江蘇省南通市海安縣南莫中學2026屆數學高二第一學期期末調研模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若等比數列滿足，，則數列的公比為（）A. B.C. D.2．在等差數列中，已知，，則使數列的前n項和成立時n的最小值為（）A.6 B.7C.9 D.103．已知實數滿足方程，則的最大值為（）A.3 B.2C. D.4．若向量則（）A. B.3C. D.5．已知橢圓的左焦點為，右頂點為，點在橢圓上，且軸，直線交軸于點．若，則橢圓的離心率是A. B.C. D.6．函數，則曲線在點處的切線方程為（）A. B.C. D.7．函數的定義域為開區(qū)間，導函數在內的圖像如圖所示，則函數在開區(qū)間內有極小值點（）A.個 B.個C.個 D.個8．已知銳角的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若向量，，，則的最小值為（）A. B.C. D.9．在三棱錐中，，，則異面直線PC與AB所成角的余弦值是（）A. B.C. D.10．設的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，，，則b等于（）A. B.2C. D.411．已知空間向量，則（）A. B.C. D.12．已知是橢圓上的一點，則點到兩焦點的距離之和是（）A.6 B.9C.14 D.10二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知橢圓與坐標軸依次交于A，B，C，D四點，則四邊形ABCD面積為_____.14．已知函數滿足：①是奇函數；②當時，．寫出一個滿足條件的函數________15．已知的頂點A(1，5)，邊AB上的中線CM所在的直線方程為，邊AC上的高BH所在直線方程為，求（1）頂點C的坐標；（2）直線BC的方程；16．已知數列是公差不為零的等差數列，，，成等比數列，第1，2項與第10，11項的和為68，則數列的通項公式是________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）等差數列的前n項和為，已知（1）求的通項公式；（2）若，求n的最小值18．（12分）記為數列的前項和，且（1）求的通項公式；（2）設，求數列的前項和19．（12分）新冠疫情下，有一學校推出了食堂監(jiān)管力度的評價與食品質量的評價系統(tǒng)，每項評價只有合格和不合格兩個選項，師生可以隨時進行評價，某工作人員利用隨機抽樣的方法抽取了200位師生的信息，發(fā)現對監(jiān)管力度滿意的占75%，對食品質量滿意的占60%，其中對監(jiān)管力度和食品質量都滿意的有80人.（1）完成列聯(lián)表，試問：是否有99%的把握判斷監(jiān)管力度與食品質量有關聯(lián)？監(jiān)督力度情況食品質量情況對監(jiān)督力度滿意對監(jiān)督力度不滿意總計對食品質量滿意80對食品質量不滿意總計200（2）為了改進工作作風，針對抽取的200位師生，對監(jiān)管力度不滿意的人抽取3位征求意見，用X表示3人中對監(jiān)管力度與食品質量都不滿意的人數，求X的分布列與均值.參考公式：，其中.參考數據：①當時，有90%的把握判斷變量A、B有關聯(lián)；②當時，有95%的把握判斷變量A、B有關聯(lián)；③當時，有99%的把握判斷變量A、B有關聯(lián).20．（12分）已知橢圓的短軸長為2，左、右焦點分別為，，過且垂直于長軸的弦長為1（1）求橢圓C的標準方程；（2）若A，B為橢圓C上位于x軸同側的兩點，且，共線，求四邊形的面積的最大值21．（12分）函數（1）求在上的單調區(qū)間；（2）當時，不等式恒成立，求實數a的取值范圍22．（10分）已知數列滿足各項均不為0，，且，.（1）證明：為等差數列，并求的通項公式；（2）令，，求.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】設等比數列的公比為，然后由已知條件列方程組求解即可【詳解】設等比數列的公比為，因為，，所以，所以，解得，故選：D2、D【解析】根據等差數列的性質及等差中項結合前項和公式求得，,從而得出結論.【詳解】，，，，，，,使數列的前n項和成立時n的最小值為10，故選：D.3、D【解析】將方程化為，由圓的幾何性質可得答案.【詳解】將方程變形為，則圓心坐標為，半徑，則圓上的點的橫坐標的范圍為：則x的最大值是故選：D.4、D【解析】先求得，然后根據空間向量模的坐標運算求得【詳解】由于向量，，所以.故故選：D5、D【解析】由于BF⊥x軸，故，設，由得，選D.考點：橢圓的簡單性質6、D【解析】對函數求導，利用導數的幾何意義求出切線斜率即可計算作答.【詳解】依題意，，即有，而，則過點，斜率為1的直線方程為：，所以曲線在點處切線方程為.故選：D7、A【解析】利用極小值的定義判斷可得出結論.【詳解】由導函數在區(qū)間內的圖象可知，函數在內的圖象與軸有四個公共點，在從左到右第一個點處導數左正右負，在從左到右第二個點處導數左負右正，在從左到右第三個點處導數左正右正，在從左到右第四個點處導數左正右負，所以函數在開區(qū)間內的極小值點有個，故選：A.8、C【解析】由，得到，根據正弦、余弦定理定理化簡得到，化簡得到，再結合基本不等式，即可求解.【詳解】由題意，向量，，因為，所以，可得，由正弦定理得，整理得，又由余弦定理，可得，因為，所以，由，所以，因為是銳角三角形，且，可得，解得，所以，所以，當且僅當，即時等號成立，故的最小值為.故選：C9、A【解析】分別取、、的中點、、，連接、、、、，由題意結合平面幾何的知識可得、、或其補角即為異面直線PC與AB所成角，再由余弦定理即可得解.【詳解】分別取、、的中點、、，連接、、、、，如圖：由可得，所以，在，，可得由中位線的性質可得且，且，所以或其補角即為異面直線PC與AB所成角，在中，，所以異面直線AB與PC所成角的余弦值為.故選：A.【點睛】思路點睛：平移線段法是求異面直線所成角的常用方法，其基本思路是通過平移直線，把異面直線的問題化歸為共面直線問題來解決，具體步驟如下：（1）平移：平移異面直線中的一條或兩條，作出異面直線所成的角；（2）認定：證明作出的角就是所求異面直線所成的角；（3）計算：求該角的值，常利用解三角形；（4）取舍：由異面直線所成的角的取值范圍是，當所作的角為鈍角時，應取它的補角作為兩條異面直線所成的角10、A【解析】由正弦定理求解即可.【詳解】因為，所以故選：A11、C【解析】A利用向量模長的坐標表示判斷；B根據向量平行的判定，是否存在實數使即可判斷；C向量數量積的坐標表示求即可判斷；D利用向量坐標的線性運算及數量積的坐標表示求即可.【詳解】因為，所以A不正確：因為不存在實數使，所以B不正確；因為，故，所以C正確；因為，所以，所以D不正確故選：C12、A【解析】根據橢圓的定義，可求得答案.【詳解】由可知：，由是橢圓上的一點，則點到兩焦點的距離之和為，故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據橢圓的方程，求得頂點的坐標，結合菱形的面積公式，即可求解.【詳解】由題意，橢圓，可得，可得，所以橢圓與坐標軸的交點分別為，此時構成的四邊形為菱形，則面積為.故答案為：.14、（答案不唯一）【解析】利用函數的奇偶性及其單調性寫出函數解析式即可.【詳解】結合冪函數的性質可知是奇函數，當時，，則符合上述兩個條件，故答案為：（答案不唯一）.15、（1）；（2）.【解析】（1）設出點C的坐標，進而根據點C在中線上及求得答案；（2）設出點B的坐標，進而求出點M的坐標，然后根據中線的方程及求出點B的坐標，進而求出直線BC的方程.【小問1詳解】設C點的坐標為，則由題知，即.【小問2詳解】設B點的坐標為，則中點M坐標代入中線CM方程則由題知，即，又，則，所以直線BC方程為.16、【解析】利用基本量結合已知列方程組求解即可.【詳解】設等差數列的公差為由題可知即因為，所以解得：所以.故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）12【解析】（1）設的公差為d，根據題意列出方程組，求得的值，即可求解；（2）利用等差數的求和公式，得到，結合的單調性，即可求解.【小問1詳解】解：設的公差為d，因為，可得，解得，所以，即數列的通項公式為【小問2詳解】解：由，可得，根據二次函數的性質且，可得單調遞增，因為，所以當時，，故n的最小值為1218、（1）（2）【解析】（1）利用，再結合等比數列的概念，即可求出結果；（2）由（1）可知數列是以為首項，公差為的等差數列，根據等差數列的前項和公式，即可求出結果.【小問1詳解】解：當時，，解得；當且時，所以所以是以為首項，為公比的等比數列所以；【小問2詳解】解：由（1）可知，所以，又,所以數列是以為首項，公差為的等差數列，所以數列的前項和.19、（1）列聯(lián)表見解析，有99%的把握判斷監(jiān)管力度與食品質量有關聯(lián)；（2）X的分布列見解析，X的期望為【解析】(1)根據給定條件完善列聯(lián)表，再計算的觀測值并結合給定數據即可作答.(2)求出X的可能值及各個值對應的概率列出X的分布列，再計算期望作答.【小問1詳解】對監(jiān)管力度滿意的有，對食品質量滿意的有，列聯(lián)表如下：對監(jiān)督力度滿意對監(jiān)督力度不滿意總計對食品質量滿意8040120對食品質量不滿意701080總計15050200則的觀測值為：，所以有99%的把握判斷監(jiān)管力度與食品質量有關聯(lián).【小問2詳解】由(1)及已知得，X的所有可能值為：0，1，2，3，，，，，X的分布列為：X0123PX的期望為：.【點睛】易錯點睛：獨立性檢驗得出的結論是帶有概率性質的，不可對某個問題下確定性結論，否則就可能對統(tǒng)計計算的結果作出錯誤的解釋20、（1）（2）2【解析】（1）根據已知條件求得，由此求得橢圓的標準方程.（2）延長，交橢圓C于點．設出直線的方程并與橢圓方程聯(lián)立，化簡寫出根與系數關系，根據對稱性求得四邊形的面積的表達式，利用換元法，結合基本不等式求得四邊形的面積的最大值.【小問1詳解】由題可知，即，因為過且垂直于長軸的弦長為1，所以，所以所以橢圓C的標準方程為【小問2詳解】因為，共線，所以延長，交橢圓C于點．設，由（1）可知，可設直線的方程為聯(lián)立，消去x可得，所以，由對稱性可知設與間的距離為d，則四邊形的面積令，則．因為，當且僅當時取等號，所以，即四邊形的面積的最大值為2【點睛】在橢圓、雙曲線、拋物線中，求三角形、四邊形面積的最值問題，求解策略是：首先結合弦長公式、點到直線距離公式等求得面積的表達式；然后利用基本不等式、二次函數的性質等知識來求得最值.21、（1）單調遞增區(qū)間為；單調遞減區(qū)間為和（2）【解析】（1）求出，然后可得答案；（2）由條件可得，設，則，然后利用導數可得在上單調遞增，，然后分、兩種情況討論求解即可.【小問1詳解】由題可得令，得；令，得，所以f(x)的單調遞增區(qū)間為；單調遞減區(qū)間為和【小問2詳解】由，得，即設，則