專題09圓錐曲線目錄題型一：圓錐曲線方程易錯點01忽略圓錐曲線定義中的限制條件易錯點02忽略圓錐曲線焦點的位置易錯點03求離心率范圍時忽略離心率本身范圍易錯點04求軌跡方程時忽略變量的取值范圍題型二：直線與圓錐曲線的位置關(guān)系易錯點05直線與圓錐曲線的位置關(guān)系考慮不全出錯易錯點06混淆“焦點弦”和“非焦點弦”易錯點07恒成立意義不明導(dǎo)致定點問題錯誤題型一：圓錐曲線方程易錯點01：忽略圓錐曲線定義中的限制條件典例4（24-25高三上·陜西榆林·期中）已知、是平面內(nèi)兩個不同的定點，則“為定值”是“動點的軌跡是雙曲線”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】利用特例法、雙曲線的定義以及充分條件、必要條件的定義判斷可得出結(jié)論.【詳解】若，則，此時，點的軌跡是線段的垂直平分線，所以，“為定值”“動點的軌跡是雙曲線”；若動點的軌跡是雙曲線，則為定值，所以，“為定值”“動點的軌跡是雙曲線”.因此，“為定值”是“動點的軌跡是雙曲線”的必要不充分條件.故選：B.【易錯剖析】在解題時容易雙曲線中定義中這一限制條件而錯選C.【避錯攻略】1、橢圓的定義(1)定義：把平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點的軌跡叫做橢圓，這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距，焦距的一半稱為半焦距．(2)幾何表示：|MF1|＋|MF2|＝2a(常數(shù))且2a>|F1F2|．【解讀】在橢圓定義中，必須2a>|F1F2|，這是橢圓定義中非常重要的一個條件；當(dāng)2a＝|F1F2|時，點的軌跡是線段F1F2；當(dāng)2a<|F1F2|時，動點軌跡不存在．因此在根據(jù)橢圓定義判斷動點的軌跡時，務(wù)必注意這一隱含的條件．2、雙曲線的定義（1）定義：平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對值等于非零常數(shù)(小于|F1F2|)的點的軌跡叫雙曲線，這兩個定點叫做雙曲線的焦點，兩焦點間的距離叫做雙曲線的焦距，焦距的一半稱為半焦距．(2)幾何表示：||MF1|－|MF2||＝2a(常數(shù))(2a＜|F1F2|)．【解讀】(1)常數(shù)要小于兩個定點的距離．(2)如果沒有絕對值，動點的軌跡表示雙曲線的一支．(3)當(dāng)2a＝|F1F2|時，動點的軌跡是以F1，F(xiàn)2為端點的兩條方向相反的射線(包括端點)．(4)當(dāng)2a>|F1F2|時，動點的軌跡不存在．3.拋物線的定義平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l(l不經(jīng)過點F)的距離相等的點的軌跡叫做拋物線．點F叫做拋物線的焦點，直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線．【解讀】(1)“一動三定”：一動點M；一定點F(即焦點)；一定直線l(即準(zhǔn)線)；一定值1(即動點M到定點F的距離與到定直線l的距離之比為1)．(2)定義中，要注意強調(diào)定點F不在定直線l上．當(dāng)直線l經(jīng)過點F時，點的軌跡是過定點F且垂直于定直線l的一條直線．易錯提醒：在應(yīng)用圓錐曲線的定義判斷軌跡類型時，一定要注意三種圓錐曲線定義中的限制條件，如橢圓要滿足曲線上動點到兩焦點距離之和是大于焦距的常數(shù)；雙曲線要滿足曲線上動點到兩焦點距離之差的絕對值是小于焦距的常數(shù)；二拋物線則要滿足定點不在定直線上.1．（24-25高二上·北京·階段練習(xí)）下列說法正確的個數(shù)是（

）①動點滿足，則P的軌跡是橢圓②動點滿足，則P的軌跡是雙曲線③動點滿足到y(tǒng)軸的距離比到的距離小1，則P的軌跡是拋物線④動點滿足，則P的軌跡是圓和一條直線（

）A．0 B．1 C．2 D．32．（2025高三·全國·專題練習(xí)）已知點，若動點滿足，則點的軌跡方程為（

）A． B．C． D．3．（2024·陜西西安·一模）平面上動點M到定點的距離比M到軸的距離大3，則動點M滿足的方程為.1．（24-25高三上·廣西·階段練習(xí)）已知圓和，若動圓與圓內(nèi)切，同時與圓外切，則該動圓圓心的軌跡方程為（

）A． B． C． D．2．（2024·安徽池州·二模）已知圓和兩點為圓所在平面內(nèi)的動點，記以為直徑的圓為圓，以為直徑的圓為圓，則下列說法一定正確的是（

）A．若圓與圓內(nèi)切，則圓與圓內(nèi)切B．若圓與圓外切，則圓與圓外切C．若，且圓與圓內(nèi)切，則點的軌跡為橢圓D．若，且圓與圓外切，則點的軌跡為雙曲線3．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）已知點，，動點滿足，則動點P的軌跡是（

）A．橢圓 B．直線 C．線段 D．不存在4．（24-25高三下·全國·課后作業(yè)）動點滿足方程，則點的軌跡是（）A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線5．（24-25高二上·黑龍江·期中）（多選）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點，，是一個動點，則（

）A．若，則點的軌跡為橢圓B．若，則點的軌跡為雙曲線C．若，則點的軌跡為直線D．若，則點的軌跡為圓6．（2024·河北·模擬預(yù)測）（多選）已知平面內(nèi)點，，點為該平面內(nèi)一動點，則（

）A．，點的軌跡為橢圓 B．，點的軌跡為雙曲線C．，點的軌跡為拋物線 D．，點的軌跡為圓7．（2025高三·全國·專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點、，點的軌跡為，則的方程為.8．（24-25高三下·湖北荊州·開學(xué)考試）已知動點到定點與定直線的距離的差為1．則動點的軌跡方程為．易錯點02：忽略圓錐曲線焦點的位置典例（24-25高三上·江蘇無錫·期中）求長軸長是短軸長的倍，且過點的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（

）A． B．C．或 D．【答案】C【分析】分析可知，，對橢圓的焦點位置進行分類討論，將點的坐標(biāo)代入橢圓方程，求出的值，即可得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】由題意可知，，若橢圓的焦點在軸上，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，將點的坐標(biāo)代入橢圓方程可得，解得，此時，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；若橢圓的焦點在軸上，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，將點的坐標(biāo)代入橢圓方程可得，解得，此時，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.綜上所述，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為或.故選：C.【易錯剖析】本題容易忽略對橢圓焦點位置的討論而漏解.【避錯攻略】1.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程焦點在x軸上焦點在y軸上標(biāo)準(zhǔn)方程x2a2＋y2by2a2＋x2b焦點(－c，0)與(c，0)(0，－c)與(0，c)a，b，c的關(guān)系c2＝a2－b2【解讀】(1)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是指當(dāng)橢圓在標(biāo)準(zhǔn)位置時的方程，所謂標(biāo)準(zhǔn)位置，就是指橢圓的中心在坐標(biāo)原點，橢圓的對稱軸為坐標(biāo)軸．(2)兩種橢圓x2a2＋y2b2＝1，y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)的相同點是：它們的形狀、大小都相同，都有a(3)x2項和y2項誰的分母大，焦點就在誰的軸上.2.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程焦點位置焦點在x軸上焦點在y軸上圖形標(biāo)準(zhǔn)方程x2a2－y2by2a2－x2b焦點坐標(biāo)F1(－c，0)，F(xiàn)2(c，0)F1(0，－c)，F(xiàn)2(0，c)a，b，c的關(guān)系c2＝a2＋b2【解讀】(1)焦點F1，F(xiàn)2的位置是雙曲線定位的條件，它決定了雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的類型．“焦點跟著正項走”，若x2項的系數(shù)為正，則焦點在x軸上；若y2項的系數(shù)為正，那么焦點在y軸上，即x2，y2的系數(shù)異號．(2)標(biāo)準(zhǔn)方程中的兩個參數(shù)a和b，確定了雙曲線的形狀和大小，是雙曲線定形的條件，注意這里的b2＝c2－a2與橢圓中的b2＝a2－c2相區(qū)別．其中c＞a，c＞b，而a，b無大小要求．3.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程圖形標(biāo)準(zhǔn)方程焦點坐標(biāo)準(zhǔn)線方程y2＝2px(p>0)Fpx＝－py2＝－2px(p>0)F?x＝px2＝2py(p>0)F0，y＝－px2＝－2py(p>0)F0，?y＝p【解讀】(1)只有拋物線的頂點在坐標(biāo)原點，焦點在坐標(biāo)軸上時，拋物線才具有標(biāo)準(zhǔn)形式．(2)標(biāo)準(zhǔn)方程的特征：等號的一邊是某個變量的平方，等號的另一邊是另一個變量的一次單項式．(3)拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程中參數(shù)p的幾何意義：拋物線的焦點到準(zhǔn)線的距離．(4)焦點在一次項變量對應(yīng)的坐標(biāo)軸上，開口方向由一次項系數(shù)的符號確定．當(dāng)系數(shù)為正時，開口向坐標(biāo)軸的正方向；當(dāng)系數(shù)為負(fù)時，開口向坐標(biāo)軸的負(fù)方向．易錯提醒：由于建系的方案不同，三種圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是不同的，橢圓、雙曲線分為焦點在x,y軸兩種情況，二拋物線則有四種方程，故我們在處理圓錐曲線方程相關(guān)問題時，一定要先定位，即分析焦點位置，不確定要討論，在定量，即求或的值．1．（24-25高二上·天津和平·期末）已知雙曲線的一條漸近線方程為，實軸長為2，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B．C．或 D．或2．（24-25高三上·四川雅安·診斷測試）已知橢圓的離心率為，則（

）A．2 B． C．4或 D．或23．（24-25高三上·陜西寶雞·期末）頂點在原點，且過點的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是.1．（2025高三·全國·專題練習(xí)）已知橢圓的中心在原點，焦點在坐標(biāo)軸上，且過點P（－5，4），Q（0，6），則橢圓的方程為（）A．1 B．1C．1 D．12．（24-25高二上·河北衡水·期末）過點且與橢圓有相同焦點的雙曲線方程為（

）A． B． C． D．3．（23-24高三下·安徽·期末）已知雙曲線，則“”是“雙曲線的離心率為”的（

）A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件4．（24-25高三上·河南·階段練習(xí)）頂點在原點，關(guān)于軸對稱，并且經(jīng)過點的拋物線方程為（

）A． B． C． D．5．（24-25高三上·山西太原·階段練習(xí)）已知橢圓，則“”是“橢圓的離心率為”的（

）A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件6．（24-25高三上·上海楊浦·階段練習(xí)）與橢圓有相等的焦距，且過圓的圓心的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．7．（23-24高二上·江蘇南通·期末）寫出符合下列兩個條件的一個雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.①實軸長為4；②漸近線方程為8．（2024·陜西榆林·二模）已知拋物線經(jīng)過點，寫出的一個標(biāo)準(zhǔn)方程：.9．（24-25高二上·江蘇鹽城·階段練習(xí)）分別求符合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)過點，且與橢圓有相同的焦點．(2)經(jīng)過兩點，．易錯點03：求離心率范圍時忽略離心率本身范圍典例（24-25高三上·山東濱州·階段練習(xí)）設(shè)分別為橢圓的左、右焦點，在橢圓上運動時，至少有兩個位置使得，則橢圓C的離心率范圍是．【答案】【分析】探求動點的軌跡，找出滿足的不等關(guān)系，再轉(zhuǎn)化為離心率解之即可.【詳解】因為動點滿足，所以在以為直徑的圓上.又因為在橢圓上運動時，至少有兩個位置使得，所以，則，即，同除得，解之得.故答案為：.【易錯剖析】本題容易忽略橢圓的離心率滿足這一范圍而出錯.【避錯攻略】求離心率范圍的方法技巧1：建立關(guān)于和的一次或二次方程與不等式．技巧2：利用線段長度的大小建立不等關(guān)系．為橢圓的左、右焦點，為橢圓上的任意一點，；為雙曲線的左、右焦點，為雙曲線上的任一點，．技巧3：利用角度長度的大小建立不等關(guān)系．為橢圓的左、右焦點，為橢圓上的動點，若，則橢圓離心率的取值范圍為．技巧4：利用與雙曲線漸近線的斜率比較建立不等關(guān)系．技巧5：涉及的關(guān)系式利用基本不等式，建立不等關(guān)系．易錯提醒：圓錐曲線的率的范圍是有限定的，橢圓的離心率范圍是，而雙曲線的離心率范圍是，在求范圍的時候要時刻注意.1．（24-25高三上·北京·期中）橢圓上存在一點P滿足，分別為橢圓的左右焦點，則橢圓的離心率的范圍是（）A． B． C． D．2．（2024·全國·模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系中，已知雙曲線左、右頂點為A，B，若該雙曲線上存在點P，使得的斜率之和為1，則該雙曲線離心率的范圍為（

）A． B． C． D．3．（23-24高三上·河北邢臺·期末）設(shè)橢圓與雙曲線，若雙曲線的一條漸近線的斜率大于，則橢圓的離心率的范圍是.1．（2021·黑龍江哈爾濱·三模）雙曲線：（，）右焦點為，過傾斜角為的直線與雙曲線右支交于，兩點，則雙曲線離心率的范圍為（

）A． B． C． D．2．（23-24高二上·湖南郴州·期末）已知是橢圓的兩個焦點，點在上，若使為直角三角形的點有8個，則的離心率的范圍是（

）A． B． C． D．3．（24-25高三上·浙江嘉興·期末）已知橢圓的右焦點為F，P?Q是橢圓上關(guān)于原點對稱的兩點，M?N分別是PF?QF的中點，若以MN為直徑的圓過原點，則橢圓的離心率e的范圍是.4．（23-24高二上·云南昆明·期末）已知雙曲線的焦點在軸上，則離心率的范圍為．5．（24-25高二上·遼寧大連·期中）已知雙曲線的漸近線方程為，則其離心率為．6．（23-24高二上·江西南昌·期中）設(shè)，是橢圓與雙曲線的公共焦點，曲線，在第一象限內(nèi)交于點，，若橢圓的離心率，則雙曲線的離心率的范圍是.7．（24-25高三上·湖北·階段練習(xí)）已知是橢圓的內(nèi)接三角形，其中原點是的重心，若點A的橫坐標(biāo)為，直線的傾斜角為，則橢圓的離心率為．易錯點04：求軌跡方程時忽略變量的取值范圍典例（24-25高二上·河南平頂山·階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知的頂點，其內(nèi)切圓圓心在直線上，則頂點的軌跡方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)，結(jié)合雙曲線的定義，可得答案.【詳解】如圖，設(shè)與圓的切點分別為，則有，所以.根據(jù)雙曲線定義，所求軌跡是以為焦點，實軸長為2的雙曲線的右支（右頂點除外），即，又，所以，所以方程為.故選：B.【易錯剖析】本題容易忽略自變量的取值范圍而出錯而出錯.【避錯攻略】求軌跡方程的方法1.直接法利用直接法求動點的軌跡方程的步驟如下：第一步：建系：建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系第二步：設(shè)點：設(shè)軌跡上的任一點第三步：列式：列出有限制關(guān)系的幾何等式第四步：代換：將軌跡所滿足的條件用含的代數(shù)式表示，如選用距離和斜率公式等將其轉(zhuǎn)化為的方程式化簡注：若求動點的軌跡，則不但要求出動點的軌跡方程，還要說明軌跡是什么曲線．2.定義法根據(jù)動點滿足的幾何條件判斷出軌跡的類型，然后求出軌跡方程．3.相關(guān)點法如果動點的運動是由另外某一點的運動引發(fā)的，而該點的運動規(guī)律已知，（該點坐標(biāo)滿足某已知曲線方程），則可以設(shè)出，用表示出相關(guān)點的坐標(biāo)，然后把的坐標(biāo)代入已知曲線方程，即可得到動點的軌跡方程．4.交軌法在求動點的軌跡方程時，存在一種求解兩動曲線交點的軌跡問題，這類問題常?？梢韵冉夥匠探M得出交點（含參數(shù)）的坐標(biāo)，再消去參數(shù)得出所求軌跡的方程，該方法經(jīng)常與參數(shù)法并用，和參數(shù)法一樣，通常選變角、變斜率等為參數(shù)．易錯提醒：求軌跡方程時，要注意準(zhǔn)確確定范圍，應(yīng)充分挖掘題目中的隱含條件、限制條件，求出方程后要考慮相應(yīng)的限制條件，避免因考慮不全面致錯．1．（24-25高三上·湖南邵陽·階段練習(xí)）一動圓過定點，且與已知圓：外切，則動圓圓心的軌跡方程是（）A． B．C． D．2．（24-25高二上·湖南長沙·期中）已知兩點的坐標(biāo)分別是，直線相交于點，且直線的斜率與直線的斜率的差是，則點的軌跡方程為（

）A．B．C．D．3．（24-25高三上·山東濱州·階段練習(xí)）已知的頂點，，且周長為16，求頂點的軌跡方程．1．（24-25高二上·福建莆田·期中）已知圓和圓，動圓同時與圓及圓相外切，則動圓圓心的軌跡方程是（

）A． B．C． D．2．（24-25高三上·山東青島·階段練習(xí)）已知橢圓，從上任意一點向軸作垂線段為垂足，則線段的中點的軌跡方程為（

）A．B．C． D．3．（24-25高二上·江蘇南通·階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，，動點和分別位于正半軸和負(fù)半軸上，若，則和的交點的軌跡方程為（

）A． B．C． D．4．（24-25高三上·廣東·開學(xué)考試）（多選）設(shè)兩點的坐標(biāo)分別是，直線相交于點，設(shè)直線的斜率分別為，下列說法正確的是（

）A．當(dāng)時，點的軌跡是橢圓的一部分B．當(dāng)時，點的軌跡是雙曲線的一部分C．當(dāng)時，點的軌跡是拋物線的一部分D．當(dāng)時，點的軌跡是橢圓的一部分5．（2024高三·全國·專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，曲線上的點到點，的距離之積為定值，且曲線經(jīng)過坐標(biāo)原點，若點為曲線上一點，則（

）A．曲線的方程為B．點在曲線上C．D．6．（24-25高三上·全國·課后作業(yè)）已知，過點且斜率不為零的直線交于，兩點，過點作交于，則；點的軌跡方程為．7．（24-25高二上·江蘇南通·階段練習(xí)）已知點是橢圓的一個焦點，且橢圓經(jīng)過，兩點，則橢圓的另一個焦點的軌跡方程為．8．（24-25高二上·上?！て谥校┮阎矫嬷苯亲鴺?biāo)系中B?2,0、．若A為動點且滿足，則動點的軌跡方程為．9．（24-25高二上·江蘇南通·階段練習(xí)）如圖，軸，垂足為，點在的延長線上，且，當(dāng)點在圓上運動時，點的軌跡方程為．題型二：直線與圓錐曲線的位置關(guān)系易錯點05：直線與圓錐曲線的位置關(guān)系考慮不全出錯典例(2024·四川南部縣模擬)過點P(3,1)作直線l與拋物線y2＝－4x只有一個交點，這樣的直線l有________條()A．1 B．2C．3 D．4【答案】C【解析】當(dāng)直線l斜率不存在時，l：x＝3，與拋物線無交點，不合題意；當(dāng)直線l斜率為零時，l：y＝1，與拋物線有且僅有一個交點，滿足題意；當(dāng)直線l斜率不為零時，x－3＝eq\f(1,k)(y－1)，即x＝eq\f(1,k)(y－1)＋3，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,k)y－1＋3，,y2＝－4x))得ky2＋4y＋12k－4＝0，則Δ＝16－4k(12k－4)＝0，解得k＝eq\f(1±\r(13),6)，∴滿足題意的直線l有兩條；綜上所述，過點P(3,1)與拋物線y2＝－4x只有一個交點的直線l有3條．【易錯剖析】本題容易忽略對斜率不存在、二次方程的二次項系數(shù)是否為零的討論.【避錯攻略】1．直線與圓錐曲線的位置關(guān)系(1)直線與圓錐曲線的位置關(guān)系有相交、相切、相離；相交有兩個交點(特殊情況除外)，相切有一個交點，相離無交點．(2)判斷直線l與圓錐曲線C的位置關(guān)系時，通常將直線l的方程Ax＋By＋C＝0代入圓錐曲線C的方程．消去y(或x)得到一個關(guān)于變量x(或y)的方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)．①當(dāng)a≠0時，可考慮一元二次方程的判別式Δ，有Δ＞0時，直線l與曲線C相交；Δ＝0時，直線l與曲線Ceq\o(□,\s\up1(5))相切；Δ＜0時，直線l與曲線C相離．②當(dāng)a＝0時，即得到一個一次方程，則l與C相交，且只有一個交點，此時，若C為雙曲線，則直線l與雙曲線的漸近線平行；若C為拋物線，則直線l與拋物線的eq\o(□,\s\up1(8))對稱軸平行或重合．2．圓錐曲線的弦長公式設(shè)直線與圓錐曲線的交點坐標(biāo)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(（1＋k2）[（x1＋x2）2－4x1x2])或|AB|＝eq\r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|＝eq\r(（1＋\f(1,k2)）[（y1＋y2）2－4y1y2])，k為直線斜率且k≠0.易錯提醒：在判斷直線和圓錐曲線的位置關(guān)系時，先聯(lián)立方程組，再消去x(或y)，得到關(guān)于y(或x)的方程，如果是直線與圓或橢圓，則所得方程一定為一元二次方程；如果是直線與雙曲線或拋物線，則需討論二次項系數(shù)等于零和不等于零兩種情況，只有二次方程才有判別式，另外還應(yīng)注意斜率不存在的情形．1．（24-25高三上·北京·階段練習(xí)）若直線與雙曲線恰好有一個交點，則直線的斜率的所有可能值為.2．（24-25高二上·河南南陽·階段練習(xí)）（多選）已知直線：，雙曲線：.以下說法正確的是（

）A．當(dāng)時，直線與雙曲線只有一個公共點B．直線與雙曲線只有一個公共點時，或C．當(dāng)或時，直線與雙曲線沒有公共點D．當(dāng)時，直線與雙曲線有兩個公共點3．（24-25高三上·廣東廣州·階段練習(xí)）已知橢圓，直線，若橢圓C上存在兩點關(guān)于直線l對稱，則m的取值范圍是（

）A． B． C． D．1．（24-25高三上·北京·階段練習(xí)）過點且與拋物線恰有一個公共點的直線的條數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．32．（24-25高二上·北京·階段練習(xí)）設(shè)直線與橢圓相交于、兩點，當(dāng)變化時，線段的中點所在的直線方程為（

）A． B．C． D．3．（24-25高二上·廣西北?！て谥校ǘ噙x）若直線與雙曲線的左、右兩支各有一個交點，則的方程可以是（

）A． B． C． D．4．（24-25高三上·北京·期末）直線與雙曲線的右支只有一個公共點，則的取值范圍為.5．（24-25高二上·陜西西安·階段練習(xí)）雙曲線與直線的公共點個數(shù)；6．（24-25高三上·陜西漢中·階段練習(xí)）已知橢圓的長軸長是短軸長的倍，且橢圓E經(jīng)過點．(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)直線交橢圓E于M，N兩點，若線段中點的橫坐標(biāo)為，求直線l的方程．7．已知直線l：y＝2x＋m，橢圓C：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1.試求當(dāng)m取何值時，直線l與橢圓C：(1)有兩個不同的公共點；(2)有且只有一個公共點．8．對稱軸都在坐標(biāo)軸上的雙曲線過點，，斜率為的直線過點.(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線與雙曲線有兩個交點，求斜率的取值范圍；(3)是否存在實數(shù)使得直線與雙曲線交于A，B兩點，且點P恰好為AB中點？為什么？易錯點06：混淆“焦點弦”和“非焦點弦”典例（24-25高三上·山東青島·階段練習(xí)）頂點在原點，焦點在x軸上且截直線所得弦長為的拋物線方程為【答案】或【詳解】設(shè)所求拋物線方程為①，直線方程變形為②．設(shè)直線與拋物線交于A，B兩點，將②代入①整理得，則．解得或．故所求拋物線方程為或．【易錯剖析】本題容易忽略斜率不存在的情況而造成漏解.【避錯攻略】斜率為直線與拋物線交于兩點，若求弦的長.（1）一般弦長公式：．（2）焦點弦長：設(shè)AB是拋物線的一條過焦點F的弦，，，則弦長．易錯提醒：求拋物線弦長的時候，應(yīng)該首先確認(rèn)直線是否通過拋物線的焦點，如果通過焦點就用焦點弦公式，否則只能用一般弦長公式.1．（24-25高二上·吉林·期末）設(shè)為拋物線：的焦點，過且斜率為1的直線交拋物線于，兩點，則（

）A．10 B．8 C．6 D．2．（24-25高三上·河北張家口·階段練習(xí)）直線經(jīng)過拋物線的焦點，且與拋物線交于、兩點.若，則（

）A． B． C． D．3．（24-25高三上·河南·階段練習(xí)）已知拋物線：，過點的直線與交于，兩點，則下列說法正確的是（

）A．B．C．的最小值為16D．若點是的外心，其中是坐標(biāo)原點，則直線的斜率的最大值為1．（24-25高二上·甘肅白銀·期末）直線過拋物線的焦點，且與拋物線交于、兩點，則的最小值為（

）A． B． C． D．2．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知拋物線，過點作拋物線的兩條切線，兩個切點分別為，若，則的值為（

）A．2或 B．1或C．2或 D．1或3．（2024·河南新鄉(xiāng)·一模）（多選）已知拋物線的焦點為，過點的直線的斜率為，且與交于兩個不同的點（點在軸的上方），下列說法正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．點的縱坐標(biāo)之積與有關(guān) D．若（為坐標(biāo)原點），則4．（24-25高三上·江蘇南京·期中）已知拋物線，直線與拋物線交于，兩點，分別過，兩點作拋物線準(zhǔn)線的垂線，，垂足分別是，，下列說法正確的是(

).A．直線過拋物線的焦點B．當(dāng)時，，兩點橫坐標(biāo)的和為5C．當(dāng)時，直線截拋物線所得的弦長為8D．以為直徑的圓與直線相切5．（24-25高二上·江蘇泰州·階段練習(xí)）設(shè)為坐標(biāo)原點，直線過拋物線的焦點，且與交于，兩點，若直線為的準(zhǔn)線，則（

）A． B．C．以為直徑的圓與相切 D．為等腰三角形6．（2025高三·全國·專題練習(xí)）已知拋物線：，若第一象限的A，B兩點在拋物線上，焦點為F，，，，則直線的斜率k的值為．7．（24-25高三上·江蘇南通·階段練習(xí)）已知為坐標(biāo)原點，直線與拋物線相交于兩點，則的面積為．8．（24-25高三上·甘肅白銀·期末）已知拋物線上的點到焦點的距離為4.(1)求的值；(2)過拋物線的焦點的直線與拋物線相交于，兩點，且，求直線的方程.易錯點07：恒成立意義不明導(dǎo)致定點問題錯誤典例已知拋物線的焦點為，過作兩條相互垂直的弦，，設(shè)弦，的中點分別為，．求證：直線恒過定點．【解析】設(shè)，，．由題意，知，直線的斜率存在且不為0，設(shè)直線的斜率為，其方程為，代入，得，得，又，故．設(shè)直線的斜率為，因為，所以．同理，可得．所以直線的方程為，化簡整理，得，該方程對任意恒成立，故解得故不論為何值，直線恒過定點．【易錯剖析】本題容易出錯的地方有兩個：一是在用參數(shù)表示直線的方程時計算錯誤；二是在得到了直線系的方程后，對直線恒過定點的意義不明，找錯方程的常數(shù)解．【避錯攻略】1、求定值問題常見的方法有兩種：（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關(guān)．（2）直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值．常用消參方法：①等式帶用消參：找到兩個參數(shù)之間的等式關(guān)系，用一個參數(shù)表示另外一個參數(shù)，即可帶用其他式子，消去參數(shù)．②分式相除消參：兩個含參數(shù)的式子相除，消掉分子和分母所含參數(shù)，從而得到定值．③因式相減消參：兩個含參數(shù)的因式相減，把兩個因式所含參數(shù)消掉．④參數(shù)無關(guān)消參：當(dāng)與參數(shù)相關(guān)的因式為時，此時與參數(shù)的取值沒什么關(guān)系，比如：，只要因式，就和參數(shù)沒什么關(guān)系了，或者說參數(shù)不起作用．2、求解直線過定點問題常用方法如下：（1）“特殊探路，一般證明”：即先通過特殊情況確