1/10專題14抽象函數(shù)性質全歸納目錄（Ctrl并單擊鼠標可跟蹤鏈接）TOC\o"1-2"\h\u典例詳解 3類型一、抽象函數(shù)的定義域 3類型二、抽象函數(shù)求值 5類型三、抽象函數(shù)的值域 7類型四、抽象函數(shù)的解析式（簡單應用） 9類型五、抽象函數(shù)的單調(diào)性 12類型六、抽象函數(shù)的奇偶性 16類型七、抽象函數(shù)的對稱性 22壓軸專練 26【注意：掌握模型可以快速解題】1、常見的抽象函數(shù)模型【反比例函數(shù)模型】反比例函數(shù)：，則，【一次函數(shù)模型】模型1：若，則；模型2：若，則為奇函數(shù)；模型3：若則；模型4：若則；【指數(shù)函數(shù)模型】（供提前了解）模型1：若，則；模型2：若，則；模型3：若，則；模型4：若，則；【對數(shù)函數(shù)模型】（供提前了解）模型1：若，則模型2：若，則模型3：若，則模型4：若，則模型5：若，則【冪函數(shù)模型】（供提前了解）模型1：若，則模型2：若，則代入則可化簡為冪函數(shù)；【正弦函數(shù)模型】（供提前了解）對于正弦函數(shù)

，與其對應的抽象函數(shù)為注：

此抽象函數(shù)對應于正弦平方差公式：【余弦函數(shù)模型】（供提前了解）對于余弦型函數(shù)

，涉及2種余弦的和差化積公式1、公式一：其抽象函數(shù)模型是：2、公式二：其抽象函數(shù)模型是：3、若，則【正切函數(shù)模型】（供提前了解）模型：若，則2、其他技巧（1）觀察不等式兩端的特點，化為同類函數(shù)；（2）借助函數(shù)的單調(diào)性，脫掉“”；（3）注意定義域及單調(diào)區(qū)間，特別是對數(shù)函數(shù)中真數(shù)大于0.類型一、抽象函數(shù)的定義域抽象函數(shù)的定義域的求法(1)若已知函數(shù)f(x)的定義域為[a，b]，則復合函數(shù)f(g(x))的定義域由a≤g(x)≤b求出．(2)若已知函數(shù)f(g(x))的定義域為[a，b]，則f(x)的定義域為g(x)在x∈[a，b]時的值域．注：求函數(shù)的定義域，一般是轉化為解不等式或不等式組的問題，注意定義域是一個集合，其結果必須用集合或區(qū)間來表示.1．（24-25高一上·云南楚雄·期末）已知函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由抽象函數(shù)定義域及具體函數(shù)定義域的概念構造不等式求解即可；【詳解】由題意：要使有意義，則解得，所以的定義域為．故選：C2．（24-25高一上·湖南株洲·期中）已知的定義域為，則的定義域為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】應用抽象函數(shù)定義域求解即可.【詳解】函數(shù)的定義域為，在中，由，得，所以的定義域為.故選：A3．（24-25高一上·重慶·期中）若函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)定義域滿足的不等式關系，即可列不等式組求解.【詳解】由于函數(shù)的定義域為，所以的定義域需要滿足：，解得或，故定義域為：故選：D4．（24-25高一上·遼寧鞍山·期中）已知函數(shù)的定義域為，則的定義域為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】通過中間函數(shù)過渡，即求出的定義域后可求．【詳解】在中，，∴，∴的定義域是，故在中，解得，∴的定義域是.故選：A.類型二、抽象函數(shù)求值一般采用賦值法，，x,-x是常見的賦值手段1．（24-25高一上·湖南衡陽·期末）若對任意恒成立，且，則（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】賦值可解.【詳解】由對任意恒成立，令，得，解得.故選：B.2．（24-25高一上·江蘇無錫·期中）已知函數(shù)滿足，且，則的值為（

）A． B． C． D．3【答案】A【分析】利用賦值法，分別令和令，列方程求得，再令，可得，最后令，可得.【詳解】由題意取令，可得，令，可得，所以，令，可得，所以，令，可得，所以.故選：A.3．已知函數(shù)的定義域為，且，，則的值是（

）A．9 B．10 C．11 D．12【答案】D【分析】由賦值法先得，再由與關系列式求解．【詳解】中令，則，中令，，則，又中令，則，所以，中，令，則，再令，，則．故選：D4．已知函數(shù)的定義域為，且，則（

）A．0 B．1 C．2024 D．2025【答案】D【分析】利用賦值法，先令求出，再令，結合方程組法可求解析式，則答案可得.【詳解】令可得，所以，再令可得，即①，將上式中的全部換成可得②，聯(lián)立①②可得,所以，故選：D5．（24-25高一上·河南開封·期中）已知函數(shù)的定義域為，都有，且，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】采用“賦值法”探索函數(shù)的性質.令，則，根據(jù)遞推關系，可以求解.【詳解】當時，，所以；令，得，所以；，，……，.故選：B【點睛】方法點睛：根據(jù)函數(shù)方程，采用“賦值法”，探索函數(shù)值之間的遞推關系，再求出，根據(jù)遞推關系可最終求解.類型三、抽象函數(shù)的值域1．（24-25高一上·北京·期中）定義域為的函數(shù)的值域為，則函數(shù)的值域為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由函數(shù)圖像的平移變換，即可得到結果.【詳解】因為函數(shù)是由函數(shù)向右或向左平移個單位得到，所以函數(shù)的值域與函數(shù)的值域相同.故選：B2．已知函數(shù)的定義域和值域均為，則函數(shù)的定義域和值域分別為（

）A．和 B．和C．和 D．和【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，利用抽象函數(shù)的定義域及值域求解判斷即可.【詳解】函數(shù)的定義域為，則在函數(shù)中，，解得，因此函數(shù)的定義域為；由函數(shù)的值域為，得函數(shù)的值域為，即，則，故函數(shù)的值域為.故選：C3．（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知函數(shù)的定義域為，值域為，則（

）A．函數(shù)的定義域為B．函數(shù)的值域為C．函數(shù)的定義域和值域都是D．函數(shù)的定義域和值域都是【答案】B【分析】根據(jù)題意，由抽象函數(shù)單調(diào)性的求解，逐一判斷，即可得到結果.【詳解】對于A選項：令，可得，所以函數(shù)的定義域為，故A選項錯誤；對于B選項：因為的值域為，所以的值域為，可得向下平移兩個單位的函數(shù)的值域也為，故B選項正確；對于C選項：令，得，所以函數(shù)的定義域為，故C選項錯誤；對于D選項：若函數(shù)的值域為，則，此時無法判斷其定義域是否為，故D選項錯誤.故選：B4．（24-25高一上·廣東廣州·月考）（多選題）已知函數(shù)的定義域為，值域為，則下列函數(shù)的值域也為的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】根據(jù)給定條件，結合圖象變換判斷AC；求出函數(shù)值域判斷BD.【詳解】對于A，的圖象可看作由的圖象向左平移一個單位得到的，值域不變，A正確；對于B，由，得，即的值域為，B錯誤；對于C，函數(shù)與函數(shù)的圖象關于軸對稱，則函數(shù)的值域與函數(shù)的值域相同，為，C正確；對于D，由，得，即的值域為，D錯誤.故選：AC5．（24-25高二下·浙江麗水·期末）已知定義在上的函數(shù)的值域是，則函數(shù)的值域是.【答案】【分析】根據(jù)函數(shù)圖象的關系，結合值域的定義分析即可【詳解】函數(shù)的圖象向左平移3個單位得到的圖象，因此函數(shù)的值域為，則函數(shù)的值域是.故答案為：.類型四、抽象函數(shù)的解析式1．（25-26高一上·江西南昌·月考）已知函數(shù)滿足，則的解析式是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】分別將替換為和，即可聯(lián)立方程求解.【詳解】當時，（1）在（1）中將替換為，則

（2）在（1）中將替換為，則

（3）可得：且故選：B.2．（24-25高一下·云南昭通·期末）已知函數(shù)的定義域為，且，若，則（

）A． B． C．為增函數(shù) D．為奇函數(shù)【答案】C【分析】利用賦值法求出、及的值，從而判斷AB；令，結合的值，可得，從而判斷CD.【詳解】對于A，令，則，又因為，所以，令，則，解得，故A錯誤；對于B，令，則，又，解得，故B錯誤；對于C，令，則有，又因為，所以，所以函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，故C正確；對于D，由C可知，為非奇非偶函數(shù)，故D錯誤.故選：C.3．（25-26高一上·廣東佛山·月考）已知定義在上的函數(shù)滿足（其中，），請寫出滿足條件的一個函數(shù)表達式．【答案】（答案不唯一）【分析】根據(jù)給定條件，取代入給定等式，再令并驗證即可.【詳解】由，取，得，令，此時，且，，符合題意，所以滿足條件的一個函數(shù)表達式為.故答案為：4．已知函數(shù)為定義在上的函數(shù)滿足以下兩個條件：（1）對于任意的實數(shù)x，y恒有；（2）在上單調(diào)遞減.請寫出滿足條件的一個.【答案】（答案不唯一）【分析】由（1）（2）可設,由可求，從而可求解.【詳解】由（1）（2）可設,由，可得，化簡可得.故的解析式可為.取可得滿足條件的一個.故答案為:.5．（2024高一·全國·專題練習）已知函數(shù)，對，都有恒成立，且．求的解析式；【答案】【分析】根據(jù)條件，通過賦值，，得到，再令，即可求出結果.【詳解】令，，則，又因為，所以，令，則，所以．類型五、抽象函數(shù)的單調(diào)性1、令式子中出現(xiàn)的變換判定單調(diào)性；2、單調(diào)性與對稱性（或奇偶性）結合解不等式問題①在上是奇函數(shù)，且單調(diào)遞增若解不等式，則有；在上是奇函數(shù)，且單調(diào)遞減若解不等式，則有；②在上是偶函數(shù)，且在單調(diào)遞增若解不等式，則有（不變號加絕對值）；在上是偶函數(shù)，且在單調(diào)遞減若解不等式，則有（變號加絕對值）；③關于對稱，且單調(diào)遞增若解不等式，則有；關于對稱，且單調(diào)遞減若解不等式，則有；④關于對稱，且在單調(diào)遞增若解不等式，則有（不變號加絕對值）；關于對稱，且在單調(diào)遞減若解不等式，則有（不變號加絕對值）；1．（2025高一上·黑龍江·專題練習）已知函數(shù)對任意的，都有，且當時，．(1)求證：是上的增函數(shù)；(2)若，解不等式．【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】（1）由已知條件，結合函數(shù)單調(diào)性的定義證明；（2）利用賦值法求得，再利用（1）所得函數(shù)單調(diào)性解不等式.【詳解】（1）設，且，則，即，∴，∴，∴是上的增函數(shù)；（2）∵，取，則，于是等價于，即，由（1）知是上的增函數(shù)，∴，解得，∴原不等式的解集為.2．（2025高一上·全國·專題練習）已知函數(shù)的定義域為，，當時，.(1)求的值；(2)判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，并給出證明；(3)解不等式.【答案】(1)(2)單調(diào)遞減，證明見解析(3)【分析】（1）令，代入題意中的等式即可求解；（2）由題意可得，令，，利用定義法即可證明函數(shù)的單調(diào)性；（3）將原不等式轉化為，由（1）得，利用函數(shù)的單調(diào)性建立不等式組，解之即得.【詳解】（1）在中，令，則，得.（2）函數(shù)在上單調(diào)遞減.證明如下：當時，有，且當時，，且，則，.由，得，有，即，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減.（3）由，得，由，得，即，由（1）知，所以，由（2）知函數(shù)在上為單調(diào)減函數(shù)，所以，解得，即原不等式的解集為.3．（25-26高一上·河南南陽·月考）已知函數(shù)的定義域為，且，當時，．(1)求，的值．(2)證明：．(3)判斷在上的單調(diào)性，并給出證明．(4)求不等式的解集．【答案】(1)，(2)證明見解析(3)在上單調(diào)遞減，證明見解析(4)【分析】（1）根據(jù)條件，通過賦值，即可求解；（2）利用（1）中結果得，再結合條件，即可求證；（3）利用單調(diào)函數(shù)的定義，令，，結合條件，得到，再結合（2）中結果，即可求解；（4）根據(jù)函數(shù)，利用（3）中結果，得的單調(diào)性，從而將問題轉化成解不等式，即可求解.【詳解】（1）令，，得．由題意得，所以，得．令，得，得．（2）由（1）得．當時，，，得．又，當時，，所以．（3）在上單調(diào)遞減．證明如下，任取，且，令，，則，得．因為，所以，得．由（2）可知，由，得，所以在上單調(diào)遞減．（4）設函數(shù)，因為在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減．由，得．由，得，則等價于，所以，得．故不等式的解集為．類型六、抽象函數(shù)的奇偶性令式子中出現(xiàn)及判定抽象函數(shù)的奇偶性1．若函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，函數(shù)是偶函數(shù)，則（

）A．2 B．0 C．60 D．62【答案】B【分析】根據(jù)題意，可得，又，令，得解.【詳解】因為函數(shù)是R上的奇函數(shù)，所以，又函數(shù)是偶函數(shù)，則，令，.故選：B.2．已知是定義在上不恒為的函數(shù)，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先根據(jù)為奇函數(shù)，得，然后根據(jù)為偶函數(shù)，得，然后通過對進行賦值進行求解即可.【詳解】由于為奇函數(shù)，可得：，令，得：，解得：；又為偶函數(shù)，則，令，得：.故選：A3．（23-24高一上·湖北·期中）（多選題）已知函數(shù)的定義域為R，，則（

）A． B． C．是奇函數(shù) D．是偶函數(shù)【答案】ABD【分析】A選項，令得到；B選項，令得到；CD選項，先賦值求出，進而令得到，得到C錯誤，D正確.【詳解】A選項，中，令得，，A正確；B選項，中，令得，，解得，B正確；CD選項，中，令得，，解得，中，令得，，函數(shù)的定義域為R，故為偶函數(shù)，C錯誤，D正確.故選：ABD4．已知定義在上的奇函數(shù)滿足，則.【答案】2026【分析】法一：由題意利用列舉法寫出函數(shù)值，整理等式可得遞推公式，根據(jù)累加法，可得答案；法二：由題意利用列舉法寫出函數(shù)值，設出函數(shù)解析式，利用等式檢驗，可得答案.【詳解】法一：由函數(shù)是上的奇函數(shù)，則，由，令，則；則，由.法二：由函數(shù)是上的奇函數(shù)，則，由，令，則；由，令，則；設，則，，即，符合題意，所以.故答案為：.5．定義在上的函數(shù)，對任意，，都有，且當時，.(1)證明：在上單調(diào)遞減.(2)求不等式的解.【答案】(1)證明見解析(2)或【分析】（1）對變量進行合理的賦值，令，，可證得的單調(diào)性；（2）先證明偶函數(shù)，利用單調(diào)性與奇偶性解抽象不等式.【詳解】（1）證明：令，，設，則，且，所以，即，又當時，，所以所以，所以在上單調(diào)遞減.（2）令，則，令，則.令，則，所以為偶函數(shù).又在上單調(diào)遞減，由，可得或，則或，所以不等式的解集為或.6．（24-25高一上·云南大理·期中）已知函數(shù)的定義域為R，并且滿足下列條件：對任意，都有，，當時，.(1)求；(2)證明：為奇函數(shù)；(3)解不等式.【答案】(1)，；(2)證明見解析；(3).【分析】（1）由題意賦值得，再賦值和即可求解.（2）賦值結合奇函數(shù)定義即可證明.（3）先由函數(shù)單調(diào)性的定義證明函數(shù)在R上單調(diào)遞減，再結合即可將不等式等價轉化為，解該不等式即可得解.【詳解】（1）令，則，，令，，則，，，.（2）函數(shù)的定義域為，則定義域關于原點對稱，對任意，都有，由（1）知，.令，則，即，是奇函數(shù).（3）任取，且，所以，則由題意得，所以，，，在上為減函數(shù).因為，，解得，的解集為.7．（2025高一上·吉林·專題練習）定義在非零實數(shù)集上的函數(shù)滿足且是區(qū)間上的遞增函數(shù).(1)求的值；(2)證明：函數(shù)是偶函數(shù)；(3)解不等式.【答案】(1),(2)證明見解析(3)或【分析】（1）分別令，令即可求解.（2）令，根據(jù)偶函數(shù)的定義即可判斷；（3）利用函數(shù)的性質把不等式變形為，畫出函數(shù)的大致圖像即可解出不等式.【詳解】（1）令，則,令，則,.（2）令，則，∴為定義域上的偶函數(shù).（3）據(jù)題意可知，函數(shù)圖象大致如下：

，或，或所以原不等式的解集為或類型七、抽象函數(shù)的對稱性1、對稱軸：或者關于對稱；2、對稱中心：或者關于對稱；3、如果同時關于對稱，又關于對稱，則的周期1．已知函數(shù)的圖象關于直線對稱，且在(－∞，]上單調(diào)遞增，，，，則a，b，c的大小關系為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由的圖象關于對稱，將問題轉化為比較，，的大小.【詳解】的圖象關于對稱，所以，又因為在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞減，所以.故選：B.2．（24-25高一上·安徽蚌埠·期末）若函數(shù)是奇函數(shù)，則下列各點一定是函數(shù)圖象對稱中心的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用函數(shù)的圖象變換求解.【詳解】因為函數(shù)是奇函數(shù)，所以函數(shù)的圖象關于原點對稱，又函數(shù)的圖象是的圖象向左平移1個單位，向上平移2個單位得到的，所以函數(shù)圖象對稱中心的是，故選：B3．（23-24高一上·北京大興·期中）定義在R上的函數(shù)在上是增函數(shù)，且對任意恒成立，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性和對稱性求解即可.【詳解】因為對任意恒成立，所以函數(shù)關于對稱，所以，又因為函數(shù)在上是增函數(shù)，所以，所以.故選：A4．（25-26高一上·貴州銅仁·月考）已知函數(shù)的定義域為，，是偶函數(shù)，且在單調(diào)遞增，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】分析函數(shù)的對稱性與單調(diào)性，逐項判斷即可.【詳解】因為函數(shù)的定義域為，且是偶函數(shù)，則對任意的，，故函數(shù)的圖象關于直線對稱，所以，因為函數(shù)在單調(diào)遞增，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，對于A選項，，A錯；對于B選項，，B對；對于C選項，，C錯；對于D選項，與的大小關系不確定，D錯.故選：B.5．已知函數(shù)滿足為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，則下列一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)給定條件，分析函數(shù)的性質，再逐項判斷.【詳解】函數(shù)的定義域為，由是偶函數(shù)，得，即，得函數(shù)的圖象關于對稱由為奇函數(shù)，得，得函數(shù)的圖象關于點對稱，所以，由，令，得，故A項正確；由函數(shù)的圖象關于點對稱，得，但無法判斷，故B，C兩項錯誤；由，令，得，由，令，得，得，則也無法判斷，故D項錯誤．故選：A6．（2025高一上·全國·專題練習）已知函數(shù)的定義域為R，，，則下列結論錯誤的是（）A． B．是奇函數(shù)C． D．的圖象關于點對稱【答案】D【分析】利用賦值法可得，即可判斷A，利用，即可根據(jù)奇函數(shù)的定義判斷B，結合奇函數(shù)的性質，即可求解C，利用可判斷的圖象關于點對稱，即可判斷D.【詳解】對于A，取，則，即，得，故A正確；對于B，取，則，得，故是奇函數(shù)，B正確；對于C，對任意的都有，可得，即，因此，故C正確；對于D，由于，因此的圖象關于點對稱，故D錯誤.故選：D.7．（25-26高一上·甘肅·期中）（多選題）定義在上的奇函數(shù)滿足，則下列結論一定成立的是（

）A．B．C．是函數(shù)圖象的一個對稱中心D．為偶函數(shù)【答案】BCD【分析】由給定等式可得，再利用奇偶函數(shù)的性質，結合對稱性的意義逐項判斷得解.【詳解】由函數(shù)的定義域為，，得，對于A，由函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，得，令，得，A錯誤；對于B，由，且為奇函數(shù)，得，B正確；對于C，由，得，，因此，是函數(shù)圖象的一個對稱中心，C正確；對于D，由，得，函數(shù)是偶函數(shù)，因此函數(shù)為偶函數(shù)，D正確.故選：BCD1．（24-25高一上·吉林長春·期中）若函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)抽象函數(shù)的定義域即可得到答案.【詳解】令，則，則，解得，即定義域為.故選：A.2．（24-25高一上·浙江·月考）已知函數(shù)的定義域和值域都是，則函數(shù)的定義域和值域分別為（

）A．和 B．和C．和 D．和【答案】D【分析】根據(jù)題意，由抽象函數(shù)定義域的求法代入計算，即可得到結果.【詳解】因為函數(shù)的定義域和值域都是，令，解得，所以函數(shù)的定義域為，由的值域得的值域為．故選：D3．（24-25高一上·湖北黃岡·月考）若函數(shù)的值域是，則函數(shù)的值域是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由條件，結合不等式性質求的范圍即可.【詳解】因為函數(shù)的值域是，所以，所以，所以，所以，故函數(shù)的值域是.故選：C.4．設函數(shù)的定義域為，若在上單調(diào)遞減，且關于對稱，則下列結論正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由函數(shù)的單調(diào)性和對稱性求解即可；【詳解】∵函數(shù)的圖象關于直線對稱，則，又在上單調(diào)遞減，故在上單調(diào)遞增，，，即故選：C．5．（23-24高一上·浙江·期中）已知函數(shù)定義域為，滿足，當時，總有，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】在等式中，分別令、可得出、的關系式，再由，可得出，即可得出關于、的方程組，即可解得的值.【詳解】在等式中，令可得，令可得，當時，總有，則，所以，，解得，故選：B.【點睛】關鍵點點睛：本題考查抽象函數(shù)求值，對自變量賦值是解題的關鍵，要注意所求函數(shù)值對應的自變量與所賦的自變量值之間的關系.6．（23-24高一上·湖北荊州·期中）定義在R上的函數(shù)滿足：對任意的（），都有，且，函數(shù)關于直線對稱，則不等式的解集是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意得到在上單調(diào)遞減，且為偶函數(shù)，故在上單調(diào)遞增，分和，結合函數(shù)單調(diào)性求出解集.【詳解】因為對任意的（），都有，所以在上單調(diào)遞減，因為關于直線對稱，所以關于軸對稱，即為偶函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增，因為，所以，當時，，令得，即，所以，所以，當時，，令得，即，所以，所以，綜上，的解集為.故選：C7．（23-24高一上·江蘇連云港·期中）是定義在上的不恒為零的偶函數(shù)，且對任意實數(shù)都有，則的值是（

）A．0 B． C．1 D．【答案】A【分析】從的結構來看，要用遞推的方法，先用賦值法求得，，再由依次求解.【詳解】若，，則有，取，則有，即，是定義在上的偶函數(shù)，，則，解得：，則，取，則有，即，故選：A.8．函數(shù)的定義域為R，對任意的，都有成立，且函數(shù)為偶函數(shù)，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由函數(shù)的對稱性和減函數(shù)的性質判斷即可判斷.【詳解】因為函數(shù)為偶函數(shù)，所以函數(shù)圖象關于直線對稱，所以，對任意的，，都有成立，所以，故在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞增，故.故選：A.9．（24-25高一上·江蘇連云港·期中）已知函數(shù)，的定義域均為，且，，的圖象關于對稱，當時，，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題設得到、，結合已知求相關函數(shù)值，即可求結果.【詳解】由，則①，由，則②，由①有，結合②有，所以，故，由的圖象關于對稱，則③，由①有，結合②③有，所以，則，由知：，由知：，且，綜上，.故選：C【點睛】關鍵點點睛：根據(jù)題設得到、為關鍵.10．（23-24高一上·湖北襄陽·期中）（多選題）已知定義在上的函數(shù)在上單調(diào)遞增，且為偶函數(shù)，則（）A．的對稱軸為直線B．的對稱軸為直線C．D．不等式的解集為【答案】BD【分析】由偶函數(shù)的定義確定對稱軸即可判斷AB；根據(jù)和函數(shù)的單調(diào)性即可判斷C；利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性解不等式即可判斷D.【詳解】A：因為為偶函數(shù)，其圖象關于y軸對稱，所以函數(shù)的對稱軸為直線，故A錯誤；B：由選項A可知，B正確；C：因為函數(shù)的對稱軸為直線，所以，又函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，則，故C錯誤；D：因為函數(shù)的對稱軸為直線，且在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，由，得，即，解得，故D正確.故選：BD.11．（24-25高一下·甘肅平?jīng)觥ら_學考試）（多選題）已知定義域為的函數(shù)滿足，且，則下列結論一定正確的是（

）A．B．函數(shù)的圖象關于點對稱C．函數(shù)是偶函數(shù)D．【答案】BC【分析】推導出可判斷A選項的正誤；推導出可判斷B選項的正誤；分析得出可判斷C選項的正誤；推導出可判斷D選項的正誤.【詳解】對于A選項，因為，且，則，即，A錯；對于B選項，因為，則，因為，則，即，即，故函數(shù)的圖象關于點對稱，B對；對于C選項，因為，故函數(shù)是偶函數(shù)，C對；對于D選項，因為，則，即，D錯．故選：BC12．（24-25高一上·河北承德·期末）（多選題）已知函數(shù)的定義域為，且為奇函數(shù)，當時，，則（

）A．B．的圖象關于點對稱C．D．【答案】ACD【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性結合“賦值法”可求，判斷A的真假，根據(jù)奇函數(shù)的性質，可判斷B的真假；根據(jù)函數(shù)滿足的條件，遞推可判斷C的真假，再結合奇函數(shù)的性質，可判斷D的真假.【詳解】對A：因為為奇函數(shù)，所以，令，則，A正確．對B：由，得，則，即的圖象關于點對稱，B錯誤．對C：當時，，則，，，故C正確；對D：根據(jù)C選項，遞推可得：，因為，所以，則，得，故D正確．故選：ACD13．（25-26高一上·廣西貴港·月考）（多選題）已知函數(shù)和的定義域均為R，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，，則（

）A． B．C． D．的圖象關于直線對稱【答案】BCD【分析】由為奇函數(shù)，令，可判斷B，由，令可判斷A，由是偶函數(shù)，通過方程組法可判斷C，由對稱性的概念可判斷D.【詳解】由為奇函數(shù)，得，令，得，B正確．對于，令，得，A錯誤．因為是偶函數(shù)，所以，對于，以代替x得①，則②，所以，C正確．①與②相減得，即，則的圖象關于直線對稱，D正確．故選：BCD14．設函數(shù)定義域為R，滿足，且對任意，都有，則=.【答案】2021【解析】利用賦值法求出的解析式，即可求解.【詳解】令，得，令得，即，所以，所以，故答案為：2021【點睛】關鍵點點睛：解決本題的關鍵點是準確賦值求出的解析式.15．若函數(shù)滿足方程且，則：（1）；（2）．【答案】【分析】令可得；用替換，再解方程組可得答案.【詳解】令可得：，所以；由①得，②，聯(lián)立①②可得：.故答案為：①；②.16．已知滿足，且，則的值域為【答案】【分析】根據(jù)題意，令，求得，再令，求得，令，可得，即，再令，得到，結合基本不等式，即可求解.【詳解】由函數(shù)滿足，且，令，可得，因為，可得，再令，可得，所以，令，可得，即，再令，可得，所以，則，當且僅當時，等號成立，所以的值域為.故答案為：.17．設定義域為R的函數(shù)滿足：，都有且（a為常數(shù)），則函數(shù)．【答案】【分析】運用賦值法可求解.【詳解】由①，在①中，令可得②，在②中，令，則③，由②可得，④，由①可得，⑤，由②可得，⑥，則由③④⑤⑥可得，，即，因，則.故答案為：18．（23-24高一·江蘇·假期作業(yè)）設是R上的函數(shù)，，并且對于任意的實數(shù)都有，求.【答案】【分析】利用賦值法可求的解析式.【詳解】由已知條件得，又，設，則，所以即∴.此時,而,符合題設