2025年考研數(shù)學線代?？碱}型試卷（含答案）考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、單項選擇題：1.設向量組α?,α?,α?線性無關，向量β?=α?+α?，β?=α?+α?，β?=α?+α?，則向量組β?,β?,β?的秩為（）。A.1B.2C.3D.無法確定2.設A為n階矩陣，若A2=A，則稱A為冪等矩陣。下列關于冪等矩陣的命題中，正確的是（）。A.冪等矩陣的行列式必為零B.冪等矩陣的秩等于其跡C.任何非零向量都是冪等矩陣的特征向量D.冪等矩陣的特征值只能為0或13.設A為n階可逆矩陣，B為n階矩陣，則下列運算中，結果仍為B的是（）。A.A?1(BA)B.(AB)A?1C.A?1(BA)AD.A(BA?1)4.設A為n階實對稱矩陣，且A可逆。下列矩陣中，一定不是正定矩陣的是（）。A.A?1B.A?AC.A2D.A?5.設n階矩陣A的特征值為λ?,λ?,...,λ?，則A的伴隨矩陣A*的特征值為（）。A.λ??1,λ??1,...,λ??1B.|A|λ??1,|A|λ??1,...,|A|λ??1C.λ?,λ?,...,λ?D.|A|λ?,|A|λ?,...,|A|λ?二、填空題：1.設A為3階矩陣，且|A|=2，則|3A|=_______。2.設向量組α?=(1,0,1),α?=(1,1,0),α?=(0,1,1)，則該向量組的秩為_______。3.設A=[(1,2),(3,4)],則A的逆矩陣A?1=_______。4.設A為4階矩陣，且A的秩為2，則A的伴隨矩陣A*的秩為_______。5.設2階矩陣A的特征值為1和2，則A的跡tr(A)=_______。三、解答題：1.討論線性方程組x?+2x?+x?=12x?+4x?+2x?=2x?+2x?+(a+1)x?=a+1的解的情況，并求其通解（如果存在）。2.設向量組α?=(1,1,1),α?=(1,2,3),α?=(1,3,t)。(1)當t取何值時，向量組α?,α?,α?線性無關？(2)當t取何值時，向量組α?,α?,α?線性相關？并求其一個極大無關組。3.設A=[(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)],求矩陣A的特征值和特征向量，并判斷A是否可對角化。若可對角化，求可逆矩陣P，使得P?1AP為對角矩陣。4.設二次型f(x?,x?,x?)=x?2+2x?2+x?2+2x?x?+2x?x?+4x?x?。(1)用配方法將二次型f化為標準形，并寫出所用的可逆線性變換。(2)判斷二次型f的正定性。5.設A為3階矩陣，且滿足A2-3A+2E=O，其中E為3階單位矩陣。證明A可逆，并求A?1。試卷答案一、單項選擇題：1.C解析：因為β?-β?=α?-α?，β?-β?=α?-α?，β?-β?=α?-α?，所以向量組β?,β?,β?與向量組α?,α?,α?可互相線性表示，且α?,α?,α?線性無關，故β?,β?,β?線性無關，其秩為3。2.D解析：設Ax=λx，由A2=A得A(Ax)=Ax，即A(λx)=λx，又λx=λ(Ax)=λ2x，故λ2=λ，解得λ=0或1。3.C解析：設Bx=y，則(AB)A?1x=A(BA?1x)=Ay=Bx，故A?1(BA)x=Bx，兩邊右乘A，得A?1(BA)Ax=BxA，即Bx=BxA，兩邊左乘A?1，得x=A?1(BA)xA，即x=A?1x，只有當x=0時成立，故A?1(BA)A=E，兩邊右乘A?1，得A?1(BA)=A?1，即A?1(BA)A=A?1A=E，故A?1(BA)A=B。4.C解析：反例，取A=[(1,0),(0,-1)]，則A2=[(1,0),(0,1)]，其特征值為1和-1，不全是正數(shù)，故A2不是正定矩陣。5.B解析：設Ax=λx，由A?1x=λ?1x，兩邊左乘A，得x=λ?1Ax，即A(λ?1x)=x，故A的特征值為λ?1。又A*=|A|A?1，故A*的特征值為|A|λ?1。二、填空題：1.18解析：|kA|=k?|A|，故|3A|=33|A|=27|A|=27*2=54。2.2解析：向量組α?,α?,α?的行列式為|(1,1,0),(0,1,1),(1,0,1)|=1+0-1=0，故向量組線性相關，秩小于3。又α?與α?線性無關，故向量組的秩為2。3.[(-2,1),(1,-1)]解析：由|A|=2≠0，知A可逆。A?1=(1/|A|)A*=(1/2)A*=(1/2)|A|A?1=(1/2)*2*A?1=A?1。求A*的伴隨矩陣，得A?1=[(-2,1),(1,-1)]。4.1解析：當n=2時，r(A*)=2，n=3時，r(A*)=1，n≥4時，r(A*)=0。故r(A*)=n-r(A)=4-2=2。5.3解析：tr(A)=λ?+λ?+λ?=1+2=3。三、解答題：1.當a=1時，方程組有解，通解為x=(1,0,0)+k(1,-1,1)，k為任意常數(shù)。解析：增廣矩陣為[(1,2,1|1),(2,4,2|2),(1,2,a+1|a+1)]，行簡化為[(1,2,1|1),(0,0,0|0),(0,0,a|a)]。當a=1時，有解，繼續(xù)行簡化為[(1,2,1|1),(0,0,0|0),(0,0,1|1)]，得x?=1，x?=-x?+k，x?=1-2k，故通解為x=(1,0,0)+k(1,-1,1)。2.(1)當t≠2時，向量組α?,α?,α?線性無關。(2)當t=2時，向量組α?,α?,α?線性相關，一個極大無關組為α?,α?。解析：以α?,α?,α?為列向量作矩陣A=[(1,1,1),(1,2,3),(1,3,t)],行簡化為[(1,1,1),(0,1,2),(0,0,t-2)]。(1)當t≠2時，r(A)=3，向量組線性無關。(2)當t=2時，r(A)=2，向量組線性相關。此時矩陣為[(1,1,1),(0,1,2),(0,0,0)]，α?,α?線性無關，故為一個極大無關組。3.特征值為1,2,-1。對應特征向量分別為k?(1,0,-1)?,k?(1,1,1)?,k?(1,-2,1)?(k?,k?,k?為非零常數(shù))。A可對角化。P=[(1,1,1),(0,1,-2),(-1,1,1)],使得P?1AP=[(1,0,0),(0,2,0),(0,0,-1)]。解析：求特征多項式f(λ)=|λE-A|=|(λ-1,-1,0),(-1,λ,-1),(0,-1,λ-1)|=(λ-1)3+1=(λ-1)(λ2-2λ+2)=(λ-1)(λ-1+√3i)(λ-1-√3i)。故特征值為1,1+√3i,1-√3i。由于實矩陣的復特征值成對出現(xiàn)，故A可對角化。求特征向量：當λ=1時，(E-A)x=0，解得x=k(1,0,-1)?。當λ=1+√3i時，(A-(1+√3i)E)x=0，解得x=k(1,1,1)?。當λ=1-√3i時，(A-(1-√3i)E)x=0，解得x=k(1,-2,1)?。令P=[(1,1,1),(0,1,-2),(-1,1,1)]，則P?1AP=[(1,0,0),(0,1+√3i,0),(0,0,1-√3i)]。由于P是復矩陣，題目要求實矩陣，故需重新計算。重新計算特征值和特征向量，得到特征值為1,2,-1。對應特征向量分別為k?(1,0,-1)?,k?(1,1,1)?,k?(1,-2,1)?。構造實特征向量矩陣P=[(1,1,1),(0,1,-2),(-1,1,1)]，計算P?1AP=[(1,0,0),(0,2,0),(0,0,-1)]。4.(1)f=x?'+2x?'2-x?'2(x'=P?x,P=[(1,-1,1),(0,1,2),(0,0,1)])。(2)二次型f不是正定的。解析：(1)配方法：f=x?2+2x?2+x?2+2x?x?+2x?x?+4x?x?=(x?+x?+x?)2+x?2+3x?x?=(x?+x?+x?)2+(x?+3/2x?)2-9/4x?2=x?'2+2x?'2-x?'2，其中x?'=x?+x?+x?，x?'=x?+3/2x?，x?'=x?。令x'=P?x，其中P=[(1,-1,1),(0,1,3/2),(0,0,1)]，則f=x'?Px=x?'2+2x?'2-x?'2。(2)正定性判斷：f的矩陣為A=[(1,1,1),(1,2,2),(1,2,1)]。順序主子式Δ?=1>0，Δ?=1>0，Δ?=|A|=0。由于Δ?=0，故A不是正定矩陣，從而二次型f不是正定的。5.A?1=[(1/2,3/2,-3/2),(-1/2,-1/2,1/2),(1/2,1/2,1/2)]。解析：由A2-3A+2E=O得A(A-3E)=-2E。兩