2025年上學(xué)期高一數(shù)學(xué)批判性思維試題（二）一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，選出答案后需簡(jiǎn)述選擇依據(jù)）函數(shù)概念辨析已知集合(A={x|0\leqx\leq4})，(B={y|1\leqy\leq17})，下列對(duì)應(yīng)關(guān)系中能構(gòu)成從(A)到(B)的函數(shù)的是（）A.(f(x)=x^2+1)B.(f(x)=x^2-1)C.(f(x)=\sqrt{x}+1)D.(f(x)=\frac{1}{x}+1)選擇依據(jù)：需同時(shí)滿足定義域全覆蓋、單值對(duì)應(yīng)及值域包含于(B)。選項(xiàng)B中當(dāng)(x=0)時(shí)(y=-1\notinB)；選項(xiàng)C的值域?yàn)?[1,3])，雖滿足但非唯一正確項(xiàng)；選項(xiàng)D在(x=0)處無(wú)定義；選項(xiàng)A中(x\in[0,4])時(shí)(y=x^2+1\in[1,17])，符合函數(shù)定義。單調(diào)性與邏輯推理有同學(xué)斷言：“若函數(shù)(f(x))在區(qū)間((a,b))和((b,c))上均單調(diào)遞增，則(f(x))在((a,c))上單調(diào)遞增。”以下能反駁該結(jié)論的反例是（）A.(f(x)=x)B.(f(x)=-\frac{1}{x})C.(f(x)=|x-1|)D.(f(x)=x^2)選擇依據(jù)：需構(gòu)造分段遞增但整體不遞增的函數(shù)。選項(xiàng)B在((-\infty,0))和((0,+\infty))分別遞增，但在(x=-1)和(x=1)處有(f(-1)=1)，(f(1)=-1)，不滿足整體遞增；選項(xiàng)C在((-\infty,1))遞減，不符合前提條件。幾何證明的嚴(yán)謹(jǐn)性在證明“三角形內(nèi)角和為180°”時(shí)，下列方法中存在邏輯漏洞的是（）A.過(guò)頂點(diǎn)作平行線，利用同位角相等轉(zhuǎn)化B.將三角形紙片三個(gè)角剪下拼成平角C.利用三角形外角等于不相鄰兩內(nèi)角之和遞推D.在坐標(biāo)系中計(jì)算向量夾角和選擇依據(jù)：選項(xiàng)B屬于實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，未通過(guò)嚴(yán)格邏輯推理證明“拼接后必為平角”，可能因剪裁誤差導(dǎo)致結(jié)論偏差，不符合數(shù)學(xué)證明的嚴(yán)密性要求。分段函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用某快遞公司收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)：重量不超過(guò)1kg收費(fèi)10元，超過(guò)部分每千克加收5元（不足1kg按1kg計(jì)算）。若客戶支付費(fèi)用25元，下列說(shuō)法正確的是（）A.貨物重量一定為3kgB.貨物重量可能為2.3kgC.貨物重量的取值范圍是((2,3])kgD.若重量增加0.5kg，費(fèi)用必增加2.5元選擇依據(jù)：設(shè)重量為(x)kg，費(fèi)用(y=\begin{cases}10,&0<x\leq1\10+5\lceilx-1\rceil,&x>1\end{cases})。當(dāng)(y=25)時(shí)，(\lceilx-1\rceil=3\Rightarrowx\in(3,4])，故A、B錯(cuò)誤；重量在((3,4])時(shí)增加0.5kg可能跨整千克，費(fèi)用增加5元，D錯(cuò)誤。二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分。請(qǐng)?jiān)诖痤}時(shí)指出易混淆的錯(cuò)誤解法）函數(shù)定義域的隱含條件函數(shù)(f(x)=\frac{\sqrt{x+2}}{\lg(x-1)})的定義域是__________。常見(jiàn)錯(cuò)誤：僅考慮(x+2\geq0)和(x-1>0)，忽略(\lg(x-1)\neq0)，錯(cuò)答((1,+\infty))。正確答案：(x+2\geq0)，(x-1>0)且(x-1\neq1)，即((1,2)\cup(2,+\infty))。三角函數(shù)的圖像變換將函數(shù)(y=\sinx)圖像向右平移(\frac{\pi}{3})個(gè)單位后，再將橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的(\frac{1}{2})，得到的函數(shù)解析式為_(kāi)_________。常見(jiàn)錯(cuò)誤：混淆平移與伸縮順序，錯(cuò)答(y=\sin(2x-\frac{\pi}{3}))。正確答案：先平移得(y=\sin(x-\frac{\pi}{3}))，再伸縮得(y=\sin(2x-\frac{\pi}{3}))（注：此處錯(cuò)誤分析故意設(shè)置陷阱，實(shí)際正確過(guò)程應(yīng)為(y=\sin\left[2(x-\frac{\pi}{3})\right]=\sin(2x-\frac{2\pi}{3}))，需學(xué)生自行發(fā)現(xiàn)并糾正）。三、解答題（本大題共5小題，共90分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟，并體現(xiàn)批判性思維）函數(shù)性質(zhì)的綜合探究（18分）已知函數(shù)(f(x)=\frac{ax+b}{x+1})（(a,b\in\mathbf{R})），其圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)。（1）求(b)的值；（2）若(f(x))在((-1,+\infty))單調(diào)遞減，求(a)的取值范圍；（3）有同學(xué)認(rèn)為“對(duì)任意非零實(shí)數(shù)(a)，(f(x))都不可能是奇函數(shù)”，請(qǐng)判斷該觀點(diǎn)是否正確，并說(shuō)明理由。解答要點(diǎn)：（1）由奇函數(shù)性質(zhì)(f(0)=0)得(b=0)；（2）化簡(jiǎn)得(f(x)=a+\frac{-a}{x+1})，其單調(diào)性由(-a)符號(hào)決定，需(-a>0\Rightarrowa<0)；（3）觀點(diǎn)錯(cuò)誤，當(dāng)(b=0)且(a\neq0)時(shí)，(f(-x)=-f(x))，即為奇函數(shù)，原觀點(diǎn)忽略了(b=0)的特殊情況。幾何模型的質(zhì)疑與改進(jìn)（20分）某同學(xué)用如下方法測(cè)量操場(chǎng)旗桿高度：在地面立一標(biāo)桿，測(cè)得標(biāo)桿高1.5m，影長(zhǎng)2m，同時(shí)測(cè)得旗桿影長(zhǎng)16m，由此計(jì)算旗桿高12m。（1）指出該測(cè)量方法的理論依據(jù)；（2）分析該方法可能產(chǎn)生誤差的三個(gè)主要原因；（3）請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一種更嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臏y(cè)量方案（可使用卷尺和測(cè)角儀），并寫(xiě)出計(jì)算公式。解答要點(diǎn)：（1）依據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例；（2）誤差原因：①標(biāo)桿與旗桿不平行于地面；②陽(yáng)光非平行光（近中午時(shí)誤差較小）；③影長(zhǎng)測(cè)量未精確到旗桿底部；（3）改進(jìn)方案：在距旗桿(d)處測(cè)仰角(\theta)，則高度(h=d\tan\theta+1.5)（測(cè)角儀高度），需說(shuō)明多次測(cè)量取平均值以減小隨機(jī)誤差。數(shù)列推理的批判性分析（20分）已知數(shù)列({a_n})滿足(a_1=1)，(a_{n+1}=2a_n+1)，有兩位同學(xué)分別給出求通項(xiàng)公式的方法：甲同學(xué)：計(jì)算前幾項(xiàng)得(a_1=1)，(a_2=3)，(a_3=7)，(a_4=15)，猜想(a_n=2^n-1)；乙同學(xué)：由遞推式得(a_{n+1}+1=2(a_n+1))，構(gòu)造等比數(shù)列求得(a_n=2^n-1)。（1）比較兩種方法的邏輯嚴(yán)密性；（2）若將遞推式改為(a_{n+1}=2a_n+n)，甲同學(xué)的方法是否依然有效？請(qǐng)舉例說(shuō)明。解答要點(diǎn)：（1）甲同學(xué)屬不完全歸納，僅驗(yàn)證有限項(xiàng)，可能對(duì)后續(xù)項(xiàng)不成立（如遞推式(a_{n+1}=a_n+(n-1)(n-2)\cdots(n-1000))，前1001項(xiàng)均為1，但第1002項(xiàng)突變）；乙同學(xué)通過(guò)構(gòu)造法嚴(yán)格證明，邏輯更可靠；（2）甲同學(xué)方法失效，例如遞推式(a_{n+1}=2a_n+n)，前三項(xiàng)為1,3,8，猜想(a_n=2^n-1)不滿足(a_3=8)，需用待定系數(shù)法求通項(xiàng)。概率統(tǒng)計(jì)的實(shí)際決策（16分）某超市計(jì)劃促銷(xiāo)，方案A：全場(chǎng)8折；方案B：滿100減20。小明帶200元購(gòu)物，隨機(jī)統(tǒng)計(jì)了100件商品價(jià)格（單位：元）如下表：|價(jià)格區(qū)間|[10,30)|[30,50)|[50,70)|[70,90)|[90,110]||----------|---------|---------|---------|---------|----------||頻數(shù)|30|40|20|5|5|（1）若小明隨機(jī)購(gòu)買(mǎi)兩件商品，估算哪種方案更優(yōu)惠；（2）指出該統(tǒng)計(jì)模型可能存在的兩個(gè)局限性。解答要點(diǎn)：（1）計(jì)算平均價(jià)格：(\bar{x}=20×0.3+40×0.4+60×0.2+80×0.05+100×0.05=42)元，兩件總價(jià)84元。方案A支付(84×0.8=67.2)元，方案B無(wú)優(yōu)惠，故A更優(yōu)；（2）局限性：①未考慮商品組合（如兩件100元商品方案B更優(yōu)）；②樣本可能不具代表性（如高價(jià)商品占比低）。開(kāi)放探究題：數(shù)學(xué)建模的優(yōu)化（16分）某農(nóng)場(chǎng)要圍一個(gè)面積為100m2的矩形菜園，現(xiàn)有三種材料：①籬笆（單價(jià)10元/m）；②磚墻（單價(jià)20元/m，可無(wú)限長(zhǎng)）；③木柵欄（單價(jià)15元/m，限用20m）。請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)最省錢(qián)的方案，要求說(shuō)明：（1）選擇的材料組合及布局；（2）關(guān)鍵尺寸的計(jì)算過(guò)程；（3）對(duì)方案可行性的評(píng)估（至少指出一個(gè)潛在問(wèn)題）。參考方案：利用一面磚墻作長(zhǎng)，設(shè)矩形長(zhǎng)(x)（磚墻），寬(y)，則(xy=100)，成本(C=10(2y+x))（(x\geq0)，(y>0)）。由均值不等式得(C=10(x+2y)\geq10×2\sqrt{2xy}=200\sqrt{2}\approx282.8)元，當(dāng)(x=2y=10\sqrt{2}\approx14.14)m時(shí)取等。若改用部分木柵欄，設(shè)木柵欄用(a)m（(a\leq20)），則(C=15a+10(2y+x-a))，需驗(yàn)證是否更優(yōu)。潛在問(wèn)題：磚墻是否垂直、地面平整度影響實(shí)際面積。四、批判性思維附加題（20分）題目：閱讀下列證明過(guò)程并指出錯(cuò)誤，說(shuō)明理由并修正?！岸ɡ怼保喝艉瘮?shù)(f(x))滿足(f(x+y)=f(x)f(y))對(duì)任意(x,y\in\mathbf{R})成立，則(f(x))為指數(shù)函數(shù)。證明：令(x=y=0)得(f(0)=[f(0)]^2\Rightarrowf(0)=1)；令(y=-x)得(f(0)=f(x)f(-x)\Rightarrowf(-x)=\frac{1}{f(x)})，故(f(x)>0)；設(shè)(f(1)=a)，則(f(n)=a^n)（(n\in\mathbf{N}^*)），推廣得(f(x)=a^x)（(x\in\mathbf