第三章一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用第1節(jié)導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算學(xué)習(xí)導(dǎo)航站核心知識庫：重難考點(diǎn)總結(jié)，梳理必背知識、歸納重點(diǎn)考點(diǎn)1導(dǎo)數(shù)的概念★★★☆☆考點(diǎn)2導(dǎo)數(shù)的幾何意義★★★☆☆考點(diǎn)3基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式★★★☆☆考點(diǎn)4導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則★★★☆☆【知識拓展】公切線問題★★★☆☆（星級越高，重要程度越高）限時(shí)【變式訓(xùn)練】挑戰(zhàn)場：感知真題，檢驗(yàn)成果，考點(diǎn)追溯【知識梳理】1.導(dǎo)數(shù)的概念★★★☆☆(1)函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)記作f'(x0)或y'|x=x0,f'(x0)=(2)函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)f'(x)=limΔ2.導(dǎo)數(shù)的幾何意義★★★☆☆函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義就是曲線y=f(x)在點(diǎn)P(x0,f(x0))處的切線的斜率,相應(yīng)的切線方程為y-f(x0)=f'(x0)(x-x0).3.基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式★★★☆☆基本初等函數(shù)導(dǎo)函數(shù)f(x)=c(c為常數(shù))f'(x)=0f(x)=xα(α∈R,且α≠0)f'(x)=αxα-1f(x)=sinxf'(x)=cosxf(x)=cosxf'(x)=-sinxf(x)=ax(a>0,且a≠1)f'(x)=axlnaf(x)=exf'(x)=exf(x)=logax(a>0,且a≠1)f'(x)=1f(x)=lnxf'(x)=14.導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則★★★☆☆若f'(x),g'(x)存在,則有:(1)[f(x)±g(x)]'=f'(x)±g'(x);(2)[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x);(3)f(x)g(x)'=f'(4)[cf(x)]'=cf'(x).5.復(fù)合函數(shù)的定義及其導(dǎo)數(shù)★★★☆☆復(fù)合函數(shù)y=f(g(x))的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)y=f(u),u=g(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為yx'=yu'·ux',即y對x的導(dǎo)數(shù)等于y對u的導(dǎo)數(shù)與u對x的導(dǎo)數(shù)的乘積.【名師點(diǎn)撥】1.可導(dǎo)奇函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是偶函數(shù),可導(dǎo)偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是奇函數(shù),可導(dǎo)周期函數(shù)的導(dǎo)數(shù)還是周期函數(shù).2.曲線的切線與曲線的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)不一定只有一個(gè),而直線與二次曲線相切只有一個(gè)公共點(diǎn).并注意“在點(diǎn)P處的切線”,說明點(diǎn)P為切點(diǎn),點(diǎn)P既在曲線上,又在切線上;“過點(diǎn)P處的切線”,說明點(diǎn)P不一定是切點(diǎn),點(diǎn)P一定在切線上,但不一定在曲線上.3.函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù)f'(x)反映了函數(shù)f(x)的瞬時(shí)變化趨勢,其正負(fù)號反映了變化的方向,|f'(x)|的大小反映了f(x)圖象變化的快慢,|f'(x)|越大,曲線在這點(diǎn)處的切線越“陡”.【教材回歸】概念思考辨析+教材經(jīng)典改編1.思考辨析(在括號內(nèi)打“√”或“×”)(1)f'(x0)是函數(shù)y=f(x)在x=x0附近的瞬時(shí)變化率.()(2)函數(shù)f(x)=sin(-x)的導(dǎo)數(shù)f'(x)=cosx.()(3)求f'(x0)時(shí),可先求f(x0),再求f'(x0).()(4)與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線一定是曲線的切線.()2.(人教B選修三P87【典例】3改編)(多選)下列導(dǎo)數(shù)運(yùn)算中正確的是()A.(e5x-1)'=5e5x-1B.(ln(2x+1))'=2C.(2x?1)'D.sin2x+π33.(人教A選修二P81T6改編)已知函數(shù)f(x)滿足f(x)=f'π4cosx-sinx,則f'π4=4.(人教A選修二P82T11改編)已知曲線y=xex在點(diǎn)(1,e)處的切線與曲線y=alnx+2在點(diǎn)(1,2)處的切線平行,則a=.

【考向核心題型】考點(diǎn)一導(dǎo)數(shù)的概念【典例】1已知f(x)在x0處的導(dǎo)數(shù)f'(x0)=k,求下列各式的值:(1)limΔ(2)limΔ【變式訓(xùn)練】1(1)lim?A.0 B.2cosxC.cos2x D.2cos2x(2)若f'(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù),且f'(a)=-1,則limxA.-5 B.-4C.-1 D.0考點(diǎn)二導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算【典例】2求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):(1)y=x2sinx;(2)y=ln1+x(3)y=cosx(4)y=xsin2x+π【變式訓(xùn)練】2(1)(多選)(2025·河南名校調(diào)研)下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是()A.x+1x'B.(e2x)'=e2xC.(log2x)'=1D.cosxx'(2)(2025·常州質(zhì)檢)函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f'(x),若f(x)=x2+2xf'(2)-lnx,則f'(2)的值為.

考點(diǎn)三導(dǎo)數(shù)的幾何意義角度1求切線方程【典例】3(1)(2024·全國甲卷)設(shè)函數(shù)f(x)=ex+2sinx1+x2,則曲線y=A.16 B.C.12 D.(2)(2025·貴陽模擬)過點(diǎn)P(1,-3)作曲線y=2x3-3x的切線,切線的方程為.

角度2求切點(diǎn)坐標(biāo)或參數(shù)【典例】4(1)(2025·葫蘆島質(zhì)測)已知直線y=ax-1與曲線y=lnxx相切,則A.1 B.1eC.1?ln24 D.2e(2)(2025·昆明診斷)若曲線f(x)=2ax2+ln(x-1)存在垂直于y軸的切線,則a的取值范圍是()A.(-∞,1) B.(-∞,-1)C.(-∞,0) D.(-∞,e)【思維建模】求曲線的切線方程要分清“在點(diǎn)處”與“過點(diǎn)處”的切線方程的不同.過點(diǎn)處的切點(diǎn)坐標(biāo)不知道,要設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo),根據(jù):①斜率相等,②切點(diǎn)在切線上,③切點(diǎn)在曲線上建立方程(組)求解,求出切點(diǎn)坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵.【變式訓(xùn)練】3(1)(2025·太原調(diào)研)曲線y=1x+1+sinπ?2xA.y=x-1 B.x=1C.y=1 D.y=x+1(2)(2022·新高考Ⅰ卷)若曲線y=(x+a)ex有兩條過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線,則a的取值范圍是.

【知識拓展】公切線問題1.求兩條曲線的公切線,如果同時(shí)考慮兩條曲線與直線相切,頭緒會比較亂,為了使思路更清晰,一般是把兩條曲線分開考慮,先分析其中一條曲線與直線相切,再分析另一條曲線與直線相切,直線與拋物線相切可用判別式法.2.公切線條數(shù)的判斷問題可轉(zhuǎn)化為方程根的個(gè)數(shù)求解問題.一、共切點(diǎn)的公切線問題【典例】1(2025·濟(jì)南模擬)已知曲線y=lnx與曲線y=ax?1x在交點(diǎn)(1,0)處有相同的切線,A.1 B.12C.-12 D.-二、不共切點(diǎn)的公切線問題【典例】2(2025·杭州質(zhì)檢)若曲線f(x)=ex在x=1處的切線與曲線g(x)=lnx+a也相切,則a=()A.12 B.1C.32 【變式訓(xùn)練】(1)已知定義在(0,+∞)上的函數(shù)f(x)=x2-m,g(x)=6lnx-4x,設(shè)兩曲線y=f(x)與y=g(x)在公共點(diǎn)處的切線相同,則m等于()A.-3 B.1C.3 D.5(2)若直線y=4x+m是曲線y=x3-nx+13與曲線y=x2+2lnx的公切線,則n-m=()A.11 B.12 C.-8 D.-7【限時(shí)訓(xùn)練】（限時(shí)：60分鐘）一、單選題1.若函數(shù)f(x)滿足limΔx→0f(2+ΔA.2 B.1C.0 D.-12.(2025·廈門模擬)已知直線l與曲線y=x3-x在原點(diǎn)處相切,則l的傾斜角為()A.π6 B.πC.3π4 D.3.設(shè)函數(shù)f(x)在R上存在導(dǎo)函數(shù)f'(x),f(x)的圖象在點(diǎn)M(1,f(1))處的切線方程為y=12x+2,那么f(1)+f'A.1 B.2C.3 D.44.(2025·茂名模擬)曲線f(x)=ex+ax在點(diǎn)(0,1)處的切線與直線y=2x平行,則a=()A.-2 B.-1 C.1 D.25.函數(shù)y=f(x)的圖象如圖所示,f'(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù),則下列大小關(guān)系正確的是()A.2f'(3)<f(5)-f(3)<2f'(5)B.2f'(3)<2f'(5)<f(5)-f(3)C.f(5)-f(3)<2f'(3)<2f'(5)D.2f'(5)<2f'(3)<f(5)-f(3)6.(2025·衡陽模擬)若函數(shù)f(x)=x3+4與g(x)=x2-2x圖象的交點(diǎn)為A,則曲線y=f(x)在點(diǎn)A處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為()A.4 B.6 C.23 D.7.(2025·湖北八市聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)為偶函數(shù),其圖象在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程為x-2y+1=0,記f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f'(x),則f'(-1)=()A.-12 B.1C.-2 D.28.若函數(shù)f(x)=x2?2ax2+ln(x+1)的圖象上不存在互相垂直的切線A.a≤1 B.a<0C.a≥1 D.a≤0二、多選題9.下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是()A.x?1x'B.[log5(2x+1)]'=2C.(5x)'=5xlog5xD.(x2cosx)'=2xcosx-x2sinx10.(2025·鄭州調(diào)研)已知函數(shù)f(x)=x3-3x2+1的圖象在點(diǎn)(m,f(m))處的切線為lm,則()A.lm的斜率的最小值為-2B.lm的斜率的最小值為-3C.l0的方程為y=1D.l-1的方程為y=9x+611.(2025·石家莊質(zhì)測)過點(diǎn)A(1,2)與曲線f(x)=x3+x相切的直線方程為()A.2x+y-4=0 B.3x-y-1=0C.4x-y-2=0 D.7x-4y+1=0三、填空題12.(2025·南昌質(zhì)檢)已知f(x)=ex-f'(0)x,則f(2)=.

13.已知y=f(x)是可導(dǎo)函數(shù),如圖,直線y=kx+2是曲線y=f(x)在x=3處的切線,令g(x)=xf(x),g'(x)是g(x)的導(dǎo)函數(shù),則g'(3)=.

14.(2025·安徽名校聯(lián)考)已知曲線y=ex-1與曲線y=f(x)關(guān)于直線x-y=0對稱,則與兩曲線均