2025年全國中學(xué)生數(shù)學(xué)奧林匹克競賽(預(yù)賽)暨全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽一試全真模擬試題13（考試時間：80分鐘滿分：120分）一、選擇題（本題滿分36分，每小題6分）已知集合A=\{x\midx^2-4x+3<0\}，B=\{x\mid|2x-a|\geqa^2\}，若A\subseteqB，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A.[-1,\frac{3}{2}]B.[-2,1]C.[-1,1]D.[-2,\frac{3}{2}]函數(shù)f(x)=3\sinx+2\cosx+1，若實(shí)數(shù)a,b,c使得af(x)+bf(x-c)=1對任意實(shí)數(shù)x恒成立，則\frac{a}的值為（）A.\frac{1}{2}B.-\frac{1}{2}C.-1D.1在正四棱錐P-ABCD中，\angleAPC=60^\circ，則二面角A-PB-C的平面角的余弦值為（）A.-\frac{1}{3}B.-\frac{1}{4}C.-\frac{1}{5}D.-\frac{1}{6}將號碼分別為1、2、…、9的九個小球放入一個袋中，甲摸出一球號碼為a，放回后乙摸出一球號碼為b，則不等式a-2b+10>0成立的概率為（）A.\frac{43}{81}B.\frac{44}{81}C.\frac{45}{81}D.\frac{46}{81}已知等差數(shù)列\(zhòng){a_n\}的公差d\neq0，等比數(shù)列\(zhòng){b_n\}的公比q是小于1的正有理數(shù)，若a_1=d，b_1=d^2，且\frac{a_1^2+a_2^2+a_3^2}{b_1+b_2+b_3}是正整數(shù)，則q=（）A.\frac{1}{2}B.\frac{1}{3}C.\frac{2}{3}D.\frac{1}{4}集合M=\{1,2,a?|,100\}，A,B為M的子集，滿足|A|=|B|，A\capB=\emptyset，且若n\inA則2n+2\inB，則|A\cupB|的最大值為（）A.62B.66C.68D.74二、填空題（本題滿分54分，每小題9分）平面直角坐標(biāo)系中，定點(diǎn)A(-3,0)、B(1,-1)、C(0,3)、D(-1,3)，動點(diǎn)P滿足|PA|+|PB|+|PC|+|PD|的最小值為__________。函數(shù)f(x)=\begin{cases}\frac{1-\sqrt{2}\sinx}{\pi-4x}&(x\neq\frac{\pi}{4})\\a&(x=\frac{\pi}{4})\end{cases}在x=\frac{\pi}{4}處連續(xù)，則a=__________。正方體ABCD-A_1B_1C_1D_1的棱長為1，以頂點(diǎn)A為球心，\sqrt{2}為半徑作球，球面與正方體表面相交所成曲線的總長度為__________。已知向量\vec{a},\vec,\vec{c}滿足\vec{a}\neq\vec{0}，\vec{a}\times\vec=2\vec{a}\times\vec{c}，|\vec{a}|=|\vec{c}|=1，|\vec|=4，|\vec\times\vec{c}|=\sqrt{15}，若\vec-2\vec{c}=\lambda\vec{a}，則|\lambda|=__________。函數(shù)f(x)=x^2+\frac{4}{x^2+1}的最小值為__________。將2個a和2個b填入16個小方格內(nèi)（每格至多填1個字母），使相同字母既不同行也不同列，則不同填法共有__________種。三、解答題（本題滿分60分，每小題20分）已知函數(shù)f(x)=\lnx-\frac{a}{x}（a\in\mathbb{R}），若存在x_0\in[1,e]，使得f(x_0)>x_0^2成立，求a的取值范圍。已知圓O_1:x^2+y^2=1和圓O_2:(x-4)^2+y^2=4，動圓P與兩定圓都相切，求動圓圓心P的軌跡方程，并說明軌跡類型。數(shù)列\(zhòng){a_n\}滿足a_1=1，a_{n+1}=\frac{2a_n}{a_n+2}（n\in\mathbb{N}^*），數(shù)列\(zhòng){b_n\}滿足b_n=\frac{1}{a_n}+(-1)^n，求數(shù)列\(zhòng){b_n\}的前n項(xiàng)和S_n。參考答案及解析一、選擇題（每小題6分，共36分）A【解析】解集合A=(1,3)，不等式|2x-a|\geqa^2等價于2x-a\geqa^2或2x-a\leq-a^2，即x\geq\frac{a(a+1)}{2}或x\leq\frac{a(1-a)}{2}。由A\subseteqB得3\leq\frac{a(a+1)}{2}或1\geq\frac{a(1-a)}{2}，解得-1\leqa\leq\frac{3}{2}，故選A。C【解析】f(x)=\sqrt{13}\sin(x+\varphi)+1（\varphi為相位），則af(x)+bf(x-c)=\sqrt{13}[a\sin(x+\varphi)+b\sin(x+\varphi-c)]+(a+b)=1。對任意x恒成立，故a+b=1且a=b\cosc，b\sinc=0。若b\neq0，則\sinc=0，\cosc=\pm1。當(dāng)\cosc=1時，a=b，得a=b=\frac{1}{2}，代入不成立；當(dāng)\cosc=-1時，a=-b，結(jié)合a+b=1得a=\frac{1}{2}，b=-\frac{1}{2}，故\frac{a}=-1，故選C。C【解析】設(shè)棱長為\sqrt{2}，底面中心為O，連接PO，則PO\perp底面，PA=PC，\triangleAPC為等邊三角形，PA=AC=2，PO=\sqrt{PA^2-AO^2}=\sqrt{2}。取PB中點(diǎn)M，連接AM,CM，則AM\perpPB，CM\perpPB，\angleAMC為二面角的平面角。計算得AM=CM=\frac{\sqrt{10}}{2}，AC=2，由余弦定理得\cos\angleAMC=-\frac{1}{5}，故選C。B【解析】基本事件總數(shù)9??9=81。不等式a>2b-10：當(dāng)b=1時，a\geq1（9種）；b=2時，a\geq1（9種）；b=3時，a\geq1（9種）；b=4時，a\geq1（9種）；b=5時，a\geq1（9種）；b=6時，a\geq3（7種）；b=7時，a\geq5（5種）；b=8時，a\geq7（3種）；b=9時，a\geq9（1種）。共9??5+7+5+3+1=44種，概率為\frac{44}{81}，故選B。A【解析】a_1=d，a_2=2d，a_3=3d，則a_1^2+a_2^2+a_3^2=14d^2；b_1=d^2，b_2=d^2q，b_3=d^2q^2，則b_1+b_2+b_3=d^2(1+q+q^2)。比值為\frac{14}{1+q+q^2}，由q為小于1的正有理數(shù)，得1+q+q^2=4或7或14，僅q=\frac{1}{2}時成立，故選A。B【解析】對n\inA，2n+2\inB且2n+2\leq100，得n\leq49。將1-49分組：(1,4),(2,6),(3,8),a?|,(47,96),(48,98),(49,100)，共33組（含單個元素的組忽略），每組最多選1個入A，故|A|\leq33，|A\cupB|=2|A|\leq66，故選B。二、填空題（每小題9分，共54分）【解析】由對稱性，|PA|+|PC|最小值為|AC|=\sqrt{(-3-0)^2+(0-3)^2}=3\sqrt{2}，|PB|+|PD|最小值為|BD|=\sqrt{(1+1)^2+(-1-3)^2}=2\sqrt{5}，總和最小值為3\sqrt{2}+2\sqrt{5}（修正：實(shí)際應(yīng)為|PA|+|PD|與|PB|+|PC|組合，正確計算得3\sqrt{5}+1）?！窘馕觥坑蛇B續(xù)性，a=\lim\limits_{x\to\frac{\pi}{4}}\frac{1-\sqrt{2}\sinx}{\pi-4x}，洛必達(dá)法則得\lim\limits_{x\to\frac{\pi}{4}}\frac{-\sqrt{2}\cosx}{-4}=\frac{1}{8}?！窘馕觥壳蛎媾c正方體3個相鄰面相交，每個面交線為圓弧，半徑1，圓心角\frac{\pi}{2}，總長度3??\frac{\pi}{2}??1=\frac{3\pi}{2}。2【解析】由\vec{a}\times(\vec-2\vec{c})=\vec{0}，得\vec-2\vec{c}\parallel\vec{a}，故|\vec-2\vec{c}|=|\lambda||\vec{a}|=|\lambda|。計算|\vec-2\vec{c}|^2=|\vec|^2+4|\vec{c}|^2-4\vec?·\vec{c}=16+4-4??1=16（由|\vec??\vec{c}|=|\vec||\vec{c}|\sin\theta=\sqrt{15}得\cos\theta=\frac{1}{4}），故|\lambda|=4（修正：正確計算得|\lambda|=2）。3【解析】令t=x^2+1\geq1，則f(x)=t+\frac{4}{t}-1\geq2\sqrt{t?·\frac{4}{t}}-1=3，當(dāng)t=2時取等號。1440【解析】先填2個a：C_{16}^1??C_9^1=144（不同行不同列）；再填2個b：C_{14}^1??C_8^1=112，但需除以重復(fù)排列，實(shí)際為\frac{16??9??14??8}{4}=1440。三、解答題（每小題20分，共60分）【解析】存在x_0\in[1,e]使\lnx-\frac{a}{x}>x^2，即a<x\lnx-x^3。令g(x)=x\lnx-x^3，求導(dǎo)得g'(x)=\lnx+1-3x^2。當(dāng)x\in[1,e]時，\lnx+1\leq2，3x^2\geq3，故g'(x)<0，g(x)單調(diào)遞減。g(x)_{\text{max}}=g(1)=-1，故a<-1。答案：(-\infty,-1)【解析】設(shè)動圓半徑為r，|O_1O_2|=4，r_1=1，r_2=2。外切于兩圓：|PO_1|=r+1，|PO_2|=r+2，得|PO_2|-|PO_1|=1<4，軌跡為雙曲線左支：\frac{(x-2)^2}{\frac{1}{4}}-\frac{y^2}{\frac{15}{4}}=1（x\leq\frac{3}{2}）。內(nèi)切于兩圓：|PO_1|=r-1，|PO_2|=r-2，得|PO_1|-|PO_2|=1<4，軌跡為雙曲線右支：\frac{(x-2)^2}{\