模塊02函數(shù)與導(dǎo)數(shù)

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題

目要求的．

1x

1．（2025高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)fxlg，則函數(shù)gxfx12x1的定義域是（）

1x

1

A．xx2或x0B．xx2

2

1

C．xx2D．xx

2

【答案】B

【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)中真數(shù)大于0，二次根式下被開(kāi)方數(shù)非負(fù)，求出定義域.

1x1x

【詳解】要使fxlg有意義，則0，

1x1x

即1x1x0，解得1x1，所以函數(shù)fx的定義域?yàn)?,1，

1x111

要使gxfx12x1有意義，則，解得x2，

2x102

1

所以函數(shù)gx的定義域?yàn)閤x2.

2

故選：B

2ax2,x1,

2．（24-25高三上·甘肅·期末）已知函數(shù)f(x)x滿足x1,x2R且x1x2，

a,x1

(x2x1)[f(x1)f(x2)]0，則a的取值范圍為（）

A．(0,1)B．(1,)C．(1,2]D．(0,1)(1,)

【答案】C

【分析】根據(jù)給定條件可得函數(shù)的單調(diào)性，再利用分段函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合指數(shù)函數(shù)單調(diào)性列式求解.

【詳解】依題意，函數(shù)f(x)滿足x1,x2R且x1x2，x1x2fx1fx20，則f(x)是上的增函數(shù)，

?

a0

因此a1，解得1a2，

2a2a

所以a的取值范圍為(1,2].

故選：C

2π3

3．（24-25高三上·黑龍江·期末）設(shè)函數(shù)fxsin2x，則曲線yfx在0,處的切線方程為（）

32

A．2x2y30B．x2y30

C．x2y30D．2x2y30

【答案】D

【分析】先求出導(dǎo)函數(shù)，再得出切線的斜率進(jìn)而得出點(diǎn)斜式方程即可.

2π

【詳解】由題意得fx2cos2x，

3

32π

于是當(dāng)時(shí)，曲線在點(diǎn)0,處的切線斜率為ky2cos1，

x0x0

23

?=??

3

此時(shí)切線方程為yx0，即2x2y30.

2

故選:D.

x2

4．（24-25高三上·山東煙臺(tái)·期末）函數(shù)fxxln的圖象大致為（）

1x2

A．B．

C．D．

【答案】B

【分析】利用奇偶性可判斷CD不符合，利用賦值法可判斷AB.

2

x2222

【詳解】由0，可得x1x0，所以xx10，所以0x21，

1x2

解得1x0或0x1，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，

2

xx2

又fxxln2xln2fx，故函數(shù)fx為奇函數(shù)，故排除CD；

1x1x

2

2

12

112112222

又flnln0，flnln10，

22

221232222

11

22

故B符合，A不符合.

故選：B.

0.1

5．（24-25高三上·河北保定·期末）已知acos2，blog20.7，c2，則a、b、c的大小關(guān)系為（）

A．a(chǎn)bcB．cab

C．bacD．cba

【答案】B

【分析】利用指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、余弦值的符號(hào)結(jié)合中間值法可得出a、b、c的大小關(guān)系.

ππ2π

【詳解】因?yàn)橛嘞液瘮?shù)ycosx在,π上為減函數(shù)，且2，

223

2π1

則coscos20，即a0，

32

121

對(duì)數(shù)函數(shù)ylog2x為增函數(shù)，則loglog0.7log，即1b，

222222

又因?yàn)閏20.10，故cab.

故選：B.

6．（2025高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）為加強(qiáng)環(huán)境保護(hù)，治理空氣污染，某生態(tài)環(huán)境部門(mén)對(duì)某工廠產(chǎn)生的廢氣進(jìn)行

kt

了監(jiān)測(cè)，發(fā)現(xiàn)該廠產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過(guò)過(guò)濾后排放，過(guò)濾過(guò)程中廢氣的污染物含量p與時(shí)間t(h)滿足pp0e

（p0為初始污染物含量，k為參數(shù)）．若污染物含量達(dá)到初始含量的12.5%就達(dá)到排放標(biāo)準(zhǔn)，且在過(guò)濾的前

15個(gè)小時(shí)消除了50%的污染物，則達(dá)到排放標(biāo)準(zhǔn)至少需要（）

A．44小時(shí)B．45小時(shí)C．46小時(shí)D．47小時(shí)

【答案】B

【分析】根據(jù)條件建立方程，求出過(guò)濾過(guò)程中廢氣的污染物含量p，進(jìn)而得出達(dá)到排放標(biāo)準(zhǔn)至少所需的時(shí)

間.

【詳解】由題意，當(dāng)t0時(shí)，廢氣的污染物含量pp0，

ln2

(10.5)ppe15k，則k，

0015

ln2

t

所以15．

pp0e

設(shè)達(dá)到排放標(biāo)準(zhǔn)至少所需的時(shí)間為t(h)，

ln2

tt

則15，化簡(jiǎn)得ln8ln2，

0.125p0p0e15

tt

即3ln2ln2，所以3，解得t45(h)．

1515

故選：B．

b

7．（24-25高三上·湖北·階段練習(xí)）若fxx3ax2bxa27a在x1處取得極大值10，則的值為（）

a

313131

A．或B．或C．D．

222222

【答案】C

f10

【分析】求出fx，由題意可得出f110，解出a、b的值，再結(jié)合題意進(jìn)行檢驗(yàn)，即可得解.

Δ0

【詳解】因?yàn)閒xx3ax2bxa27a，則fx3x22axb,

又fxx3ax2bxa27a在x1處取得極大值10，

f132ab0

a2a6

f11aba27a10，解得或，

2b1b9

Δ4a12b0

當(dāng)a2，b1時(shí)，fx3x34x13x1x1，

1

當(dāng)x1時(shí)，fx0，當(dāng)x1時(shí)，fx0，

3

則fx在x1處取得極小值，與題意不符；

當(dāng)a6，b9時(shí)，fx3x212x93x1x3，

當(dāng)x1時(shí)，fx0，當(dāng)1x3時(shí)，fx0，

b93

則fx在x1處取得極大值，符合題意，則，

a62

故選：C.

8．（24-25高三上·江蘇鹽城·階段練習(xí)）已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，且對(duì)任意xR，滿足

f(x1)f(x)x1,f(x3)f(x)3x，且f(1)0，則f(52)（）

A．651B．676C．1226D．1275

【答案】D

【分析】根據(jù)條件變形得到fx3fx3x，再結(jié)合條件求得fx3fx3x，再通過(guò)賦值求f52

的值.

【詳解】由條件f(x1)f(x)x1，可知，fx2fx1x，fx3fx2x1，以上三個(gè)

式子相加得：fx3fx3x，

又fx3fx3x，所以fx3fx3x，

f4f131，f7f434，f10f737，…，f52f49349，

以上式子相加得f52f13147...491275，

所以f521275.

故選：D

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部

選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．

x

9．（24-25高三上·湖南長(zhǎng)沙·期末）已知函數(shù)fxx1e，則下列結(jié)論正確的是（）

1

A．fx在區(qū)間2,上單調(diào)遞增B．fx的最小值為

e2

C．方程fx2的解有2個(gè)D．導(dǎo)函數(shù)fx的極值點(diǎn)為3

【答案】ABD

【分析】利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)fx的單調(diào)性與極值，數(shù)形結(jié)合可判斷ABC選項(xiàng)；利用函數(shù)的極值點(diǎn)與導(dǎo)數(shù)

的關(guān)系可判斷D選項(xiàng).

【詳解】因?yàn)閒xx1ex，該函數(shù)的定義域?yàn)镽，fxx2ex，

令fx0，可得x2，列表如下：

x,222,

fx0

1

fx減極小值增

e2

且當(dāng)x1時(shí)，fxx1ex0；當(dāng)x1時(shí)，fxx1ex0，

作出函數(shù)fx的圖象如下圖所示：

對(duì)于A選項(xiàng)，fx在區(qū)間2,上單調(diào)遞增，A對(duì)；

1

對(duì)于B選項(xiàng)，fx的最小值為f2，B對(duì)；

e2

對(duì)于C選項(xiàng)，方程fx2的解只有1個(gè)，C錯(cuò)；

對(duì)于D選項(xiàng)，令gxfxx2ex，該函數(shù)的定義域?yàn)镽，

gxx3ex，令gx0，可得x3；令gx0，可得x3.

所以，函數(shù)fx的單調(diào)遞減區(qū)間為,3，遞增區(qū)間為3,，

所以，函數(shù)fx的極值點(diǎn)為3，D對(duì).

故選：ABD.

10．（2025高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）中華人民共和國(guó)國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)《居室空氣中甲醛的衛(wèi)生標(biāo)準(zhǔn)》規(guī)定：居室空氣

中甲醛的最高容許濃度為：一類(lèi)建筑0.08mg/m3，二類(lèi)建筑0.1mg/m3，二類(lèi)建筑室內(nèi)甲醛濃度小于等于

0.1mg/m3為安全范圍.已知某學(xué)校教學(xué)樓（二類(lèi)建筑）施工過(guò)程中使用了甲醛噴劑，處于良好的通風(fēng)環(huán)境下

時(shí)，竣工2周后室內(nèi)甲醛濃度為2.25mg/m3，4周后室內(nèi)甲醛濃度為0.36mg/m3，且室內(nèi)甲醛濃度(t)（單

位：mg/m3）與竣工后保持良好通風(fēng)的時(shí)間ttN*（單位：周）近似滿足函數(shù)關(guān)系式(t)eatb，則（）

（參考數(shù)據(jù)：ln20.7，ln31.1，ln51.6）

2

A．a(chǎn)ln

5

B．eb15

C．3周后室內(nèi)甲醛濃度為0.9mg/m3

D．該教學(xué)樓竣工后的甲醛濃度若要達(dá)到安全開(kāi)放標(biāo)準(zhǔn)，至少需要放置的時(shí)間為6周

【答案】ACD

t

a2b2252252

【分析】根據(jù)題意列式求解得e，e，即可求出(t)，即可判斷選項(xiàng)ABC，令(t)0.1，

516165

利用指對(duì)互化解不等式即可判斷選項(xiàng)D.

2ab2ab

eee2.25

【詳解】由題意可得2，

4ab2ab

eee0.36

22225225

解得eaaln，eb15，

551615

所以A正確，B錯(cuò)誤；

t

t

atbab2252

所以(t)eee，

165

3

2252

(3)0.9，故C正確；

165

tt

225212116

令，得，

16510510225

兩邊取對(duì)數(shù)得t(ln2ln5)3ln2(2ln33ln5)，

3ln2(2ln33ln5)30.7(21.131.6)

即t5.4，

ln2ln50.71.6

所以該教學(xué)樓竣工后的甲醛濃度若要達(dá)到安全開(kāi)放標(biāo)準(zhǔn)，

至少需要放置的時(shí)間為6周，故D正確.

故選：ACD

11．（24-25高三上·山東濱州·期末）已知定義域?yàn)镽的偶函數(shù)fx，滿足f1xf1x，當(dāng)0x1時(shí)，

fxx．則（）

A．fx的一個(gè)周期為2

2513

B．ff

23

111

C．fx的解集為2k,2k（kZ）

222

D．f2k0（kZ）

【答案】ABD

【分析】根據(jù)條件推得fx的一個(gè)周期為2判斷A項(xiàng)，利用函數(shù)的周期性和對(duì)稱(chēng)性，化簡(jiǎn)計(jì)算即可判斷B

項(xiàng)，結(jié)合函數(shù)的圖象即可判斷C，D兩項(xiàng).

【詳解】對(duì)于A，因fx是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，則f(x)f(x)，

由f1xf1x可知：f(x)的圖象對(duì)稱(chēng)軸為直線x1，且f(x)f(x2)，

即得f(x2)f(x)，則fx的一個(gè)周期為2，故A正確；

251113111

對(duì)于B，因f()f()，而f()f()f()，

2223333

112513

因?yàn)閒f，所以ff，故B正確；

2323

對(duì)于C，根據(jù)題意，可以作出函數(shù)fx的圖象如下：

11

由上分析知，函數(shù)的最小正周期為2，當(dāng)0x1時(shí)，fxx，則由fx可得x1；

22

13

而當(dāng)1x2時(shí)，f(x)2x，則由fx可得1x，

22

113

綜上可得0x2時(shí)，由fx可得x，

222

113

故對(duì)于xR，則fx的解集為(2k,2k),kZ，故C錯(cuò)誤；

222

對(duì)于D，由圖知對(duì)于kZ，必有f2k0，故D正確.

故選：ABD.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．

12．（24-25高三上·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）函數(shù)yf(x)為定義在2,2上的增函數(shù)，且f(2m)f(m1)，則實(shí)

數(shù)m的取值范圍是．

1

【答案】,1．

3

22m2

【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可得2m12，解不等式組即可求解.

2mm1

22m2

1

【詳解】由題意得2m12，解得m1．

3

2mm1

1

所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是,1.

3

1

故答案為：,1

3

13．（23-24高三上·江蘇淮安·階段練習(xí)）已知函數(shù)fx2x2lnx，若fx在區(qū)間2m,m1上單調(diào)遞增，

則實(shí)數(shù)m的取值范圍是.

1

【答案】[,1)

4

【分析】由導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，即可列不等式求解.

2

214x1

【詳解】由fx2xlnx得fx4x，

xx

11

由于函數(shù)fx的定義域?yàn)?,，故令fx0,解得x，故fx的單調(diào)遞增區(qū)間為,，

22

1

2m1

若fx在區(qū)間2m,m1上單調(diào)遞增，則2，解得m1，

4

m12m

1

故答案為：[,1)

4

x22x3,x0

14．（24-25高三上·江西·期中）已知函數(shù)fx，若存在實(shí)數(shù)x1，x2，x3且x1x2x3，

lnx,x0

使得fx1fx2fx3a，則x3x1x2lnx3的最大值為.

【答案】e3

a

【分析】先由題設(shè)數(shù)形結(jié)合得2a3和x3x1x2lnx3e2a，再構(gòu)造函數(shù)

gaea2a,2a3，利用導(dǎo)數(shù)求出其最大值即可得解.

【詳解】由題f12,f03，當(dāng)fx3時(shí)，x2,0,e3；當(dāng)fx2時(shí)，x1,e2；

故作出fx的圖象如圖所示：

因?yàn)榇嬖趯?shí)數(shù)x1，x2，x3且x1x2x3，使得fx1fx2fx3a，

所以直線ya與圖象有三個(gè)交點(diǎn)，

?=??23

所以2a3，且2x11x20ex3e，x1x22，

a

所以x3x1x2lnx3e2a，

設(shè)gaea2a,2a3，則gaea2aeaa1ea0恒成立，

所以函數(shù)在2,3單調(diào)遞增，所以函數(shù)3，

gagamaxg3e

3

所以x3x1x2lnx3的最大值為e.

故答案為：e3.

a

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合得到2a3和x3x1x2lnx3e2a，從而將問(wèn)題

轉(zhuǎn)化成求函數(shù)gaea2a,2a3的最大值，簡(jiǎn)化了問(wèn)題的難度.

四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．

15．（2025高三·北京·專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)fxax2a2xlnx.

(1)當(dāng)a＝1時(shí)，求曲線yfx在點(diǎn)1,f1處的切線方程；

(2)當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)fx在區(qū)間1,e上的最小值為，求a的取值范圍；

【答案】(1)y2?2

(2)1,

【分析】（1）求出導(dǎo)數(shù)fx，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程；

（2）求出導(dǎo)數(shù)fx，分三種情況討論a的范圍，判斷單調(diào)性求得函數(shù)最小值，令所求最小值等于2，排

除不合題意的a的取值，即可求得到符合題意實(shí)數(shù)a的取值范圍.

1

【詳解】（1）當(dāng)a1時(shí)，fxx23xlnx，fx2x3，

x

則f(1)=-2，f10，

所以曲線yfx在點(diǎn)1,f1處切線的方程為y2.

12x1ax1

（2）當(dāng)a0時(shí)，fx2axa2，x1,e，

xx

11

令fx0，得x或，

2a

1

當(dāng)1即a1時(shí)，對(duì)x1,e，fx0，即函數(shù)fx在x1,e上單調(diào)遞增，

a

所以，符合題意；

fxminf12

1111

當(dāng)1e，即a1時(shí)，x1,，fx0，x,e，fx0，

aeaa

11

所以函數(shù)fx在x1,上單調(diào)遞減，在x,e上單調(diào)遞增，

aa

1

fxff12，不合題意；

mina

11

當(dāng)e即0a時(shí)，x1,e，fx0，即函數(shù)fx在x1,e上單調(diào)遞減，

ae

，不合題意；

fxminfef12

綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為1,.

2x1ax1

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題第二問(wèn)利用單調(diào)性求最值.求出導(dǎo)數(shù)fx，x1,e，分析發(fā)現(xiàn)

x

1

導(dǎo)數(shù)正負(fù)取決于ax1的正負(fù)，抓住零點(diǎn)與區(qū)間1,e的關(guān)系討論，得到函數(shù)fx在1,e上的單調(diào)性，求

a

出最小值進(jìn)行判斷求解.

8

16．（2024·山西·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)x0時(shí)，f(x)a3x3x，且f(1).

3

(1)求a的值，并求出f(x)的解析式；

(2)若f(x)9x9x140在x(0,)上恒成立，求的取值范圍.

3x3x,x0

【答案】，

(1)a1f(x)xx

33,x0

(2)(,8]

【分析】（1）利用偶函數(shù)性質(zhì)以及函數(shù)值可得a1，再由偶函數(shù)定義可得其解析式；

16

（2）將不等式恒成立轉(zhuǎn)化為求3x3x恒成立問(wèn)題，由基本不等式計(jì)算可得的取值范圍.

3x3x

18

【詳解】（1）因?yàn)閒(x)是偶函數(shù)，所以f(1)f(1)3a，

33

解得a1，

當(dāng)x0時(shí)，可得x0，所以f(x)f(x)3x3(x)3x3x，

3x3x,x0,

所以函數(shù)的解析式為

f(x)f(x)xx

33,x0.

（2）由（1）知，當(dāng)x0時(shí)，f(x)3x3x0，

因?yàn)閒(x)9x9x140在x(0,)上恒成立，

2

xx

9x9x14331616

所以3x3x，

3x3x3x3x3x3x

又因?yàn)閤x16xx16，

332338

3x3x3x3x

16

當(dāng)且僅當(dāng)3x3x時(shí)，即xlog(52)時(shí)等號(hào)成立，

3x3x3

所以8，即的取值范圍是(,8].

32

17．（25-26高三上·全國(guó)·單元測(cè)試）已知函數(shù)fxaxbxcx1a,b,cR，且不等式3ax22bxc0

的解集為1,1．

(1)求函數(shù)fx圖象的對(duì)稱(chēng)中心；

(2)證明：函數(shù)fx在區(qū)間1,1上單調(diào)遞增；

2

(3)若方程3afx2bfxc0有6個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

【答案】(1)0,1

(2)證明見(jiàn)解析

(3),1．

【分析】（1）結(jié)合一元二次不等式解集求參，進(jìn)而求出對(duì)稱(chēng)中心；

（2）應(yīng)用單調(diào)性定義證明函數(shù)的單調(diào)性；

（3）根據(jù)方程根的個(gè)數(shù)列不等式組計(jì)算參數(shù)范圍.

【詳解】（1）由3ax22bxc0的解集為1,1知，方程3ax22bxc0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根1，且a0，

2b

11,

3a3

則故b0,c3a0，因此fxax3x1．

c

11,

3a

因?yàn)閥ax33x為奇函數(shù)，故函數(shù)yax33x圖象的對(duì)稱(chēng)中心為點(diǎn)0,0，

將yax33x的圖象向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度可得fx的圖象，

所以函數(shù)fx圖象的對(duì)稱(chēng)中心為點(diǎn)0,1．

（）任取，且，則3322，

2x1,x21,1x1x2fx1fx2ax13x1x23x2ax1x2x1x1x2x23

22

因?yàn)閤1x20，又1x1x21，即0x11,0x21,1x1x21，

22

則x1x1x2x230，故fx1fx20，即fx1fx2，

所以函數(shù)fx在區(qū)間1,1上單調(diào)遞增．

2

（3）因?yàn)?afx2bfxc0，所以由（1）知，fx1，從而直線y1與曲線yfx共有6

個(gè)公共點(diǎn)．

f11,

又函數(shù)fx在區(qū)間1,1上單調(diào)遞增，在區(qū)間,1,1,上單調(diào)遞減，故解得a1，所

f11,

以實(shí)數(shù)a的取值范圍為,1．

1

18．（2024·云南·二模）已知常數(shù)a0，函數(shù)f(x)x2ax2a2lnx.

2

(1)若x0,f(x)4a2，求a的取值范圍;

(2)若x1、x2是f(x)的零點(diǎn)，且x1x2，證明:x1x24a.

e2

【答案】(1)0,

2

(2)證明見(jiàn)解析

【分析】（1）求出函數(shù)的定義域與導(dǎo)函數(shù)，即可得到函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最小值，依題意

22

f(x)min2aln2a4a，即可求出a的取值范圍；

（2）由（1）不妨設(shè)0x12ax2，設(shè)F(x)f(x)f(4ax)，利用導(dǎo)數(shù)說(shuō)明函數(shù)的單調(diào)性，即可得到

fx1f4ax1，結(jié)合fx1fx2及fx的單調(diào)性，即可證明.

【詳解】（1）由已知得f(x)的定義域?yàn)閧x|x0}，

2a2x2ax2a2(x2a)(xa)

且f(x)xa.

xxx

a0，

當(dāng)x(0,2a)時(shí)，f(x)0，即f(x)在(0,2a)上單調(diào)遞減；

當(dāng)x(2a,)時(shí)，f(x)0，即f(x)在(2a,)上單調(diào)遞增.

所以fx在x2a處取得極小值即最小值，

2，

fxminf2a2aln2a

2222，

x0,fx4afxmin2aln2a4aln2alne

e2e2

0a，即a的取值范圍為0,.

22

（2）由（1）知，f(x)的定義域?yàn)閧x|x0}，

f(x)在(0,2a)上單調(diào)遞減，在(2a,)上單調(diào)遞增，且x2a是f(x)的極小值點(diǎn).

x1、x2是f(x)的零點(diǎn)，且x1x2，

x1、x2分別在(0,2a)、(2a,)上，不妨設(shè)0x12ax2，

設(shè)F(x)f(x)f(4ax)，

(x2a)(xa)(2ax)(5ax)2a(x2a)2

則F(x).

x4axx(x4a)

當(dāng)x(0,2a)時(shí)，F(xiàn)(x)0,F(2a)0，即F(x)在(0,2a]上單調(diào)遞減.

0x12a，

Fx1F(2a)0，即fx1f4ax1，

fx1fx20，

fx2f4ax1，

x12a，

4ax12a，

又x22a，f(x)在(2a,)上單調(diào)遞增，

x24ax1，即x1x24a.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：（1）給定函數(shù)比較大小的問(wèn)題，需判斷函數(shù)單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性以及需要比較的數(shù)值

構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性可比較大??；

（2）極值點(diǎn)偏移法證明不等式，先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，找到極值點(diǎn)，分析兩根相等時(shí)兩根的范圍，根據(jù)范圍以

及函數(shù)值相等構(gòu)造新的函數(shù)，研究新函數(shù)的單調(diào)性及最值，判斷新函數(shù)小于或大于零恒成立，即可證明不

等式.

19．（24-25高三上·河北張家口·期末）若定義在D上的函數(shù)fx滿足:對(duì)任意xD，存在常數(shù)M，

都有fxM成立，則稱(chēng)M為函數(shù)fx的上界，最小的M稱(chēng)為函數(shù)fx的上確界，記作M

supfx.與之對(duì)應(yīng)，若定義在D上的函數(shù)fx滿足:對(duì)任意xD，存在常數(shù)m，都有fxm

成立，則稱(chēng)m為函數(shù)fx的下界，最大的m稱(chēng)為函數(shù)fx的下確界，記作minffx.

(1)若fx有下確界m，則m一定是fx的最小值嗎?請(qǐng)舉例說(shuō)明.