找到此“壞乒乓球”，并得出它是偏輕還是偏重，該如何稱？(2)若已知“壞乒乓球偏輕”，當(dāng)時，至少稱幾次就一定可以找到此“壞乒乓球”？考點四根據(jù)函數(shù)零點（方程的根）求參數(shù)的值或取值范圍11．已知是函數(shù)的零點，則的最小值為（）A．0 B．1 C．4 D．512．已知函數(shù)，若對任意的，關(guān)于的方程都有實根，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．13．已知函數(shù)，若僅存在一個整數(shù)，使得方程有4個不同的實根，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．14．定義在上的函數(shù)滿足：，若函數(shù)恰有3個零點，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．15．已知，函數(shù)，其中，若方程恰好有3個不相等的實根，則的取值范圍是.考點五確定函數(shù)零點（方程的根）的個數(shù)16．定義一種新運(yùn)算：，函數(shù)，則方程的根的個數(shù)為（

）A．4 B．3 C．2 D．117．設(shè)函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，滿足.當(dāng)時，，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱B．函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減C．當(dāng)時，有1013個零點D．函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱18．已知是定義在上的偶函數(shù)，滿足，且當(dāng)時，，則下列結(jié)論錯誤的是（

）A．當(dāng)時，B．C．的圖像關(guān)于點對稱D．函數(shù)有3個零點19．已知函數(shù)給出下列四個結(jié)論：①當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；②當(dāng)時，存在最小值；③的零點個數(shù)為，則函數(shù)的值域為；④當(dāng)時，對任意，.其中正確結(jié)論的個數(shù)（

）A．3 B．2 C．1 D．020．已知函數(shù)是定義域為的奇函數(shù)；且，當(dāng)時，，，則下列結(jié)論不正確的是（）A． B．函數(shù)的圖象關(guān)于對稱C．的值域為 D．函數(shù)有9個零點21．已知函數(shù)，若，則方程在的根的個數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．3考點六求函數(shù)零點（方程的根）的和22．若是的零點，是的零點，那么的值為（

）A． B．3 C． D．423．設(shè)分別是函數(shù)與的零點，則當(dāng)變化時，表達(dá)式（

）A．有最大值，但沒有最小值 B．有最小值，但沒有最大值C．既有最大值，也有最小值 D．沒有最大值，也沒有最小值24．若定義在上的函數(shù)，且，，函數(shù)在區(qū)間上的所有零點為，則等于（

）A．2 B．4 C．6 D．8考點七嵌套函數(shù)問題25．已知函數(shù)的定義域為，且在上是單調(diào)函數(shù)，若，則的零點為（

）A． B． C． D．26．已知函數(shù)的定義域為，，且，若，則的零點為（

）A． B． C．1 D．227．已知函數(shù)，若函數(shù)有8個不同的零點，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．28．設(shè)函數(shù).若函數(shù)與都沒有零點，則函數(shù)與（

）A．都沒有零點 B．都有零點C．至少有一個沒有零點 D．至少有一個有零點29．已知函數(shù)，若有另一函數(shù)有且僅有3個不同零點，則常數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．30．已知函數(shù)，，若方程有且僅有5個不相等的整數(shù)解，則其中最大整數(shù)解和最小整數(shù)解的和等于（

）A． B． C． D．31．高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的美譽(yù).函數(shù)稱為高斯函數(shù)，其中，表示不超過x的最大整數(shù)，例如：，，則方程的所有大于零的解之和為（

）A． B． C． D．32．已知函數(shù)，滿足，，若恰有個零點，則這個零點之和為（

）A． B． C． D．考點八比較函數(shù)零點（方程根）的大小33．若函數(shù)，，的零點分別為，，，則（

）A． B． C． D．34．已知正實數(shù)滿足，，，則的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．35．已知，，滿足，，，則，，的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．36．已知，則下列關(guān)系不可能成立的是（

）A． B． C． D．考點九二次函數(shù)的零點分布37．若關(guān)于的方程的兩根均大于1，則整數(shù)m的值為.38．對于二次函數(shù)，若存在使得成立，則稱為二次函數(shù)的不動點.(1)求二次函數(shù)的不動點；(2)若函數(shù)有兩個不相等的不動點，且均為正數(shù)，求的最小值；(3)若對任意實數(shù)，二次函數(shù)恒有不動點，求的取值范圍.39．已知函數(shù).(1)若，當(dāng)時，求的最小值；(2)求關(guān)于的不等式的解集；(3)若方程有兩實根，且兩實根均大于1，求實數(shù)的取值范圍.40．已知二次函數(shù)．(1)若，且在上有兩個互不相同的實數(shù)根，求的取值范圍；(2)若的解集為，，對于，，使得成立，求實數(shù)的取值范圍；(3)若對任意，不等式恒成立，求的最大值．考點十指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的零點分布41．已知函數(shù)的定義域為.(1)求的取值范圍；(2)討論函數(shù)的單調(diào)性；(3)給定函數(shù)，，若其圖象與直線存在公共點，則稱是的一個“不動點”.若函數(shù)在上僅有一個“不動點”，求的取值范圍.42．已知函數(shù)（且，）的圖象經(jīng)過點，.(1)求的解析式；(2)若函數(shù)有且只有一個零點，求實數(shù)m的值.43．對定義域為的函數(shù)，若存在使得，則稱是函數(shù)的一階不動點，簡稱不動點；若存在使得，則稱是函數(shù)的二階不動點，簡稱穩(wěn)定點．(1)判斷函數(shù)在上是否有穩(wěn)定點（直接寫出結(jié)論）；①______；②______．(2)概念舉例：寫出滿足下列要求的一個函數(shù)（直接寫出結(jié)論）；①不是且有無窮多個不動點：______；②有無窮多個穩(wěn)定點，且這些穩(wěn)定點不都是不動點：______．(3)已知在上有且僅有個一階不動點．①求實數(shù)的取值范圍；②在上有幾個穩(wěn)定點？并說明理由．44．已知函數(shù)（且）在上的最大值和最小值之和為20，函數(shù)是奇函數(shù)．(1)求a和b的值；(2)用函數(shù)單調(diào)性的定義證明：函數(shù)在R上單調(diào)遞增；(3)若函數(shù)恰有兩個不同的零點，求m的取值范圍．45．已知函數(shù)，.(1)討論函數(shù)的單調(diào)性（無需證明）；(2)若，解關(guān)于的不等式；(3)若關(guān)于的方程有兩個不同的解，求實數(shù)的取值范圍.考點十一函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用46．函數(shù)的定義域，當(dāng)時，，函數(shù)是奇函數(shù).記關(guān)于的方程的根為，若，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．47．（多選）已知函數(shù)則下列說法正確的是（

）.A．當(dāng)時，B．當(dāng)在上單調(diào)遞增時，的取值范圍為C．當(dāng)時，的解集為D．要使方程有實數(shù)解，的取值范圍為48．（多選）已知函數(shù)則下列說法正確的是（

）A．若函數(shù)恰有4個零點，則B．關(guān)于的方程有8個不同的實數(shù)解C．當(dāng)時，不等式恒成立D．函數(shù)的圖象與直線，及軸所圍成圖形的面積為49．(多選)已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．函數(shù)有3個零點B．若函數(shù)有四個零點，則C．若關(guān)于的方程有四個不等實根，，，，則D．若關(guān)于的方程有8個不等實根，則50．已知函數(shù)（），且，其中為奇函數(shù)，為偶函數(shù)．(1)求在上的最值；(2)求和的解析式；(3)若函數(shù)在上存在零點，求實數(shù)的取值范圍．1．（2024·全國第四屆章魚杯競賽）方程的實數(shù)解的個數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．32．（2024·全國第四屆英才杯競賽）已知方程恰好有三個不同的實數(shù)根，則滿足題意的的最大值為（

）A． B． C． D．3．（2024·湖南“同濟(jì)大學(xué)杯”高一聯(lián)賽）已知函數(shù)若,且,則的取值范圍是（

）A． B．C． D．4．（2023·海南衍林杯高一競賽）設(shè)是定義在上的偶函數(shù)，對任意，都有，且當(dāng)時，，若在區(qū)間內(nèi)關(guān)于的方程恰有3個不同的實數(shù)根，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．5．（2024·山東省濱州市學(xué)科素養(yǎng)知識競賽）設(shè)是定義在上的奇函數(shù)，滿足，當(dāng)時，，若方程在上有四個不同的實數(shù)解，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．6．（2024·安徽省示范高中培優(yōu)聯(lián)盟高一冬季聯(lián)賽）定義在上的函數(shù)，當(dāng)時，，當(dāng)時，，若關(guān)于函數(shù)在定義域內(nèi)有四個零點，則實數(shù)的取值可以是（

）A． B． C． D．7．（2024·浙江溫州搖籃杯高一競賽）已知函數(shù)，則（

）A．為奇函數(shù) B．在定義域內(nèi)單調(diào)遞增C．有2個零點 D．的最小值為8．(多選)（2024·全國第四屆英才杯競賽）已知函數(shù)和，則下列說法正確的有（

）A．若有兩個相同的實數(shù)根，則函數(shù)經(jīng)過一二四象限B．的圖象和一個以為圓心，1為半徑的圓沒有交點C．可以在時取到最小值D．若有兩個不同零點，設(shè)這兩個零點分別為、（在的左邊）在時，若的最小值等于，則是不可能成立的9．（多選）（2024·湖南“同濟(jì)大學(xué)杯”高一聯(lián)賽）已知定義在R上的函數(shù)滿足，，，且當(dāng)時，，則下列說法正確的是（

）A．是奇函數(shù) B．是周期函數(shù)C．的值域為 D．在區(qū)間內(nèi)無零點10．(多選)（2024·湖南“同濟(jì)大學(xué)杯”高一聯(lián)賽）已知函數(shù)，則（

）A．若函數(shù)有3個零點，則B．函數(shù)有3個零點C．，使得函數(shù)有6個零點D．，函數(shù)的零點個數(shù)都不為411．（2024·中國科大強(qiáng)基計劃）若函數(shù)有一個二重零點，則a的所有可能取值是．12．（2024·安徽省示范高中培優(yōu)聯(lián)盟高一冬季聯(lián)賽）若函數(shù)對于都有，則.13．（2024·清華大學(xué)強(qiáng)基計劃），，有零點，則的最小值為．14．（2024·海南省衍林杯學(xué)科高一競賽）已知，分別是方程和的根，則.15．（2024·四川省高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽預(yù)賽）設(shè)函數(shù)的零點都在區(qū)間內(nèi)，則的最小值為．16．（2024·全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽北京預(yù)賽）已知函數(shù)若關(guān)于的方程恰有三個不相等的實數(shù)根且滿足，則的取值范圍是