第42頁（共42頁）2025年浙江省杭州市錢塘區(qū)中考數(shù)學三模試卷一、選擇題：本大題有10個小題，每小題3分，共30分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．（3分）（2025?錢塘區(qū)三模）下列圖形中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．2．（3分）（2025?錢塘區(qū)三模）如圖是由5個相同的小立方體塊搭成的幾何體，它的主視圖是（）A． B． C． D．3．（3分）（2025?錢塘區(qū)三模）2025年一季度，浙江省地區(qū)生產(chǎn)總值（GDP）達223000000萬元．數(shù)據(jù)223000000用科學記數(shù)法表示為（）A．0.223×109 B．22.3×109 C．2.23×108 D．2.23×1094．（3分）（2025?錢塘區(qū)三模）括號內(nèi)填入“a2”后能使等式成立的是（）A．a(chǎn)3+（）＝a5 B．（）?a3＝a6 C．（）÷a3＝a D．（）3＝a65．（3分）（2025?錢塘區(qū)三模）若a＜b，則下列不等式一定成立的是（）A．a(chǎn)+b＜2b B．a(chǎn)﹣c＜b+c C．a(chǎn)c＜bc D．a(chǎn)6．（3分）（2025?錢塘區(qū)三模）已知A（﹣3，a），B（3，a），C（5，a+m）（m＞0）三點在同一函數(shù)圖象上，則該函數(shù)圖象可能是（）A． B． C． D．7．（3分）（2025?錢塘區(qū)三模）如圖，將△ABC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△DBE，A，C的對應(yīng)點分別為D，E，AC的延長線分別交BD，DE于點F，G，下列結(jié)論正確的是（）A．AC＝CG B．∠ABC＝∠BDE C．AG⊥DE D．GB∥DE8．（3分）（2025?錢塘區(qū)三模）如圖，在△ABC中，∠A＝45°，D為AC上一點，BC＝BD，過點C作CE⊥BD于點E，交AB于點F．若∠ABD＝α（0°＜α＜45°），則∠BCF的大小為（）A．2a B．45°﹣α C．45°+α D．90°﹣α9．（3分）（2025?錢塘區(qū)三模）已知A（x1，﹣2），B（x2，2）在反比例函數(shù)y=kx（k為常數(shù)，k≠0A．若k＞0，則x2＜0＜x1 B．若k＞0，則0＜x2＜x1 C．若k＜0，則x1＜x2＜0 D．若k＜0，則x2＜0＜x110．（3分）（2025?錢塘區(qū)三模）如圖，四邊形ABCD是正方形，點F在邊AD上運動（不與端點重合），連結(jié)CF，以CF為對角線作正方形CEFG，連結(jié)BG，DE．當點F運動時，下列比值不變的是（）A．CFBG B．AFBG C．CEBG 二、填空題：本大題有6個小題，每小題3分，共18分。11．（3分）（2025?錢塘區(qū)三模）因式分解：m2+2m＝．12．（3分）（2025?錢塘區(qū)三模）如圖，直線AB，CD相交于點O，OE⊥AB于點O．若∠1＝40°，則∠2＝．13．（3分）（2025?錢塘區(qū)三模）已知一個不透明的盒子中裝有1個白球，2個紅球，3個黑球，它們除顏色不同外，其余均相同．若從中隨機摸出一個球，恰好為紅球的概率是．14．（3分）（2025?錢塘區(qū)三模）若關(guān)于x的方程x2﹣2x+2﹣k＝0有兩個不相等的實數(shù)根，則k的取值范圍是．15．（3分）（2025?錢塘區(qū)三模）如圖，在△ABC中，D，E分別是AB，AC的中點，F(xiàn)是AE的中點，連結(jié)DE，BF交于點G．若EG＝6，則DG＝．16．（3分）（2025?錢塘區(qū)三模）如圖，在平行四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別在AD，BC上，AE＝CF，且DE＞2AE，把△ABE，△CDF分別沿BE，DF折疊，A，C的對應(yīng)點分別為G，H．若E，G，H，F(xiàn)四點恰好在同一直線上，∠GFB＝60°，GH＝1，AD＝7，則AB的長是．三、解答題：本大題有8個小題，共72分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（8分）（2025?錢塘區(qū)三模）計算：4sin18．（8分）（2025?錢塘區(qū)三模）解不等式組：219．（8分）（2025?錢塘區(qū)三模）如圖，在矩形ABCD中，將BC繞點B旋轉(zhuǎn)至BC′，C′在AD上，過點C′作GC′⊥BC′，交CD于點G，連結(jié)BG．（1）求證：GC＝GC′．（2）若AB＝5，BC＝13，求GC的長．20．（8分）（2025?錢塘區(qū)三模）學校以班級為單位選拔學生參加校知識競賽，在選拔賽中，每班參加比賽人數(shù)均相同，成績分為A，B，C，D四個等級，其中相應(yīng)等級的得分依次記為100分，90分，80分，70分，學校將九年級一班和二班的成績整理并繪制成如圖的統(tǒng)計圖．請根據(jù)以上信息解答下列問題：（1）求出表格中a，b，c的值．班級平均數(shù)（分）中位數(shù)（分）眾數(shù)（分）一班a90c二班87b80（2）根據(jù)（1）中的統(tǒng)計量，應(yīng)選哪個班級參加校知識競賽？請說明理由．21．（8分）（2025?錢塘區(qū)三模）如圖，A，B，C在⊙O上，連結(jié)AB，AC，求作BC的中點D．下面是甲同學的作法：以點A為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交AB，AC于點E，F(xiàn)，再分別以點E，F(xiàn)為圓心，大于EF為半徑畫弧交于點P，射線AP交⊙O于點D，即為所求．（1）請根據(jù)甲同學的作法，在圖1中畫出點D，并判斷該作法是否正確，說明理由．（2）請嘗試用其他方法，在圖2中畫出點D．（尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）22．（10分）（2025?錢塘區(qū)三模）已知A，B兩地間有一條300千米的高速公路，甲車以100千米/時的速度從A地勻速開往B地，乙車以m千米/時的速度從B地勻速開往A地，兩車同時出發(fā)，分別到達目的地后停止．甲，乙兩車相距的路程s（千米）與行駛時間t（小時）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示．（1）請根據(jù)題意，直接寫出a，b，m的值．（2）求甲，乙兩車相遇后s與t之間的函數(shù)關(guān)系式．23．（10分）（2025?錢塘區(qū)三模）在平面直角坐標系中，（﹣3，m），（1，n）在二次函數(shù)y＝x2﹣2bx+c的圖象上．（1）當m＝n＝0時，求該函數(shù)圖象的頂點坐標．（2）若m≤n，求b的取值范圍．（3）若m+n＝8，且當﹣2≤x≤2時，y有最小值﹣4，求b的值．24．（12分）（2025?錢塘區(qū)三模）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，∠BAC＝90°，D是AB的中點，連結(jié)CD，過點A作AE⊥CD于E，交⊙O于F，過點B作BH⊥AF于H．（1）若∠F＝50°，求∠ABC的大?。?）若BHCE=89（3）求證：AE＝HF．

2025年浙江省杭州市錢塘區(qū)中考數(shù)學三模試卷參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）題號12345678910答案DBC．DABCADB一、選擇題：本大題有10個小題，每小題3分，共30分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．（3分）（2025?錢塘區(qū)三模）下列圖形中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．【考點】中心對稱圖形；軸對稱圖形．【答案】D【分析】把一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形；如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形；據(jù)此進行判斷即可．【解答】解：A、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，不符合題意；B、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，不符合題意；C、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，不符合題意；D、既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，符合題意；故選：D．【點評】本題考查了中心對稱圖形，軸對稱圖形，熟練掌握其定義是解題的關(guān)鍵．2．（3分）（2025?錢塘區(qū)三模）如圖是由5個相同的小立方體塊搭成的幾何體，它的主視圖是（）A． B． C． D．【考點】簡單組合體的三視圖．【專題】投影與視圖；幾何直觀．【答案】B【分析】根據(jù)主視圖是從正面看，得出結(jié)論即可．【解答】解：由題意知，原組合體的主視圖為．故選：B．【點評】本題考查了簡單組合體的三視圖，主視圖是從物體的正面看得到的視圖．3．（3分）（2025?錢塘區(qū)三模）2025年一季度，浙江省地區(qū)生產(chǎn)總值（GDP）達223000000萬元．數(shù)據(jù)223000000用科學記數(shù)法表示為（）A．0.223×109 B．22.3×109 C．2.23×108 D．2.23×109【考點】科學記數(shù)法—表示較大的數(shù)．【專題】實數(shù)；符號意識．【答案】C．【分析】科學記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．當原數(shù)絕對值≥10時，n是正數(shù)；當原數(shù)的絕對值＜1時，n是負數(shù)．【解答】解：223000000＝2.23×108．故選：C．【點評】此題考查科學記數(shù)法的表示方法．科學記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，表示時關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值．4．（3分）（2025?錢塘區(qū)三模）括號內(nèi)填入“a2”后能使等式成立的是（）A．a(chǎn)3+（）＝a5 B．（）?a3＝a6 C．（）÷a3＝a D．（）3＝a6【考點】整式的除法；同底數(shù)冪的乘法．【專題】整式；運算能力．【答案】D【分析】A．根據(jù)a3，a2不是同類項，不能合并，進行判斷即可；B．根據(jù)同底數(shù)冪相乘法則進行計算，然后判斷即可；C．根據(jù)同底數(shù)冪相除法則進行計算，然后判斷即可；D．根據(jù)冪的乘方法則進行計算，然后判斷即可．【解答】解：A．∵a3，a2不是同類項，不能合并，∴括號內(nèi)填入“a2”后不能使等式成立，故此選項不符合題意；B．∵a2?a3＝a5，∴括號內(nèi)填入“a2”后不能使等式成立，故此選項不符合題意；C．∵a2÷a3=a-1D．∵（a2）3＝a6，∴括號內(nèi)填入“a2”后能使等式成立，故此選項符合題意；故選：D．【點評】本題主要考查了整式的有關(guān)運算，解題關(guān)鍵是熟練掌握同底數(shù)冪的乘除法則和冪的乘方法則．5．（3分）（2025?錢塘區(qū)三模）若a＜b，則下列不等式一定成立的是（）A．a(chǎn)+b＜2b B．a(chǎn)﹣c＜b+c C．a(chǎn)c＜bc D．a(chǎn)【考點】不等式的性質(zhì)．【專題】一元一次不等式（組）及應(yīng)用；推理能力．【答案】A【分析】根據(jù)不等式的基本性質(zhì)逐一進行分析判斷即可．【解答】解：A．∵a＜b，∴a+b＜2b，故A選項正確，符合題意；B．∵a＜b，∴a﹣c＜b﹣c，故B選項錯誤，不符合題意；C．∵a＜b，∴當c＞0時，ac＜bc，當c＜0時，ac＞bc，當c＝0時，ac＝bc，故C選項錯誤，不符合題意；D．∵a＜b，∴當c＞0時，ac＜bc，當c＜0時，故選：A．【點評】本題考查了不等式的基本性質(zhì)，熟練掌握不等式的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．（3分）（2025?錢塘區(qū)三模）已知A（﹣3，a），B（3，a），C（5，a+m）（m＞0）三點在同一函數(shù)圖象上，則該函數(shù)圖象可能是（）A． B． C． D．【考點】函數(shù)的圖象．【專題】函數(shù)及其圖象；幾何直觀．【答案】B【分析】由點A（﹣3，a），B（3，a）的坐標特點，可知函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱，再根據(jù)B（3，a），C（5，a+m）（m＞0）的特點和函數(shù)的性質(zhì)，可知在對稱軸右側(cè)y隨x的增大而增大，由此得出答案．【解答】解：由點的坐標特征可知點A與點B關(guān)于y軸對稱；由于選項C、D的圖象關(guān)于原點對稱，因此選項C、D不符合題意；由B、C坐標可知，在對稱軸的右側(cè)，y隨x的增大而增大，觀察選項A、B，只有B選項的圖象在對稱軸的右側(cè)，y隨x的增大而增大，故選：B．【點評】本題考查函數(shù)的圖象．注意掌握排除法在選擇題中的應(yīng)用是解此題的關(guān)鍵．7．（3分）（2025?錢塘區(qū)三模）如圖，將△ABC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△DBE，A，C的對應(yīng)點分別為D，E，AC的延長線分別交BD，DE于點F，G，下列結(jié)論正確的是（）A．AC＝CG B．∠ABC＝∠BDE C．AG⊥DE D．GB∥DE【考點】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；平行線的判定．【專題】平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；推理能力．【答案】C【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)逐一判斷即可．【解答】解：∵將△ABC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△DBE，∴AC⊥DE，即AG⊥DE，故選項C正確，符合題意，由已知條件無法得出選項A，B，D中的結(jié)論，故選：C．【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，熟記旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8．（3分）（2025?錢塘區(qū)三模）如圖，在△ABC中，∠A＝45°，D為AC上一點，BC＝BD，過點C作CE⊥BD于點E，交AB于點F．若∠ABD＝α（0°＜α＜45°），則∠BCF的大小為（）A．2a B．45°﹣α C．45°+α D．90°﹣α【考點】等腰三角形的性質(zhì)．【專題】等腰三角形與直角三角形；推理能力．【答案】A【分析】根據(jù)三角形外角性質(zhì)求出∠BDC＝45°+α，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出∠BCD＝∠BDC＝45°+α，進而得∠CBD＝90°﹣2α，然后根據(jù)CE⊥BD即可得出∠BCF的度數(shù)．【解答】解：在△ABD中，∠A＝45°，∠ABD＝α（0°＜α＜45°），∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝45°+α，∵BC＝BD，∴∠BCD＝∠BDC＝45°+α，在△BCD中，∠CBD＝180°﹣（∠BCD+∠BDC）＝180°﹣（45°+α+45°+α）＝90°﹣2α，∵CE⊥BD，∴∠BCF+∠CBD＝90°，∴∠BCF＝90°﹣∠CBD＝90°﹣（90°﹣2α）＝2α，故選：A．【點評】此題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．9．（3分）（2025?錢塘區(qū)三模）已知A（x1，﹣2），B（x2，2）在反比例函數(shù)y=kx（k為常數(shù)，k≠0A．若k＞0，則x2＜0＜x1 B．若k＞0，則0＜x2＜x1 C．若k＜0，則x1＜x2＜0 D．若k＜0，則x2＜0＜x1【考點】反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征．【專題】反比例函數(shù)及其應(yīng)用；運算能力．【答案】D【分析】根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征解答即可．【解答】解：A、k＞0，圖象分布在第一、三象限，A在第三象限，B在第一象限，故x2＞0＞x1，選項說法錯誤，不符合題意；B、k＞0，圖象分布在第一、三象限，A在第三象限，B在第一象限，故x2＞0＞x1，選項說法錯誤，不符合題意；C、k＜0，圖象分布在第二、四象限，A在第四象限，B在第二象限，故x2＜0＜x1，選項說法錯誤，不符合題意；D、k＜0，圖象分布在第二、四象限，A在第四象限，B在第二象限，故x2＜0＜x1，選項說法正確，符合題意；故選：D．【點評】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，熟練掌握該知識點是關(guān)鍵．10．（3分）（2025?錢塘區(qū)三模）如圖，四邊形ABCD是正方形，點F在邊AD上運動（不與端點重合），連結(jié)CF，以CF為對角線作正方形CEFG，連結(jié)BG，DE．當點F運動時，下列比值不變的是（）A．CFBG B．AFBG C．CEBG 【考點】正方形的性質(zhì)；列代數(shù)式．【專題】矩形菱形正方形；幾何直觀；推理能力．【答案】B【分析】延長AD到H，使DH＝AF，連接EH，根據(jù)正方形的性質(zhì)及平行線的性質(zhì)證明∠BCG＝∠DCE＝∠DFE，F(xiàn)H＝AD＝CD，進而可依據(jù)“SAS”判定△FHE和△CDE全等則HE＝DE，∠FEH＝∠CED，由此得∠DEH＝∠CEF＝90°，則△DEH是等腰直角三角形，由勾股定理得AF＝DH=2DE，則AFDE=2，再證明△BCG和△DCE全等得BG＝【解答】解：延長AD到H，使DH＝AF，連接EH，如圖所示：∵四邊形ABCD是正方形，∴AD＝CD＝CB，AD∥BC，∠BCD＝90°，∴∠BCF＝∠DFC，∵四邊形CEFG是正方形，∴FE＝CE＝CG，∠CEF＝∠GCE＝90°，∠GCF＝∠EFC＝45°，∴∠BCF﹣∠GCF＝∠DFC﹣∠EFC，∴∠BCG＝∠DFE，∵∠BCD＝∠GCE＝90°，∴∠BCG+∠GCD＝∠GCD+∠DCE，∴∠BCG＝∠DCE，∴∠DFE＝∠DCE，∵DH＝AF，∴DH+DF＝AF+DF，∴FH＝AD＝CD，在△FHE和△CDE中，F(xiàn)H=∴△FHE≌△CDE（SAS），∴HE＝DE，∠FEH＝∠CED，∴∠FED+∠DEH＝∠FED+∠CEF，∴∠DEH＝∠CEF＝90°，∴△DEH是等腰直角三角形，由勾股定理得：DH=DE∴AF=2DE∴AFDE在△BCG和△DCE中，CB=∴△BCG≌△DCE（SAS），∴BG＝DE，∴AFBG∴當點F運動時，AF/BG的值不變，始終等于2．故選：B．【點評】此題主要考查了正方形的性質(zhì)，理解正方形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理是解決問題的關(guān)鍵．二、填空題：本大題有6個小題，每小題3分，共18分。11．（3分）（2025?錢塘區(qū)三模）因式分解：m2+2m＝m（m+2）．【考點】因式分解﹣提公因式法．【專題】實數(shù)；運算能力．【答案】m（m+2）．【分析】根據(jù)因式分解的定義，用提公因式法得m2+2m＝m（m+2）．【解答】解：m2+2m＝m（m+2）．故答案為：m（m+2）．【點評】本題主要考查提公因式法進行因式分解，熟練掌握公因式的找法是解題的關(guān)鍵．12．（3分）（2025?錢塘區(qū)三模）如圖，直線AB，CD相交于點O，OE⊥AB于點O．若∠1＝40°，則∠2＝50°．【考點】垂線；對頂角、鄰補角．【專題】線段、角、相交線與平行線；推理能力．【答案】50°．【分析】先根據(jù)已知條件和垂直定義求出∠BOE，再根據(jù)∠1+∠BOE+∠AOC＝180°和已知條件，求出∠AOC，最后根據(jù)對頂角相等求出∠2即可．【解答】解：∵OE⊥AB，∴∠BOE＝90°，∵∠1+∠BOE+∠AOC＝180°，∠1＝40°，∴∠AOC＝180°﹣90°﹣40°＝50°，∴∠2＝∠AOC＝50°，故答案為：50°．【點評】本題主要考查了對頂角和鄰補角，解題關(guān)鍵是熟練掌握對頂角的性質(zhì)和垂直定義．13．（3分）（2025?錢塘區(qū)三模）已知一個不透明的盒子中裝有1個白球，2個紅球，3個黑球，它們除顏色不同外，其余均相同．若從中隨機摸出一個球，恰好為紅球的概率是13【考點】概率公式．【專題】概率及其應(yīng)用；應(yīng)用意識．【答案】13【分析】根據(jù)概率公式求從中隨機摸出一個球恰好為紅球的概率．【解答】解：從不透明的盒子中隨機摸出一個球有6中情況，從中隨機摸出一個球，恰好為紅球有2種情況，∴從中隨機摸出一個球，恰好為紅球的概率是26故答案為：13【點評】本題主要考查概率公式，掌握隨機事件A的概率P（A）＝事件A可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)÷所有可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)是解題的關(guān)鍵．14．（3分）（2025?錢塘區(qū)三模）若關(guān)于x的方程x2﹣2x+2﹣k＝0有兩個不相等的實數(shù)根，則k的取值范圍是k＞1．【考點】根的判別式．【專題】一元二次方程及應(yīng)用；運算能力．【答案】k＞1．【分析】根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式Δ＞0，即可得出關(guān)于k的一元一次不等式，解之即可得出結(jié)論．【解答】解：根據(jù)題意得：Δ＝（﹣2）2﹣4（2﹣k）＝﹣4+4k＞0，解得：k＞1，即k的取值范圍為k＞1．故答案為：k＞1．【點評】本題考查了根的判別式，牢記“當Δ＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根”是解題的關(guān)鍵．15．（3分）（2025?錢塘區(qū)三模）如圖，在△ABC中，D，E分別是AB，AC的中點，F(xiàn)是AE的中點，連結(jié)DE，BF交于點G．若EG＝6，則DG＝3．【考點】相似三角形的判定與性質(zhì)；三角形中位線定理．【專題】三角形；圖形的相似；推理能力．【答案】3．【分析】根據(jù)三角形中位線定理得DE∥BC，DE=12BC，根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)得△EFG∽△CFB，可得GEBC=FEFC=13【解答】解：∵D，E分別是△ABC邊AB，AC的中點，∴DE∥BC，DE=12BC，AE＝∵點F是AE的中點，∴AE＝CE＝2FE，∴FC＝3FE，∵DE∥BC，∴△EFG∽△CFB，∴GEBC∵EG＝6，∴BC＝18，∴DE＝9，∴DG＝DE﹣EG＝9﹣6＝3，故答案為：3．【點評】本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形中位線定理，掌握相似三角形的判定和性質(zhì)定理以及三角形中位線定理是解題的關(guān)鍵．16．（3分）（2025?錢塘區(qū)三模）如圖，在平行四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別在AD，BC上，AE＝CF，且DE＞2AE，把△ABE，△CDF分別沿BE，DF折疊，A，C的對應(yīng)點分別為G，H．若E，G，H，F(xiàn)四點恰好在同一直線上，∠GFB＝60°，GH＝1，AD＝7，則AB的長是19．【考點】翻折變換（折疊問題）；全等三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)．【專題】等腰三角形與直角三角形；多邊形與平行四邊形；解直角三角形及其應(yīng)用；運算能力；推理能力．【答案】19．【分析】由平行四邊形的性質(zhì)得AD∥BC，由折疊得GE＝AE，HF＝CF，∠GEB＝∠AEB，∠HFD＝∠CFD，因為AE＝CF，所以GE＝HF＝AE，因為∠DEF＝∠GFB＝60°，所以∠GEB＝∠AEB＝∠HFD＝∠CFD＝60°，可證明△BFE和△DEF都是等邊三角形，則BE＝EF＝DE＝2AE+1，所以AE+2AE+1＝7，求得AE＝2，則BE＝5，作BL⊥DA交DA的延長線于點L，則∠L＝90°，所以∠EBL＝30°，則EL=52，求得AL=12，由BLEL=tan60°=3【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，由折疊得GE＝AE，HF＝CF，∠GEB＝∠AEB，∠HFD＝∠CFD，∵AE＝CF，∴GE＝HF＝AE，∵E，G，H，F(xiàn)四點在同一直線上，∠GFB＝60°，∴∠DEF＝∠GFB＝60°，∴∠GEB＝∠AEB＝∠HFD＝∠CFD=12×（180°﹣60°∴∠EBF＝∠FDE＝60°，∴△BFE和△DEF都是等邊三角形，∴BE＝EF＝DE，∵DE＞2AE，GE+HF＝2AE，GH＝1，∴EF＞GE+HF，∴BE＝DE＝EF＝GE+HF+GH＝2AE+1，∵AE+DE＝AD＝7，∴AE+2AE+1＝7，∴AE＝2，∴BE＝5，作BL⊥DA交DA的延長線于點L，則∠L＝90°，∴∠EBL＝90°﹣∠AEB＝30°，∴EL=12BE∴AL＝EL﹣AE=1∵BLEL=tan60°∴BL=3EL=∴AB=A故答案為：19．【點評】此題重點考查平行四邊形的性質(zhì)、翻折變換的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形中30°角所對的直角邊等于斜邊的一半、勾股定理、解直角三角形等知識，推導(dǎo)出△BFE和△DEF都是等邊三角形是解題的關(guān)鍵．三、解答題：本大題有8個小題，共72分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（8分）（2025?錢塘區(qū)三模）計算：4sin【考點】實數(shù)的運算；負整數(shù)指數(shù)冪；特殊角的三角函數(shù)值．【專題】實數(shù)；運算能力．【答案】1．【分析】利用負整數(shù)指數(shù)冪，特殊銳角三角函數(shù)值，二次根式及絕對值的性質(zhì)計算后再算加減即可．【解答】解：原式＝4×22+3﹣＝22+3﹣22＝1．【點評】本題考查實數(shù)的運算，負整數(shù)指數(shù)冪，特殊銳角三角函數(shù)值，熟練掌握相關(guān)運算法則是解題的關(guān)鍵．18．（8分）（2025?錢塘區(qū)三模）解不等式組：2【考點】解一元一次不等式組．【專題】一元一次不等式（組）及應(yīng)用；運算能力．【答案】﹣1＜x＜2．【分析】分別求出每一個不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找不到，確定出不等式組的解集．【解答】解：2x解不等式①得，x＜2，解不等式②得，x＞﹣1，∴不等式組的解集為﹣1＜x＜2．【點評】本題主要考查了解一元一次不等式組，熟知解一元一次不等式組的步驟是解題的關(guān)鍵．19．（8分）（2025?錢塘區(qū)三模）如圖，在矩形ABCD中，將BC繞點B旋轉(zhuǎn)至BC′，C′在AD上，過點C′作GC′⊥BC′，交CD于點G，連結(jié)BG．（1）求證：GC＝GC′．（2）若AB＝5，BC＝13，求GC的長．【考點】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；勾股定理；矩形的性質(zhì)．【專題】等腰三角形與直角三角形；推理能力．【答案】（1）見解析；（2）2.6．【分析】（1）根據(jù)HL證明Rt△BC'G≌Rt△BCG即可得出結(jié)論；（2）設(shè)GC'＝GC＝x，則GD＝5﹣x，在Rt△GDC'中，由勾股定理得出方程求解即可．【解答】（1）證明：∵將BC繞點B旋轉(zhuǎn)至BC′，∴BC'＝BC，∵過點C′作GC′⊥BC′，∴∠BC'G＝90°，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠C＝∠BC'G＝90°，又∵BG＝BG，∴Rt△BC'G≌Rt△BCG（HL），∴GC＝GC'；（2）解：∵BC＝13，∴BC'＝13，∴AC'=BC'∴C'D＝13﹣12＝1，設(shè)GC'＝GC＝x，則GD＝5﹣x，在Rt△GDC'中，由勾股定理得，C'D2+DG2＝C'G2，即12+（5﹣x）2＝x2，解得x＝2.6，即GC的長為2.6．【點評】本題考查了矩形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟記各性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．20．（8分）（2025?錢塘區(qū)三模）學校以班級為單位選拔學生參加校知識競賽，在選拔賽中，每班參加比賽人數(shù)均相同，成績分為A，B，C，D四個等級，其中相應(yīng)等級的得分依次記為100分，90分，80分，70分，學校將九年級一班和二班的成績整理并繪制成如圖的統(tǒng)計圖．請根據(jù)以上信息解答下列問題：（1）求出表格中a，b，c的值．班級平均數(shù)（分）中位數(shù)（分）眾數(shù)（分）一班a90c二班87b80（2）根據(jù)（1）中的統(tǒng)計量，應(yīng)選哪個班級參加校知識競賽？請說明理由．【考點】方差；扇形統(tǒng)計圖；條形統(tǒng)計圖；算術(shù)平均數(shù)；中位數(shù)；眾數(shù)．【專題】數(shù)據(jù)的收集與整理；數(shù)據(jù)分析觀念．【答案】（1）a＝87，b＝85，c＝90；（2）選一班級參加市知識競賽，理由見解答（答案不唯一）．【分析】（1）分別根據(jù)平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)的定義求解即可；（2）只要答案符合題意即可．（答案不唯一）【解答】解：（1）由題意得：a=3×100+10×90+5×80+2×703+10+5+2把二班成績從小到大排列，排在中間的兩個數(shù)分別是80，90，故b=80+902一班出現(xiàn)次數(shù)最多的是90分，故c＝90；（2）選一班級參加市知識競賽，理由：從平均數(shù)的角度看兩班成績一樣；從中位數(shù)和眾數(shù)的角度看一班比二班的成績好，所以一班成績好（答案不唯一）．【點評】本題考查的是條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖的綜合運用，讀懂統(tǒng)計圖，從不同的統(tǒng)計圖中得到必要的信息是解決問題的關(guān)鍵．條形統(tǒng)計圖能清楚地表示出每個項目的數(shù)據(jù)；扇形統(tǒng)計圖直接反映部分占總體的百分比大小．同時考查了平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)的定義及其應(yīng)用．21．（8分）（2025?錢塘區(qū)三模）如圖，A，B，C在⊙O上，連結(jié)AB，AC，求作BC的中點D．下面是甲同學的作法：以點A為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交AB，AC于點E，F(xiàn)，再分別以點E，F(xiàn)為圓心，大于EF為半徑畫弧交于點P，射線AP交⊙O于點D，即為所求．（1）請根據(jù)甲同學的作法，在圖1中畫出點D，并判斷該作法是否正確，說明理由．（2）請嘗試用其他方法，在圖2中畫出點D．（尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）【考點】作圖—基本作圖；角平分線的性質(zhì)；圓心角、弧、弦的關(guān)系．【專題】作圖題；幾何直觀．【答案】（1）見解析；（2）見解析．【分析】（1）利用尺規(guī)作圖作∠BAC的平分線交⊙O于點D，根據(jù)圓周角定理可知點D即為BC的中點．（2）作線段BC的垂直平分線，交弧BC于點D，則點D即為所求．【解答】解：（1）如圖所示，點D即為所求．；正確，理由：由作圖知，AP平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∴BD=（2）如圖，連接BC，作線段BC的垂直平分線，交弧BC于點D，則點D即為所求．【點評】本題考查作圖—基本作圖、線段垂直平分線的性質(zhì)、圓心角、弧、弦的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．22．（10分）（2025?錢塘區(qū)三模）已知A，B兩地間有一條300千米的高速公路，甲車以100千米/時的速度從A地勻速開往B地，乙車以m千米/時的速度從B地勻速開往A地，兩車同時出發(fā)，分別到達目的地后停止．甲，乙兩車相距的路程s（千米）與行駛時間t（小時）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示．（1）請根據(jù)題意，直接寫出a，b，m的值．（2）求甲，乙兩車相遇后s與t之間的函數(shù)關(guān)系式．【考點】一次函數(shù)的應(yīng)用．【專題】一次函數(shù)及其應(yīng)用；運算能力；應(yīng)用意識．【答案】（1）a＝2.5，b＝3，m＝120；（2）s=220【分析】（1）設(shè)兩車出發(fā)后x小時相遇，根據(jù)兩車相遇及坐標（2，140）列關(guān)于x和m的二元一次方程組并求解，從而求出m的值，再分別根據(jù)時間＝路程÷速度求出a和b的值即可；（2）按照t的取值范圍分別寫出對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式并最終寫分段函數(shù)的形式即可．【解答】解：（1）設(shè)兩車出發(fā)后x小時相遇．根據(jù)題意，得(100+m解得m=120∴乙車的速度為120千米/小時，兩車出發(fā)后1511甲車到達目的地用時300÷100＝3（小時），乙車到達目的地用時300÷120＝2.5（小時），∴a＝2.5，b＝3，m＝120．（2）當1511≤t≤2.5時，s＝（100+120）（t-1511）＝220當t＝2.5時，s＝220×2.5﹣300＝250，當2.5＜t≤3時，s＝250+100（t﹣2.5）＝100t，∴甲，乙兩車相遇后s與t之間的函數(shù)關(guān)系式為s=220【點評】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用，掌握時間、速度和路程之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．23．（10分）（2025?錢塘區(qū)三模）在平面直角坐標系中，（﹣3，m），（1，n）在二次函數(shù)y＝x2﹣2bx+c的圖象上．（1）當m＝n＝0時，求該函數(shù)圖象的頂點坐標．（2）若m≤n，求b的取值范圍．（3）若m+n＝8，且當﹣2≤x≤2時，y有最小值﹣4，求b的值．【考點】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系；二次函數(shù)圖象上點的坐標特征；二次函數(shù)的最值．【專題】二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)；運算能力．【答案】（1）該函數(shù)圖象的頂點坐標（﹣1，﹣4）；（2）b≤﹣1，（3）b的值是﹣3.5或1．【分析】（1）根據(jù)m，n的值，得到（﹣3，0）（1，0）在二次函數(shù)圖象上，化成頂點式，得到頂點坐標；（2）根據(jù)點坐標，表示出m，n，代入到m≤n，得到結(jié)果；（3）根據(jù)題意，得到解析式y(tǒng)＝x2﹣2bx﹣2b﹣1，結(jié)合題意，求得b值即可．【解答】解：（1）∵m＝n＝0，∴（﹣3，0）（1，0）在二次函數(shù)圖象上，∴y＝（x+3）（x﹣1）＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，∴該函數(shù)圖象的頂點坐標（﹣1，﹣4）；（2）∵m＝9+6b+c，n＝1﹣2b+c，m≤n，∴n﹣m＝﹣8b﹣8≥0，∴b≤﹣1，（3）∵m＝9+6b+c，n＝1﹣2b+c，∴m+n＝10+4b+2c＝8，∴c＝﹣2b﹣1，∴y＝x2﹣2bx﹣2b﹣1，∵該函數(shù)圖象的對稱軸為直線x＝b，∴當b＜﹣2時，該函數(shù)在x＝﹣2處取到最小值，∴4+4b﹣2b﹣1＝﹣4，解得b＝﹣3.5，符合題意，∴當b＞2時，該函數(shù)在x＝2處取到最小值，∴4﹣4b﹣2b﹣1＝﹣4，解得b=∴當﹣2≤b≤2時，該函數(shù)在x＝b處取到最小值，∴﹣b2﹣2b﹣1＝﹣4，解得b1＝1，b2＝﹣3（不合題意舍去），綜上所述，b的值是﹣3.5或1．【點評】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．24．（12分）（2025?錢塘區(qū)三模）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，∠BAC＝90°，D是AB的中點，連結(jié)CD，過點A作AE⊥CD于E，交⊙O于F，過點B作BH⊥AF于H．（1）若∠F＝50°，求∠ABC的大?。?）若BHCE=89（3）求證：AE＝HF．【考點】三角形的外接圓與外心；解直角三角形；垂徑定理；圓周角定理．【專題】等腰三角形與直角三角形；圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；解直角三角形及其應(yīng)用；運算能力；推理能力．【答案】（1）∠ABC的度數(shù)是40°；（2）tan∠BAF的值為23（3）證明見解答．【分析】（1）由∠ACB＝∠F＝50°，∠BAC＝90°，求得∠ABC＝90°﹣∠ACB＝40°；（2）由D是AB的中點，得AD＝BD，由AE⊥CD于E，BH⊥AF于點H，得∠AED＝∠AEC＝∠BHA＝90°，則DE∥BH，推導(dǎo)出AE＝HE=12AH，由BHCE=89，得CE=98BH，再證明∠BAF＝∠ACE，由BHAH=tan∠BAF＝tan∠ACE=AE（3）由BHHF=tanF＝tan∠ACB=ABAC，得HFAC=BHAB，而AEAC=sin∠ACE＝【解答】（1）解：∵∠ACB＝∠F＝50°，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝90°﹣∠ACB＝40°，∴∠ABC的度數(shù)是40°．（2）解：∵D是AB的中點，∴AD＝BD，∵AE⊥CD于E，BH⊥AF于點H，∴∠AED＝∠AEC＝∠BHA＝90°，∴DE∥BH，∴AEHE=∴AE＝HE=12∵BHCE∴CE=98∴∠BAF＝∠ACE＝90°﹣∠CAE，∴BHAH=tan∠BAF＝tan∠ACE∴BHAH整理得BH2=49AH∴BH=23AH或BH=-∴tan∠BAF=BH∴tan∠BAF的值為23（3）證明：∵∠BHF＝∠BAC＝90°，∠F＝∠ACB，∴BHHF=tanF＝tan∠ACB∴HFAC∵∠AEC＝∠BHA＝90°，∠ACE＝∠BAH＝90°﹣∠CAE，∴AEAC=sin∠ACE＝sin∠BAH∴AEAC∴AE＝HF．【點評】此題重點考查圓周角定理、直角三角形的兩個銳角互余、平行線分線段成比例定理、解直角三角形等知識，推導(dǎo)出∠F＝∠ACB及∠BAF＝∠ACE是解題的關(guān)鍵．

考點卡片1．科學記數(shù)法—表示較大的數(shù)（1）科學記數(shù)法：把一個大于10的數(shù)記成a×10n的形式，其中a是整數(shù)數(shù)位只有一位的數(shù)，n是正整數(shù)，這種記數(shù)法叫做科學記數(shù)法．【科學記數(shù)法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n為正整數(shù)．】（2）規(guī)律方法總結(jié)：①科學記數(shù)法中a的要求和10的指數(shù)n的表示規(guī)律為關(guān)鍵，由于10的指數(shù)比原來的整數(shù)位數(shù)少1；按此規(guī)律，先數(shù)一下原數(shù)的整數(shù)位數(shù)，即可求出10的指數(shù)n．②記數(shù)法要求是大于10的數(shù)可用科學記數(shù)法表示，實質(zhì)上絕對值大于10的負數(shù)同樣可用此法表示，只是前面多一個負號．2．實數(shù)的運算（1）實數(shù)的運算和在有理數(shù)范圍內(nèi)一樣，值得一提的是，實數(shù)既可以進行加、減、乘、除、乘方運算，又可以進行開方運算，其中正實數(shù)可以開平方．（2）在進行實數(shù)運算時，和有理數(shù)運算一樣，要從高級到低級，即先算乘方、開方，再算乘除，最后算加減，有括號的要先算括號里面的，同級運算要按照從左到右的順序進行．另外，有理數(shù)的運算律在實數(shù)范圍內(nèi)仍然適用．【規(guī)律方法】實數(shù)運算的“三個關(guān)鍵”1．運算法則：乘方和開方運算、冪的運算、指數(shù)（特別是負整數(shù)指數(shù)，0指數(shù)）運算、根式運算、特殊三角函數(shù)值的計算以及絕對值的化簡等．2．運算順序：先乘方，再乘除，后加減，有括號的先算括號里面的，在同一級運算中要從左到右依次運算，無論何種運算，都要注意先定符號后運算．3．運算律的使用：使用運算律可以簡化運算，提高運算速度和準確度．3．列代數(shù)式（1）定義：把問題中與數(shù)量有關(guān)的詞語，用含有數(shù)字、字母和運算符號的式子表示出來，就是列代數(shù)式．（2）列代數(shù)式五點注意：①仔細辨別詞義．列代數(shù)式時，要先認真審題，抓住關(guān)鍵詞語，仔細辯析詞義．如“除”與“除以”，“平方的差（或平方差）”與“差的平方”的詞義區(qū)分．②分清數(shù)量關(guān)系．要正確列代數(shù)式，只有分清數(shù)量之間的關(guān)系．③注意運算順序．列代數(shù)式時，一般應(yīng)在語言敘述的數(shù)量關(guān)系中，先讀的先寫，不同級運算的語言，且又要體現(xiàn)出先低級運算，要把代數(shù)式中代表低級運算的這部分括起來．④規(guī)范書寫格式．列代數(shù)時要按要求規(guī)范地書寫．像數(shù)字與字母、字母與字母相乘可省略乘號不寫，數(shù)與數(shù)相乘必須寫乘號；除法可寫成分數(shù)形式，帶分數(shù)與字母相乘需把代分數(shù)化為假分數(shù)，書寫單位名稱什么時不加括號，什么時要加括號．注意代數(shù)式括號的適當運用．⑤正確進行代換．列代數(shù)式時，有時需將題中的字母代入公式，這就要求正確進行代換．【規(guī)律方法】列代數(shù)式應(yīng)該注意的四個問題1．在同一個式子或具體問題中，每一個字母只能代表一個量．2．要注意書寫的規(guī)范性．用字母表示數(shù)以后，在含有字母與數(shù)字的乘法中，通常將“×”簡寫作“?”或者省略不寫．3．在數(shù)和表示數(shù)的字母乘積中，一般把數(shù)寫在字母的前面，這個數(shù)若是帶分數(shù)要把它化成假分數(shù)．4．含有字母的除法，一般不用“÷”（除號），而是寫成分數(shù)的形式．4．同底數(shù)冪的乘法（1）同底數(shù)冪的乘法法則：同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加．a(chǎn)m?an＝am+n（m，n是正整數(shù)）（2）推廣：am?an?ap＝am+n+p（m，n，p都是正整數(shù)）在應(yīng)用同底數(shù)冪的乘法法則時，應(yīng)注意：①底數(shù)必須相同，如23與25，（a2b2）3與（a2b2）4，（x﹣y）2與（x﹣y）3等；②a可以是單項式，也可以是多項式；③按照運算性質(zhì)，只有相乘時才是底數(shù)不變，指數(shù)相加．（3）概括整合：同底數(shù)冪的乘法，是學習整式乘除運算的基礎(chǔ)，是學好整式運算的關(guān)鍵．在運用時要抓住“同底數(shù)”這一關(guān)鍵點，同時注意，有的底數(shù)可能并不相同，這時可以適當變形為同底數(shù)冪．5．整式的除法整式的除法：（1）單項式除以單項式，把系數(shù)，同底數(shù)冪分別相除后，作為商的因式；對于只在被除式里含有的字母，則連同他的指數(shù)一起作為商的一個因式．關(guān)注：從法則可以看出，單項式除以單項式分為三個步驟：①系數(shù)相除；②同底數(shù)冪相除；③對被除式里含有的字母直接作為商的一個因式．（2）多項式除以單項式，先把這個多項式的每一項分別除以單項式，再把所得的商相加．說明：多項式除以單項式實質(zhì)就是轉(zhuǎn)化為單項式除以單項式．多項式除以單項式的結(jié)果仍是一個多項式．6．因式分解-提公因式法1、提公因式法：如果一個多項式的各項有公因式，可以把這個公因式提出來，從而將多項式化成兩個因式乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法．2、具體方法：（1）當各項系數(shù)都是整數(shù)時，公因式的系數(shù)應(yīng)取各項系數(shù)的最大公約數(shù)；字母取各項的相同的字母，而且各字母的指數(shù)取次數(shù)最低的；取相同的多項式，多項式的次數(shù)取最低的．（2）如果多項式的第一項是負的，一般要提出“﹣”號，使括號內(nèi)的第一項的系數(shù)成為正數(shù)．提出“﹣”號時，多項式的各項都要變號．3、口訣：找準公因式，一次要提凈；全家都搬走，留1把家守；提負要變號，變形看奇偶．4、提公因式法基本步驟：（1）找出公因式；（2）提公因式并確定另一個因式：①第一步找公因式可按照確定公因式的方法先確定系數(shù)再確定字母；②第二步提公因式并確定另一個因式，注意要確定另一個因式，可用原多項式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一個因式，也可用公因式分別除去原多項式的每一項，求的剩下的另一個因式；③提完公因式后，另一因式的項數(shù)與原多項式的項數(shù)相同．7．負整數(shù)指數(shù)冪負整數(shù)指數(shù)冪：a﹣p=1ap（a≠0注意：①a≠0；②計算負整數(shù)指數(shù)冪時，一定要根據(jù)負整數(shù)指數(shù)冪的意義計算，避免出現(xiàn)（﹣3）﹣2＝（﹣3）×（﹣2）的錯誤．③當?shù)讛?shù)是分數(shù)時，只要把分子、分母顛倒，負指數(shù)就可變?yōu)檎笖?shù)．④在混合運算中，始終要注意運算的順序．8．根的判別式利用一元二次方程根的判別式（△＝b2﹣4ac）判斷方程的根的情況．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與△＝b2﹣4ac有如下關(guān)系：①當△＞0時，方程有兩個不相等的兩個實數(shù)根；②當△＝0時，方程有兩個相等的兩個實數(shù)根；③當△＜0時，方程無實數(shù)根．上面的結(jié)論反過來也成立．9．不等式的性質(zhì)（1）不等式的基本性質(zhì)①不等式的兩邊同時加上（或減去）同一個數(shù)或同一個含有字母的式子，不等號的方向不變，即：若a＞b，那么a±m(xù)＞b±m(xù)；②不等式的兩邊同時乘以（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變，即：若a＞b，且m＞0，那么am＞bm或am③不等式的兩邊同時乘以（或除以）同一個負數(shù)，不等號的方向改變，即：若a＞b，且m＜0，那么am＜bm或am（2）不等式的變形：①兩邊都加、減同一個數(shù)，具體體現(xiàn)為“移項”，此時不等號方向不變，但移項要變號；②兩邊都乘、除同一個數(shù)，要注意只有乘、除負數(shù)時，不等號方向才改變．【規(guī)律方法】1．應(yīng)用不等式的性質(zhì)應(yīng)注意的問題：在不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個負數(shù)時，一定要改變不等號的方向；當不等式的兩邊要乘以（或除以）含有字母的數(shù)時，一定要對字母是否大于0進行分類討論．2．不等式的傳遞性：若a＞b，b＞c，則a＞c．10．解一元一次不等式組（1）一元一次不等式組的解集：幾個一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它們所組成的不等式組的解集．（2）解不等式組：求不等式組的解集的過程叫解不等式組．（3）一元一次不等式組的解法：解一元一次不等式組時，一般先求出其中各不等式的解集，再求出這些解集的公共部分，利用數(shù)軸可以直觀地表示不等式組的解集．方法與步驟：①求不等式組中每個不等式的解集；②利用數(shù)軸求公共部分．解集的規(guī)律：同大取大；同小取??；大小小大中間找；大大小小找不到．11．函數(shù)的圖象函數(shù)的圖象定義對于一個函數(shù)，如果把自變量與函數(shù)的每一對對應(yīng)值分別作為點的橫、縱坐標，那么坐標平面內(nèi)由這些點組成的圖形就是這個函數(shù)的圖象．注意：①函數(shù)圖形上的任意點（x，y）都滿足其函數(shù)的解析式；②滿足解析式的任意一對x、y的值，所對應(yīng)的點一定在函數(shù)圖象上；③判斷點P（x，y）是否在函數(shù)圖象上的方法是：將點P（x，y）的x、y的值代入函數(shù)的解析式，若能滿足函數(shù)的解析式，這個點就在函數(shù)的圖象上；如果不滿足函數(shù)的解析式，這個點就不在函數(shù)的圖象上．．12．一次函數(shù)的應(yīng)用1、分段函數(shù)問題分段函數(shù)是在不同區(qū)間有不同對應(yīng)方式的函數(shù)，要特別注意自變量取值范圍的劃分，既要科學合理，又要符合實際．2、函數(shù)的多變量問題解決含有多變量問題時，可以分析這些變量的關(guān)系，選取其中一個變量作為自變量，然后根據(jù)問題的條件尋求可以反映實際問題的函數(shù)．3、概括整合（1）簡單的一次函數(shù)問題：①建立函數(shù)模型的方法；②分段函數(shù)思想的應(yīng)用．（2）理清題意是采用分段函數(shù)解決問題的關(guān)鍵．13．反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征反比例函數(shù)y＝k/x（k為常數(shù)，k≠0）的圖象是雙曲線，①圖象上的點（x，y）的橫縱坐標的積是定值k，即xy＝k；②雙曲線是關(guān)于原點對稱的，兩個分支上的點也是關(guān)于原點對稱；③在y＝k/x圖象中任取一點，過這一個點向x軸和y軸分別作垂線，與坐標軸圍成的矩形的面積是定值|k|．14．二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）①二次項系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小．當a＞0時，拋物線向上開口；當a＜0時，拋物線向下開口；|a|還可以決定開口大小，|a|越大開口就越小．②一次項系數(shù)b和二次項系數(shù)a共同決定對稱軸的位置．當a與b同號時（即ab＞0），對稱軸在y軸左側(cè)；當a與b異號時（即ab＜0），對稱軸在y軸右側(cè)．（簡稱：左同右異）③常數(shù)項c決定拋物線與y軸交點．拋物線與y軸交于（0，c）．④拋物線與x軸交點個數(shù)．△＝b2﹣4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點；△＝b2﹣4ac＝0時，拋物線與x軸有1個交點；△＝b2﹣4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點．15．二次函數(shù)圖象上點的坐標特征二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象是拋物線，頂點坐標是（-b2a①拋物線是關(guān)于對稱軸x=-b2a②拋物線與y軸交點的縱坐標是函數(shù)解析式中的c值．③拋物線與x軸的兩個交點關(guān)于對稱軸對稱，設(shè)兩個交點分別是（x1，0），（x2，0），則其對稱軸為x=x16．二次函數(shù)的最值（1）當a＞0時，拋物線在對稱軸左側(cè)，y隨x的增大而減少；在對稱軸右側(cè)，y隨x的增大而增大，因為圖象有最低點，所以函數(shù)有最小值，當x=-b2a時，（2）當a＜0時，拋物線在對稱軸左側(cè)，y隨x的增大而增大；在對稱軸右側(cè)，y隨x的增大而減少，因為圖象有最高點，所以函數(shù)有最大值，當x=-b2a時，（3）確定一個二次函數(shù)的最值，首先看自變量的取值范圍，當自變量取全體實數(shù)時，其最值為拋物線頂點坐標的縱坐標；當自變量取某個范圍時，要分別求出頂點和函數(shù)端點處的函數(shù)值，比較這些函數(shù)值，從而獲得最值．17．對頂角、鄰補角（1）對頂角：有一個公共頂點，并且一個角的兩邊分別是另一個角的兩邊的反向延長線，具有這種位置關(guān)系的兩個角，互為對頂角．（2）鄰補角：只有一條公共邊，它們的另一邊互為反向延長線，具有這種關(guān)系的兩個角，互為鄰補角．（3）對頂角的性質(zhì)：對頂角相等．（4）鄰補角的性質(zhì)：鄰補角互補，即和為180°．（5）鄰補角、對頂角成對出現(xiàn)，在相交直線中，一個角的鄰補角有兩個．鄰補角、對頂角都是相對與兩個角而言，是指的兩個角的一種位置關(guān)系．它們都是在兩直線相交的前提下形成的．18．垂線（1）垂線的定義當兩條直線相交所成的四個角中，有一個角是直角時，就說這兩條直線互相垂直，其中一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點叫做垂足．（2）垂線的性質(zhì)在平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直．注意：“有且只有”中，“有”指“存在”，“只有”指“唯一”“過一點”的點在直線上或直線外都可以．19．平行線的判定（1）定理1：兩條直線被第三條所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行．簡單說成：同位角相等，兩直線平行．（2）定理2：兩條直線被第三條所截，如果內(nèi)錯角相等，那么這兩條直線平行．簡單說成：內(nèi)錯角相等，兩直線平行．（3）定理3：兩條直線被第三條所截，如果同旁內(nèi)角互補，那么這兩條直線平行．簡單說成：同旁內(nèi)角互補，兩直線平行．（4）定理4：兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線平行．（5）定理5：在同一平面內(nèi)，如果兩條直線同時垂直于同一條直線，那么這兩條直線平行．20．全等三角形的判定與性質(zhì)（1）全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時，關(guān)鍵是選擇恰當?shù)呐卸l件．（2）在應(yīng)用全等三角形的判定時，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時添加適當輔助線構(gòu)造三角形．21．角平分線的性質(zhì)角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等．注意：①這里的距離是指點到角的兩邊垂線段的長；②該性質(zhì)可以獨立作為證明兩條線段相等的依據(jù)，有時不必證明全等；③使用該結(jié)論的前提條件是圖中有角平分線，有垂直角平分線的性質(zhì)語言：如圖，∵C在∠AOB的平分線上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE22．等腰三角形的性質(zhì)（1）等腰三角形的概念有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形．（2）等腰三角形的性質(zhì)①等腰三角形的兩腰相等②等腰三角形的兩個底角相等．【簡稱：等邊對等角】③等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合．【三線合一】（3）在①等腰；②底邊上的高；③底邊上的中線；④頂角平分線．以上四個元素中，從中任意取出兩個元素當成條件，就可以得到另外兩個元素為結(jié)論．23．勾股定理（1）勾股定理：在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方．如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a，b，斜邊長為c，那么a2+b2＝c2．（2）勾股定理應(yīng)用的前提條件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2＝c2的變形有：a=c2-b2，b（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜邊大于該直角三角形中的每一條直角邊．24．三角形中位線定理（1）三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半．（2）幾何語言：如圖，∵點D、E分別是AB、AC的中點∴DE∥BC，DE=1225．平行四邊形的性質(zhì)（1）平行四邊形的概念：有兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形．（2）平行四邊形的性質(zhì)：①邊：平行四邊形的對邊相等．②角：平行四邊形的對角相等．③對角線：平行四邊形的對角線互相平分．（3）平行線間的距離處處相等．（4）平行四邊形的面積：①平行四邊形的面積等于它的底和這個底上的高的積．②同底（等底）同高（等高）的平行四邊形面積相等．26．矩形的性質(zhì)（1）矩形的定義：有一個角是直角的平行四邊形是矩形．（2）矩形的性質(zhì)①平行四邊形的性質(zhì)矩形都具有；②角：矩形的四個角都是直角；③邊：鄰邊垂直；④對角線：矩形的對角線相等；⑤矩形是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形．它有2條對稱軸，分別是每組對邊中點連線所在的直線；對稱中心是兩條對角線的交點．（3）由矩形的性質(zhì)，可以得到直角三角形的一個重要性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．27．正方形的性質(zhì)（1）正方形的定義：有一組鄰邊相等并且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形．（2）正方形的性質(zhì)①正方形的四條邊都相等，四個角都是直角；②正方形的兩條對角線相等，互相垂直平分，并且每條對角線平分一組對角；③正方形具有四邊形、平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì)．④兩條對角線將正方形分成四個全等的等腰直角三角形，同時，正方形又是軸對稱圖形，有四條對稱軸．28．垂徑定理（1）垂徑定理垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條?。?）垂徑定理的推論推論1：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條?。普?：弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條?。普?：平分弦所對一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧．29．圓心角、弧、弦的關(guān)系（1）定理：在同圓和等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等．（2）推論：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等．說明：同一條弦對應(yīng)兩條弧，其中一條是優(yōu)弧，一條是劣弧，而在本定理和推論中的“弧”是指同為優(yōu)弧或劣?。?）正確理解和使用圓心角、弧、弦三者的關(guān)系三者關(guān)系可理解為：在同圓或等圓中，①圓心角相等，②所對的弧相等，③所對的弦相等，三項“知一推二”，一項相等，其余二項皆相等．這源于圓的旋轉(zhuǎn)不變性，即：圓繞其圓心旋轉(zhuǎn)任意角度，所得圖形與原圖形完全重合．（4）在具體應(yīng)用上述定理解決問題時，可根據(jù)需要，選擇其有關(guān)部分．30．圓周角定理（1）圓周角的定義：頂點在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角．注意：圓周角必須滿足兩個條件：①頂點在圓上．②角的兩條邊都與圓相交，二者缺一不可．（2）圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．推論：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑．（3）在解圓的有關(guān)問題時，常常需要添加輔助線，構(gòu)成直徑所對的圓周角，這種基本技能技巧一定要掌握．（4）注意：①圓周角和圓心角的轉(zhuǎn)化可通過作圓的半徑構(gòu)造等腰三角形．利用等腰三角形的頂點和底角的關(guān)系進行轉(zhuǎn)化．②圓周角和圓周角的轉(zhuǎn)化可利用其“橋梁”﹣﹣﹣圓心角轉(zhuǎn)化．③定理成立的條件是“同一條弧所對的”兩種角，在運用定理時不要忽略了這個條件，把不同弧所對的圓周角與圓心角錯當成同一條弧所對的圓周角和圓心角．31．三角形的外接圓與外心（1）外接圓：經(jīng)過三角形的三個頂點的圓，叫做三角形的外接圓．（2）外心：三角形外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點，叫做三角形的外心．（3）概念說明：①“接”是說明三角形的頂點在圓上，或者經(jīng)過三角形的三個頂點．②銳角三角形的外心在三角形的內(nèi)部；直角三角形的外心為直角三角形斜邊的中點；鈍角三角形的外心在三角形的外部．③找一個三角形的外心，就是找一個三角形的三條邊的垂直平分線的交點，三角形的外接圓只有一個，而一個圓的內(nèi)接三角形卻有無數(shù)個．32．作圖—基本作圖基本作圖有：（1）作一條線段等于已知線段．（2）作一個角等于已知角．（3）作已知線段的垂直平分線．（4）作已知角的角平分線．（5）過一點作已知直線的垂線．33．軸對稱圖形（1）軸對稱圖形的概念：如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸，這時，我們也可以說這個圖形關(guān)于這條直線（成軸）對稱．（2）軸對稱圖形是針對一個圖形而言的，是一種具有特殊性質(zhì)圖形，被一條直線分割成的兩部分沿著對稱軸折疊時，互相重合；軸對稱圖形的對稱軸可以是一條，也可以是多條甚至無數(shù)條．（3）常見的軸對稱圖形：等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圓等等．34．翻折變換（折疊問題）1、翻折變換（折疊問題）實質(zhì)上就是軸對稱變換．2、折疊的性質(zhì)：折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等．3、在解決實際問題時，對于折疊較為復(fù)雜的問題可以實際操作圖形的折疊，這樣便于找到圖形間的關(guān)系．首先清楚折疊和軸對稱能夠提供給我們隱含的并且可利用的條件．解題時，我們常常設(shè)要求的線段長為x，然后根據(jù)折疊和軸對稱的性質(zhì)用含x的代數(shù)式表示其他線段的長度，選擇適當?shù)闹苯侨切?，運用勾股定理列出方程求出答案．我們運用方程解決時，應(yīng)認真審題，設(shè)出正確的未知數(shù)．35．旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)（1）旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：