大一高等數(shù)學微積分期末試卷

選擇題(6X2)

1.即(?=2叩,gCr)=(；嚴在區(qū)間(0彳)內(nèi)()。

A/(x)是增函數(shù)，g(x)是減函數(shù)

B/(x)是減函數(shù)，g(x)是增函數(shù)

C二者都是增函數(shù)

D二者都是減函數(shù)

2、x->OH寸，一cosx與sinx相比是()

A高階無窮小B低階無窮小C等價無窮小D同階但不等價無價小

3、x=0是函數(shù)y=(1-sinx)'的()

A連續(xù)點B可去旬斷點C跳躍間斷點D無窮型間斷點

4、下列數(shù)列有極限并且極限為1的選項為()

n

AXn=(-l)--BXn=sin

n2

CXn=[(o>l)DXn=cosl

an

5、若尸'(x)在X。處取得最大值，則必有()

Af，(X0)=。B-

C—且f"(Xo)<0DF(Xo)不存在或『氏)二0

(4)

6、曲線y=xe廠()

A僅有水平漸近線B僅有鉛直漸近線

C既有鉛直又有水平漸近線D既有鉛直漸近線

1~6DDBDBD

一、填空題

1、d()=—dA

x+1

2、求過點(2,0)的一條直線，使它與曲線y=』相切。這條直線方程為:

x

x

3、函數(shù)y=；^?的反函數(shù)及其定義域與值域分別是：

2+i

4、丫=次的拐點為：

5、若lim"-2,則6加勺值分別為:

ex?+2x-3

32

1In|x+l|;2y=x-2x;3y=log2^-,(0,1),R;4(0,0)

(x-l)(x+w)..x+m1+m-

lim------------------=lim--------=--------=2

5解：原式=—(x-l)(x+3)—x+34

in=7:.b=-7,a=6

二、判斷題

1、無窮多個無窮小的和是無窮小()

2、1淅咄在區(qū)間(-oo,+oo)是連續(xù)函數(shù)()

x->0x

f

3、f(x0)=0一定為f(x)的拐點()

4、若f(X)在X。處取得極值，則必有f(x)在X。處連續(xù)不可導()

5、設(shè)函數(shù)f(x)在[0,1]上二階可導且

尸(幻<0令A=A<0),B=/n),C=/(l)―/(O)^l@^A>B>C()

1~5FFFFT

三、計算題

I

1用洛必達法則求極限lim—/

AM店—..e'er(-2x)/

解：原式=hm—；—=hm--------------=hm^'=+oo

XTOIx->0A->0

2若/3)=(d+10)\求"(0)

f\x)=4(X3+IO)3?3/=12x2(x3+10)3

解:f\x)=24x(7+10)3+124?3.(%3+10)2?3x2=24x?(x3+10)3+108x4(x3+10)2

.*./"U)=0

4

3求極限1EJ(COSXV

44,

s

.T,H4—I?COSA-]imh"8x

解：原式二lime*=

xf0

1/.、

-(-sinx)

4Ineosx-tanx--x-

?/lim—Incosx-lim9lima---l-i-m---------=lim——=-2

xf0JCX-0X"XT。xXT()XDX

-4222

.??原式=]

4求y=(3x-l)3J土」■的導數(shù)

Vx-2

解:Iw|y|=—/n|3x-l|+—/n|x-l|--Zn|x-2|

322

J=53]_J___J_

yy33x-l+2x-\2x-2

y'=(31"借13Al2(1)2(尢1-2)

5tan3xdx

解；原式二「an2xtanxdr=J(see2%-l)tanxdx

=jsec2/tanxdx-Jtanxdx

sinx,

二Jtanxdtan%-j-----ax

cosx

1,

=jtanxdtanx-j-----acosx

cosx

」tan2x+/〃|cosx|+c

2

6求Jxarctanxdx

解：原式二gJarctanxd(x2)=^(x2arctanx-jx2darctanx)

12rx"+l—1,

=—(zx"arctanx--------dx)

2J1+x2

x2arctanx-|(l-----^—)dx

21I八

1+x2X

-------arctanx——+c

22

四、證明題。

1、證明方程丁+x—1=0有且僅有一正實根。

證明：設(shè)，。）=丁+入.一］

???/（0）=-］<0,/（1）=1>0,即*）在［0,1］上連續(xù)

至少存在&e（0,1）,使得TC）=0

即/（幻在（0,1）內(nèi)至少有一根，即/（幻=0在（0,+oo）內(nèi)至少有一實根

假設(shè)/0）=0在（0,4-00）有兩不同實根X］,X2，%2

???/（幻在［.，看］上連續(xù)，在（工2，±）內(nèi)可導

且m）=/（/）=（）

二.至少北￡（出，々），S?t/（^）=0

而產(chǎn)修）-31+11與假設(shè)相矛盾

方程7+］_1=0有且只有一個正實根

2、證明arcsinx+arccosx=—(-1WxWD

2

證明：設(shè)/(x)=arcsinx+arccosx

“正卷-卷心

z.f(x)=c=/(0)=arcsin0+arccos0=—

71

/(I)=arcsin1+arccos1=—

71

/(-I)=arcsin(-l)+arccos(-l)=—

冗

二.綜上所述,/(x)=arcsinx+arccosx=~^fXG[-1,1]

五、應用題

1、

2、描繪下列函數(shù)的圖形

1

y=x~+—

x

解：l.Dy=(-oo,0)u(0,+x)

c,c12x3-i

2.y'=2x--=——

rx

令V=0得工=打

)一-2Z+十-3

vX

令y“=0,得X=_l

3.

X(-°0,-1)-1(-1,0)0

(few)

(05<5)^5

不存

Y'II—+

在

Y”+0++

拐點

y,凹(-1,/凸,凹極小/凹

0)

7179

4.補充點(一2,：).(一不一Q.(1,2).(2,Q

2222

5lim/(x)=co,/(x)有鉛直漸近線￥=0

解：Df(x)=R

f\x)=2x--=2d(x+1)(r￡0)

XX

令f'(x)-o,得r=-1,超=i

X(-8,」)-1(-1.0)0(0,1)1(I")

Y'0+不存—0+

在

極