專題07導數(shù)及其應用

目錄

易錯點01對導數(shù)的概念理解不到位

易錯點02錯用函數(shù)的求導法則

易錯點03混淆“在某點”和“過某點”切線的區(qū)別

易錯點04利用導數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間忽略定義域

易錯點05混淆極值點與導數(shù)等于零的點的區(qū)別

易錯點06已知單調(diào)性求參數(shù)時混淆條件

易錯點07判斷函數(shù)零點個數(shù)時畫圖出錯

易錯點01：對導數(shù)的概念理解不到位

f(1x)f(1)

典例（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）若函數(shù)f(x)可導，則lim等于（）

x02x

111

A．2f(1)B．f(1)C．f(1)D．f

222

【答案】C

【分析】根據(jù)導數(shù)的定義即可求解.

f(1x)f(1)1f[1(x)]f(1)1

【詳解】limlimf(1)．

x02x2x0x2

故選：C

【易錯剖析】

f(xx)f(x)

在解題時要注意y00，本題容易忽略分母不是分子函數(shù)值對應自變

fx0limlim

x0xx0x

量的差而出錯.

【避錯攻略】

1．導數(shù)的概念

yf(x0x)f(x0)

函數(shù)f(x)在xx0處瞬時變化率是limlim，我們稱它為函數(shù)yfx在xx0

x0xx0x

處的導數(shù)，記作或y．

f(x0)xx0

【解讀】①增量x可以是正數(shù)，也可以是負，但是不可以等于0．x0的意義：x與0之間距離要

多近有多近，即|x0|可以小于給定的任意小的正數(shù)；

②當x0時，y在變化中都趨于0，但它們的比值卻趨于一個確定的常數(shù)，即存在一個常數(shù)與

yf(xx)f(x)

00無限接近；

xx

③導數(shù)的本質(zhì)就是函數(shù)的平均變化率在某點處的極限，即瞬時變化率．如瞬時速度即是位移在這一時

yf(x0x)f(x0)

刻的瞬間變化率，即f(x0)limlim．

x0xx0x

2．幾何意義

，

函數(shù)yf(x)在xx0處的導數(shù)f(x0)的幾何意義即為函數(shù)yf(x)在點P(x0y0)處的切線的斜率．

3．物理意義

函數(shù)ss(t)在點t0處的導數(shù)s(t0)是物體在t0時刻的瞬時速度v，即vs(t0)；vv(t)在點t0的導

數(shù)v(t0)是物體在t0時刻的瞬時加速度a，即av(t0)．

f(xx)f(x)

易錯提醒：y00，要注意定義式中的分母一定是分子兩個函數(shù)值

(1)fx0limlim

x0xx0x

對應自變量的差，如果不是要通過調(diào)整系數(shù)實現(xiàn)對應；的代數(shù)意義表示函數(shù)在處的瞬時

(2)fx0fxx0

變化率；的幾何意義表示曲線在處切線的斜率．

(3)fx0yfxxx0

fx

1．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）若可導函數(shù)fx的圖象過原點，且滿足lim1，則f0等于

x0x

（）

A．2B．2C．1D．1

【答案】C

【分析】由題得f00，再利用導數(shù)定義求解.

【詳解】∵fx圖象過原點，∴f00，

f0xf0fx

∴f0limlim1，

x0xx0x

故選：C

fx1f1

2．（24-25高二下·全國·課后作業(yè)）如果函數(shù)yfx在x1處的導數(shù)為1，那么lim（）

x02x

11

A．B．1C．2D．

24

【答案】A

【分析】利用導數(shù)的定義求解.

f(1x)f1

【詳解】因為f11，所以lim1，

x0x

f(x1)f11f1xf11

所以limlim．

x02x2x0x2

故選：A．

3．（24-25高二下·河北石家莊·階段練習）設(shè)函數(shù)fx在點x0附近有定義，且有

2

fx0xfx0axbx（a，b為常數(shù)），則（）

A．fxaB．fxbC．fx0aD．fx0b

【答案】C

【分析】由導函數(shù)的定義可得答案.

2

ΔyaΔxbΔx

【詳解】因為abΔx，

ΔxΔx

Δy

所以fx0limlimabΔxa，

Δx0ΔxΔx0

即fx0a.

故選：C

fx0fx0x

1．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）若fx02，則lim（）

x0x

A．1B．2C．1D．2

【答案】D

【分析】根據(jù)瞬時變化率的定義即可求解.

【詳解】根據(jù)題意fx02，

fxfxxfxxfx

則0000．

limlimfx02

x0xx0x

故選:D．

f(xh)f(x)

2．（24-25高三上·廣西玉林·期中）設(shè)fx是定義在R上的可導函數(shù)，若lim002a（a為常

h0h

數(shù)），則f(x0)（）

A．2aB．2aC．a(chǎn)D．a(chǎn)

【答案】A

【分析】根據(jù)導數(shù)的定義計算即可求解.

f(x0h)f(x0)f(x0h)f(x0)

【詳解】f(x0)limlim2a．

h0hh0h

故選：A

f1xf1

3．（2025高三·全國·專題練習）已知函數(shù)fxxlnx，則lim的值為（）

x0x

A．2eB．0C．1D．e

【答案】C

【分析】利用導數(shù)定義求極限即可.

f1xf1

【詳解】根據(jù)導數(shù)定義，得limf1，

x0x

又fx1lnx，所以f11.

故選：C.

fx02xfx0

4．（24-25高三上·上?！て谥校┤艉瘮?shù)yf(x)在xx0處的導數(shù)等于a，則lim的值為

x0x

（）

1

A．0B．a(chǎn)C．a(chǎn)D．2a

2

【答案】D

【分析】根據(jù)給定條件，利用導數(shù)的定義直接計算可求解.

fx2Δxfxfx2Δxfx

【詳解】0000

lim2limfx02a.

Δx0ΔxΔx02Δx

故選：D.

5．（24-25高三上·貴州貴陽·階段練習）若函數(shù)yfx在區(qū)間a,b內(nèi)可導，且x0a,b，則

fxfxh

lim00的值為（）

h0h

．．2fx．．

Afx0B0C2fx0Dfx0

【答案】D

【分析】由導數(shù)的定義即可求解.

fxfxhfxfxh

【詳解】0000，

limlimfx0

h0hh0h

故選：D.

fx03xfx0

6．（23-24高二下·福建龍巖·階段練習）已知函數(shù)fx在xx0處可導，且lim3，則

x02x

fx0（）

3

A．3B．2C．D．2

2

【答案】B

【分析】利用導數(shù)的定義求解.

fx3xfx

【詳解】解：因為lim003，

x02x

3fx03xfx03

所以lim3，即fx03，

2x03x2

所以fx02，

故選：B

fx0hfx0

7．（24-25高二·全國·課后作業(yè)）（多選）若函數(shù)fx在xx0處存在導數(shù)，則lim的值（）

h0h

A．與x0有關(guān)B．與h有關(guān)C．與x0無關(guān)D．與h無關(guān)

【答案】AD

【分析】由導數(shù)的定義判斷即可.

fxhfx

【詳解】由導數(shù)的定義可知，00，

limfx0

h0h

函數(shù)fx在xx0處的導數(shù)與x0有關(guān)，與h無關(guān)，

故選：AD．

nn

11

8．（24-25高三上·浙江·階段練習）已知：當n無窮大時，1的值為e，記為lim1e.運用上述

nnn

ln(12x)

結(jié)論，可得lim(x0).

x0x

【答案】2.

1

【分析】利用換元法和對數(shù)運算性質(zhì)將所求式子化簡為lim(1)n的結(jié)構(gòu)，即可求得.

nn

11

【詳解】令2x，則x，x0,x0，則t0,t，

t2t

1

因為lim(1)ne，

nn

1

ln1t

ln12xt11

則limlim2limtln12limln12lne2.

1

x0x01tttt

2t

2t

故答案為：2.

易錯點02：錯用函數(shù)的求導法則

2π

典例（24-25高三上·山東聊城·期末）函數(shù)yxcos2x的導數(shù)為（）

3

π2π

A．y2xcos2xxsin2x

33

π2π

B．y2xcos2x2xsin2x

33

2ππ

C．yxcos2x2xsin2x

33

π2π

D．y2xcos2x2xsin2x

33

【答案】B

【分析】利用導數(shù)的運算法則以及復合函數(shù)求導法則可求出原函數(shù)的導數(shù).

22π2ππ

【詳解】yxcos2xxcos2x2xcos2xxsin2x2x

33333

π2π

2xcos2x2xsin2x．

33

故選：B.

【易錯剖析】

本題容易錯用復合函數(shù)的求導法則而出錯，要注意求導公式和求導法則的適用前提.

【避錯攻略】

1．求導的基本公式

基本初等函數(shù)導函數(shù)

f(x)c（c為常數(shù)）f(x)0

f(x)xa(aQ)f(x)axa1

f(x)ax(a0，a1)f(x)axlna

1

f(x)logx(a0，a1)f(x)

axlna

f(x)exf(x)ex

1

f(x)lnxf(x)

x

f(x)sinxf(x)cosx

f(x)cosxf(x)sinx

2．導數(shù)的四則運算法則

（1）函數(shù)和差求導法則：[f(x)g(x)]f(x)g(x)；

（2）函數(shù)積的求導法則：[f(x)g(x)]f(x)g(x)f(x)g(x)；

f(x)f(x)g(x)f(x)g(x)

（3）函數(shù)商的求導法則：g(x)0，則[]．

g(x)g2(x)

3．復合函數(shù)求導數(shù)

復合函數(shù)yf[g(x)]的導數(shù)和函數(shù)yf(u)，ug(x)的導數(shù)間關(guān)系為：

yxyuux

易錯提醒：（1）復合函數(shù)對自變量的導數(shù)等于已知函數(shù)對中間變量的導數(shù),乘以中間變量對自變量的導

數(shù)即；（）求函數(shù)導數(shù)的總原則：先化簡解析式，再求導．注意以下幾點：連乘形式則先展

,yxyuux2

開化為多項式形式，再求導；三角形式，先利用三角函數(shù)公式轉(zhuǎn)化為和或差的形式，再求導；分式形式，

先化為整式函數(shù)或較為簡單的分式函數(shù)，再求導；復合函數(shù)，先確定復合關(guān)系，由外向內(nèi)逐層求導，必要

時可換元.

1

1．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）已知某函數(shù)的導數(shù)為y，則這個函數(shù)可能是（）

2(x1)

11

A．yln1xB．ylnC．yln(1x)D．yln

1xx1

【答案】A

【分析】利用復合函數(shù)導數(shù)的運算法則逐項計算即可得到結(jié)果.

【詳解】對于A，函數(shù)yln1x可以看作ylnu,uv和v1x的復合函數(shù)，

1

1121111

∴yxyuuvvx(lnu)(v)(1x)v(1)(1)，符合題意；

u21x21x2(1x)2(x1)

11

對于B，ylnln1x，∴y，不符合題意；

1x2(x1)

對于C，yln(1x)可以看作ylnu和u1x的復合函數(shù)，

11

∴yyu(lnu)(1x)(1)，不符合題意；

xuxux1

11

對于D，ylnln(x1)，∴y，不符合題意．

x1x1

故選：A.

2．（2025高三·全國·專題練習）下列求導運算錯誤的是（）

1

A．tanxtanxB．log2x

xln2

x2xx2x11

C．2e4x2eD．

x2xx

【答案】A

【分析】利用導數(shù)的運算法則與復合函數(shù)導數(shù)公式求解判斷即可.

sinxcosxcosxsinxsinx1

【詳解】A項，tanx，故A錯誤；

cosxcos2xcos2x

1

B項，logx，故B正確；

2xln2

222

C項，2exx2exx2x14x2exx，故C正確；

13

111

D項，x2x2，故D正確.

x22xx

故選：A.

ππ

3．（24-25高三·全國·聯(lián)考）已知函數(shù)f(x)cos2x，則f（）

34

11

A．1B．C．1D．

22

【答案】A

π

【分析】先利用復合函數(shù)的求導法則求出導函數(shù)，將x代入求值即可.

4

ππ

【詳解】因為f(x)cos2x，則f(x)2sin2x，

33

ππππ

所以f2sin2cos1．

4233

故選：A

1．（2025高三·全國·專題練習）函數(shù)yxln2x5的導數(shù)為（）

x

A．y2xln2x5B．y

2x5

x2x

C．yln2x5D．yln2x5

2x52x5

【答案】D

【分析】根據(jù)乘法的導數(shù)以及復合函數(shù)的導數(shù)等知識來求得正確答案.

【詳解】因為yxln2x5，

所以

yxln2x5xln2x5xln2x5

12x

ln2x5x2x5ln2x5.

2x52x5

故選：D

2．（24-25高三上·北京·開學考試）在下列函數(shù)中，導函數(shù)值不可能取到1的是（）

A．yxlnxB．ycosxC．y2xD．yxlnx

【答案】D

【分析】分別對各選項中函數(shù)求導，由導函數(shù)值等于1時，判斷能否求出對應的x的值，即可確定.

【詳解】對于A，y￠=lnx+1，令lnx11，得x1，即A選項導函數(shù)值可以取到1；

3π

對于B，ysinx，令sinx1，得x2kπ，kZ，即B選項導函數(shù)值可以取到1；

2

x1

對于C，y2xln2，令2xln21，得2，

ln2

11

由于1，所以xlog，即C選項導函數(shù)值可以取到1；

ln22ln2

111

對于D，y1，令11，則0，不存在x使其成立，即D選項導函數(shù)值不可能取到1，

xxx

故選：D.

3．（24-25高三上·上海寶山·階段練習）已知yexcosx，則（）

A．yexsinxB．yexsinx

xπxπ

C．y2esinxD．y2esinx

44

【答案】D

【分析】根據(jù)導數(shù)的運算法則計算即可．

xxxxπ

【詳解】由yexcosx，則yecosxesinxecosxsinx2esinx.

4

故選：D.

1

4．（24-25高三上·山西·期中）若函數(shù)fx滿足fxx3f2x23x，則f2的值為（）

2

A．1B．2C．3D．4

【答案】C

【分析】求解導函數(shù)，再賦值x2，解關(guān)于f(2)的方程可得.

1

【詳解】由fxx3f2x23x，得f(x)3x2f(2)x3，

2

則f(2)122f(2)3，解得f(2)3，

故選：C.

5．（24-25高二下·遼寧·階段練習）（多選）下列求導運算正確的是（）

11

A．ln2022B．(log4x)

20224xln4

11

．11．32

CDx3x2

tanxsin2xxx

【答案】BC

【分析】根據(jù)基本函數(shù)的導數(shù)公式及復合函數(shù)導數(shù)求法判斷各項正誤.

【詳解】由ln2022為常數(shù)，則ln20220，A錯誤；

1

由log4x1logx，則(log4x)(1logx)，B正確；

4444xln4

1cosxsin2xcos2x1

由，C正確；

tanxsinxsin2xsin2x

3121

由x3x，D錯誤．

xx2

故選：BC

6．（24-25高三上·陜西咸陽·期中）（多選）下列求導運算正確的是（）

11

．sinxxcosxsinx．

ABx12

xx2xx

．．2x2x

Clog230Dxe2xxe

【答案】ABC

【分析】利用基本初等函數(shù)的導數(shù)公式及導數(shù)的四則運算法則可得選項A，B，C正確，選項D錯誤.

sinx(sinx)xsinxxxcosxsinx

【詳解】A.，選項A正確.

xx2x2

111

B.xx1，選項B正確.

xxx2

C.log23為常數(shù)，選項C正確.

D.x2exx2exx2ex2xexx2ex2xx2ex，選項D錯誤.

故選：ABC.

7．（24-25高三上·江蘇淮安·開學考試）（多選）下列導數(shù)運算正確的是（）

1111

A．()B．(ex)exC．(tanx)D．(lnx)

xx2cos2xx

【答案】ACD

【分析】利用求導公式逐項判斷即可.

11

【詳解】對于A，()，故A正確；

xx2

對于B，(ex)ex，故B錯誤；

sinxcos2xsin2x1

對于C，(tanx)()=，故C正確；

cosxcos2xcos2x

(lnx),x01

對于D，(lnx)，故D正確.

lnx,x0x

故選：ACD

8．（24-25高三上·江蘇鹽城·階段練習）（多選）下列導數(shù)運算正確的是（）

'

11'

．．xx

A2Bee

xx

11

C．(tanx)'D．(lgx)'

cos2xxln10

【答案】ACD

【分析】根據(jù)求導公式、運算法則和簡單復合函數(shù)的求導依次計算，即可求解.

11

【詳解】A：()(x1)x2，故A正確；

xx2

B：(ex)(ex)(x)ex，故B錯誤；

sinx(sinx)cosxsinx(cosx)cos2xsin2x1

C：(tanx)()，故C正確；

cosxcos2xcos2xcos2x

1

D：(lgx)，故D正確.

xln10

故選：ACD

易錯點03：混淆“在某點”和“過某點”切線的區(qū)別

典例（2024·新疆·二模）過點1,4且與曲線fxx3x2相切的直線方程為（）

A．4xy0B．

C．4xy0或D．74?x?y4?+0或9=0

【答案】C7??4?+9=04??7?+24=0

【分析】先設(shè)過點的切線，再根據(jù)點在曲線上及切線斜率等于導數(shù)值解方程即可求值進而求出切線.

【詳解】設(shè)過點的曲線的切線為：，

2

000

有1,4?=?(?)?:???=3?+1???

2,

3?0+11??0=4??0

3

?0=?0+?0+2

解得或1,

0?0=?2

?=19

0

?=40

代入l可得4xy?0=或8.

故選：C7??4?+9=0

【易錯剖析】

本題容易誤將（1,4）點當做函數(shù)的切點而出錯，要注意過P點的切線P不一定是切點.

【避錯攻略】

1．在點P的切線方程

，

切線方程yf(x0)f(x0)(xx0)的計算：函數(shù)yf(x)在點A(x0f(x0))處的切線方程為

y0f(x0)

yf(x)f(x)(xx)，抓住關(guān)鍵．

000

kf(x0)

2．過點P的切線方程

，

設(shè)切點為P(x0y0)，則斜率kf(x0)，過切點的切線方程為：yy0f(x0)(xx0)，又因為切線方

，

程過點A(mn)，所以ny0f(x0)(mx0)然后解出x0的值．（x0有幾個值，就有幾條切線）

【注意】在做此類題目時要分清題目提供的點在曲線上還是在曲線外．

易錯提醒：（1）利用導數(shù)研究曲線的切線問題，一定要熟練掌握以下三點：

（1）函數(shù)在切點處的導數(shù)值是切線的斜率，即已知切點坐標可求切線斜率，已知斜率可求切點坐標．

（2）切點既在曲線上，又在切線上，切線還有可能和曲線有其它的公共點．

（）曲線＝在點處的切線與過點的切線的區(qū)別：曲線＝在點

3yfx“”P(x0,y0)“”P(x0,y0)yfxP(x0,y0)

＝

處的切線是指點為切點，若切線斜率存在，切線斜率為＝，是唯一的一條切線；曲線yfx過

Pkfx0

點的切線，是指切線經(jīng)過點，點可以是切點，也可以不是切點，而且這樣的直線可能有多條．

P(x0,y0)PP

（2）利用導數(shù)的幾何意義求參數(shù)的基本方法

利用切點的坐標、切線的斜率、切線的方程等得到關(guān)于參數(shù)的方程（組）或者參數(shù)滿足的不等式（組），

進而求出參數(shù)的值或取值范圍．

（3）求解與導數(shù)的幾何意義有關(guān)問題時應注意的兩點

（1）注意曲線上橫坐標的取值范圍；

（2）謹記切點既在切線上又在曲線上．

1．（24-25高三上·廣東·階段練習）函數(shù)fxlnx2x的圖象在點1,2處的切線與坐標軸所圍成的三角形

的面積為（）

1111

A．B．C．D．

2368

【答案】C

【分析】求導，根據(jù)導數(shù)的幾何意義可得切線方程，進而可切線與坐標軸交點，即可得三角形面積.

1

【詳解】由fxlnx2x，得fx2，f13，

x

則fx的圖象在點1,2處的切線方程為y23x1，即y3x1，

1

令x0，得y1，令y0，得x，

3

111

則該切線與坐標軸所圍成的三角形的面積為1，

236

故選：C.

2．（23-24高二下·山西晉城·期末）過原點O作曲線f(x)exax的切線，其斜率為2，則實數(shù)a（）

A．eB．2C．e+2D．e2

【答案】D

【分析】設(shè)出切點，求導，得切點處的切線方程，即可代入原點0,0求解.

x

【詳解】設(shè)切點x0,y0，則fxea，

xx

00x0

故切點處的切線方程為yeaxx0eax0，故ea2，

x0

將0,0代入得02x0eax0，故02x0a2ax0，解得a2或x01，

若a2，則ex022，此時無解，故a2不符合題意，

若x01，則ea2，故ae2，此時滿足題意，

故選：D

3．（24-25高三·山東臨沂·期中）若過點a,b可以作曲線yex1的兩條切線，則（）

A．eb1aB．ea1bC．0bea1D．0aeb1

【答案】C

【分析】根據(jù)題意，求出切線方程，然后對b進行討論即可.

【詳解】設(shè)切點為Px0,y0,

對yex1求導可得：yex1,

切線的斜率為ex01,

x01x01

可得切線方程為：yeexx0,

x01x01

把點a,b代入可得beeax0,

x01

化為beax01,

令fxex1ax1,xR,

fxex1ax,

令fx0得xa;令fx0得xa

所以函數(shù)fx在,a上單調(diào)遞增,在a,上單調(diào)遞減,

可得xa時函數(shù)fx取得極大值faea1.

當x時,fx0,fx0,

當x時,fx.

b0時，yb與函數(shù)fx的圖象最多有一個交點,不符合題意,舍去.

b0時,由過點a,b可以作曲線yex1的兩條切線,

yb與函數(shù)fx的圖象有兩個交點,

0bea1.

故選：C.

1．（24-25高三上·江蘇鹽城·階段練習）曲線yx2x1在x1處的切線方程為（）

A．x1B．y1C．yxD．yx1

【答案】D

【分析】求出函數(shù)的導數(shù)，求得切線的斜率，由點斜式方程可得切線的方程.

【詳解】因為yx2x1，所以y3x22x，

所以曲線yx2x1在x1處的切線的斜率為1，

當x1時，y0，所以切點為1,0，

所以切線方程為y0x1，即yx1.

2．（24-25高三上·河南·階段練習）曲線yex2ax在x0處的切線經(jīng)過點2,1，則實數(shù)a的值為（）

A．1B．0C．1D．2

【答案】C

【分析】求導，由導數(shù)幾何意義得到函數(shù)在x0處的切線斜率，結(jié)合兩點間斜率公式得到方程，求出實數(shù)a

的值.

【詳解】yex2a，由導數(shù)幾何意義知，

yex2ax在x0處的切線斜率為e02a12a，

11

當x0時y1，切線經(jīng)過點2,1，故有12a，解得a1.

02

故選：C．

x1

3．（24-25高三上·海南省直轄縣級單位·階段練習）函數(shù)y在點0,1處的切線與兩坐標軸圍成的封閉

x1

圖形的面積為（）

111

A．B．C．D．1

842

【答案】B

【分析】求導，根據(jù)導數(shù)的幾何意義求切線方程，進而可得交點坐標和面積.

2

x12y

【詳解】因為y1，則2，可得y|x02，

x1x1x1

即切點坐標為0,1，切線斜率為2，

1

則切線方程為y2x1，其與x軸交點為,0，

2

111

所以切線與兩坐標軸圍成的封閉圖形的面積為1.

224

故選：B.

1

4．（24-25高三上·天津武清·階段練習）若直線ykx與曲線ylnx相切，則k（）

2x

111

A．ln2B．C．D．4

424

【答案】B

【分析】設(shè)出切點坐標，求導并利用導數(shù)的幾何意義與兩點間的斜率公式計算可得直線斜率.

001

【