專題能力訓練20概率、統(tǒng)計與統(tǒng)計案例

能力突破訓練

L某公司的班車在730,8:00,8:30發(fā)車,小明在7:50至8:30之間到達

發(fā)車站乘坐班車,且到達發(fā)車站的時刻是隨機的，則他等車時間不超過10

分鐘的概率是（）

A.-B.i

32

C.-D.-

34

2.在樣本的頻率分布直方圖中,共有5個小長方形,若中間一個長方形的

面積等于其他4個小長方形面積和的￡且樣本容量為140,則中間一組的

頻數(shù)為（）

A.10B.20C.40D.70

3.（四川雅安三模）為測試一種新藥預防疾病的效果,某科研小組進行動物

實驗，收集整理數(shù)據(jù)后將所得結果填入相應的2X2列聯(lián)表也由列聯(lián)表中

的數(shù)據(jù)計算得K2^9.616.參照附表，下列結論正確的是（）

附表：

P(K2^ko)0.0500.0100.0050.001

ko3.8416.6357.87910.828

A.在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下，認為“新藥有效”

B.在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下,認為“新藥無效”

C.在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下,認為“新藥有效”

D.在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下，認為“新藥無效”

4.甲、乙兩個工廠的輪胎寬度的雷達圖如圖所示.根據(jù)下圖中的信息，下面

說法錯誤的是（）

甲廠輪胎寬度（單位:mm）

?乙廠輪胎寬度（單位:mm）

A.甲廠輪胎寬度的平均數(shù)大于乙廠輪胎寬度的平均數(shù)

B.甲廠輪胎寬度的眾數(shù)大于乙廠輪胎寬度的眾數(shù)

C.甲廠輪胎寬度的中位數(shù)與乙廠輪胎寬度的中位數(shù)相同

D.甲廠輪胎寬度的極差小于乙廠輪胎寬度的極差

5.（云南一模）某中學為提高學生的健康水平,增設了每天40分鐘的體育

鍛煉課程，學生可以在跳繩、羽毛球、乒乓球、籃球、足球等課程中選擇

一門.為了解該校學生選擇乒乓球課程的情況,在全校班級中隨機抽取了

7個班（將其編號為1.2,…,7）,下表是這7個班的學生選擇乒乓球課程的

人數(shù)統(tǒng)計表.

班級編號1234567

人數(shù)1510141591113

若從這7個班中隨機選取2個進行調查研究,則選出的2個班中至少

有1個班的學生選擇乒乓球課程的人數(shù)超過12的概率為（）

卜?三

c-i

6.1904年,瑞典數(shù)學家柯克構造了一種曲線,取一個正三角形,在每個邊

以中間的二部分為一邊，向外凸出作一個小正三角形,再把原來邊上中間的

;部分擦掉,就成了一個很像雪花的六角星,如圖所示.現(xiàn)在向正三角形的

外接圓中均勻地撒放1000粒豆子,則落在六角星中的豆子數(shù)約為

()(n^3,73^1.732)

A.577B.537C.481D.331

7.一個平面封閉圖形的周長與面積之比為“周積率”.由三個半圓構成的

圖形,如圖,其中最大半圓的直徑為8,若在最大的半圓內(nèi)隨機取一點,該

點取自陰影部分的概率為則陰影部分的“周積率”為__________.

8

8.(廣西桂林二模)某地區(qū)為了解居民的半年收入情況,隨機抽取轄區(qū)內(nèi)的

1200個家庭進行調查,半年收入均在[0,10](單位:萬元)范圍內(nèi)，將調查

的數(shù)據(jù)分成[0,2),[2,4),[4,6),[6,8),[8,10]五組，并繪制成頻率分布直

方圖如圖所示.

頻率/組距

0.125

0.065

0.030

10收入/萬元

⑴求圖中x的值；

(2)若從半年收入在第一組[0,2)和第二組[2,4)的家庭中利用分層抽樣的

方法抽取6個家庭,并從這6個家庭中任選2個家庭進行深入調研,求這2

個家庭的半年收入不在同一組的概率.

9.某工廠為提高生產(chǎn)效率,開展技術創(chuàng)新活動,提出了完成某項生產(chǎn)任務

的兩種新的生產(chǎn)方式.為比較兩種生產(chǎn)方式的效率,選取40名工人,將他

們隨機分成兩組,每組20人,第一組工人用第一種生產(chǎn)方式,第二組工人

用第二種生產(chǎn)方式.根據(jù)工人完成生產(chǎn)任務的工作時間(單位:min)繪制了

如下莖葉圖:

第一種生產(chǎn)方式第二種生產(chǎn)方式

8655689

976270122345668

987765433281445

2110090

(1)根據(jù)莖葉圖判斷哪種生產(chǎn)方式的效率更高?并說明理由.

(2)求40名工人完成生產(chǎn)任務所需時間的中位數(shù)m,并將完成生產(chǎn)任務所

需時間超過m和不超過m的工人數(shù)填入下面的列聯(lián)表:

生產(chǎn)方式超過m不超過m

第一種生產(chǎn)方式

第一種生產(chǎn)方式

(3)根據(jù)(2)中的列聯(lián)表,能否在犯錯誤的概次不超過0.01的前提下認為

兩種生產(chǎn)方式的效率有差異?

2

附：Y二n(ad.-bc')

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)'

P(K2^ko)0.0500.0100.001

k03.8416.63510.828

10.某研究機構對某校學生往返校時間的統(tǒng)計資料表明：該校學生居住地

到學校的距離x（單位:千米）和學生花費在上學路上的時間y（單位:分鐘）

有如下的統(tǒng)計資料：

到學校的距離X/千米1.82.63.14.35.56.1

花費的時間y/分鐘17.819.627.531.336.043.2

如果統(tǒng)計資料表明y與x有線性相關關系，

(1)判斷y與X是否有很強的線性相關性？(相關系數(shù)r的絕對值大于0.75

時認為兩個變量有很強的線性相關性,精確到0.01)

(2)求線性回歸方程丫=bx+a;(精確到0.01)

(3)將y<27分鐘的時間數(shù)據(jù)yt稱為美麗數(shù)據(jù),現(xiàn)從這6個時間數(shù)據(jù),中任

取2個,求抽取的2個數(shù)據(jù)全部為美麗數(shù)據(jù)的概率.

參考數(shù)

66666

據(jù)：￡Xi=23.4,￡yi=l75.4,￡Xiyi=764.36,E據(jù)-道(y「歹)=80.30,E據(jù)

i=ii=ii=it=l

2弓(xx)2(y廣歹產(chǎn)口82.13.

-X)=14.30,￡(y］歹)2=471.65,1rI

i=lNi=li=l

6

參考公式:「產(chǎn)科“.Z(陽一元)iyry)

—i=i_________________

6?

E(陽與產(chǎn)2

22

Z(Xi-x)Z(yry)1=1

Ji=it=i

思維提升訓練

11.某校一個課外學習小組為研究某作物種子的發(fā)芽率y和溫度x（單

位:°C）的關系,在20個不同的溫度條件下進行種子發(fā)芽實驗，由實驗數(shù)據(jù)

（X：,Yi）（i=l,2,…,20）得到下面的散點圖:

由此散點圖，在10℃至40℃之間，下面四個回歸方程類型中最適宜作為

發(fā)芽率y和溫度x的回歸方程類型的是（）

A.y=a+bxB.y=a+bx2

C.y=a+bexD.y=a+blnx

12.某產(chǎn)品在某零售攤位的零售價x（單位:元）與每天的銷售量y（單位:個）

的統(tǒng)計資料如下表所示.由表可得回歸直線方程y=bx+Q中的匕=-4,據(jù)此

模型預測零售價為15元時,每天的銷售量為（）

X16171819

y50344131

A.51個B.50個C.49個D.48個

13.學校舉行羽毛球混合雙打比賽,每隊由一男一女兩名運動員組成.某班

級從3名男生酊A2,A,和4名女生BhB2,B3,BI中各隨機選出兩人，把選出的

4人隨機分成兩隊進行羽毛球混合雙打比賽，則Ai和Bi兩人組成一隊參加

比賽的概率為（）

A.—B.-C.iD.3

18969

14.從區(qū)間［-2,3］中任取一個實數(shù)a,則a的值使函數(shù)f（x）=x+asinx在R

上單調遞增的概率為（）

A.-4B.3-C.-2D.i1

5555

4

15.在一組樣本數(shù)據(jù)中，1,2,3,4出現(xiàn)的頻率分別為,p,P3,P-1,且IPi=l,

P121=1

則下面四種情形中，對應樣本的標準差最大的一組是（）

A.pi=p4=0.1,p2=P3=0.1

B.pi=p4=0.4,p2=P3=0.1

C.pi=p4=0.2,p?=ps=0.3

D.Pi—P4=O.3,P2—P3=0.2

16.對具有相關關系的兩個變量x和y進行回歸分析時，經(jīng)過隨機抽樣獲得

成對的樣本點數(shù)據(jù)（x,成（i=l,2,…,n）,有下列結論:

①若兩變量X,y具有線性相關關系，則回歸直線至少經(jīng)過一個樣本點；

②若兩變量x,y具有線性相關關系，則回歸直線一定經(jīng)過樣本點中心

（x,y）;

③若以模型kae"擬合該組數(shù)據(jù)，為了求出回歸方程,設z=lny,將其變換

后得到線性方程z=6x+ln3,則a,b的估計值分別是3和6;

n*2

④用R'l-窠1三來刻畫回歸模型的擬合效果時,若所有樣本點都落在

一（'田

?條斜率為非零實數(shù)的直線上，則R2的值為1.

其中正確的結論是.（填序號）

17.A,B,C三個班共有100名學生,為調查他們的體育鍛煉情況,通過分層

抽樣獲得了部分學生一周的鍛煉時間,數(shù)據(jù)如下表（單位:小時）:

A班66.577.58

7

B班689101112

C班34.567.5910.51213.5

（1）試估計C班的學生人數(shù);

⑵從A班和C班抽出的學生中，各隨機選取一人,A班選出的人記為甲,C

班選出的人記為乙.假設所有學生的鍛煉時間相互獨立,求該周甲的鍛煉

時間比乙的鍛煉時間長的概率；

（3）再從A,B,C三個班中各隨機抽取一名學生，他們該周的鍛煉時間分別

是7,9,8.25（單位:小時），這3個新數(shù)據(jù)與表格中的數(shù)據(jù)構成的新樣本的

平均數(shù)記為小,表格中數(shù)據(jù)的平均數(shù)記為人,試判斷U。和d的大

小.（結論不要求證明）

18.某沙漠地區(qū)經(jīng)過治理,生態(tài)系統(tǒng)得到很大改善,野生動物數(shù)量有所增加,

為調查該地區(qū)某種野生動物的數(shù)量,將其分成面積相近的200個地塊,從

這些地塊中用簡單隨機抽樣的方法抽取20個作為樣區(qū)，調查得到樣本數(shù)

據(jù)(X1,據(jù)(i，2,…,據(jù))，其中X,和山分別表示第i個樣區(qū)的植物覆蓋面

2020

積(單位:公頃)和這種野生動物的數(shù)量,并計算得￡x尸60,Zyk1

i—1i=l

202020

200,￡(-x)2=80,L(y「歹)2=9000,￡(-x)(yry)=800.

i=lXii=li=lXi

(1)求該地區(qū)這種野生動物數(shù)量的估計值(這種野生動物數(shù)量的估計值等

于樣區(qū)這種野生動物數(shù)量的平均數(shù)乘以地塊數(shù))；

(2)求樣本E,y；)(i=l,2,…,20)的相關系數(shù)(精確到0.01);

⑶根據(jù)現(xiàn)有統(tǒng)計資料,各地塊間植物覆蓋面積差異很大.為提高樣本的代

表性以獲得該地區(qū)這種野生動物數(shù)量更準確的估計,請給出一種你認為更

合理的抽樣方法,并說明理由.

n

L(xx)(yy)

rr,72^1.414.

附：相關系數(shù)片n

V9，。今

I2

E(xrx)E(yry)

1=11=1

專題能力訓練20概率、統(tǒng)計與統(tǒng)計案例

能力突破訓練

1.B解析這是兒何概型問題.如圖,所有基本事件的總長為40分鐘,等車

時間不超過10分鐘的時間段為7:50至8:00和8:20至8:30,共20分鐘,

故他等車時間不超過10分鐘的概率P=各=

402

故選B.

,▲!,▲!

7:508:()08:208:30

2.C解析因頻率分布直方圖中，各小矩形面積是該小矩形對應組的頻率,

且各小矩形面積和為1,設中間一組的頻率為x,則其他4組的頻率為1-x,

由題意知X=1(l-x),解得x=|,

所以中間一組的頻數(shù)為:x140=40.

3.C解析由已知得6.635<K\10.828,所以在犯錯誤的概率不超過0.01

的前提下，認為“新藥有效”.

4.B解析由題意可知甲廠輪胎寬度的平均數(shù)是195,眾數(shù)是194,中位數(shù)

是194.5,極差是3;乙廠輪胎寬度的平均數(shù)是194,眾數(shù)是195,中位數(shù)是

194.5,極差是5,則A,C,D正確,B錯誤.

5.D解析由題意可知選擇乒乓球課程的人數(shù)超過12的班有4個,不超過

12的班有3個，故選出的2個班中至少有1個班的學生選擇乒乓球課程的

人數(shù)超過12的概率為1-1=

6.A解析設原大正三角形邊長為3a(a>0),原正三角形外接圓的半徑為

R(R>0),則由正弦定理得一會二2R,即R=V3a,于是外接圓面積S網(wǎng)

sin60

=nR2=3a2n.

又由題意得凸出來的小正三角形邊長為a,則S六角星二S大正三角形+3S小正三角形

_1Q有s、,1V3_B2fmF六角星3V3a2y/3八匚七

=--o3a?3a—+3x--a?a—二o3V3a,則----=——=—七0.577,

2222'」S圓3。21T1T

所以落在六角星中的豆子數(shù)約為1000X0.577=577.

7.2解析依題意，設較小的白色半圓的半徑為r(0<r<2),則較大的白色半

圓的半徑為等M-r,

ITX42Trr2n(4-r)2

所以g=

2

解得r=l或r=3(舍去).

所以陰影部分的“周積率"為】"：+了3；丫1*

-/X32-尹X#3

8.解(1)依題意,2X(0.125+x+O.065+0.03+0.03)=1,解得x=0.25.

(2)由題意可知抽取的6個家庭中，半年收入在第一組［0,2)的家庭有2個,

分別記為x,y,半年收入在第二組⑵4)的家庭有4個,分別記為a,b,c,d,

則從這6個家庭中任選2個家庭的情況有

(x,y),(x,a),(x,b),(x,c),(x,d),(y,a),(y,b),(y,c),(y,d),(a,b),(a,

c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d),共15種，

其中這2個家庭的半年收入不在同一組的情況有

(x,a),(x,b),(x,c),(x,d),(y,a),(y,b),(y,c),(y,d),共8種,

故這2個家庭的半年收入不在同一組的概率為白

15

9,解⑴第二種生產(chǎn)方式的效率更高.

理由如下：

①由題中莖葉圖可知,用第一種生產(chǎn)方式的工人中，有75%的工人完成生

產(chǎn)任務所需時間高于80min,用第二種生產(chǎn)方式的工人中，有75%的工人完

成生產(chǎn)任務所需時間低于80min.因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高.

②由題中莖葉圖可知，用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務所需時間的

中位數(shù)為85.5min,用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務所需時間的中

位數(shù)為73.5min.因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高.

③由題中莖葉圖可知，用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務平均所需時

間高于80min;用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務平均所需時間低于

80min.因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高.

④由題中莖葉圖可知，用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務所需時間分

布在莖8上的最多，關于莖8大致呈對稱分布;用第二種生產(chǎn)方式的工人完

成生產(chǎn)任務所需時間分布在莖7上的最多,關于莖7大致呈對稱分布.又用

兩種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務所需時間分布的區(qū)間相同，故可以認為

用第二種生產(chǎn)方式完成生產(chǎn)任務所需的時間比用第一種生產(chǎn)方式完成生

產(chǎn)任務所需的時間更少.因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高.

以上給出了4種理由，寫出其中任意一種或其他合理理由均可.

(2)由莖葉圖知m二歿

列聯(lián)表如下：

生產(chǎn)方式超過m不超過m

第一種生產(chǎn)方式155

第一種生產(chǎn)方式515

)2

(3)因為Y二40X(15X15-5X5-=10>6.635,

20X20X20X20

所以能在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為兩種生產(chǎn)方式的效率有

差異.

10.解(1)???r-,i￡i(Xi-x)(yry)a型史aO.98>o.75,

H/I82.13

區(qū)a田言內(nèi)2

???y與x有很強的線性相關性.

16

(2)依題意得宣=：Ex尸3.9,y=

6i=i

1666

-￡y產(chǎn)29.23,￡(x「±)(y「9)=80.30,ZU；-%)=14.30.

6i=ii=li=l

亦展哀(蒼如力’80.30「

所以匕=三\--------=-----《5.62.

￡(xx)2"3。

i=ir

又因為Q=歹一位又9.23-5.62X3.9^7.31,故線性回歸方程為

y=5.62x+7.31.

(3)由(2)可知，當x=3.1時，丫3二24.732<27,當x=4.3時,y4=31.476>27,所

以滿足y<27分鐘的美麗數(shù)據(jù)共有3個，設3個美麗數(shù)據(jù)為a,b,c,另3個不

是美麗數(shù)據(jù)的為A,B,C,則從6個數(shù)據(jù)中任取2個共有15種情況，即

aA,aB,aC,bA,bB,bC,cA,cB,cC,AB,AC,BC,ab,ac,be,其中，抽取到的數(shù)據(jù)

全部為美麗數(shù)據(jù)的有3種情況,即ab,ac,be.所以從這6個時間數(shù)據(jù)力中

任取2個,抽取的2個數(shù)據(jù)全部為美麗數(shù)據(jù)的概率為卷=i

思維提升訓練

11.D解析結合題中散點圖，由圖象的大致走向判斷，此函數(shù)應該是對數(shù)

函數(shù)模型，故應該選用的函數(shù)模型為y=a+blnx.

12.C解析由題意知K17.5,歹=39,代入回歸直線方程得a=109,即得回歸

直線方程y=-4x+109,將x=15代入回歸方程,得y二-4X15+109=49.故選C.

13.C解析從3名男生A。A2,As和4名女生及B2,B3,BI中各隨機選出兩人,

把選出的4人隨機分成兩隊進行羽毛球混合雙打比賽,所有的組隊方法數(shù)

為筆1烏=36種，

A2

其中由和Bi兩人組成一隊的組隊方法數(shù)為?弓二6種，

因此,A,和Bi兩人組成一隊參加比賽的概率=p

366

14.C解析f"(x)=l+acosx,要使函數(shù)f(x)=x+asinx在R上單調遞增，則

1+acosx>O對任意實數(shù)x都成立.

?.?-KcosxWl,.*.①當a>0時,—aWacosxWa,???一a2—l,.'.OVaWl;②當

a=0時，120恒成立;③當a<0時,aWacosxW-a,

Aa^-1,A-l^a<0.綜上,TWaWL

.,?函數(shù)f(x)=x+asinx在R上單調遞增的概率P=|.

15.B解析四個選項的數(shù)據(jù)都具有對稱性,平均數(shù)均為2.5,其中B選項的

數(shù)據(jù)中，極端值最多,數(shù)據(jù)波動程度最大,故選B.

16.②③④解析若兩變量x,y具有線性相關關系，即滿足y=bx+a,則一

定滿足歹=+a,樣本點不一定在擬合直線上，故①錯誤,②正確；

若以模型廠aebx擬合該組數(shù)據(jù),z=lny=bx+lna=6x+ln3,故a=3,b=6,故

③正確;

9

￡(y.-y.