新疆伊犁哈薩克自治州奎屯市第一高級(jí)中學(xué)2025年高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試模擬試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若集合，，則A. B.C. D.2．如圖，在棱長(zhǎng)為的正方體中，為線段的中點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，則直線到直線的距離為（）A. B.C. D.3．氣象臺(tái)正南方向的一臺(tái)風(fēng)中心，正向北偏東30°方向移動(dòng)，移動(dòng)速度為，距臺(tái)風(fēng)中心以內(nèi)的地區(qū)都將受到影響，若臺(tái)風(fēng)中心的這種移動(dòng)趨勢(shì)不變，氣象臺(tái)所在地受到臺(tái)風(fēng)影響持續(xù)時(shí)間大約是（）A. B.C. D.4．如圖，在平行六面體中，AC與BD的交點(diǎn)為M.設(shè)，則下列向量中與相等的向量是（）A. B.C. D.5．已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，，是雙曲線上一點(diǎn)，且，，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）A. B.C. D.6．在空間直角坐標(biāo)系中，方程所表示的圖形是（）A圓 B.橢圓C.雙曲線 D.球7．已知向量，，且，則的值是（）A. B.C. D.8．如圖，橢圓的右焦點(diǎn)為，過(guò)與軸垂直的直線交橢圓于第一象限的點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，且，，則橢圓方程為（）A. B.C. D.9．以原點(diǎn)為對(duì)稱中心的橢圓焦點(diǎn)分別在軸，軸，離心率分別為，直線交所得的弦中點(diǎn)分別為，，若，，則直線的斜率為()A. B.C. D.10．已知橢圓：的離心率為，則實(shí)數(shù)（）A. B.C. D.11．雙曲線的焦距是（）A.4 B.C.8 D.12．有7名同學(xué)參加百米競(jìng)賽，預(yù)賽成績(jī)各不相同，取前3名參加決賽，小明同學(xué)已經(jīng)知道了自己的成績(jī)，為了判斷自己是否能進(jìn)入決賽，他還需要知道7名同學(xué)成績(jī)的（）A.平均數(shù) B.眾數(shù)C.中位數(shù) D.方差二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若函數(shù)在x=1處的切線與直線y=kx平行，則實(shí)數(shù)k=___________.14．已知數(shù)列滿足，，若為等差數(shù)列，則___________，若，則數(shù)列的前項(xiàng)和為_(kāi)__________.15．若正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為5，側(cè)棱長(zhǎng)為4，則此正四棱柱的體積為_(kāi)_____16．過(guò)點(diǎn),的直線方程（一般式）為_(kāi)__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知圓C的圓心在直線上，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)和（1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若過(guò)點(diǎn)的直線l與圓C交于A，B兩點(diǎn)，且，求直線l的方程18．（12分）某廠接受了一項(xiàng)加工業(yè)務(wù)，加工出來(lái)的產(chǎn)品(單位：件)按標(biāo)準(zhǔn)分為A，B，C，D四個(gè)等級(jí).加工業(yè)務(wù)約定：對(duì)于A級(jí)品、B級(jí)品、C級(jí)品，廠家每件分別收取加工費(fèi)90元，50元，20元；對(duì)于D級(jí)品，廠家每件要賠償原料損失費(fèi)50元.該廠有甲、乙兩個(gè)分廠可承接加工業(yè)務(wù).甲分廠加工成本費(fèi)為25元/件，乙分廠加工成本費(fèi)為20元/件.廠家為決定由哪個(gè)分廠承接加工業(yè)務(wù)，在兩個(gè)分廠各試加工了100件這種產(chǎn)品，并統(tǒng)計(jì)了這些產(chǎn)品的等級(jí)，整理如下：甲分廠產(chǎn)品等級(jí)的頻數(shù)分布表等級(jí)ABCD頻數(shù)40202020乙分廠產(chǎn)品等級(jí)的頻數(shù)分布表等級(jí)ABCD頻數(shù)28173421（1）分別估計(jì)甲、乙兩分廠加工出來(lái)的一件產(chǎn)品為A級(jí)品的概率；（2）分別求甲、乙兩分廠加工出來(lái)的100件產(chǎn)品的平均利潤(rùn)，以平均利潤(rùn)為依據(jù)，廠家應(yīng)選哪個(gè)分廠承接加工業(yè)務(wù)?19．（12分）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足（1）證明數(shù)列是等比數(shù)列；（2）若數(shù)列滿足，證明數(shù)列的前n項(xiàng)和20．（12分）新冠肺炎疫情發(fā)生以來(lái)，我國(guó)某科研機(jī)構(gòu)開(kāi)展應(yīng)急科研攻關(guān)，研制了一種新型冠狀病毒疫苗，并已進(jìn)入二期臨床試驗(yàn).根據(jù)普遍規(guī)律，志愿者接種疫苗后體內(nèi)會(huì)產(chǎn)生抗體，人體中檢測(cè)到抗體，說(shuō)明有抵御病毒的能力.通過(guò)檢測(cè)，用表示注射疫苗后的天數(shù)，表示人體中抗體含量水平（單位：，即：百萬(wàn)國(guó)際單位/毫升），現(xiàn)測(cè)得某志愿者的相關(guān)數(shù)據(jù)如下表所示：天數(shù)123456抗體含量水平510265096195根據(jù)以上數(shù)據(jù)，繪制了散點(diǎn)圖.（1）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，與（a，b，c，d均為大于0的實(shí)數(shù)）哪一個(gè)更適宜作為描述y與x關(guān)系的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說(shuō)明理由）（2）根據(jù)（1）的判斷結(jié)果求出y關(guān)于x的回歸方程，并預(yù)測(cè)該志愿者在注射疫苗后的第10天的抗體含量水平值；（3）從這位志愿者前6天的檢測(cè)數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取4天的數(shù)據(jù)作進(jìn)一步的分析，記其中的y值大于50的天數(shù)為X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.參考數(shù)據(jù)：3.5063.673.4917.509.4912.95519.014023.87其中.參考公式：用最小二乘法求經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，，，的線性回歸方程的系數(shù)公式，；.21．（12分）某快餐配送平臺(tái)針對(duì)外賣員送餐準(zhǔn)點(diǎn)情況制定了如下的考核方案：每一單自接單后在規(guī)定時(shí)間內(nèi)送達(dá)、延遲5分鐘內(nèi)送達(dá)、延遲5至10分鐘送達(dá)、其他延遲情況，分別評(píng)定為四個(gè)等級(jí)，各等級(jí)依次獎(jiǎng)勵(lì)3元、獎(jiǎng)勵(lì)0元、罰款3元、罰款6元.假定評(píng)定為等級(jí)的概率分別是.（1）若某外賣員接了一個(gè)訂單，求其不被罰款的概率；（2）若某外賣員接了兩個(gè)訂單，且兩個(gè)訂單互不影響，求這兩單獲得的獎(jiǎng)勵(lì)之和為3元的概率.22．（10分）已知橢圓的離心率為，右焦點(diǎn)F到上頂點(diǎn)的距離為.（1）求橢圓的方程；（2）是否存在過(guò)點(diǎn)F且與x軸不垂直的直線與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，使得點(diǎn)C（）在線段AB的中垂線上？若存在，求出直線l：若不存在，說(shuō)明理曲.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】通過(guò)解不等式得出集合B，可以做出集合A與集合B的關(guān)系示意圖，可得出選項(xiàng).【詳解】因?yàn)?，解不等式即，所以或，所以集合，作出集合A與集合B的示意圖如下圖所示：所以：，故選A【點(diǎn)睛】本題考查集合間的交集運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.2、C【解析】連接，，，，在平面中，作，為垂足，將兩平行線的距離轉(zhuǎn)化成點(diǎn)到直線的距離，結(jié)合余弦定理即同角三角函數(shù)基本關(guān)系，求得，因此可得，進(jìn)而可得直線到直線的距離；【詳解】解：如圖，連接，，，，在平面中，作，為垂足，因?yàn)?，分別為，的中點(diǎn)，因?yàn)?，，所以，所以，同理，所以四邊形是平行四邊形，所以，所以即為直線到直線的距離，在三角形中，由余弦定理得因?yàn)?，所以是銳角，所以，在直角三角形中，，故直線到直線的距離為；故選：C3、D【解析】利用余弦定理進(jìn)行求解即可.【詳解】如圖所示：設(shè)臺(tái)風(fēng)中心為，，小時(shí)后到達(dá)點(diǎn)處，即，當(dāng)時(shí)，氣象臺(tái)所在地受到臺(tái)風(fēng)影響，由余弦定理可知：，于是有：，解得：，所以氣象臺(tái)所在地受到臺(tái)風(fēng)影響持續(xù)時(shí)間大約是，故選：D4、B【解析】根據(jù)代入計(jì)算化簡(jiǎn)即可.【詳解】故選：B.5、D【解析】根據(jù)條件設(shè)，，由條件求得，即可求得雙曲線方程.【詳解】設(shè)，則由已知得，，又，，又，，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：D6、D【解析】方程表示空間中的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為2，從而可知圖形的形狀【詳解】由，得，表示空間中的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為2，所以方程所表示的圖形是以原點(diǎn)為球心，2為半徑的球，故選：D7、A【解析】求出向量，的坐標(biāo)，利用向量數(shù)量積坐標(biāo)表示即可求解.【詳解】因?yàn)橄蛄?，，所以，，因?yàn)?，所以，解得：，故選：A.8、C【解析】連結(jié)，設(shè)，則，，由可求出，進(jìn)而可求出，得出橢圓方程.【詳解】由題意設(shè)橢圓的方程：，設(shè)左焦點(diǎn)為，連結(jié)，由橢圓的對(duì)稱性易得四邊形為平行四邊形，由得，又，設(shè)，則，，又，解得，又由，，解得，，，則橢圓的方程為.故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求解及橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，在求解橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，關(guān)鍵是求解基本量，，.9、A【解析】分類討論直線的斜率存在與不存在兩種情況，聯(lián)立直線與曲線方程，再根據(jù)，求解.【詳解】設(shè)橢圓的方程分別為，，由可知，直線的斜率一定存在，故設(shè)直線的方程為.聯(lián)立得，故，；聯(lián)立得，則，.因?yàn)椋?，所?又，所以，所以，所以，.故選：A.【點(diǎn)睛】此題利用設(shè)而不求的方法，找出、、、之間的關(guān)系，化簡(jiǎn)即可得到的值.此題的難點(diǎn)在于計(jì)算量較大，且容易計(jì)算出錯(cuò).10、C【解析】根據(jù)題意，先求得的值，代入離心率公式，即可得答案.【詳解】因?yàn)椋运?，解?故選：C11、C【解析】根據(jù)，先求半焦距，再求焦距即可.【詳解】解：由題意可得，，∴，故選：C【點(diǎn)睛】考查求雙曲線的焦距，基礎(chǔ)題.12、C【解析】根據(jù)中位數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合題設(shè)按成績(jī)排序7選3，即可知還需明確的成績(jī)數(shù)據(jù)信息.【詳解】由題設(shè)，7名同學(xué)參加百米競(jìng)賽，要取前3名參加決賽，則成績(jī)從高到低排列，確定7名同學(xué)成績(jī)的中位數(shù)，即第3名的成績(jī)便可判斷自己是否能進(jìn)入決賽.故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2【解析】由題可求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即求.【詳解】∵，∴，，又函數(shù)在x=1處的切線與直線y=kx平行，∴.故答案為：2.14、①.##②.【解析】利用遞推關(guān)系式，結(jié)合等差數(shù)列通項(xiàng)公式可求得公差，進(jìn)而得到；利用遞推關(guān)系式可知數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別成等差數(shù)列，采用裂項(xiàng)相消的方法可求得前項(xiàng)和.【詳解】由得：，解得：；為等差數(shù)列，設(shè)其公差為，則，解得：，；由知：數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列；偶數(shù)項(xiàng)是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列；，又，，數(shù)列的前項(xiàng)和，.故答案為：；.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查根據(jù)數(shù)列遞推關(guān)系求解數(shù)列中的項(xiàng)、裂項(xiàng)相消法求和的問(wèn)題；解題關(guān)鍵是能夠根據(jù)遞推關(guān)系式得到數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別成等差數(shù)列，由此可通過(guò)裂項(xiàng)相消的方法求得所求數(shù)列的和.15、100【解析】根據(jù)棱柱體積公式直接可得.【詳解】故答案為：10016、【解析】利用兩點(diǎn)式方程可求直線方程.【詳解】∵直線過(guò)點(diǎn),，∴，∴，化簡(jiǎn)得.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）或【解析】（1）點(diǎn)和的中垂線經(jīng)過(guò)圓心，兩直線聯(lián)立方程得圓心坐標(biāo)，再利用兩點(diǎn)間距離公式求解半徑.（2）已知弦長(zhǎng)，求解直線方程，分類討論斜率是否存在.小問(wèn)1詳解】點(diǎn)和的中點(diǎn)為，,所以中垂線的，利用點(diǎn)斜式得方程為，聯(lián)立方程得圓心坐標(biāo)為，所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問(wèn)2詳解】當(dāng)過(guò)點(diǎn)的直線l斜率不存在時(shí)，直線方程為，此時(shí)弦長(zhǎng)，符合題意.當(dāng)過(guò)點(diǎn)的直線l斜率存在時(shí),設(shè)直線方程為，化簡(jiǎn)得，弦心距，所以，解得，所以直線方程為.綜上所述直線方程為或.18、（1）甲分廠加工出來(lái)的級(jí)品的概率為，乙分廠加工出來(lái)的級(jí)品的概率為；（2）選甲分廠，理由見(jiàn)解析.【解析】（1）根據(jù)兩個(gè)頻數(shù)分布表即可求出；（2）根據(jù)題意分別求出甲乙兩廠加工件產(chǎn)品的總利潤(rùn)，即可求出平均利潤(rùn)，由此作出選擇【詳解】（1）由表可知，甲廠加工出來(lái)的一件產(chǎn)品為級(jí)品的概率為，乙廠加工出來(lái)的一件產(chǎn)品為級(jí)品的概率為；（2）甲分廠加工件產(chǎn)品的總利潤(rùn)為元，所以甲分廠加工件產(chǎn)品的平均利潤(rùn)為元每件；乙分廠加工件產(chǎn)品的總利潤(rùn)為元，所以乙分廠加工件產(chǎn)品的平均利潤(rùn)為元每件故廠家選擇甲分廠承接加工任務(wù)【點(diǎn)睛】本題主要考查古典概型的概率公式的應(yīng)用，以及平均數(shù)的求法，并根據(jù)平均值作出決策，屬于基礎(chǔ)題19、（1）證明見(jiàn)解析（2）證明見(jiàn)解析【解析】（1）可根據(jù)已知的與的遞推關(guān)系，利用求解出數(shù)列的首項(xiàng)，然后當(dāng)時(shí)，遞推做差，利用消掉，即可得到與之間的關(guān)系，從而完成證明；（2）利用第（1）問(wèn)求解出的數(shù)列的通項(xiàng)公式，帶入到中，再使用錯(cuò)位相減法進(jìn)行求和，根據(jù)最后計(jì)算的結(jié)果與比較即可完成證明.【小問(wèn)1詳解】由題意得，當(dāng)時(shí)，，∴，當(dāng)時(shí)，，∴，∵，∴，于是有，故數(shù)列是以3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列.得證.【小問(wèn)2詳解】由（1）可知，∴，，①，②，②?①得：，∴，∵，故，∴得證.20、（1）（2），4023.87（3）分布列答案見(jiàn)解析，數(shù)學(xué)期望：【解析】（1）由于這些點(diǎn)分布在一條曲線的附近，從而可選出回歸方程，（2）設(shè)，，則建立w關(guān)于x的回歸方程，然后根據(jù)公式和表中的數(shù)據(jù)求解回歸方程即可，再將代入回歸方程可求得在注射疫苗后的第10天的抗體含量水平值，（3）由題意可知x的可能取值為0，1，2，然后求對(duì)應(yīng)的概率，從而可求出分布列和期望【小問(wèn)1詳解】根據(jù)散點(diǎn)圖可知這些點(diǎn)分布在一條曲線的附近，所以更適合作為描述y與x關(guān)系的回歸方程類型.【小問(wèn)2詳解】設(shè)，變換后可得，設(shè)，建立w關(guān)于x的回歸方程，，所以所以w關(guān)于x的回歸方程為，所以，當(dāng)時(shí)，，即該志愿者在注射疫苗后的第10天的抗體含量水平值約為4023.87miu/mL.【小問(wèn)3詳解】由表格數(shù)據(jù)可知，第5，6天的y值大于50，故x的可能取值為0，1，2，，，，X的分布列為012.21、（1）（2）【解析】（1）利用互斥事件的概率公式，即可求解；（2）由條件可知兩單共獲得的獎(jiǎng)勵(lì)為3元即事件，同樣利用互斥事件和的概率，即可求解.【小問(wèn)1詳解】設(shè)事件分別表示“被評(píng)為等級(jí)”，由題意，事