第②點在圓外，則設切線方程：，變成一般式：，因為與圓相切，利用圓心到直線的距離等于半徑，解出．注意：因為此時點在圓外，所以切線一定有兩條，即方程一般是兩個根，若方程只有一個根，則還有一條切線的斜率不存在，務必要把這條切線補上．（2）常見圓的切線方程過圓上一點的切線方程是；過圓上一點的切線方程是．過圓外一點作圓的兩條切線，則兩切點所在直線方程為過曲線上，做曲線的切線，只需把替換為，替換為，替換為，替換為即可，因此可得到上面的結論．（3）兩圓的公共弦方程為兩圓方程相減可得．題型八：公切線問題【例題8-1】已知圓．若圓與圓有三條公切線，則的值為___________．【答案】【解析】由，得，所以圓的圓心為，半徑為，因為圓，所以圓的圓心為，半徑為，因為圓與圓有三條公切線，所以圓與圓相外切，即，解得，所以的值為．故答案為：．【變式8-1】若直線與圓，圓都相切，切點分別為、，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】如下圖所示，設直線交軸于點，由于直線與圓，圓都相切，切點分別為、，則，，，，為的中點，為的中點，，由勾股定理可得．故選：C．【變式8-2】已知點M，N分別在圓與圓上，則的最大值為（

）A． B．17 C． D．15【答案】C【解析】圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑，則．故選：C【方法技巧與總結】利用幾何法進行轉化．題型九：圓中范圍與最值問題【例題9-1】已知直線與圓交于不同的兩點，，點，則的最大值為______．【答案】【解析】解由，得．設，，則，，因為，所以．令，則，，所以，當且僅當時等號成立．所以的最大值為．故答案為：．【變式9-1】直線分別與x軸?y軸相交于A?B兩點，點P在圓上運動，則面積的最小值為___________．【答案】2【解析】直線分別與軸，軸交于，兩點，，，則，點在圓上，圓心為，則圓心到直線距離，故點到直線的距離的范圍為，則．的最小值為．故答案為：．【變式9-2】若點M為圓上任意一點，直線過定點P，則的最大值為______．【答案】【解析】整理直線方程得，由，得，所以．由圓的方程知圓心，半徑，所以．故答案為：【變式9-3】當圓的圓心到直線的距離最大時，（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為圓的圓心為，半徑，又因為直線過定點A（-1，1），故當與直線垂直時，圓心到直線的距離最大，此時有，即，解得．故選：C．【變式9-4】已知圓．（1）直線過點，且與圓C相切，求直線的方程；（2）設直線與圓C相交于M，N兩點，點P為圓C上的一動點，求的面積S的最大值．【解析】（1）由題意得C（2，0），圓C的半徑為3．當直線的斜率存在時，設直線的方程為y－l＝k（x＋1），即kx－y＋k＋1＝0，由直線與圓C相切，得，解得，所以直線的方程為4x－3y＋7＝0．當直線的斜率不存在時，直線的方程為，顯然與圓C相切．綜上，直線的方程為x＝－1或4x－3y＋7＝0．（2）由題意得圓心C到直線的距離，設圓C的半徑為r，所以r＝3，所以，點P到直線距離的最大值為，則的面積的最大值．【方法技巧與總結】涉及與圓有關的最值，可借助圖形性質，利用數形結合求解．一般地：（1）形如的最值問題，可轉化為動直線斜率的最值問題．（2）形如的最值問題，可轉化為動直線截距的最值問題．（3）形如的最值問題，可轉化為曲線上的點到點（a，b）的距離平方的最值問題同步鞏固練習一、單選題1．設圓，圓，則圓，的公切線有（

）A．1條 B．2條 C．3條 D．4條【答案】B【解析】由題意，得圓，圓心，圓，圓心，∴，∴與相交，有2條公切線．故選：B．2．求與直線平行且將圓的周長平分的直線方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】圓的圓心坐標，所求直線將圓平分，則直線過圓的圓心，又因為與直線平行，則所求直線的斜率為，利用點斜式得到直線方程為，整理成一般式為故選：C3．設是圓上的動點，是圓的切線，且，則點到點距離的最小值為（

）A．4 B．5 C．6 D．15【答案】B【解析】由圓，可知圓心，半徑為3，又，所以，即點的軌跡方程為，故點到點距離的最小值為.故選：B.4．若點C到的距離之比為，則點C到直線的距離的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設，則，即，化簡得，所以點的軌跡為以為圓心，的圓，則圓心到直線的距離，所以點C到直線的距離的最小值為；故選：A.5．古希臘數學家阿波羅尼斯（約前262—前190年）的著作《圓錐曲線論》是古代光輝的科學成果，著作中有這樣一個命題：平面內與兩定點距離的比為常數且的點的軌跡是圓，后人將這個圓稱為阿波羅尼斯圓.已知，，圓上有且僅有一個點P滿足，則r的取值為（

）A．1 B．5 C．1或5 D．不存在【答案】C【解析】設點P∵即整理得：∴點P的軌跡為以為圓心，半徑的圓，∵圓的為圓心，半徑的圓，由題意可得：或∴或故選：C．二、填空題6．直線與半圓有兩個交點，則的值是____．【答案】【解析】由半圓，即，如圖所示，當直線在第三象限與半圓相切時，圓心到直線的距離，即，解得：或(舍去)，當直線過點時，直線與圓有兩個交點和，把代入中，可得，解得，則直線與圓有兩個交點時，的范圍是．故答案為：三、解答題7．已知圓，平面上一動點P滿足：且，.(1)求動點P的軌跡方程；(2)過點N的直線l（斜率為正）交圓G于A?C兩點，交P的軌跡于B?D兩點（A?B在第一象限），若，求直線l的方程.【解析】(1)設，則，整理得：.(2)由題知l斜率為正，設直線，則原點到直線l的距離為：，故，又圓，所以圓心，半徑為2，所以G到直線l的距離為：，故，又，所以，所以，整理得：，解得：，（舍負），所以直線l的方程為：.8．已知直線過定點，且與圓交于、兩點．(1)求直線的斜率的取值范圍．(2)若為坐標原點，直線、的斜率分別為、，試問是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由．【解析】（1）圓的標準方程為，圓心為，半徑為.若直線的斜率不存在，此時直線與圓相切，不合乎題意.所以，直線的斜率存在，設直線的方程為，由題意可得，解得.因此，直線的斜率的取值范圍是.（2）設，，設直線的方程為.聯立，得，其中，所以，，則，所以為定值.2．5直線與圓、圓與圓的位置關系隨堂檢測1.圓x2＋y2－2x＋4y＝0與直線2x+y+1＝0的位置關系為（）A．相離 B．相切 C．相交 D．以上都有可能【答案】C【解析】圓x2＋y2－2x＋4y＝0的圓心坐標為，半徑，圓心到直線2x+y+1＝0的距離由，可得圓與直線的位置關系為相交．故選：C2.過點作圓的切線，則切線方程為（

）A． B． C． D．或【答案】C【解析】由圓心為，半徑為，斜率存在時，設切線為，則，可得，所以，即，斜率不存在時，顯然不與圓相切；綜上，切線方程為．故選：C3.已知兩圓分別為圓和圓，這兩圓的位置關系是（

）A．相離 B．相交 C．內切 D．外切【答案】B【解析】由題意得，圓圓心，半徑為7；圓，圓心，半徑為4，兩圓心之間的距離為，因為，故這兩圓的位置關系是相交．故選：B．4.若直線y＝x+b與曲線x恰有一個公共點，則b的取值范圍是（）A．﹣1＜b≤1B．﹣1≤b≤1C．b≤﹣1D．﹣1＜b≤1或b【答案】D【解析】曲線x即x2+y2＝1（x≥0）表示一個半徑為1的半圓，如圖所示．當直線y＝x+b經過點A（0，1）時，求得b＝1，當直線y＝x+b經過點B（1，0）時，求得b＝﹣1，當直線和半圓相切于點D時，由圓心O到直線y＝x+b的距離等于半徑，可得1，求得b，或b（舍去）．故當直線y＝x+b與曲線x恰有一個公共點時b的取值范圍是﹣1＜b≤1或b，故選：D．5.如果圓上總存在兩個點到原點的距離為，則實數的取值范圍是（

）A．B．C．D．【答案】D【解析】問題可轉化為圓和圓相交，兩圓圓心距，由得，解得，即．故選：D6.已知直線過點且斜率為1，若圓上恰有3個點到的距離為1，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】直線過點且斜率為1，設，圓上恰有3個點到的距離為1，圓心到直線的距離等于半徑減去1，圓心到直線的距離為，解得．故選：D．7.過點作圓C：的兩條切線，切點分別為A，B，則直線AB的方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，即，圓心為，半徑．當斜率不存在時，直線與圓相切，切點為；當斜率為0時，直線與圓相切，切點為．故直線方程為斜率，直線方程為，即．故選：A．8.在平面直角坐標系中，圓：與圓：，則兩圓的公切線的條數是（

）A．4條 B．3條 C．2條 D．1條【答案】A【解析】圓：的圓心，半徑，圓：的圓心，半徑，，顯然，即圓與圓外離，所以兩圓的公切線的條數是4．故選：A9.已知點在圓上運動，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】看作圓上的點到點的直線的斜率的相反數．當經過點的直線與上半圓相切時，切線斜率最小，設切線方程為，所以圓心到切線的距離等于半徑，故，解得故當時，切線斜率最小，此時最大，最大值為，故選：C10.直線與圓C：相交于M，N兩點，則______．【答案】4【解析】圓C：，其圓心坐標為，半徑為3．圓心到直線2x－y＋1＝0的距離，則．故答案為：4．11.設圓的圓心為C，直線l過，且與圓C交于A，B兩點，若，則直線l的方程為___________．【答案】或【解析】當直線l的斜率不存在時，直線l的方程為，由，得或，此時，符合題意．當直線l的斜率存在時，設直線，因為圓的圓心，半徑，所以圓心C到直線l的距離．因為，所以，解得，所以直線l的方程為，即．綜上，直線l的方程為或．故答案為：或12.圓與圓的公共弦長為______．【答案】【解析】設圓：與圓：交于，兩點把兩圓方程相減，化簡得即：圓心到直線的距離，又而，所以故答案為：13.已知圓：與：相交于A、B兩點．（1）求公共弦AB所在的直線方程；（2）求圓