內(nèi)蒙古烏蘭察布市集寧地區(qū)2026屆高二上數(shù)學(xué)期末質(zhì)量檢測模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．設(shè)等差數(shù)列前n項(xiàng)和是，若，則的通項(xiàng)公式可以是（）A. B.C. D.2．若函數(shù)，則（）A. B.C.0 D.13．某工廠對一批產(chǎn)品進(jìn)行了抽樣檢測.右圖是根據(jù)抽樣檢測后的產(chǎn)品凈重（單位：克）數(shù)據(jù)繪制的頻率分布直方圖，其中產(chǎn)品凈重的范圍是[96，106]，樣本數(shù)據(jù)分組為[96，98），[98，100),[100，102)，[102，104),[104，106],已知樣本中產(chǎn)品凈重小于100克的個數(shù)是36，則樣本中凈重大于或等于98克并且小于104克的產(chǎn)品的個數(shù)是.A.90 B.75C.60 D.454．已知，，若，則實(shí)數(shù)的值為（）A. B.C. D.5．《九章算術(shù)》是中國古代張蒼、耿壽昌所撰寫的一部數(shù)學(xué)專著，全書總結(jié)了戰(zhàn)國、秦、漢時期的數(shù)學(xué)成就，其中有如下問題：“今有五人分五錢，令上二人所得與下三人等，問各得幾何?”其意思為：“今有人分錢，各人所得錢數(shù)依次為等差數(shù)列，其中前人所得之和與后人所得之和相等，問各得多少錢?”，則第人得錢數(shù)為（）A.錢 B.錢C.錢 D.錢6．若拋物線的焦點(diǎn)與橢圓的下焦點(diǎn)重合，則m的值為（）A.4 B.2C. D.7．已知是雙曲線的左焦點(diǎn)，，是雙曲線右支上的動點(diǎn)，則的最小值為（）A.9 B.8C.7 D.68．若兩直線與互相垂直，則k的值為（）A.1 B.-1C.-1或1 D.29．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，，，直線AP，BP相交于點(diǎn)P，且它們斜率之積是.當(dāng)時，的最小值為（）A. B.C. D.10．已知函數(shù)，若，，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A. B.C. D.11．已知直線與直線垂直，則（）A. B.C. D.12．已知函數(shù)f(x)＝x(lnx－ax)有兩個極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.(－∞，0) B.C.(0,1) D.(0，＋∞)二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知點(diǎn)P為橢圓上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)，分別為該橢圓的左、右焦點(diǎn)，則的最大值為______________.14．某校為了解學(xué)生學(xué)習(xí)的情況，采用分層抽樣的方法從高一人、高二人、高三人中，抽取人進(jìn)行問卷調(diào)查.已知高一被抽取的人數(shù)為，那么高二被抽取的人數(shù)為__.15．設(shè)P為圓上一動點(diǎn)，Q為直線上一動點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的最小值為___16．若，m，三個數(shù)成等差數(shù)列，則圓錐曲線的離心率為______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖1，已知矩形中，，E為上一點(diǎn)且.現(xiàn)將沿著折起，使點(diǎn)D到達(dá)點(diǎn)P的位置，且，得到的圖形如圖2.（1）證明為直角三角形；（2）設(shè)動點(diǎn)M在線段上，判斷直線與平面位置關(guān)系，并說明理由.18．（12分）【閱讀材料1】我們在研究兩個變量之間的相關(guān)關(guān)系時，往往先選取若干個樣本點(diǎn)（），（），……，（），將樣本點(diǎn)畫在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，就得到樣本的散點(diǎn)圖.觀察散點(diǎn)圖，如果所有樣本點(diǎn)都落在某一條直線附近，變量之間就具有線性相關(guān)關(guān)系，如果所有的樣本點(diǎn)都落在某一非線性函數(shù)圖象附近，變量之間就有非線性相關(guān)關(guān)系.在統(tǒng)計(jì)學(xué)中經(jīng)常選擇線性或非線性（函數(shù)）回歸模型來刻畫相關(guān)關(guān)系，并且可以用適當(dāng)?shù)姆椒ㄇ蟪龌貧w模型的方程，還常用相關(guān)指數(shù)R2來刻畫回歸的效果，相關(guān)指數(shù)R2的計(jì)算公式為：當(dāng)R2越大時，回歸方程的擬合效果越好；當(dāng)R2越小時，回歸方程的擬合效果越差，R2是常用的選擇模型的指標(biāo)之一，在實(shí)際應(yīng)用中應(yīng)該盡量選擇R2較大的回歸模型.【閱讀材料2】2021年6月17日9時22分，我國酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心用長征二號F遙十二運(yùn)載火箭，成功將神舟十二號載人飛船送入預(yù)定軌道，順利將聶海勝、劉伯明、湯洪胺3名航天員送入太空，發(fā)射取得圓滿成功，這標(biāo)志著中國人首次進(jìn)入自己的空間站.某公司負(fù)責(zé)生產(chǎn)的A型材料是神舟十二號的重要零件，該材料應(yīng)用前景十分廣泛，該公司為了將A型材料更好地投入商用，擬對A型材料進(jìn)行應(yīng)用改造，根據(jù)市場調(diào)研與模擬，得到應(yīng)用改造投入x（億元）與產(chǎn)品的直接收益y（億元）的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下：序號123456789101112x2346810132122232425y1522274048546068.56867.56665當(dāng)0<x≤13時，建立了與的兩個回歸模型：模型①:；模型②:；當(dāng)x>13時，確定y與x滿足的線性回歸直線方程為.根據(jù)以上閱讀材料，解答以下問題：（1）根據(jù)下列表格中的數(shù)據(jù)，比較當(dāng)0<x≤13時模型①，②的相關(guān)指數(shù)R2的大小，并選擇擬合效果更好的模型.回歸模型模型①模型②回歸方程79.1320.2（2）當(dāng)應(yīng)用改造的投入為20億元時，以回歸直線方程為預(yù)測依據(jù)，計(jì)算公司的收益約為多少.附：①若最小二乘法求得回歸直線方程為，則；②③，當(dāng)時，.19．（12分）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，過作斜率為的弦.求：（1）弦的長；（2）△的周長.20．（12分）已知等比數(shù)列{}的各項(xiàng)均為正數(shù)，，，成等差數(shù)列，，數(shù)列{}的前n項(xiàng)和，且.（1）求{}和{}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，記數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為.求證：.21．（12分）已知圓M：的圓心為M，圓N：的圓心為N，一動圓與圓N內(nèi)切，與圓M外切，動圓的圓心E的軌跡為曲線C（1）求曲線C的方程；（2）已知點(diǎn)，直線l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，且，直線l是否過定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請說明理由22．（10分）在中，角的對邊分別為，且.（1）求；（2）若，的面積為，求.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】根據(jù)題意可得公差的范圍，再逐一分析各個選項(xiàng)即可得出答案.【詳解】解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，得，所以，故AB錯誤；若，則，與題意矛盾，故C錯誤；若，則，符合題意.故選：D.2、A【解析】構(gòu)造函數(shù)，再用積的求導(dǎo)法則求導(dǎo)計(jì)算得解.【詳解】令，則，求導(dǎo)得：，所以.故選：A3、A【解析】樣本中產(chǎn)品凈重小于100克的頻率為(0.050＋0.100)×2＝0.3，頻數(shù)為36，∴樣本總數(shù)為.∵樣本中凈重大于或等于98克并且小于104克的產(chǎn)品的頻率為(0.100＋0.150＋0.125)×2＝0.75，∴樣本中凈重大于或等于98克并且小于104克的產(chǎn)品的個數(shù)為120×0.75＝90.考點(diǎn)：頻率分布直方圖.4、A【解析】由，得，從而可得答案.【詳解】解：因?yàn)?，所以，即，解?故選：A.5、A【解析】設(shè)第所得錢數(shù)為錢，設(shè)數(shù)列、、、、的公差為，根據(jù)已知條件可得出關(guān)于、的值，即可求得的值.【詳解】設(shè)第所得錢數(shù)為錢，則數(shù)列、、、、為等差數(shù)列，設(shè)數(shù)列、、、、公差為，則，解得，故.故選：A.6、D【解析】求出橢圓的下焦點(diǎn)，即拋物線的焦點(diǎn)，即可得解.【詳解】解：橢圓的下焦點(diǎn)為，即為拋物線焦點(diǎn)，∴，∴.故選：D.7、A【解析】由雙曲線方程求出，再根據(jù)點(diǎn)在雙曲線的兩支之間，結(jié)合可求得答案【詳解】由，得，則，所以左焦點(diǎn)為，右焦點(diǎn)，則由雙曲線的定義得，因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線的兩支之間，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時取等號，所以的最小值為9，故選：A8、B【解析】根據(jù)互相垂直的兩直線的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】由，因此直線的斜率為，直線的斜率為，因?yàn)閮芍本€與互相垂直，所以，故選：B9、A【解析】設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，求得、所在直線的斜率，由斜率之積是列式整理即可得到點(diǎn)的軌跡方程，設(shè)，根據(jù)雙曲線的定義，從而求出的最小值；【詳解】解：設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，則直線的斜率；直線的斜率由已知有，化簡得點(diǎn)的軌跡方程為又，所以點(diǎn)的軌跡方程為，即點(diǎn)的軌跡為以、為頂點(diǎn)的雙曲線的左支（除點(diǎn)），因?yàn)椋O(shè)，由雙曲線的定義可知，所以，當(dāng)且僅當(dāng)、、三點(diǎn)共線時取得最小值，因?yàn)?，所以，所以，即的最小值為；故選：A10、A【解析】函數(shù)，若，，可得，解得或，則實(shí)數(shù)的取值范圍是，故選A.11、D【解析】根據(jù)互相垂直兩直線的斜率關(guān)系進(jìn)行求解即可.【詳解】由，所以直線的斜率為，由，所以直線的斜率為，因?yàn)橹本€與直線垂直，所以，故選：D12、B【解析】函數(shù)f（x）=x（lnx﹣ax），則f′（x）=lnx﹣ax+x（﹣a）=lnx﹣2ax+1，令f′（x）=lnx﹣2ax+1=0得lnx=2ax﹣1，函數(shù)f（x）=x（lnx﹣ax）有兩個極值點(diǎn)，等價于f′（x）=lnx﹣2ax+1有兩個零點(diǎn)，等價于函數(shù)y=lnx與y=2ax﹣1的圖象有兩個交點(diǎn)，在同一個坐標(biāo)系中作出它們的圖象（如圖）當(dāng)a=時，直線y=2ax﹣1與y=lnx的圖象相切，由圖可知，當(dāng)0＜a＜時，y=lnx與y=2ax﹣1的圖象有兩個交點(diǎn)則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（0，）故選B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】利用正弦定理表示出，再求t，再利用求的最大值即可.【詳解】在中，由正弦定理得，所以，，即求的最大值，也就是求t的最小值，而，即最大時，由橢圓的性質(zhì)知當(dāng)P為橢圓上頂點(diǎn)時最大，此時，，所以，所以的最大值是1，，所以，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓焦點(diǎn)三角形的問題，考查正弦定理的應(yīng)用.14、【解析】利用分層抽樣可求得的值，再利用分層抽樣可求得高二被抽取的人數(shù).【詳解】高一年級抽取的人數(shù)為：人，則，則高二被抽取的人數(shù)，故答案為：.15、4【解析】取點(diǎn)，可得，從而，，從而可求解【詳解】解：由圓，得圓心，半徑，取點(diǎn)A（3，0），則，又，∴，∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)直線時取等號故答案為：16、【解析】由等差中項(xiàng)的性質(zhì)求參數(shù)m，即可得曲線標(biāo)準(zhǔn)方程，進(jìn)而求其離心率.【詳解】由題意，，可得，所以圓錐曲線為，則，，故.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析（2）答案不唯一，見解析【解析】（1）利用折疊前后的線段長度及勾股定理求證即可；（2）動點(diǎn)M滿足時和，但時兩種情況，利用線線平行或相交得到結(jié)論.【小問1詳解】在折疊前的圖中，如圖：，E為上一點(diǎn)且，則，折疊后，所以，又，所以，所以為直角三角形.小問2詳解】當(dāng)動點(diǎn)M在線段上，滿足，同樣在線段上取，使得，則，當(dāng)時，則，又且所以，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面，所以此時平面；當(dāng)時，此時，但，所以四邊形為梯形，所以與必然相交，所以與平面必然相交.綜上，當(dāng)動點(diǎn)M滿足時，平面；當(dāng)動點(diǎn)M滿足，但時，與平面相交.18、（1）模型②擬合效果更好（2）69.1（億元）【解析】（1）分別求出兩個模型的相關(guān)指數(shù)，在進(jìn)行比較即可，（2）利用最小二乘法求出回歸方程，再求收益即可【小問1詳解】對于模型①，因?yàn)椋蕦?yīng)的，故對應(yīng)的相關(guān)指數(shù)，對于模型②，同理對應(yīng)的相關(guān)指數(shù)，故模型②擬合效果更好【小問2詳解】當(dāng)時，后五組的，由最小二乘法可得，所以當(dāng)時，確定y與x滿足的線性回歸直線方程為故當(dāng)投入20億元時，預(yù)測公司的收益約為：（億元）19、（1）；（2）.【解析】（1）聯(lián)立直線方程與雙曲線方程，求得交點(diǎn)的坐標(biāo)，再用兩點(diǎn)之間的距離公式即可求得；（2）根據(jù)（1）中所求，利用兩點(diǎn)之間的距離公式，即可求得三角形周長.【小問1詳解】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，由題意知雙曲線的左、右焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為、，直線的方程，與聯(lián)立得，解得，代入的方程為分別解得.所以.【小問2詳解】由（1）知，，，所以△的周長為.20、（1）（2）證明見解析【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由，，成等差數(shù)列，解得．由，利用通項(xiàng)公式解得，可得．由數(shù)列的前項(xiàng)和，且，時，，化簡整理即可得出；（2），利用裂項(xiàng)求和方法、數(shù)列的單調(diào)性即可證明結(jié)論【小問1詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，，，成等差數(shù)列，，即，化為：，解得，，即，解得，數(shù)列的前項(xiàng)和，且，時，，化為：，，數(shù)列是每項(xiàng)都為1的常數(shù)列，，化為【小問2詳解】證明：，數(shù)列的前項(xiàng)和為，21、（1），；（2）過，.【解析】（1）根據(jù)兩圓內(nèi)切和外切的性質(zhì)，結(jié)合雙曲線的定義進(jìn)行求解即可；（2）設(shè)出直線l的方程與雙曲線的方程聯(lián)立，利用一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系，結(jié)合平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示公式進(jìn)行求解判斷即可.【小問1詳解】設(shè)圓E的圓心為，半徑為r，則，，所以由雙曲線定義可知，E的軌跡是以M，N為焦點(diǎn)、實(shí)軸長為6的雙曲線的右支，所以動圓的圓心E的軌跡方程為，；【小問2詳解】設(shè)，，直線l的方程為由得，且，故又，所以又，，所以，即．又故或若，則直線l的方程為，過點(diǎn)，與題意矛盾，所以，故，所以直線l的方程為，過點(diǎn)【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.22、（1）；（2）.【解析】(1)由正弦定