第34頁（共34頁）2025-2026學(xué)年上學(xué)期高二數(shù)學(xué)人教A版（2019）期末必刷?？碱}之空間向量與立體幾何一．選擇題（共6小題）1．已知平面α的法向量為a→=(1，2，3)，平面β的法向量為b→A．﹣4 B．4 C．﹣10 D．102．在空間直角坐標(biāo)系中，A（2，3，5），B（3，1，4），則|AB|＝（）A．6 B．6 C．29 D．293．已知向量m→=(4，-3，2)A．﹣4 B．﹣1 C．1 D．44．如圖，在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，設(shè)a→=AA1→，b→=DA．BB1→ B．BC1→ C5．給定四面體ABCD．平面α滿足：①A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)均不在平面α上，也不在α的同側(cè)；②若平面α與四面體ABCD的棱有公共點(diǎn)，則該公共點(diǎn)一定是此棱的中點(diǎn)或兩個(gè)三等分點(diǎn)之一．設(shè)A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)到平面α的距離分別為di（i＝1，2，3，4），那么di的所有不同值的個(gè)數(shù)組成的集合為（）A．{1，2，3，4} B．{1，2，3} C．{1，2} D．{1}6．已知空間向量a→，b→，c→滿足a→+2A．-23 B．-34 C．4二．多選題（共3小題）（多選）7．如圖，平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，以A為頂點(diǎn)的三條棱長均為1，且兩兩之間的夾角都是60°，則下列說法中正確的是（）A．ACB．AC1⊥BD C．向量AA1→與B1D．BD1與AC所成角的余弦值為6（多選）8．以下說法正確的是（）A．設(shè)a→、b→是兩個(gè)空間向量，則a→、B．設(shè)a→、b→是兩個(gè)空間向量，則C．設(shè)a→、b→、c→是三個(gè)空間向量，則a→、b→、D．設(shè)a→、b→、c（多選）9．已知空間向量a→=(3，A．若2a→+b→B．若a→⊥b→，則C．若a→在b→上的投影向量為13bD．若a→與b→的夾角為鈍角，則m三．填空題（共4小題）10．在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，已知點(diǎn)A（0，2，﹣1），B（1，0，1），C（﹣1，4，﹣3），則AB→?AC→=11．已知空間向量a→=(1，0，1)，b→=(212．已知平面α的一個(gè)法向量為n→=（1，0，2），平面β的一個(gè)法向量為m→=(-2，0，-4)，則平面13．已知向量a→=（1，﹣2，m2-2），b→=（m，3，-m2-2），若（a→+四．解答題（共2小題）14．如圖，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝BC＝2，AA1＝3，AC⊥BC，D是AC的中點(diǎn)，E，F(xiàn)分別是棱AA1，BB1上的點(diǎn)，A1E＝BF＝1．（1）證明：BD∥平面CEF；（2）求平面ABC和平面CEF所成的二面角的正弦值．15．如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，△PAD為等邊三角形，平面PAD⊥平面ABCD，CD⊥AD，AD∥BC，AD＝CD＝2BC＝2，F(xiàn)為棱PB的中點(diǎn)，E為棱PD上一點(diǎn)．（1）求證：無論點(diǎn)E在棱PD的任何位置，都有CD⊥AE成立；（2）若E為PD中點(diǎn)，求平面AEF與平面PAD夾角的余弦值；（3）若E為PD中點(diǎn)，在棱PC上是否存在點(diǎn)G，使得DG∥平面AEF？若存在，求PGPC

2025-2026學(xué)年上學(xué)期高二數(shù)學(xué)人教A版（2019）期末必刷?？碱}之空間向量與立體幾何參考答案與試題解析一．選擇題（共6小題）題號(hào)123456答案BADBBA二．多選題（共3小題）題號(hào)789答案ABCBDAB一．選擇題（共6小題）1．已知平面α的法向量為a→=(1，2，3)，平面β的法向量為b→A．﹣4 B．4 C．﹣10 D．10【考點(diǎn)】平面的法向量；空間向量語言表述面面的垂直、平行關(guān)系．【專題】整體思想；綜合法；空間向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】B【分析】由空間向量平行的坐標(biāo)表示得結(jié)論．【解答】解：因?yàn)槠矫姒恋姆ㄏ蛄繛閍→=(1，2，因?yàn)棣痢桅拢詀→∥b解得m＝4．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查平面平行的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．2．在空間直角坐標(biāo)系中，A（2，3，5），B（3，1，4），則|AB|＝（）A．6 B．6 C．29 D．29【考點(diǎn)】空間兩點(diǎn)間的距離公式．【專題】整體思想；綜合法；空間位置關(guān)系與距離；運(yùn)算求解．【答案】A【分析】根據(jù)空間兩點(diǎn)間的距離公式求解即可．【解答】解：A（2，3，5），B（3，1，4），|AB故選：A．【點(diǎn)評】本題主要考查了空間兩點(diǎn)間距離公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．3．已知向量m→=(4，-3，2)A．﹣4 B．﹣1 C．1 D．4【考點(diǎn)】空間向量的數(shù)量積判斷向量的共線與垂直．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；空間向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】D【分析】由m→⊥n【解答】解：∵m→⊥n→，∴m→?n→=1×4-3故選：D．【點(diǎn)評】本題主要考查向量垂直的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．4．如圖，在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，設(shè)a→=AA1→，b→=DA．BB1→ B．BC1→ C【考點(diǎn)】空間向量基本定理、正交分解及坐標(biāo)表示．【專題】整體思想；綜合法；空間向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】B【分析】根據(jù)空間向量基本定理求解．【解答】解：由空間向量基本定理可知，空間中不共面的三個(gè)向量可以組成空間向量的一個(gè)基，對于A，若c→=B所以a→，b→，c→對于B，若c→因?yàn)锽C1→，AA1→，DB1→不對于C，若c→則DB1→所以a→，b→，c→對于D，若c→則BD1→=B即c→=2a→-b→，所以a→故選：B．【點(diǎn)評】本題主要考查了空間向量的基本定理，屬于基礎(chǔ)題．5．給定四面體ABCD．平面α滿足：①A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)均不在平面α上，也不在α的同側(cè)；②若平面α與四面體ABCD的棱有公共點(diǎn)，則該公共點(diǎn)一定是此棱的中點(diǎn)或兩個(gè)三等分點(diǎn)之一．設(shè)A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)到平面α的距離分別為di（i＝1，2，3，4），那么di的所有不同值的個(gè)數(shù)組成的集合為（）A．{1，2，3，4} B．{1，2，3} C．{1，2} D．{1}【考點(diǎn)】空間中點(diǎn)到平面的距離．【專題】分類討論；綜合法；空間位置關(guān)系與距離；邏輯思維．【答案】B【分析】根據(jù)題意，分類討論，確定平面αx的位置，結(jié)合點(diǎn)到平面的距離的定義，進(jìn)行分析判斷，即可求解．【解答】解：當(dāng)平面α與四面體ABCD的三條棱的中點(diǎn)相交時(shí)，不妨設(shè)平面α過棱AB，AC，AD的中點(diǎn)E，M，N，此時(shí)點(diǎn)A，B到平面α的距離相等，且平面α∥平面BCD，如圖（1）所示，此時(shí)B，C，D到平面α的距離可能與A，B到平面α的距離相同，此時(shí)di有1不同的值；不妨設(shè)平面α過棱AB的中點(diǎn)E，且過AC，AD分別為的三等分點(diǎn)M，N時(shí)，如圖（2）所示，此時(shí)點(diǎn)A，B到平面α的距離相等，且C，D到平面α的距離相等，且A，B到平面α的距離與C，D到平面α的距離不相等，此時(shí)di有2不同的值；不妨設(shè)平面α過棱AB，AD的中點(diǎn)E，N，且過AC分別為的三等分點(diǎn)M時(shí)，如圖（3）所示，此時(shí)點(diǎn)A，B，D到平面α的距離相等，其中A，B，D到平面α的距離與C到平面α的距離不相等，此時(shí)di有2不同的值；不妨設(shè)平面α過棱AB的中點(diǎn)E，過AC的靠近C的三等分點(diǎn)M，過AD靠近A點(diǎn)的三等分點(diǎn)N，此時(shí)A，B到平面α的距離不同，C，D到平面α的距離不同，且A，B，C，D到平面α的距離兩兩之間都可能不同，此時(shí)di有3個(gè)不同的值；又因?yàn)锳，B，C，D四個(gè)點(diǎn)均不在平面α上，也不在平面α的同側(cè)，所以di不能有4個(gè)不同的值（若有4個(gè)不同的值，四個(gè)點(diǎn)必然在平面α的同側(cè)），所以di的所有不同值的個(gè)數(shù)組成的集合為{1，2，3}．故選：B．【點(diǎn)評】本題主要考查空間中點(diǎn)到平面的距離，考查分類討論思想，屬于中檔題．6．已知空間向量a→，b→，c→滿足a→+2A．-23 B．-34 C．4【考點(diǎn)】空間向量的數(shù)量積運(yùn)算．【專題】整體思想；綜合法；空間向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】A【分析】由已知得-a【解答】解：因?yàn)閨a由a→+2b兩邊平方得a→所以9=8+9+12b所以b→故選：A．【點(diǎn)評】本題主要考查了向量數(shù)量積的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．二．多選題（共3小題）（多選）7．如圖，平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，以A為頂點(diǎn)的三條棱長均為1，且兩兩之間的夾角都是60°，則下列說法中正確的是（）A．ACB．AC1⊥BD C．向量AA1→與B1D．BD1與AC所成角的余弦值為6【考點(diǎn)】空間向量的夾角與距離求解公式；異面直線及其所成的角．【專題】轉(zhuǎn)化思想；向量法；空間向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】ABC【分析】根據(jù)題意，利用空間向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算，對選項(xiàng)中的命題進(jìn)行分析判斷，能求出結(jié)果．【解答】解：平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，以A為頂點(diǎn)的三條棱長均為1，且兩兩之間的夾角都是60°，∴AA1AA對于A，∵AC∴|AC1→|2＝（AA1→+∴|AC1→|=對于B，∵AC1→?BD=AD→∴AC1⊥BD，故B正確；對于C，B1∴|B1C→∴cos＜B1=-∴向量AA1→與B1C對于D，∵BD1→∴BD1→?AC=AD→∵|BD1→|AC→|=∴cos＜BD1故選：ABC．【點(diǎn)評】本題考查空間向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．（多選）8．以下說法正確的是（）A．設(shè)a→、b→是兩個(gè)空間向量，則a→、B．設(shè)a→、b→是兩個(gè)空間向量，則C．設(shè)a→、b→、c→是三個(gè)空間向量，則a→、b→、D．設(shè)a→、b→、c【考點(diǎn)】空間向量的共線與共面．【專題】整體思想；綜合法；空間向量及應(yīng)用；直觀想象．【答案】BD【分析】利用共面向量的定義可判斷AC選項(xiàng)的正誤；利用空間向量數(shù)量積的定義可判斷B選項(xiàng)的正誤；利用空間向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)可判斷D選項(xiàng)的正誤．【解答】解：對于A選項(xiàng)，任意兩個(gè)空間向量都共面，A錯(cuò)誤；對于B選項(xiàng)，由空間向量數(shù)量積的定義可知a→?b由于|a→|?|b→對于C選項(xiàng)，在△ABC中，AB→=a→，BC→=b→，CA→對于D選項(xiàng)，由空間向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)可得a→?(b故選：BD．【點(diǎn)評】本題主要考查了向量數(shù)量積的運(yùn)算及性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．（多選）9．已知空間向量a→=(3，A．若2a→+b→B．若a→⊥b→，則C．若a→在b→上的投影向量為13bD．若a→與b→的夾角為鈍角，則m【考點(diǎn)】空間向量的投影向量與投影；數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系；空間向量及其線性運(yùn)算．【專題】整體思想；綜合法；空間向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】AB【分析】利用空間向量的垂直、投影向量以及夾角問題的坐標(biāo)運(yùn)算，即可求解．【解答】解：向量a→=(3，對于A，因?yàn)?a→+b→=(10，對于B，因?yàn)閍→⊥b→，所以a→?b對于C，因?yàn)閍→在b→上的投影向量為a→即2m+6m2+25=13，化簡可得m因?yàn)棣ぃ?6﹣28＞0，所以m有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，C錯(cuò)誤．對于D，因?yàn)閍→與b→的夾角為鈍角，且a→與所以a→?b→=(3假設(shè)a→∥b→，則所以a→與b→的夾角為鈍角，則m＜﹣3，故選：AB．【點(diǎn)評】本題主要考查了空間向量的線性運(yùn)算及空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，屬于中檔題．三．填空題（共4小題）10．在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，已知點(diǎn)A（0，2，﹣1），B（1，0，1），C（﹣1，4，﹣3），則AB→?AC→=【考點(diǎn)】空間向量的數(shù)量積運(yùn)算．【專題】整體思想；綜合法；空間向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】﹣9．【分析】應(yīng)用空間向量的坐標(biāo)及數(shù)量積公式計(jì)算求解．【解答】解：因?yàn)锳（0，2，﹣1），B（1，0，1），C（﹣1，4，﹣3），所以AC→=（﹣1，2，﹣2），AB→=（1，﹣則AB→故答案為：﹣9．【點(diǎn)評】本題主要考查了空間向量數(shù)量積的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．11．已知空間向量a→=(1，0，1)，b→=(2【考點(diǎn)】空間向量的投影向量與投影．【專題】整體思想；綜合法；空間向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】(1，-【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算求|b→|【解答】解：因?yàn)閍→所以a→?b所以向量a→在向量b→上的投影向量為故答案為：(1，-【點(diǎn)評】本題主要考查了投影向量的定義，屬于基礎(chǔ)題．12．已知平面α的一個(gè)法向量為n→=（1，0，2），平面β的一個(gè)法向量為m→=(-2，0，-【考點(diǎn)】平面的法向量．【專題】整體思想；綜合法；空間向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】平行．【分析】先判斷m→【解答】解：因?yàn)閚→=（1，0，2），所以m→所以平面α和平面β平行．故答案為：平行．【點(diǎn)評】本題主要考查了利用向量判斷兩平面的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．13．已知向量a→=（1，﹣2，m2-2），b→=（m，3，-m2-2），若（a→+【考點(diǎn)】空間向量的數(shù)量積判斷向量的共線與垂直．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間向量及應(yīng)用；邏輯思維；運(yùn)算求解．【答案】﹣2【分析】直接利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算和向量的數(shù)量積運(yùn)算求出結(jié)果．【解答】解：向量a→=（1，﹣2，m2-2），b→=（m故a→+b→=（m+1，1，﹣4），a→-b→由于（a→+b→）⊥（a→-b所以m2+4m+4＝0，解得m＝﹣2．故答案為：﹣2．【點(diǎn)評】本題考查的知識(shí)點(diǎn)：向量的坐標(biāo)運(yùn)算，向量的數(shù)量積運(yùn)算，向量垂直的充要條件，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題，四．解答題（共2小題）14．如圖，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝BC＝2，AA1＝3，AC⊥BC，D是AC的中點(diǎn)，E，F(xiàn)分別是棱AA1，BB1上的點(diǎn)，A1E＝BF＝1．（1）證明：BD∥平面CEF；（2）求平面ABC和平面CEF所成的二面角的正弦值．【考點(diǎn)】空間向量法求解二面角及兩平面的夾角；直線與平面平行．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；立體幾何；運(yùn)算求解．【答案】（1）證明：取CE中點(diǎn)G，連接DG，F(xiàn)G，由D是AC中點(diǎn)得DG∥AE，DG=三棱柱ABC﹣A1B1C1中，由BB1∥AA1，BB1＝AA1＝3，由題意E，F(xiàn)分別是棱AA1，BB1上的點(diǎn)，A1E＝BF＝1，得AE＝2，所以BF∥DG，BF＝DG＝1，所以四邊形BDGF是平行四邊形，所以BD∥FG，因?yàn)镕G?平面CEF，BD?平面CEF，所以BD∥平面CEF．（2）53【分析】（1）取CE中點(diǎn)G，連接DG，F(xiàn)G，根據(jù)平行的傳遞性得四邊形BDGF是平行四邊形，從而利用線面平行的判定定理證明即可．（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面ABC和平面CEF的法向量，然后利用向量法求得二面角的余弦值，利用同角三角函數(shù)關(guān)系求解即可．【解答】（1）證明：取CE中點(diǎn)G，連接DG，F(xiàn)G，由D是AC中點(diǎn)得DG∥AE，DG=三棱柱ABC﹣A1B1C1中，由BB1∥AA1，BB1＝AA1＝3，由題意E，F(xiàn)分別是棱AA1，BB1上的點(diǎn)，A1E＝BF＝1，得AE＝2，所以BF∥DG，BF＝DG＝1，所以四邊形BDGF是平行四邊形，所以BD∥FG，因?yàn)镕G?平面CEF，BD?平面CEF，所以BD∥平面CEF．（2）解：在直三棱柱中，CC1⊥平面ABC，AC⊥BC，所以CC1，AC，BC兩兩垂直，以CB，CA，CC1所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系C﹣xyz，如圖所示，由AA1＝3，AC＝BC＝2，A1E＝BF＝1，知C（0，0，0），E（0，2，2），F(xiàn)（2，0，1），CE→=(0，設(shè)平面CEF的一個(gè)法向量為n→則n→?CE→=0，n即n→易知平面ABC的一個(gè)法向量為CC可得n→?CC1→=1×0+2×0+（﹣2）×3＝﹣6，|n→|=12所以cos＜n→，設(shè)平面ABC和平面CEF所成二面角為θ，可得|cosθ|＝|cos＜n→，CC所以sinθ=即平面ABC和平面CEF所成的二面角的正弦值為53【點(diǎn)評】本題考查線面平行的判定定理的應(yīng)用及面面所成的角的正弦值的求法，屬于中檔題．15．如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，△PAD為等邊三角形，平面PAD⊥平面ABCD，CD⊥AD，AD∥BC，AD＝CD＝2BC＝2，F(xiàn)為棱PB的中點(diǎn)，E為棱PD上一點(diǎn)．（1）求證：無論點(diǎn)E在棱PD的任何位置，都有CD⊥AE成立；（2）若E為PD中點(diǎn)，求平面AEF與平面PAD夾角的余弦值；（3）若E為PD中點(diǎn)，在棱PC上是否存在點(diǎn)G，使得DG∥平面AEF？若存在，求PGPC【考點(diǎn)】空間向量法求解二面角及兩平面的夾角；直線與平面平行．【專題】整體思想；綜合法；立體幾何；運(yùn)算求解．【答案】（1）證明：因?yàn)槠矫鍼AD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，CD⊥AD，AD?平面ABCD，所以CD⊥平面PAD，又AE?平面PAD，所以CD⊥AE；（2）1717（3）存在，PGPC【分析】（1）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理證明CD⊥平面PAD，然后得到CD⊥AE；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的方法求二面角即可；（3）設(shè)PG→=λPC→=(-λ，2【解答】（1）證明：因?yàn)槠矫鍼AD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，CD⊥AD，AD?平面ABCD，所以CD⊥平面PAD，又AE?平面PAD，所以CD⊥AE；（2）解：取AD中點(diǎn)O，連接OP，OB，因?yàn)镃D⊥平面ABCD，AD?平面PAD，所以CD⊥AD，因?yàn)镺為AD中點(diǎn)，△PAD為等邊三角形，所以PO⊥AD，AD＝2OD，因?yàn)槠矫鍼AD∩平面ABCD＝AD，PO?平面PAD，所以PO⊥平面ABCD，且AD＝2OD＝2BC，AD∥BC，所以四邊形OBCD為平行四邊形，AD⊥OB，以O(shè)為原點(diǎn)，分別以O(shè)A，OB，OP所在的直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，A（1，0，0），E(-12，0，因?yàn)镃D⊥平面PAD，所以m→=(0，設(shè)平面AEF的法向量為n→則AE→令x＝1，則y=-12，可得m→?n→=0×1+1×(-12)+0×3=-所以cos＜m→，所以平面AEF與平面PAD所成銳二面角的余弦值為1717（3）解：D（﹣1，0，0），C（﹣1，2，0），P(0，0，設(shè)PG→=λ因?yàn)镈G∥平面AEF，所以DG→?n所以在棱PC上存在點(diǎn)G使DG∥平面AEF，此時(shí)PGPC【點(diǎn)評】本題考查異面直線垂直的證法及兩個(gè)平面夾角的余弦值的求法，線面性質(zhì)垂直的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題．

考點(diǎn)卡片1．?dāng)?shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】向量是有方向的，那么在一個(gè)空間內(nèi)，不同的向量可能是平行，也可能是重合，也有可能是相交．當(dāng)兩條向量的方向互相垂直的時(shí)候，我們就說這兩條向量垂直．假如a→=（1，0，1），b→=（2，0，﹣2），那么a→與b→垂直，有a→?b→=1×【解題方法點(diǎn)撥】例：與向量(-35A：（3，﹣4）B：（﹣4，3）C：（4，3）D：（4，﹣3）解：對于A：∵(-35，45)?（3，﹣4）對于B：∵(-35，45)?（﹣4，3對于C：∵(-35，45)?（4，3對于D：∵(-35，45)?（4，﹣3故選：C．點(diǎn)評：分別求出向量(-35，45)和A，B，C【命題方向】向量垂直是比較喜歡考的一個(gè)點(diǎn)，主要性質(zhì)就是垂直的向量積為0，希望大家熟記這個(gè)關(guān)系并靈活運(yùn)用．2．異面直線及其所成的角【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、異面直線所成的角：直線a，b是異面直線，經(jīng)過空間任意一點(diǎn)O，作直線a′，b′，并使a′∥a，b′∥b．我們把直線a′和b′所成的銳角（或直角）叫做異面直線a和b所成的角．異面直線所成的角的范圍：θ∈（0，π2]．當(dāng)θ＝902、求異面直線所成的角的方法：求異面直線的夾角關(guān)鍵在于平移直線，常用相似比，中位線，梯形兩底，平行平面等手段來轉(zhuǎn)移直線．3、求異面直線所成的角的方法常用到的知識(shí)：3．直線與平面平行【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、直線與平面平行的判定定理：如果平面外一條直線和這個(gè)平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個(gè)平面平行．用符號(hào)表示為：若a?α，b?α，a∥b，則a∥α．2、直線與平面平行的判定定理的實(shí)質(zhì)是：對于平面外的一條直線，只需在平面內(nèi)找到一條直線和這條直線平行，就可判定這條直線必和這個(gè)平面平行．即由線線平行得到線面平行．1、直線和平面平行的性質(zhì)定理：如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線和交線平行．用符號(hào)表示為：若a∥α，a?β，α∩β＝b，則a∥b．2、直線和平面平行的性質(zhì)定理的實(shí)質(zhì)是：已知線面平行，過已知直線作一平面和已知平面相交，其交線必和已知直線平行．即由線面平行?線線平行．由線面平行?線線平行，并不意味著平面內(nèi)的任意一條直線都與已知直線平行．正確的結(jié)論是：a∥α，若b?α，則b與a的關(guān)系是：異面或平行．即平面α內(nèi)的直線分成兩大類，一類與a平行有無數(shù)條，另一類與a異面，也有無數(shù)條．4．空間兩點(diǎn)間的距離公式【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】空間兩點(diǎn)間的距離公式：已知空間兩點(diǎn)P（x1，y1，z1），Q（x2，y2，z2），則兩點(diǎn)的距離為，特殊地，點(diǎn)A（x，y，z）到原點(diǎn)O的距離為．5．空間向量及其線性運(yùn)算【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1．空間向量：在空間內(nèi)，我們把具有大小和方向的量叫做向量，用有向線段表示．2．向量的模：向量的大小叫向量的長度或模．記為|AB→|，|a特別地：①規(guī)定長度為0的向量為零向量，記作0→②模為1的向量叫做單位向量；3．相等的向量：兩個(gè)模相等且方向相同的向量稱為相等的向量．4．負(fù)向量：兩個(gè)模相等且方向相反的向量是互為負(fù)向量．如a→的相反向量記為-5．平行的向量：兩個(gè)方向相同或相反的向量稱為平行的向量．6．注意：①零向量的方向是任意的，規(guī)定0→②單位向量不一定相等，但單位向量的模一定相等且為1；③方向相同且模相等的向量稱為相等向量，因此，在空間，同向且等長的有向線段表示同一向量或相等向量；④空間任意兩個(gè)向量都可以通過平移成為共面向量；⑤一般來說，向量不能比較大小．1．加減法的定義：空間任意兩個(gè)向量都是共面的，它們的加、減法運(yùn)算類似于平面向量的加減法．空間向量和平面向量一樣滿足三角形法則和平行四邊形法則．2．加法運(yùn)算律：空間向量的加法滿足交換律及結(jié)合律．（1）交換律：a（2）結(jié)合律：(a3．推廣：（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起點(diǎn)指向末尾向量的終點(diǎn)的向量：A1（求空間若干向量之和時(shí)，可通過平移將它們轉(zhuǎn)化為首尾相接的向量）（2）首尾相接的若干向量若構(gòu)成一個(gè)封閉圖形，則它們的和為：零向量A11．空間向量的數(shù)乘運(yùn)算實(shí)數(shù)λ與空間向量a→的乘積λ①當(dāng)λ＞0時(shí)，λa→與②當(dāng)λ＜0時(shí)，λa→與③當(dāng)λ＝0時(shí)，λa④|λa→|＝|λ|?|aλa→的長度是a→的長度的|λ2．運(yùn)算律空間向量的數(shù)乘滿足分配律及結(jié)合律．（1）分配律：①λ②（λ+μ）a（2）結(jié)合律：λ注意：實(shí)數(shù)和空間向量可以進(jìn)行數(shù)乘運(yùn)算，但不能進(jìn)行加減運(yùn)算，如λ±6．空間向量的共線與共面【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1．定義（1）共線向量與平面向量一樣，如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量，記作a→∥b（2）共面向量平行于同一平面的向量叫做共面向量．2．定理（1）共線向量定理對于空間任意兩個(gè)向量a→、b→（b→≠0），a→（2）共面向量定理如果兩個(gè)向量a→、b→不共線，則向量p→與向量a→、b→共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對（x【解題方法點(diǎn)撥】空間向量共線問題：（1）判定向量共線就是充分利用已知條件找到實(shí)數(shù)λ，使a→=λb→（2）a→∥b→表示空間向量共面問題：（1）利用向量法證明點(diǎn)共面、線共面問題，關(guān)鍵是熟練地進(jìn)行向量表示，恰當(dāng)應(yīng)用向量共面的充要條件，解題過程中注意直線與向量的相互轉(zhuǎn)化．（2）空間一點(diǎn)P位于平面MAB內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對（x，y），使MP→=xMA→+yMB→證明三個(gè)向量共面的常用方法：（1）設(shè)法證明其中一個(gè)向量可表示成另兩個(gè)向量的線性組合；（2）尋找平面α，證明這些向量與平面α平行．【命題方向】1，考查空間向量共線問題例：若a→=（2x，1，3），b→=（1，﹣2y，9），如果A．x＝1，y＝1B．x=12，y=-12C．x=16，y=-分析：利用共線向量的條件b→=λa→解答：∵a→=（2x，1，3）與b→=（1，﹣2故有2x∴x=16，y故選C．點(diǎn)評：本題考查共線向量的知識(shí)，考查學(xué)生計(jì)算能力，是基礎(chǔ)題．2．考查空間向量共面問題例：已知A、B、C三點(diǎn)不共線，O是平面ABC外的任一點(diǎn)，下列條件中能確定點(diǎn)M與點(diǎn)A、B、C一定共面的是（）A．OM→=OA→+OB→+OC→B分析：根據(jù)共面向量定理OM→=m?OA→+n?解答：由共面向量定理OM→說明M、A、B、C共面，可以判斷A、B、C都是錯(cuò)誤的，則D正確．故選D．點(diǎn)評：本題考查共線向量與共面向量，考查學(xué)生應(yīng)用基礎(chǔ)知識(shí)的能力．是基礎(chǔ)題．7．空間向量的數(shù)量積運(yùn)算【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1．空間向量的夾角已知兩個(gè)非零向量a→、b→，在空間中任取一點(diǎn)O，作OA→=a→，OB→=b→，則∠2．空間向量的數(shù)量積（1）定義：已知兩個(gè)非零向量a→、b→，則|a→||b→|cos＜a→，b→＞叫做向量a→與b→的數(shù)量積，記作a→?b→（2）幾何意義：a→與b→的數(shù)量積等于a→的長度|a→|與b→在a→的方向上的投影|b→|cosθ的乘積，或b→的長度|b→|與3．空間向量的數(shù)量積運(yùn)算律空間向量的數(shù)量積滿足交換律和分配律．（1）交換律：(λa→)?b→=λa（2）分配律：a→4．?dāng)?shù)量積的理解（1）書寫向量的數(shù)量積時(shí)，只能用符號(hào)a→?b→（2）兩向量的數(shù)量積，其結(jié)果是個(gè)實(shí)數(shù)，而不是向量，它的值為兩向量的模與兩向量夾角的余弦值的乘積，其符號(hào)由夾角的余弦值決定．（3）當(dāng)a→≠0→時(shí)，由a→?b→=【解題方法點(diǎn)撥】利用數(shù)量積求直線夾角或余弦值的方法：利用數(shù)量積求兩點(diǎn)間的距離：利用向量的數(shù)量積求兩點(diǎn)間的距離，可以轉(zhuǎn)化為求向量的模的問題，其基本思路是先選擇以兩點(diǎn)為端點(diǎn)的向量，將此向量表示為幾個(gè)已知向量的和的形式，求出這幾個(gè)已知向量的兩兩之間的夾角以及它們的模，利用公式|a→|=利用數(shù)量積證明垂直關(guān)系：（1）向量垂直只對非零向量有意義，在證明或判斷a→⊥b→時(shí)，須指明（2）證明兩直線的垂直可以轉(zhuǎn)化為證明這兩直線的方向向量垂直，將兩個(gè)方向向量表示為幾個(gè)已知向量a→，b→，c→【命題方向】求直線夾角或余弦值、兩點(diǎn)間的距離、證明垂直關(guān)系等問題最基本的是掌握數(shù)量積運(yùn)算法則的應(yīng)用，任何有關(guān)數(shù)量積計(jì)算問題都離不開運(yùn)算律的運(yùn)用．例：已知2a→+b→=（2，﹣4，1），且b→=（0，2，﹣1），則分析：通過2a→+b→=（2，﹣4，1），且b→=（0解答：∵2a→+b→=（2，﹣4，1），且b→=∴a→=（1，﹣3，∴a→?b→=1×0+2×（﹣3）+1×（﹣1故答案為：﹣7．點(diǎn)評：本題考查了空間向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．8．空間向量的夾角與距離求解公式【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1．空間向量的夾角公式設(shè)空間向量a→=（a1，a2，a3），b→=（b1，b2cos＜注意：（1）當(dāng)cos＜a→，b→＞（2）當(dāng)cos＜a→，b→＞（3）當(dāng)cos＜a→，b→＞2．空間兩點(diǎn)的距離公式設(shè)A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2），則AB→dA，B＝|AB→|=【解題思路點(diǎn)撥】1．求空間兩條直線的夾角建系→寫出向量坐標(biāo)→利用公式求夾角2．求空間兩點(diǎn)的距離建系→寫出點(diǎn)的坐標(biāo)→利用公式求距離．【命題方向】（1）利用公式求空間向量的夾角例：已知A（2，﹣5，1），B（2，﹣2，4），C（1，﹣4，1），則向量AB→與ACA.30°B.45°C.60°D.90°分析：由題意可得：AB→=(0，3，3)，AC→=(-1，1，0)，進(jìn)而得到AB解答：因?yàn)锳（2，﹣5，1），B（2，﹣2，4），C（1，﹣4，1），所以AB→所以AB→?AC→═0×（﹣1）+3×1+3×0＝3，并且|AB→|＝32，所以cos＜AB→，∴AB→與AC故選C．點(diǎn)評：解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握由空間中點(diǎn)的坐標(biāo)寫出向量的坐標(biāo)與向量求模，以及由向量的數(shù)量積求向量的夾角，屬于基礎(chǔ)試題．（2）利用公式求空間兩點(diǎn)的距離例：已知空間直角坐標(biāo)系中兩點(diǎn)A（3，﹣1，2），B（0，﹣1，﹣2），則A，B兩點(diǎn)間的距離是（）A.3B.29C.25D分析：求出AB對應(yīng)的向量，然后求出AB的距離即可．解答：因?yàn)榭臻g直角坐標(biāo)系中兩點(diǎn)A（3，﹣1，2），B（0，﹣1，﹣2），所以AB→=（﹣3，0，﹣4），所以|故選D．點(diǎn)評：本題考查空間兩點(diǎn)的距離求法，考查計(jì)算能力．9．空間向量的投影向量與投影【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】﹣投影向量：向量a→在b→上的投影是﹣投影長度：投影的長度為|a【解題方法點(diǎn)撥】﹣計(jì)算投影：使用點(diǎn)積和向量模計(jì)算投影向量及其長度．【命題方向】﹣向量投影：考查如何計(jì)算向量在另一個(gè)向量上的投影及其長度．10．空間向量基本定理、正交分解及坐標(biāo)表示【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1．空間向量基本定理如果三個(gè)向量a→，b→，c→不共面，那么對空間任一向量p→，存在一個(gè)唯一的有序?qū)崝?shù)組x，y，z，使p→=x任意不共面的三個(gè)向量都可作為空間的一個(gè)基底，a→，b→，2．單位正交基底如果空間的一個(gè)基底的三個(gè)基向量互相垂直，且長都為1，則這個(gè)基底叫做單位正交基底，常用{e1→，e2→3．空間直角坐標(biāo)系在空間選定一點(diǎn)O和一個(gè)單位正交基底{e1→，e2→，e3→}，以點(diǎn)O為原點(diǎn)，分別以e1→，e2→，e3其中，點(diǎn)O叫做原點(diǎn)，向量e1→，e24．空間向量的坐標(biāo)表示對于空間任意一個(gè)向量p→，一定可以把它平移，使它的起點(diǎn)與原點(diǎn)O重合，得到向量OP→=p→，由空間向量基本定理可知，存在有序?qū)崝?shù)組{x，y，z}，使得p→=xe1→+ye2→+ze3→．把x【解題方法點(diǎn)撥】1．基底的判斷判斷三個(gè)向量能否作為基底，關(guān)鍵是判斷它們是否共面，若從正面判斷難以入手，可以用反證法結(jié)合共面向量定理或者利用常見的幾何圖形幫助進(jìn)行判斷．假設(shè)不能作為一個(gè)基底，看是否存在一對實(shí)數(shù)λ、μ使得a→2．空間向量的坐標(biāo)表示用坐標(biāo)表示空間向量的解題方法與步驟為：（1）觀察圖形：充分觀察圖形特征；（2）建坐標(biāo)系：根據(jù)圖形特征建立空間直角坐標(biāo)系；（3）進(jìn)行計(jì)算：綜合利用向量的加、減及數(shù)乘計(jì)算；（4）確定結(jié)果：將所求向量用已知的基向量表示出來．3．用基底表示向量用基底表示向量時(shí)，（1）若基底確定，要充分利用向量加法、減法的三角形法則和平行四邊形法則，以及數(shù)乘向量的運(yùn)算律進(jìn)行．（2）若沒給定基底時(shí)，首先選擇基底．選擇時(shí)，要盡量使所選的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夾角是否已知或易求．11．空間向量的數(shù)量積判斷向量的共線與垂直【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】一、空間向量及其有關(guān)概念語言描述共線向量（平行向量）表示空間向量的有向線段所在的直線平行或重合．共面向量平行于同一平面的向量．共線向量定理對空間任意兩個(gè)向量a→，b→（b→≠0），a→∥b→?存在λ∈R共面向量定理若兩個(gè)向量a→，b→不共線，則向量p→與向量a→，b共面?存在唯一的有序?qū)崝?shù)對（x，y），使p→空間向量基本定理（1）定理：如果三個(gè)向量a→、b→、c不共面，那么對空間任一向量p→，存在有序?qū)崝?shù)組{x，y，z}使得p→=xa（2）推論：設(shè)O、A、B、C是不共面的四點(diǎn)，則對空間一點(diǎn)P都存在唯一的三個(gè)有序?qū)崝?shù)x、y、z使＝x+y+z且x+y+z＝1．二、數(shù)量積及坐標(biāo)運(yùn)算1．兩個(gè)向量的數(shù)量積（1）a→?b→＝|a→||b→|cos（2）a→⊥b→?a→?b→=0（3）|a→|2=a→2，|a2．向量的坐標(biāo)運(yùn)算a→=（a1，a2，a3），b→=（b1，b2向量和a→+b→=（a1+b1，a2+b2，a向量差a→-b→=（a1﹣b1，a2﹣b2，a數(shù)量積a→?b→=a1b1+a2b2+a共線a→∥b→?a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3（λ