福建省長汀縣新橋中學(xué)2026屆數(shù)學(xué)高一上期末質(zhì)量檢測試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．直線過點，且與軸正半軸圍成的三角形的面積等于的直線方程是（）A. B.C. D.2．某工廠設(shè)計了一款純凈水提煉裝置，該裝置可去除自來水中的雜質(zhì)并提煉出可直接飲用的純凈水，假設(shè)該裝置每次提煉能夠減少水中50%的雜質(zhì)，要使水中的雜質(zhì)不超過原來的4%，則至少需要提煉的次數(shù)為（）（參考數(shù)據(jù)：?。〢.5 B.6C.7 D.83．已知，，則“使得”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件4．已知函數(shù)的最大值與最小值的差為2，則（）A.4 B.3C.2 D.5．我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說：“數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休.”在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和研究中，常用函數(shù)的圖像來研究函數(shù)的性質(zhì)，也常用函數(shù)的解析式來琢磨函數(shù)圖像的特征.我們從這個商標(biāo)中抽象出一個圖象如圖，其對應(yīng)的函數(shù)可能是（）A. B.C. D.6．函數(shù)零點所在的大致區(qū)間的A. B.C. D.7．《九章算術(shù)》成書于公元一世紀(jì)，是中國古代乃至東方的第一部自成體系的數(shù)學(xué)專著.書中記載這樣一個問題“今有宛田，下周三十步，徑十六步.問為田幾何？”（一步=1.5米）意思是現(xiàn)有扇形田，弧長為45米，直徑為24米，那么扇形田的面積為A.135平方米 B.270平方米C.540平方米 D.1080平方米8．下列四個函數(shù)，以為最小正周期，且在區(qū)間上單調(diào)遞減的是（）A. B.C. D.9．在正內(nèi)有一點，滿足等式，，則（）A. B.C. D.10．已知冪函數(shù)f（x）=xa的圖象經(jīng)過點（2，），則函數(shù)f（x）為（）A.奇函數(shù)且在上單調(diào)遞增 B.偶函數(shù)且在上單調(diào)遞減C.非奇非偶函數(shù)且在上單調(diào)遞增 D.非奇非偶函數(shù)且在上單調(diào)遞減二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．若函數(shù)是奇函數(shù)，則__________.12．一個扇形的中心角為3弧度，其周長為10，則該扇形的面積為__________13．各條棱長均相等的四面體相鄰兩個面所成角的余弦值為___________.14．已知直三棱柱的個頂點都在球的球面上，若，，，，則球的直徑為________15．如果二次函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍為________16．已知，且，則=_______________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知函數(shù)，若函數(shù)的定義域為集合，則當(dāng)時，求函數(shù)的值域.18．某廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品的年固定成本為萬元，每生產(chǎn)千件，需另投入成本為.當(dāng)年產(chǎn)量不足千件時，（萬元）；當(dāng)年產(chǎn)量不小于千件時，（萬元）.通過市場分析，若每件售價為元時，該廠年內(nèi)生產(chǎn)的商品能全部售完.（利潤銷售收入總成本）（1）寫出年利潤（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量（千件）的函數(shù)解析式；（2）年產(chǎn)量為多少萬件時，該廠在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤最大？19．已知函數(shù)，（1）若的值域為，求a的值（2）證明：對任意，總存在，使得成立20．若函數(shù)f(x)滿足f(logax)＝·(x－)(其中a＞0且a≠1).(1)求函數(shù)f(x)解析式，并判斷其奇偶性和單調(diào)性；(2)當(dāng)x∈(－∞，2)時，f(x)－4的值恒為負(fù)數(shù)，求a的取值范圍21．2020年春節(jié)前后，一場突如其來的新冠肺炎疫情在武漢出現(xiàn)并很快地傳染開來（已有證據(jù)表明2019年10月、11月國外已經(jīng)存在新冠肺炎病毒），對人類生命形成巨大危害．在中共中央、國務(wù)院強有力的組織領(lǐng)導(dǎo)下，全國人民萬眾一心抗擊、防控新冠肺炎，疫情早在3月底已經(jīng)得到了非常好的控制（累計病亡人數(shù)人），然而國外因國家體制、思想觀念的不同，防控不力，新冠肺炎疫情越來越嚴(yán)重．疫情期間造成醫(yī)用防護(hù)用品短缺，某廠家生產(chǎn)醫(yī)用防護(hù)用品需投入年固定成本為萬元，每生產(chǎn)萬件，需另投入成本為．當(dāng)年產(chǎn)量不足萬件時，（萬元）；當(dāng)年產(chǎn)量不小于萬件時，（萬元）．通過市場分析，若每件售價為元時，該廠年內(nèi)生產(chǎn)的商品能全部售完．（利潤銷售收入總成本）（1）寫出年利潤（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量（萬件）的函數(shù)解析式；（2）年產(chǎn)量為多少萬件時，該廠在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤最大?并求出利潤的最大值

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、A【解析】先設(shè)直線方程為：，根據(jù)題意求出，即可得出結(jié)果.【詳解】設(shè)所求直線方程為：，由題意得，且解得故，即.故選：A.【點睛】本題主要考查求直線的方程，熟記直線的斜截式方程即可，屬于常考題型.2、A【解析】根據(jù)題意列出相應(yīng)的不等式，利用對數(shù)值計算可得答案.【詳解】設(shè)經(jīng)過次提煉后，水中的雜質(zhì)不超過原來的4%，由題意得，得，所以至少需要5次提煉，故選：A.3、C【解析】依據(jù)子集的定義進(jìn)行判斷即可解決二者間的邏輯關(guān)系.【詳解】若使得，則有成立；若，則有使得成立.則“使得”是“”的充要條件故選：C4、C【解析】根據(jù)解析式可得其單調(diào)性，根據(jù)x的范圍，可求得的最大值和最小值，根據(jù)題意，列出方程，即可求得a值.【詳解】由題意得在上為單調(diào)遞增函數(shù)，所以，，所以，解得，又，所以.故選：C5、A【解析】由圖象知函數(shù)的定義域排除選項選項B、D，再根據(jù)不成立排除選項C，即可得正確選項.【詳解】由圖知的定義域為，排除選項B、D，又因為當(dāng)時，，不符合圖象，所以排除C，故選：A【點睛】思路點睛：排除法是解決函數(shù)圖象問題的主要方法，根據(jù)函數(shù)的定義域、與坐標(biāo)軸的交點、函數(shù)值的符號、單調(diào)性、奇偶性等，從而得出正確結(jié)果.6、B【解析】函數(shù)是單調(diào)遞增函數(shù)，則只需時，函數(shù)在區(qū)間（a，b）上存在零點.【詳解】函數(shù),x>0上單調(diào)遞增，，函數(shù)f（x）零點所在的大致區(qū)間是；故選B【點睛】本題考查利用函數(shù)零點存在性定義定理求解函數(shù)的零點的范圍，屬于基礎(chǔ)題；解題的關(guān)鍵是首先要判斷函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)零點存在的條件：已知函數(shù)在（a，b）連續(xù)，若確定零點所在的區(qū)間.7、B【解析】直接利用扇形面積計算得到答案.【詳解】根據(jù)扇形的面積公式，計算扇形田的面積為Slr45270（平方米）.故選：B.【點睛】本題考查了扇形面積，屬于簡單題.8、A【解析】先判斷各函數(shù)最小正周期，再確定各函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)性，即可選擇判斷.【詳解】最小正周期為，在區(qū)間上單調(diào)遞減；最小正周期為，在區(qū)間上單調(diào)遞減；最小正周期為，在區(qū)間上單調(diào)遞增；最小正周期為，在區(qū)間上單調(diào)遞增；故選：A9、A【解析】過作交于，作交于，則，可得，在中由正弦定理可得答案.【詳解】過作交于，作交于，則，，在中，，，由正弦定理得.故選：A.10、C【解析】根據(jù)已知求出a=，從而函數(shù)f（x）=，由此得到函數(shù)f（x）是非奇非偶函數(shù)且在（0，+∞）上單調(diào)遞增【詳解】∵冪函數(shù)f（x）=xa的圖象經(jīng)過點（2，），∴2a=，解得a=，∴函數(shù)f（x）=，∴函數(shù)f（x）是非奇非偶函數(shù)且在（0，+∞）上單調(diào)遞增故選C【點睛】本題考查命題真假的判斷，考查冪函數(shù)的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】根據(jù)題意，得到，即可求解.【詳解】因為是奇函數(shù)，可得.故答案為：.12、6【解析】利用弧長公式以及扇形周長公式即可解出弧長和半徑，再利用扇形面積公式即可求解.【詳解】設(shè)扇形的半徑為，弧長為，則，解得，所以，答案為6.【點睛】主要考查弧長公式、扇形的周長公式以及面積公式，屬于基礎(chǔ)題.13、【解析】首先利用圖像作出相鄰兩個面所成角，然后利用已知條件求出正四面體相鄰兩個面所成角的兩邊即可求解.【詳解】由題意，四面體為正三棱錐，不妨設(shè)正三棱錐的邊長為，過作平面，垂足為，取的中點，并連接、、、，如下圖：由正四面體的性質(zhì)可知，為底面正三角形的中心，從而，，∵為的中點，為正三角形，所以，，所以為正四面體相鄰兩個面所成角∵，∴易得，，∵平面，平面，∴，故.故答案為：.14、【解析】根據(jù)題設(shè)條件可以判斷球心的位置，進(jìn)而求解【詳解】因為三棱柱的個頂點都在球的球面上，若，，，，所以三棱柱的底面是直角三角形，側(cè)棱與底面垂直，的外心是斜邊的中點，上下底面的中心連線垂直底面，其中點是球心，即側(cè)面，經(jīng)過球球心，球的直徑是側(cè)面的對角線的長，因為，，，所以球的半徑為：故答案為：15、【解析】函數(shù)對稱軸為，則由題意可得，解出不等式即可.【詳解】∵函數(shù)的對稱軸為且在區(qū)間上是增函數(shù)，∴，即.【點睛】已知函數(shù)在某個區(qū)間上的單調(diào)性，則這個區(qū)間是這個函數(shù)對應(yīng)單調(diào)區(qū)間的子集.16、【解析】由同角三角函數(shù)關(guān)系求出，最后利用求解即可.【詳解】由，且得則，則.故答案為：.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、【解析】先求函數(shù)的定義域集合，再求函數(shù)的值域【詳解】由，得，所以函數(shù)的值域為【點睛】求函數(shù)值域要先準(zhǔn)確求出函數(shù)的定義域，注意函數(shù)解析式有意義的條件，及題目對自變量的限制條件18、（1）；（2）萬件.【解析】（1）由題意，分別寫出與對應(yīng)的函數(shù)解析式，即可得分段函數(shù)解析式；（2）當(dāng)時，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解最大值，當(dāng)時，利用基本不等式求解最大值，比較之后得整個范圍的最大值.【詳解】解：（1）當(dāng)，時，當(dāng)，時，∴（2）當(dāng)，時，，∴當(dāng)時，取得最大值（萬元）當(dāng)，時，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立.即時，取得最大值萬元綜上，所以即生產(chǎn)量為萬件時，該廠在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤最大為萬元【點睛】與函數(shù)相關(guān)的應(yīng)用題在求解的過程中需要注意函數(shù)模型的選擇，注意分段函數(shù)在應(yīng)用題中的運用，求解最大值時注意利用二次函數(shù)的性質(zhì)以及基本不等式求解.19、（1）2（2）證明見解析【解析】（1）由題意，可得，從而即可求解；（2）利用對勾函數(shù)單調(diào)性求出在上的值域，再分三種情況討論二次函數(shù)在閉區(qū)間上的值域，然后證明的值域是值域的子集恒成立即可得證.【小問1詳解】解：因為的值域為，所以，解得【小問2詳解】證明：由題意，根據(jù)對勾函數(shù)的單調(diào)性可得在上單調(diào)遞增，所以設(shè)在上的值域為M，當(dāng)，即時，在上單調(diào)遞增，因為，，所以；當(dāng)，即時，在上單調(diào)遞減，因為，，所以；當(dāng)，即時，，，所以；綜上，恒成立，即在上的值域是在上值域的子集恒成立，所以對任意總存在，使得成立.20、（1）見解析．（2）[2－，1)∪(1,2＋]【解析】試題分析：（1）利用換元法求函數(shù)解析式，注意換元時元的范圍，再根據(jù)奇偶性定義判斷函數(shù)奇偶性，最后根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性性質(zhì)判斷函數(shù)單調(diào)性（2）不等式恒成立問題一般轉(zhuǎn)化為對應(yīng)函數(shù)最值問題：即f(x)最大值小于4，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性確定函數(shù)最大值，自在解不等式可得a的取值范圍試題解析：(1)令logax＝t(t∈R)，則x＝at，∴f(t)＝(at－a－t)∴f(x)＝(ax－a－x)(x∈R)∵f(－x)＝(a－x－ax)＝－(ax－a－x)＝－f(x)，∴f(x)為奇函數(shù)當(dāng)a＞1時，y＝ax為增函數(shù)，y＝－a－x為增函數(shù)，且＞0，∴f(x)為增函數(shù)當(dāng)0＜a＜1時，y＝ax為減函數(shù)，y＝－a－x為減函數(shù)，且＜0，∴f(x)為增函數(shù)．∴f(x)在R上為增函數(shù)(2)∵f(x)是R上的增函數(shù)，∴y＝f(x)－4也是R上的增函數(shù)由x＜2，得f(x)＜f(2)，要使f(x)－4在(－∞，2)上恒為負(fù)數(shù)，只需f(2)－4≤0，即(a2－a－2)≤4.∴()≤4，∴a2＋1≤4a，∴a2－4a＋1≤0，∴2－≤a≤2＋.又a≠1，∴a的取值范圍為[2－，1)∪(1,2＋]點睛：不等式有解是含參數(shù)的不等式存在性問題時，只要求存在滿足條件的即可；不等式的解集為R是指不等式的恒成立，而不等式的解集