第37頁（共37頁）2025-2026學(xué)年上學(xué)期高二數(shù)學(xué)北師大版（2019）期末必刷?？碱}之空間向量與立體幾何一．選擇題（共6小題）1．在四棱錐P﹣ABCD中，AB→=(2，3，A．253 B．23 C．122．已知a→=(3，1A．30° B．60° C．150° D．120°3．已知a→=(1，3，A．6 B．﹣6 C．4 D．﹣44．如圖，在空間直角坐標(biāo)系中，有一棱長為2的正方體ABCD﹣A1B1C1D1，A1C的中點(diǎn)E到AB的距離為（）A．2 B．1 C．22 D．5．在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（1，0，0），B（1，0，1），C（1，1，1），則點(diǎn)A到直線BC的距離是（）A．1 B．2 C．2 D．226．如圖，空間四邊形OABC中，OA→=a→，OB→=b→，OC→=cA．12a→-1C．-12a→二．多選題（共3小題）（多選）7．在棱長為1的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，點(diǎn)F在底面ABCD內(nèi)運(yùn)動（含邊界），點(diǎn)E是棱CC1的中點(diǎn)，則（）A．若F是棱AD的中點(diǎn)，則EF∥平面AB1C B．若EF⊥平面B1D1E，則F是AC上靠近C的四等分點(diǎn) C．點(diǎn)E到平面B1D1C的距離為33D．若F在棱AB上運(yùn)動，則點(diǎn)F到直線B1E的距離最小值為2（多選）8．如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，PA⊥平面ABCD，A．BE→B．|BEC．異面直線BE與PA夾角的余弦值為66D．點(diǎn)E到平面BAC的距離為1（多選）9．在棱長為1的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，點(diǎn)F在底面ABCD內(nèi)運(yùn)動（含邊界）點(diǎn)E是棱CC1的中點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A．若AF→=λAD→，且EF∥平面ABB．若AF→=λAD→，則存在λ∈（0C．若EF⊥平面B1D1E，則AF→D．若AF→=λAB→，則直線AC1與平面三．填空題（共4小題）10．已知a→=(-3，2，4)，b→11．如圖，若平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1的所有棱長均為2，且AB→?CC1→=-2，則＜AB→，CC1→＞=12．已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為1，且滿足DE→=xDA→+yDC→+zDD1→，且13．已知上海地處東經(jīng)120°52′至122°12′，北緯30°40′至31°53′之間，地球半徑為6371.004km．則緯線所在兩平面的距離是．（精確到0.001km）四．解答題（共2小題）14．如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB∥CD，AB⊥AD，PA＝AD＝CD＝2AB．E為棱PC上一點(diǎn)，BE⊥PC，平面ABE與棱PD交于點(diǎn)F．（1）求證：F為PD的中點(diǎn)；（2）求證：平面PAD⊥平面PCD；（3）若AB＝1，求二面角B﹣FC﹣P的余弦值．15．如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BCA＝60°，AP＝AC＝AD＝2，E為CD的中點(diǎn)，M在AB上，且AM→（1）求證：EM∥平面PAD；（2）求平面PAD與平面PBC夾角的余弦值；（3）求點(diǎn)M到平面PCD的距離．

2025-2026學(xué)年上學(xué)期高二數(shù)學(xué)北師大版（2019）期末必刷?？碱}之空間向量與立體幾何參考答案與試題解析一．選擇題（共6小題）題號123456答案DCCDAC二．多選題（共3小題）題號789答案ABDACDACD一．選擇題（共6小題）1．在四棱錐P﹣ABCD中，AB→=(2，3，A．253 B．23 C．12【考點(diǎn)】空間中點(diǎn)到平面的距離；棱錐的結(jié)構(gòu)特征．【專題】轉(zhuǎn)化思想；分析法；空間向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】D【分析】求出平面ABCD的一個法向量，利用點(diǎn)到平面距離的向量求法計算可得結(jié)果．【解答】解：設(shè)平面ABCD的一個法向量為n→所以AB→?n令z＝2，可得x＝1，y＝0；所以n→則點(diǎn)P到平面ABCD的距離為|AP故選：D．【點(diǎn)評】此題考查用空間向量法求解點(diǎn)到平面距離，屬于簡單題．2．已知a→=(3，1A．30° B．60° C．150° D．120°【考點(diǎn)】空間向量的夾角與距離求解公式．【專題】整體思想；綜合法；平面向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】C【分析】利用空間向量的夾角公式求出cos?a→【解答】解：因?yàn)閍→=(3由題意可得cos?因?yàn)?°≤?a→故選：C．【點(diǎn)評】本題主要考查了向量的夾角公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．3．已知a→=(1，3，A．6 B．﹣6 C．4 D．﹣4【考點(diǎn)】空間向量的數(shù)量積判斷向量的共線與垂直．【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間向量及應(yīng)用；邏輯思維；運(yùn)算求解．【答案】C【分析】直接利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算和向量垂直的充要條件求出m的值．【解答】解：已知a→=(1，故m+6﹣2（m+1）＝0，解得m＝4．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查的知識點(diǎn)：向量垂直的充要條件，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．4．如圖，在空間直角坐標(biāo)系中，有一棱長為2的正方體ABCD﹣A1B1C1D1，A1C的中點(diǎn)E到AB的距離為（）A．2 B．1 C．22 D．【考點(diǎn)】空間中點(diǎn)到直線的距離及兩平行直線間的距離．【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；向量法；空間位置關(guān)系與距離；運(yùn)算求解．【答案】D【分析】先根據(jù)坐標(biāo)系求出E和AB的方向向量，再利用點(diǎn)到直線的距離的向量求法即可．【解答】解：∵正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為2，∴A1（2，0，2），C（0，2，0），A1C的中點(diǎn)E（1，1，1），A（2，0，0），B（2，2，0），∴AB→=(0，∴cos?AE→∴A1C的中點(diǎn)E到AB距離為：d=故選：D．【點(diǎn)評】本題主要考查點(diǎn)到直線距離的求法，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．5．在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（1，0，0），B（1，0，1），C（1，1，1），則點(diǎn)A到直線BC的距離是（）A．1 B．2 C．2 D．22【考點(diǎn)】空間中點(diǎn)到直線的距離及兩平行直線間的距離．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間位置關(guān)系與距離；空間向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】A【分析】根據(jù)向量法，即可求解．【解答】解：因?yàn)樵诳臻g直角坐標(biāo)系中，A（1，0，0），B（1，0，1），C（1，1，1），所以AB→=(0，所以點(diǎn)A到直線BC的距離是|AB→故答案為：A．【點(diǎn)評】本題考查點(diǎn)到直線的距離的求解，向量法的應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題．6．如圖，空間四邊形OABC中，OA→=a→，OB→=b→，OC→=cA．12a→-1C．-12a→【考點(diǎn)】空間向量基底表示空間向量．【專題】數(shù)形結(jié)合；向量法；空間向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】C【分析】根據(jù)向量加法、減法和數(shù)乘的幾何意義，向量的數(shù)乘運(yùn)算即可得解．【解答】解：根據(jù)條件：NA→=1所以NM→故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了向量加法、減法和數(shù)乘的幾何意義，向量的數(shù)乘運(yùn)算，是基礎(chǔ)題．二．多選題（共3小題）（多選）7．在棱長為1的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，點(diǎn)F在底面ABCD內(nèi)運(yùn)動（含邊界），點(diǎn)E是棱CC1的中點(diǎn)，則（）A．若F是棱AD的中點(diǎn)，則EF∥平面AB1C B．若EF⊥平面B1D1E，則F是AC上靠近C的四等分點(diǎn) C．點(diǎn)E到平面B1D1C的距離為33D．若F在棱AB上運(yùn)動，則點(diǎn)F到直線B1E的距離最小值為2【考點(diǎn)】空間中點(diǎn)到平面的距離；直線與平面平行．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；立體幾何；邏輯思維；運(yùn)算求解．【答案】ABD【分析】利用面面平行證明線面平行，判斷A；建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法判斷線面垂直判斷B；利用等體積法求得點(diǎn)到直線的距離C；利用向量法求得點(diǎn)到直線的距離判斷D．【解答】解：對于選項(xiàng)A，如圖，取DC的中點(diǎn)M，連接ME、MF，因?yàn)辄c(diǎn)M、F是CD、AD的中點(diǎn)，所以MF∥AC，因?yàn)镸F?平面AB1C，AC?平面AB1C，所以MF∥平面AB1C，同理ME∥DC1，且DC1∥AB1，所以ME∥AB1，因?yàn)镸E?平面AB1C，AB1?平面AB1C，所以ME∥平面AB1C，且ME∩MF＝M，ME、MF?平面MEF，所以平面MEF∥平面AB1C，因?yàn)镋F?平面MEF，所以EF∥平面AB1C，故選項(xiàng)A正確；對于選項(xiàng)B，若F是AC上靠近C的四等分點(diǎn)，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA、DC、DD1所在直線為坐標(biāo)軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，B1（1，1，1），D1（0，0，1），E(0，1所以EF→=(14，因?yàn)镋F→?B所以EF→即EF⊥B1D1，EF⊥B1E，且B1D1∩B1E＝B1，B1D1、B1E?平面B1D1E，所以EF⊥平面B1D1E，且過點(diǎn)E只有1條直線和平面B1D1E垂直，則點(diǎn)F是唯一的，點(diǎn)F是AC上靠近C的四等分點(diǎn)，故選項(xiàng)B正確；對于選項(xiàng)C，因?yàn)镋是棱CC1的中點(diǎn)，所以點(diǎn)E到平面B1D1C的距離為C1點(diǎn)到平面B1D1C的距離的12由題意可得△B1D1C是等邊三角形，且B1設(shè)C1點(diǎn)到平面B1D1C的距離為d，由VC所以13所以12解得d=所以點(diǎn)E到平面B1D1C的距離為36，故選項(xiàng)C對于選項(xiàng)D，若點(diǎn)F在棱AB上運(yùn)動，設(shè)F（1，y，0），0≤y≤1，B1E→則點(diǎn)F到BE的距離d1當(dāng)y＝1時，d的最小值為255，故選項(xiàng)故選：ABD．【點(diǎn)評】本題考查立體幾何綜合問題，以及向量法的應(yīng)用，屬于中檔題．（多選）8．如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，PA⊥平面ABCD，A．BE→B．|BEC．異面直線BE與PA夾角的余弦值為66D．點(diǎn)E到平面BAC的距離為1【考點(diǎn)】空間中點(diǎn)到平面的距離；異面直線及其所成的角；空間向量的數(shù)乘及線性運(yùn)算．【專題】轉(zhuǎn)化思想；向量法；空間位置關(guān)系與距離；運(yùn)算求解；空間想象．【答案】ACD【分析】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算可判斷選項(xiàng)A；以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法可求空間兩點(diǎn)間距離以及異面直線所成角，從而判斷選項(xiàng)B和C；根據(jù)點(diǎn)到平面距離的定義可判斷選項(xiàng)D．【解答】解：因?yàn)镻A⊥平面ABCD，AB，AD?平面ABCD，所以PA⊥AB，PA⊥AD，又四邊形ABCD為正方形，所以AB⊥AD，故AB，AD，AP兩兩互相垂直，以A為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A（0，0，0），B（2，0，0），P（0，0，2），E（0，1，1），選項(xiàng)A，BE→=BA選項(xiàng)B，BE→=(-2，選項(xiàng)C，因?yàn)锽E→所以直線BE與PA夾角的余弦值為|BE→?選項(xiàng)D，因?yàn)镻A⊥平面ABCD，所以點(diǎn)P到平面BAC的距離為PA＝2，又E是PD的中點(diǎn)，所以點(diǎn)E到平面BAC的距離為12PA=1故選：ACD．【點(diǎn)評】本題考查立體幾何的綜合應(yīng)用，熟練掌握空間向量的線性運(yùn)算，利用向量法求異面直線所成角，以及點(diǎn)到平面距離的定義是解題的關(guān)鍵，考查空間立體感，邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題．（多選）9．在棱長為1的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，點(diǎn)F在底面ABCD內(nèi)運(yùn)動（含邊界）點(diǎn)E是棱CC1的中點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A．若AF→=λAD→，且EF∥平面ABB．若AF→=λAD→，則存在λ∈（0C．若EF⊥平面B1D1E，則AF→D．若AF→=λAB→，則直線AC1與平面【考點(diǎn)】空間向量法求解直線與平面所成的角；平面的法向量．【專題】轉(zhuǎn)化思想；向量法；立體幾何；運(yùn)算求解．【答案】ACD【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法逐項(xiàng)計算．【解答】解：以D為原點(diǎn)，分別以DA、DC、DD1所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），D（0，0，0），A1（1，0，1），B1（1，1，1），C1（0，1，1），D1（0，0，1），所以E(0對于A：由AF→得DF→=DA→+λAD→=（1，0，0）+λ（﹣1，0，0所以F（1﹣λ，0，0），EF→AB1→因?yàn)镋F∥平面AB1C，所以EF→，AB1所以存在x，y∈R，EF→可得1-λ=-y對于B：由A，B1D1所以cos∠解得λ=87或λ＝4對于C：B1D1設(shè)平面B1D1E的法向量n→則B1D1令x＝1，則y＝﹣1，z＝﹣2，所以n→=(1，-1，-設(shè)F（a，b，0），則EF→因?yàn)镋F⊥平面B1D1E，所以?μ∈R，EF→所以a=μb所以F(所以AF→=(-34，34對于D：因?yàn)锳F→=λAB→，點(diǎn)F在底面ABCD內(nèi)運(yùn)動（含邊界），所以0且DF→=DA→+λAB→=（1，0，0）+λ（0，1，0）＝（1，λ，0設(shè)平面D1DF的法向量m→=(x1，所以m→?DF令x1＝λ，則y1＝﹣1，z1＝0，所以m→=(λ，-設(shè)直線AC1與平面D1DF所成角為θ，則sinθ=令t＝1+λ，則λ＝t﹣1，t∈[1，2]，所以sinθ=因?yàn)楹瘮?shù)y=2(1t-12)2+12在t所以sinθ的最小值為13=3即所求取值范圍是[33，故選：ACD．【點(diǎn)評】本題考查向量法在立體幾何中的應(yīng)用，屬于中檔題．三．填空題（共4小題）10．已知a→=(-3，2，4)，b→【考點(diǎn)】空間向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；空間向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】52【分析】利用空間向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示及模長的坐標(biāo)表示求解．【解答】解：向量b→=(1，則a→所以|a故答案為：52【點(diǎn)評】本題主要考查向量模公式，屬于基礎(chǔ)題．11．如圖，若平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1的所有棱長均為2，且AB→?CC1→=-2，則＜AB→，CC1→＞=【考點(diǎn)】空間向量的數(shù)量積運(yùn)算；異面直線及其所成的角．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間角；運(yùn)算求解．【答案】2π【分析】利用向量數(shù)量積計算公式計算可得?AB→，CC1→?【解答】解：因平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1的所有棱長均為2，且AB→故cos?因?yàn)?≤?AB→又異面直線所成角的范圍為(0，故異面直線AB與CC1所成角的大小為π-故答案為：2π【點(diǎn)評】本題考查空間向量的夾角公式及異面直線所成角的定義，屬基礎(chǔ)題．12．已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為1，且滿足DE→=xDA→+yDC→+zDD1→，且【考點(diǎn)】空間向量的數(shù)乘及線性運(yùn)算；空間中點(diǎn)到平面的距離．【專題】整體思想；綜合法；空間向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】23【分析】結(jié)合空間向量的線性運(yùn)算進(jìn)行轉(zhuǎn)化，結(jié)合共面定理可得，|DE→|的最小值為點(diǎn)D到平面D【解答】解：方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為1，且滿足DE→=xDA→+yDC→+z∴DE→-D由共面向量定理得，D1，E，A，C四點(diǎn)共面，即點(diǎn)E在平面D1AC上，則|DE→|的最小值為點(diǎn)D到平面D以D為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則D（0，0，0），A（2，0，0），C（0，2，0），D1（0，0，2），∴AC→=(-2，2，0)，AD1→設(shè)平面D1AC的法向量為n＝（x，y，z），則AC→?令x＝1，則n＝（1，1，1），則點(diǎn)D到平面D1AC的距離d=即|DE→|故答案為：23【點(diǎn)評】本題主要考查了空間向量在空間距離求解中的應(yīng)用，屬于中檔題．13．已知上海地處東經(jīng)120°52′至122°12′，北緯30°40′至31°53′之間，地球半徑為6371.004km．則緯線所在兩平面的距離是135.283km．（精確到0.001km）【考點(diǎn)】空間中兩平行平面間的距離及平行于平面的直線到平面的距離．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間位置關(guān)系與距離；邏輯思維．【答案】135.283km．【分析】先求出緯度差，兩緯線所在兩平面的距離為以地球?yàn)榘霃降膱A，角度為緯度差所對應(yīng)的弧長，由弧長公式能求出結(jié)果．【解答】解：∵上海地處東經(jīng)120°52′至122°12′，北緯30°40′至31°53′之間，緯度差為31°53′﹣30°40′＝1°13′，兩緯線所在兩平面的距離為以地球?yàn)榘霃降膱A，角度為1°13′所對應(yīng)的弧長，∵地球半徑為6371.004km，∴緯線所在兩平面的距離為：1°13′×π180×6371.004≈故答案為：135.283km．【點(diǎn)評】本題考查弧長公式、空間中面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．四．解答題（共2小題）14．如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB∥CD，AB⊥AD，PA＝AD＝CD＝2AB．E為棱PC上一點(diǎn)，BE⊥PC，平面ABE與棱PD交于點(diǎn)F．（1）求證：F為PD的中點(diǎn)；（2）求證：平面PAD⊥平面PCD；（3）若AB＝1，求二面角B﹣FC﹣P的余弦值．【考點(diǎn)】空間向量法求解二面角及兩平面的夾角；平面與平面垂直．【專題】對應(yīng)思想；綜合法；立體幾何；運(yùn)算求解．【答案】（1）由于PA⊥面ABCD，并且AB，AD?面ABCD，則可以得到PA⊥AB，且PA⊥AD，設(shè)AB＝1，則在Rt△PAB中，根據(jù)勾股定理可得PB=由于AB∥AD，并且AB⊥AD，AD＝CD＝2AB＝2，則BC=(2-1)2+2由于BE⊥PC，則可知E為PC的中點(diǎn)，由于AB∥CD，AB?面PCD，并且CD?面PCD，故可以得到AB∥面PCD，由于面ABEF∩面PCD＝EF，則AB∥EF，故CD∥EF，則可以證明F為PD的中點(diǎn)；（2）因?yàn)镻A＝AD，F(xiàn)為PD的中點(diǎn)，則AF⊥PD，由（1）易得EF∥CD，EF=12CD，又因?yàn)锳B∥所以可得EF∥AB，EF＝AB，則可知四邊形ABEF是平行四邊形，則BE∥AF，又因?yàn)锽E⊥PC，所以AF⊥PC，由于PC∩PD＝P，PC，PD?面PCD，則可以得到AF⊥面PCD，由于AF?面PAD，則面PAD⊥面PCD；（3）77【分析】（1）利用直線與平面的平行的判定定理和性質(zhì)定理證得AB∥EF，再結(jié)合三角形的中位線即得F為PD的中點(diǎn)；（2）利用直線與平面垂直求證出AF⊥平面PCD，再結(jié)合平面與平面的垂直判定定理求證即可；（3）根據(jù)題目條件，建立空間直角坐標(biāo)系，利用待定系數(shù)法求得平面BCF的法向量和平面PCD的法向量結(jié)合二面角B﹣FC﹣P的平面角是銳角從而求出二面角B﹣FC﹣P的余弦值．【解答】證明：（1）由于PA⊥面ABCD，并且AB，AD?面ABCD，則可以得到PA⊥AB，且PA⊥AD，設(shè)AB＝1，則在Rt△PAB中，根據(jù)勾股定理可得PB=由于AB∥AD，并且AB⊥AD，AD＝CD＝2AB＝2，則BC=(2-1)2+2由于BE⊥PC，則可知E為PC的中點(diǎn)，由于AB∥CD，AB?面PCD，并且CD?面PCD，故可以得到AB∥面PCD，由于面ABEF∩面PCD＝EF，則AB∥EF，故CD∥EF，則可以證明F為PD的中點(diǎn)；（2）因?yàn)镻A＝AD，F(xiàn)為PD的中點(diǎn)，則AF⊥PD，由（1）易得EF∥CD，EF=12CD，又因?yàn)锳B∥所以可得EF∥AB，EF＝AB，則可知四邊形ABEF是平行四邊形，則BE∥AF，又因?yàn)锽E⊥PC，所以AF⊥PC，由于PC∩PD＝P，PC，PD?面PCD，則可以得到AF⊥面PCD，由于AF?面PAD，則面PAD⊥面PCD；解：（3）建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系：則A（0，0，0），B（0，1，0），C（2，2，0），P（0，0，2），D（2，0，0），F(xiàn)（1，0，1），故BC→設(shè)平面BCF的一個法向量為m→則m?BC令x＝﹣1，則y＝2，z＝3，所以可得m→由（2）已證AF⊥面PCD，故AF→=(1，所以|cos由圖知二面角B﹣FC﹣P的平面角為銳角，所以二面角B﹣FC﹣P的余弦值為77【點(diǎn)評】本題主要考查面面垂直的判定以及二面角的平面角，屬于中檔題．15．如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BCA＝60°，AP＝AC＝AD＝2，E為CD的中點(diǎn)，M在AB上，且AM→（1）求證：EM∥平面PAD；（2）求平面PAD與平面PBC夾角的余弦值；（3）求點(diǎn)M到平面PCD的距離．【考點(diǎn)】空間向量法求解二面角及兩平面的夾角；空間中點(diǎn)到平面的距離；直線與平面平行．【專題】轉(zhuǎn)化思想；向量法；空間位置關(guān)系與距離；空間角；運(yùn)算求解；空間想象．【答案】（1）證明過程請見解答；（2）217；（3）1+【分析】（1）以A為原點(diǎn)建系，易得平面PAD的法向量m→，再證明EM（2）利用空間向量法求解面面角即可；（3）利用空間向量法求解點(diǎn)面距離即可．【解答】（1）證明：由題意知，AD，AC，AP兩兩垂直，故以A為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(0，0，0)，D(2，由AM→=2MB所以EM→易知平面PAD的一個法向量為m→所以EM→?n→=（-33-1）×0+0×又EM?平面PAD，所以EM∥平面PAD．（2）解：由（1）得PC→設(shè)平面PBC的法向量為n→=(x令x＝﹣1，得y=3，而平面PAD的一個法向量為m→所以cos＜n→，故平面PAD與平面PBC夾角的余弦值為217（3）解：由題意知，PC→設(shè)平面PCD的法向量為p→=(a令c＝1，得b＝1，a＝1，所以p→所以點(diǎn)M到平面PCD的距離為|EM【點(diǎn)評】本題考查立體幾何的綜合應(yīng)用，熟練掌握利用向量法證明線面平行，求面面角與點(diǎn)到平面的距離是解題的關(guān)鍵，考查空間立體感，邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題．

考點(diǎn)卡片1．棱錐的結(jié)構(gòu)特征【知識點(diǎn)的認(rèn)識】1．棱錐：有一個面是多邊形，其余各面是有一個公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面圍成的幾何體叫做棱錐．用頂點(diǎn)和底面各頂點(diǎn)的字母表示，例：S﹣ABCD．2．認(rèn)識棱錐棱錐的側(cè)面：棱錐中除底面外的各個面都叫做棱錐的側(cè)面．棱錐的側(cè)棱：相鄰側(cè)面的公共邊叫做棱錐的側(cè)棱．棱錐的頂點(diǎn)；棱錐中各個側(cè)面的公共頂點(diǎn)叫做棱錐的頂點(diǎn)．棱錐的高：棱錐的頂點(diǎn)到底面的距離叫做棱錐的高．棱錐的對角面；棱錐中過不相鄰的兩條側(cè)棱的截面叫做對角面．3．棱錐的結(jié)構(gòu)特征棱錐1根據(jù)棱錐的結(jié)構(gòu)特征，可知棱錐具有以下性質(zhì)：平行于底面的截面和底面相似，且它們的面積比等于截得的棱錐的高與原棱錐的高的比．4．棱錐的分類棱錐的底面可以是三角形、四邊形、五邊形…我們把這樣的棱錐分別叫做三棱錐、四棱錐、五棱錐…正棱錐：底面是正多邊形，并且頂點(diǎn)在底面內(nèi)的射影是底面中心，這樣的棱錐叫做正棱錐．正棱錐的各個側(cè)面都是全等的等腰三角形．5．棱錐的體積公式設(shè)棱錐的底面積為S，高為h，V棱錐=132．異面直線及其所成的角【知識點(diǎn)的認(rèn)識】1、異面直線所成的角：直線a，b是異面直線，經(jīng)過空間任意一點(diǎn)O，作直線a′，b′，并使a′∥a，b′∥b．我們把直線a′和b′所成的銳角（或直角）叫做異面直線a和b所成的角．異面直線所成的角的范圍：θ∈（0，π2]．當(dāng)θ＝902、求異面直線所成的角的方法：求異面直線的夾角關(guān)鍵在于平移直線，常用相似比，中位線，梯形兩底，平行平面等手段來轉(zhuǎn)移直線．3、求異面直線所成的角的方法常用到的知識：3．直線與平面平行【知識點(diǎn)的認(rèn)識】1、直線與平面平行的判定定理：如果平面外一條直線和這個平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行．用符號表示為：若a?α，b?α，a∥b，則a∥α．2、直線與平面平行的判定定理的實(shí)質(zhì)是：對于平面外的一條直線，只需在平面內(nèi)找到一條直線和這條直線平行，就可判定這條直線必和這個平面平行．即由線線平行得到線面平行．1、直線和平面平行的性質(zhì)定理：如果一條直線和一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線和交線平行．用符號表示為：若a∥α，a?β，α∩β＝b，則a∥b．2、直線和平面平行的性質(zhì)定理的實(shí)質(zhì)是：已知線面平行，過已知直線作一平面和已知平面相交，其交線必和已知直線平行．即由線面平行?線線平行．由線面平行?線線平行，并不意味著平面內(nèi)的任意一條直線都與已知直線平行．正確的結(jié)論是：a∥α，若b?α，則b與a的關(guān)系是：異面或平行．即平面α內(nèi)的直線分成兩大類，一類與a平行有無數(shù)條，另一類與a異面，也有無數(shù)條．4．平面與平面垂直【知識點(diǎn)的認(rèn)識】平面與平面垂直的判定：判定定理：如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直．平面與平面垂直的性質(zhì)：性質(zhì)定理1：如果兩個平面垂直，則在一個平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個平面．性質(zhì)定理2：如果兩個平面垂直，那么經(jīng)過第一個平面內(nèi)的一點(diǎn)垂直于第二個平面的直線在第一個平面內(nèi)．性質(zhì)定理3：如果兩個相交平面都垂直于第三個平面，那么它們的交線垂直于第三個平面．性質(zhì)定理4：三個兩兩垂直的平面的交線兩兩垂直．5．空間向量的數(shù)乘及線性運(yùn)算【知識點(diǎn)的認(rèn)識】1．空間向量的數(shù)乘運(yùn)算實(shí)數(shù)λ與空間向量a→的乘積λ①當(dāng)λ＞0時，λa→與②當(dāng)λ＜0時，λa→與③當(dāng)λ＝0時，λa④|λa→|＝|λ|?|aλa→的長度是a→的長度的|λ2．運(yùn)算律空間向量的數(shù)乘滿足分配律及結(jié)合律．（1）分配律：①λ②（λ+μ）a（2）結(jié)合律：λ注意：實(shí)數(shù)和空間向量可以進(jìn)行數(shù)乘運(yùn)算，但不能進(jìn)行加減運(yùn)算，如λ±【解題方法點(diǎn)撥】﹣標(biāo)量運(yùn)算：進(jìn)行數(shù)乘運(yùn)算時，將標(biāo)量與向量分量相乘．﹣線性組合：應(yīng)用線性組合公式，計算向量的線性組合結(jié)果．【命題方向】﹣向量數(shù)乘和線性運(yùn)算：考查如何進(jìn)行空間向量的數(shù)乘和線性組合運(yùn)算．6．空間向量的數(shù)量積運(yùn)算【知識點(diǎn)的認(rèn)識】1．空間向量的夾角已知兩個非零向量a→、b→，在空間中任取一點(diǎn)O，作OA→=a→，OB→=b→，則∠2．空間向量的數(shù)量積（1）定義：已知兩個非零向量a→、b→，則|a→||b→|cos＜a→，b→＞叫做向量a→與b→的數(shù)量積，記作a→?b→（2）幾何意義：a→與b→的數(shù)量積等于a→的長度|a→|與b→在a→的方向上的投影|b→|cosθ的乘積，或b→的長度|b→|與3．空間向量的數(shù)量積運(yùn)算律空間向量的數(shù)量積滿足交換律和分配律．（1）交換律：(λa→)?b→=λa（2）分配律：a→4．?dāng)?shù)量積的理解（1）書寫向量的數(shù)量積時，只能用符號a→?b→（2）兩向量的數(shù)量積，其結(jié)果是個實(shí)數(shù)，而不是向量，它的值為兩向量的模與兩向量夾角的余弦值的乘積，其符號由夾角的余弦值決定．（3）當(dāng)a→≠0→時，由a→?b→=【解題方法點(diǎn)撥】利用數(shù)量積求直線夾角或余弦值的方法：利用數(shù)量積求兩點(diǎn)間的距離：利用向量的數(shù)量積求兩點(diǎn)間的距離，可以轉(zhuǎn)化為求向量的模的問題，其基本思路是先選擇以兩點(diǎn)為端點(diǎn)的向量，將此向量表示為幾個已知向量的和的形式，求出這幾個已知向量的兩兩之間的夾角以及它們的模，利用公式|a→|=利用數(shù)量積證明垂直關(guān)系：（1）向量垂直只對非零向量有意義，在證明或判斷a→⊥b→時，須指明（2）證明兩直線的垂直可以轉(zhuǎn)化為證明這兩直線的方向向量垂直，將兩個方向向量表示為幾個已知向量a→，b→，c→【命題方向】求直線夾角或余弦值、兩點(diǎn)間的距離、證明垂直關(guān)系等問題最基本的是掌握數(shù)量積運(yùn)算法則的應(yīng)用，任何有關(guān)數(shù)量積計算問題都離不開運(yùn)算律的運(yùn)用．例：已知2a→+b→=（2，﹣4，1），且b→=（0，2，﹣1），則分析：通過2a→+b→=（2，﹣4，1），且b→=（0解答：∵2a→+b→=（2，﹣4，1），且b→=∴a→=（1，﹣3，∴a→?b→=1×0+2×（﹣3）+1×（﹣1故答案為：﹣7．點(diǎn)評：本題考查了空間向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．7．空間向量的夾角與距離求解公式【知識點(diǎn)的認(rèn)識】1．空間向量的夾角公式設(shè)空間向量a→=（a1，a2，a3），b→=（b1，b2cos＜注意：（1）當(dāng)cos＜a→，b→＞（2）當(dāng)cos＜a→，b→＞（3）當(dāng)cos＜a→，b→＞2．空間兩點(diǎn)的距離公式設(shè)A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2），則AB→dA，B＝|AB→|=【解題思路點(diǎn)撥】1．求空間兩條直線的夾角建系→寫出向量坐標(biāo)→利用公式求夾角2．求空間兩點(diǎn)的距離建系→寫出點(diǎn)的坐標(biāo)→利用公式求距離．【命題方向】（1）利用公式求空間向量的夾角例：已知A（2，﹣5，1），B（2，﹣2，4），C（1，﹣4，1），則向量AB→與ACA.30°B.45°C.60°D.90°分析：由題意可得：AB→=(0，3，3)，AC→=(-1，1，0)，進(jìn)而得到AB解答：因?yàn)锳（2，﹣5，1），B（2，﹣2，4），C（1，﹣4，1），所以AB→所以AB→?AC→═0×（﹣1）+3×1+3×0＝3，并且|AB→|＝32，所以cos＜AB→，∴AB→與AC故選C．點(diǎn)評：解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握由空間中點(diǎn)的坐標(biāo)寫出向量的坐標(biāo)與向量求模，以及由向量的數(shù)量積求向量的夾角，屬于基礎(chǔ)試題．（2）利用公式求空間兩點(diǎn)的距離例：已知空間直角坐標(biāo)系中兩點(diǎn)A（3，﹣1，2），B（0，﹣1，﹣2），則A，B兩點(diǎn)間的距離是（）A.3B.29C.25D分析：求出AB對應(yīng)的向量，然后求出AB的距離即可．解答：因?yàn)榭臻g直角坐標(biāo)系中兩點(diǎn)A（3，﹣1，2），B（0，﹣1，﹣2），所以AB→=（﹣3，0，﹣4），所以|故選D．點(diǎn)評：本題考查空間兩點(diǎn)的距離求法，考查計算能力．8．空間向量基底表示空間向量【知識點(diǎn)的認(rèn)識】1．空間向量基本定理如果三個向量a→，b→，c→不共面，那么對空間任一向量p→，存在一個唯一的有序?qū)崝?shù)組x，y，z，使p→=x任意不共面的三個向量都可作為空間的一個基底，a→，b→，2．單位正交基底如果空間的一個基底的三個基向量互相垂直，且長都為1，則這個基底叫做單位正交基底，常用{e1→，e2→【解題方法點(diǎn)撥】基底的判斷判斷三個向量能否作為基底，關(guān)鍵是判斷它們是否共面，若從正面判斷難以入手，可以用反證法結(jié)合共面向量定理或者利用常見的幾何圖形幫助進(jìn)行判斷．假設(shè)不能作為一個基底，看是否存在一對實(shí)數(shù)λ、μ使得a→﹣基底表示：任何空間向量v→都可以表示為基底向量的線性組合：v→=c1b→1+c2b﹣線性組合：通過解線性方程組找到系數(shù)c1，c2，c3．【命題方向】﹣基底表示：考查如何利用基底向量表示空間中的任意向量．9．空間向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示【知識點(diǎn)的認(rèn)識】1．空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算規(guī)律：設(shè)空間向量a→=(x（1）a（2）a（3）λ2．空間向量的坐標(biāo)表示：設(shè)空間兩點(diǎn)A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2），則AB→=OB→-OA→=（x2，y2，z2）﹣（x1，y1，z1）＝（x2﹣x1，y2﹣y【解題方法點(diǎn)撥】空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算：空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算和平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算類似，兩個向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算就是向量的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)、豎坐標(biāo)分別進(jìn)行加、減、數(shù)乘運(yùn)算；【命題方向】﹣?zhàn)鴺?biāo)表示：考查如何在坐標(biāo)系中進(jìn)行空間向量的線性運(yùn)算．10．空間向量的數(shù)量積判斷向量的共線與垂直【知識點(diǎn)的認(rèn)識】一、空間向量及其有關(guān)概念語言描述共線向量（平行向量）表示空間向量的有向線段所在的直線平行或重合．共面向量平行于同一平面的向量．共線向量定理對空間任意兩個向量a→，b→（b→≠0），a→∥b→?存在λ∈R共面向量定理若兩個向量a→，b→不共線，則向量p→與向量a→，b共面?存在唯一的有序?qū)崝?shù)對（x，y），使p→空間向量基本定理（1）定理：如果三個向量a→、b→、c不共面，那么對空間任一向量p→，存在有序?qū)崝?shù)組{x，y，z}使得p→=xa（2）推論：設(shè)O、A、B、C是不共面的四點(diǎn)，則對空間一點(diǎn)P都存在唯一的三個有序?qū)崝?shù)x、y、z使＝x+y+z且x+y+z＝1．二、數(shù)量積及坐標(biāo)運(yùn)算1．兩個向量的數(shù)量積（1）a→?b→＝|a→||b→|cos（2）a→⊥b→?a→?b→=0（3）|a→|2=a→2，|a2．向量的坐標(biāo)運(yùn)算a→=（a1，a2，a3），b→=（b1，b2向量和a→+b→=（a1+b1，a2+b2，a向量差a→-b→=（a1﹣b1，a2﹣b2，a數(shù)量積a→?b→=a1b1+a2b2+a共線a→∥b→?a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3（λ∈垂直a→⊥b→?a1b1+a2b2+a3b3夾角公式cos＜a→，11．平面的法向量【知識點(diǎn)的認(rèn)識】1、直線的方向向量：空間中任意一條直線l的位置可以由l上一個定點(diǎn)A以及一個定方向確定．直線l上的向量e→以及與e→共線的向量叫做直線①一條直線l有無窮多個方向向量，這些方向向量之間互相平行．②直線l的方向向量也是所有與l平行的直線的方向向量．2、方向向量的求法：可根據(jù)直線l上的任意兩點(diǎn)的坐標(biāo)寫出直線l的一個方向向量．3、平面的法向量：由于垂直于同一平面的直線是互相平行的，所以，可以用垂直于平面的直線的方向向量來刻畫平面的“方向”．如果表示向量n→的有向線段所在直線垂直于平面α，則稱這個向量垂直于平面，記作n→⊥α，如果n→⊥α，那么向量n①法向量一定是非零向量；②一個平面α有無窮多個法向量，這些法向量之間互相平行；③向量n→