專題12概率

易錯(cuò)點(diǎn)一：互斥與對(duì)立混淆致誤（隨機(jī)事件的概率）

Ⅰ：首先明確什么是隨機(jī)試驗(yàn)

我們把對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象的實(shí)現(xiàn)和對(duì)它的觀察稱為隨機(jī)試驗(yàn)，簡(jiǎn)稱試驗(yàn)，常用字母E表示．

隨機(jī)試驗(yàn)的要求：

（1）試驗(yàn)可以在相同條件下重復(fù)進(jìn)行；

（2）試驗(yàn)的所有可能結(jié)果是明確的，結(jié)果不止一種；

（3）每次試驗(yàn)總是恰好出現(xiàn)這些可能結(jié)果中的一種，但事先不能確定出現(xiàn)哪一種結(jié)果．

Ⅱ：隨機(jī)事件的前提樣本空間

我們把隨機(jī)試驗(yàn)E的每個(gè)可能出現(xiàn)的結(jié)果稱為樣本點(diǎn)，全體樣本集合稱為試驗(yàn)E的樣本空間，一般地，

用表示樣本空間，用表示樣本點(diǎn)，如果一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)有個(gè)可能結(jié)果，，，，則稱樣本空

n12…n

間為有限樣本空間．

1,2,,n

Ⅲ：兩類事件：隨機(jī)事件、確定事件

（1）一般地，隨機(jī)試驗(yàn)中的每個(gè)隨機(jī)事件都可以用這個(gè)試驗(yàn)的樣本空間的子集來(lái)表示，為了敘述方便，

我們將樣本空間的子集稱為隨機(jī)事件，簡(jiǎn)稱事件，并把只包含一個(gè)樣本點(diǎn)的事件稱為基本事件．當(dāng)且僅

當(dāng)A中某個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)時(shí)，稱為事件A發(fā)生．

（2）作為自身的子集，包含了所有的樣本點(diǎn)，在每次試驗(yàn)中總有一個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生，所以總會(huì)發(fā)生，

我們稱為必然事件．

（3）在每次試驗(yàn)中都不可能發(fā)生，我們稱為不可能事件．

（4）確定事件：必然事件和不可能事件統(tǒng)稱為隨機(jī)事件的確定事件．

注意：事件的運(yùn)算可以用韋恩圖可以破解

Ⅳ：互斥事件與對(duì)立事件

（1）互斥事件：在一次試驗(yàn)中，事件A和事件B不能同時(shí)發(fā)生，即AB=，則稱事件A與事件B互

斥，可用韋恩圖表示如下：

如果，，，中任何兩個(gè)都不可能同時(shí)發(fā)生，那么就說(shuō)事件，．．，，彼此互斥．

A1A2…AnA1A2…An

（2）對(duì)立事件：若事件A和事件B在任何一次實(shí)驗(yàn)中有且只有一個(gè)發(fā)生，即AB不發(fā)生，

AB則稱事件A和事件B互為對(duì)立事件，事件A的對(duì)立事件記為A．

（3）互斥事件與對(duì)立事件的關(guān)系（重點(diǎn)）

①互斥事件是不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件，而對(duì)立事件除要求這兩個(gè)事件不同時(shí)發(fā)生外，還要求二者

之一必須有一個(gè)發(fā)生．

②對(duì)立事件是互斥事件的特殊情況，而互斥事件未必是對(duì)立事件，即“互斥”是“對(duì)立”的必要不充分條件，

而“對(duì)立”則是“互斥”的充分不必要條件．

Ⅴ：概率與頻率

（1）頻率：在n次重復(fù)試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的次數(shù)k稱為事件A發(fā)生的頻數(shù)，頻數(shù)k與總次數(shù)n的比

k

值，叫做事件A發(fā)生的頻率．

n

k

（2）概率：在大量重復(fù)盡心同一試驗(yàn)時(shí)，事件A發(fā)生的頻率總是接近于某個(gè)常數(shù)，并且在它附近擺

n

動(dòng)，這時(shí)，就把這個(gè)常數(shù)叫做事件A的概率，記作P(A)．

k

（3）概率與頻率的關(guān)系：對(duì)于給定的隨機(jī)事件A，由于事件A發(fā)生的頻率隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加穩(wěn)定

n

k

于概率P(A)，因此可以用頻率來(lái)估計(jì)概率P(A)．

n

隨機(jī)事件的概率

對(duì)隨機(jī)事件發(fā)生可能性大小的度量(數(shù)值)稱為事件的概率，事件A的概率用P(A)表示.

解題步驟如下：

第一步：仔細(xì)閱讀題目，弄清題目的背景材料，加深理解題意；

第二步：判斷本試驗(yàn)的結(jié)果是否為等可能事件，設(shè)出所求事件A；

第三步：分別求出基本事件的個(gè)數(shù)n與所求事件A中所包含的基本事件個(gè)數(shù)m；

A包含的基本事件的個(gè)數(shù)

第四步：利用公式P(A)求出事件A的概率．

基本事件的總數(shù)

易錯(cuò)提醒：對(duì)于互斥事件要抓住如下的特征進(jìn)行理解：第一，互斥事件研究的是兩個(gè)事件之間的關(guān)系；第

二，所研究的兩個(gè)事件是在一次試驗(yàn)中涉及的；第三，兩個(gè)事件互斥是在試驗(yàn)的結(jié)果不能同時(shí)出現(xiàn)來(lái)確定

的．對(duì)立事件是互斥事件的一種特殊情況，是指在一次試驗(yàn)中有且僅有一個(gè)發(fā)生的兩個(gè)事件，集合A的對(duì)

立事件記作A．分類討論思想是解決互斥事件中有一個(gè)發(fā)生的概率的一個(gè)重要的指導(dǎo)思想

例、判斷下列給出的每對(duì)事件，是否為互斥事件，是否為對(duì)立事件，并說(shuō)明理由．從40張撲克牌（紅桃、

黑桃、方塊、梅花各10張，且點(diǎn)數(shù)都是從1~10）中，任取一張．

（1）“抽出紅桃”與“抽出黑桃”；

（2）“抽出紅色牌”與“抽出黑色牌”；

（3）“抽出的牌點(diǎn)數(shù)為5的倍數(shù)”與“抽出的牌點(diǎn)數(shù)大于9”．

解析：（1）是互斥事件，不是對(duì)立事件．

原因是：從40張撲克牌中任意抽取1張，“抽出紅桃”和“抽出黑桃”是不可能同時(shí)發(fā)生的，所以是互斥事件，

但是，不能保證其中必有一個(gè)發(fā)生，這是由于還可能抽出“方塊”或者“梅花”，因此二者不是對(duì)立事件．

（2）既是互斥事件，又是對(duì)立事件．

原因是：從40張撲克牌中任意抽取1張，“抽出紅色牌”與“抽出黑色牌”是不可能同時(shí)發(fā)生的，但其中必有

一個(gè)發(fā)生，因?yàn)閾淇伺撇皇羌t色就是黑色，所以它們既是互斥事件，又是對(duì)立事件．

（3）不是互斥事件，也不是對(duì)立事件．

原因是：從40張撲克牌中任意抽取1張，“抽出的牌點(diǎn)數(shù)為5的倍數(shù)”與“抽出的牌點(diǎn)數(shù)大于9”這兩個(gè)事件

可能同時(shí)發(fā)生，如抽的點(diǎn)數(shù)為10．因此，二者不是互斥事件，當(dāng)然不可能是對(duì)立事件．

變式1．從1，2，3，4，5，6這六個(gè)數(shù)中任取三個(gè)數(shù)，下列兩個(gè)事件為對(duì)立事件的是（）

A．“至多有一個(gè)是偶數(shù)”和“至多有兩個(gè)是偶數(shù)”

B．“恰有一個(gè)是奇數(shù)”和“恰有一個(gè)是偶數(shù)”

C．“至少有一個(gè)是奇數(shù)”和“全都是偶數(shù)”

D．“恰有一個(gè)是奇數(shù)”和“至多有一個(gè)是偶數(shù)”

解：從1，2，3，4，5，6這六個(gè)數(shù)中任取三個(gè)數(shù)，

可能有0個(gè)奇數(shù)和3個(gè)偶數(shù)，1個(gè)奇數(shù)和2個(gè)偶數(shù)，2個(gè)奇數(shù)和1個(gè)偶數(shù)，3個(gè)奇數(shù)和0個(gè)偶數(shù)，

“至多有一個(gè)是偶數(shù)”包括2個(gè)奇數(shù)和1個(gè)偶數(shù)，3個(gè)奇數(shù)和0個(gè)偶數(shù)，

“至多有兩個(gè)是偶數(shù)”包括1個(gè)奇數(shù)和2個(gè)偶數(shù)，2個(gè)奇數(shù)和1個(gè)偶數(shù)，3個(gè)奇數(shù)和0個(gè)偶數(shù)，

即“至多有一個(gè)是偶數(shù)”包含于“至多有兩個(gè)是偶數(shù)”，故A錯(cuò)誤；

“恰有一個(gè)是奇數(shù)”即1個(gè)奇數(shù)和2個(gè)偶數(shù)，“恰有一個(gè)是偶數(shù)”即2個(gè)奇數(shù)和1個(gè)偶數(shù)，

所以“恰有一個(gè)是奇數(shù)”和“恰有一個(gè)是偶數(shù)”是互斥但不對(duì)立事件，故B錯(cuò)誤；

同理可得“恰有一個(gè)是奇數(shù)”和“至多有一個(gè)是偶數(shù)”是互斥但不對(duì)立事件，故D錯(cuò)誤；

“至少有一個(gè)是奇數(shù)”包括1個(gè)奇數(shù)和2個(gè)偶數(shù)，2個(gè)奇數(shù)和1個(gè)偶數(shù)，3個(gè)奇數(shù)和0個(gè)偶數(shù)，

“全都是偶數(shù)”即0個(gè)奇數(shù)和3個(gè)偶數(shù)，

所以“至少有一個(gè)是奇數(shù)”和“全都是偶數(shù)”為對(duì)立事件，故C正確；

故選：C

變式2．設(shè)A，B是兩個(gè)隨機(jī)事件，A，B分別為A，B的對(duì)立事件．給出以下命題：①若A，B為互斥事件，

115111

且PA，PB，則PAB；②若PA，PB，且PAB，則A，B相互獨(dú)立；

236236

111111

③若PA，PB，且PAB，則A，B相互獨(dú)立；④若PA，PB，且PAB，

233236

則A，B相互獨(dú)立．其中所有真命題的序號(hào)為（）

A．①B．②C．①②③D．②③④

11115

【詳解】對(duì)于①，因?yàn)锳，B為互斥事件，且PA，PB，所以PABP(A)P(B)，

23236

所以①正確，

1111

對(duì)于②，因?yàn)镻A，所以PA1PA，因?yàn)镻B，PAB,所以

2236

111

P(A)P(B)P(AB)，所以A，B相互獨(dú)立，所以②正確，

236

1112

對(duì)于③，因?yàn)镻A，PB，所以PA1PA，PB1PB，所以

2323

121

P(A)P(B)P(AB)，所以A,B相互獨(dú)立，所以A，B相互獨(dú)立，所以③正確，

233

1211

對(duì)于④，因?yàn)镻B，所以PB1PB，因?yàn)镻A，PAB，所以

3326

1211

P(A)P(B)P(AB)，所以A，B不相互獨(dú)立，所以④錯(cuò)誤，

2336

故選：C

變式3．（多選題）對(duì)空中飛行的飛機(jī)連續(xù)射擊兩次，每次發(fā)射一枚炮彈，設(shè)A＝“兩次都擊中飛機(jī)”，B＝“兩

次都沒(méi)擊中飛機(jī)”，C＝“恰有一枚炮彈擊中飛機(jī)”，D＝“至少有一枚炮彈擊中飛機(jī)”，下列關(guān)系正確的是（）

A．ADB．B∩D＝

C．A∪?C＝DD．A∪B＝B∪D

【詳解】“恰有一枚炮彈擊中飛機(jī)”指第一枚擊中第二枚沒(méi)中或第一枚沒(méi)中第二枚擊中，“至少有一枚炮彈擊

中”包含兩種情況：恰有一枚炮彈擊中，兩枚炮彈都擊中．故AD，A∪C＝D.故A、C正確；

因?yàn)槭录﨎，D為互斥事件，所以B∩D＝.故B正確；?

對(duì)于D：A∪B＝“兩個(gè)飛機(jī)都擊中或者都沒(méi)擊中”，B∪D為必然事件，這兩者不相等.故D錯(cuò)誤.

故選：ABC.

1．某中學(xué)運(yùn)動(dòng)會(huì)上有一個(gè)項(xiàng)目的比賽規(guī)則是：比賽分兩個(gè)階段，第一階段，比賽雙方各出5人，一對(duì)一進(jìn)

行比賽，共進(jìn)行5局比賽，每局比賽獲勝的一方得1分，負(fù)方得0分；第二階段，比賽雙方各出4人，二

對(duì)二進(jìn)行比賽，共進(jìn)行2局比賽，每局比賽獲勝的一方得2分，負(fù)方得0分．先得到5分及以上的一方裁

定為本次比賽的獲勝方，比賽結(jié)束．若甲、乙兩個(gè)班進(jìn)行比賽，在第一階段比賽中，每局比賽雙方獲勝的

14

概率都是2，在第二階段比賽中，每局比賽甲班獲勝的概率都是5，每局比賽的結(jié)果互不影響，則甲班經(jīng)

過(guò)7局比賽獲勝的概率是（）

3113

A．B．C．D．

810516

【答案】A

【分析】可分類分別求出甲班在第一階段獲勝的局?jǐn)?shù)對(duì)應(yīng)的概率，最后各種情況概率相加即可求解.

【詳解】按照甲班在第一階段獲勝的局?jǐn)?shù)，分類討論如下：

52

（）若甲班在第一階段獲勝的局?jǐn)?shù)為，則甲班經(jīng)過(guò)局比賽獲勝的概率1141．

117P1C5

2510

52

（）若甲班在第一階段獲勝的局?jǐn)?shù)為，則甲班經(jīng)過(guò)局比賽獲勝的概率2141．

227P2C5

255

5

（）若甲班在第一階段獲勝的局?jǐn)?shù)為，則甲班經(jīng)過(guò)局比賽獲勝的概率31441．

337P3C51

25520

5

（）若甲班在第一階段獲勝的局?jǐn)?shù)為，則甲班經(jīng)過(guò)局比賽獲勝的概率41441．

447P4C51

25540

3

所以所求概率PPPPP，故A項(xiàng)正確.

12348

故選：A.

2．已知為隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間，事件A，B滿足A,B，則下列說(shuō)法正確的是（）

115

A．若AB，且PA,PB，則PAB

326

115

B．若AB，且PA,PB，則PAB

326

111

C．若PAPAB,PB，則PBA

324

1332

D．若PA,PAB,PAB，則PB

2483

【答案】BD

1

【分析】對(duì)于A，由AB得PABP(AB)PB；對(duì)于B，根據(jù)互斥事件的概率加法公式即可

2

判斷；對(duì)于C，根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率乘法公式和條件概率的計(jì)算公式即可判斷；對(duì)于D，根據(jù)條件概率

以及全概率公式即可判斷．

1

【詳解】選項(xiàng)A：因?yàn)锳B，所以PABP(AB)PB，選項(xiàng)A不正確；

2

11

選項(xiàng)B：若AB，則A，B互斥，由PA,PB，

32

115

得PABPAPB，選項(xiàng)B正確；

326

選項(xiàng)C：由PAPAB得事件A，B相互獨(dú)立，所以事件A,B也相互獨(dú)立，所以

111

PABPAPB11，

233

1

PAB1

則PBA3，選項(xiàng)C不正確；

1

PA12

3

PAB3PAB333

選項(xiàng)D：由PAB,PAB，得PABPB,PABPB，

PB4PB848

33133

PAPABPABPBPB，所以11PBPB，

48248

2

解得PB，選項(xiàng)D正確．

3

故選：BD.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：

條件概率中復(fù)雜事件的求解，可以靈活運(yùn)用條件概率的相關(guān)性質(zhì)，轉(zhuǎn)化為彼此互斥的事件或?qū)α⒌氖录?/p>

概率求解．

①已知事件A，B，C，如果B和C是兩個(gè)互斥事件，則PBCAPBAPCA；

②已知事件A，B，則PBA1PBA；

③事件A與B相互獨(dú)立時(shí)，有PBAPB．

3．甲罐中有5個(gè)紅球，2個(gè)白球和3個(gè)黑球，乙罐中有4個(gè)紅球，3個(gè)白球和3個(gè)黑球.先從甲罐中隨機(jī)取

出一球放入乙罐，分別以A1，A2和A3表示從甲罐取出的球是紅球、白球、黑球，再?gòu)囊夜拗须S機(jī)取出一球，

以B表示從乙罐取出的球是紅球.則下列結(jié)論中正確的是（）

24

A．PBB．PBA2

511

C．事件B與事件A1相互獨(dú)立D．A1，A2，A3兩兩互斥

【答案】BD

【分析】根據(jù)已知得出PA1,PA2,PA3,PB|A1,PB|A2,PB|A3，然后即可根據(jù)概率的乘法公式以

及全概率公式，得出答案.

5121354

【詳解】由已知可得，PA，PA，PA，PB|A，PB|A，

11022105310111211

4

PB|A.

311

對(duì)于A項(xiàng)，由全概率公式可得，

PBPA1BPA2BPA3BPA1PBA1PA2PBA2PA3PBA3

1514349

，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；

211511101122

4

對(duì)于B項(xiàng)，根據(jù)已知，即可計(jì)算PBA2，故B項(xiàng)正確；

11

155199

對(duì)于C項(xiàng)，由已知可得，PABPAPB|A，PAPBPAB，故C

111211221222441

項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于D項(xiàng)，由已知可知，A1，A2，A3兩兩互斥，故D項(xiàng)正確.

故選：BD.

4．已知A,B,C為隨機(jī)事件，則下列表述中不正確的是（）

A．PABPAPBB．PBC|APB|APC|A

C．PA|A1D．PA|BPAB

【答案】ABD

【分析】根據(jù)概率的性質(zhì)及事件的運(yùn)算關(guān)系，結(jié)合獨(dú)立事件、條件概率公式判斷各項(xiàng)的正誤.

【詳解】?jī)H當(dāng)A與B相互獨(dú)立時(shí)，PABPAPB成立，故A不正確；

當(dāng)B和C是兩個(gè)互斥事件時(shí)PBC|APB|APC|A才成立，故B不正確；

P(AA)P(A)

PA|A1，故C正確；

P(A)P(A)

PAB

PA|BPAB，故D不正確．

PB

故選：ABD

5．甲、乙、丙、丁四名教師分配到A，B，C三個(gè)學(xué)校支教，每人分配到一個(gè)學(xué)校且每個(gè)學(xué)校至少分配一

人.設(shè)事件M：“甲分配到A學(xué)?！?；事件N：“乙分配到B學(xué)?！?，則（）

1

A．事件M與N互斥B．PM

3

5

C．事件M與N相互獨(dú)立D．PMN

12

【答案】BD

【分析】利用互斥事件、相互獨(dú)立事件的定義判斷AC；利用古典概率計(jì)算判斷B；計(jì)算條件概率判斷D作

答.

【詳解】對(duì)于A，甲分配到A學(xué)校的事件與乙分配到B學(xué)校的事件可以同時(shí)發(fā)生，即事件M與N不互斥，

A錯(cuò)誤；

1

對(duì)于B，甲分配到A，B，C三個(gè)學(xué)校是等可能的，則PM，B正確；

3

11C1C15

22

對(duì)于C，由選項(xiàng)B知，PN，P(MN)23，顯然P(MN)P(M)P(N)，

3C4A336

因此事件M與N相互不獨(dú)立，C錯(cuò)誤；

5

P(MN)5

對(duì)于D，由選項(xiàng)BC知，P(M|N)36，D正確.

P(N)112

3

故選：BD

6．為了促進(jìn)消費(fèi)，某商場(chǎng)針對(duì)會(huì)員客戶推出會(huì)員積分兌換商品活動(dòng)：每位會(huì)員客戶可在價(jià)值80元，90元，

100元的A，B，C三種商品中選擇一種使用積分進(jìn)行兌換，每10積分可兌換1元.已知參加活動(dòng)的甲、乙

111

兩位客戶各有1000積分，且甲兌換A，B，C三種商品的概率分別為，，，乙兌換A，B，C三種

236

111

商品的概率分別為，，，且他們兌換何種商品相互獨(dú)立.

263

(1)求甲、乙兩人兌換同一種商品的概率；

(2)記X為兩人兌換商品后的積分總余額，求X的分布列與期望

13

【答案】(1)；

36

(2)分布列見解析，EX250.

【分析】（1）應(yīng)用獨(dú)立乘法公式、互斥事件加法求甲、乙兩人兌換同一種商品的概率；

（2）根據(jù)題設(shè)確定X的可能取值并確定對(duì)應(yīng)概率，即可寫出分布列，進(jìn)而求期望.

11111113

【詳解】（1）由題可知，甲、乙兩人兌換同一種商品的概率為；

22366336

（2）由題意，兌換A，B，C三種商品所需的積分分別為800，900，1000，

則X的取值可能為0，100，200，300，400，

11111115

PX0，PX100，

6318663336

1111111111111

PX200，PX300，

3623623626324

111

PX400，

224

則X的分布列為

X0100200300400

151111

P

18363644

151111

E(X)0100200300400250.

18363644

7．截至2022年年底，女足亞洲杯已經(jīng)成功舉辦了20屆．中國(guó)女子國(guó)家足球隊(duì)在參賽的15屆亞洲杯中共

獲得9次冠軍、2次亞軍和3次季軍，其輝煌戰(zhàn)績(jī)每每給國(guó)人帶來(lái)拼搏奮進(jìn)的力量．在某屆女足亞洲杯中，

將甲、乙、丙等12支參賽球隊(duì)平均分成A，B，C三個(gè)小組．

(1)求甲、乙、丙三支球隊(duì)分到同一小組的概率；

(2)求甲、乙、丙三支球隊(duì)中恰有兩支分到同一組的概率．

1

【答案】(1)

9

2

(2)

3

【分析】（1）古典概型求事件概率，將所有基本事件均列出，然后將符合題意的基本事件列出，即可求符

合題意的事件的概率；

（2）可以直接求符合題意的事件的概率，也可以先求互斥事件的概率，間接求符合題意的事件概率.

【詳解】（1）當(dāng)甲球隊(duì)分到A組時(shí)，乙、丙兩支球隊(duì)分到的小組有AA，AB，AC，BA，BB，BC，CA，

CB，CC共9種情況．

同理，當(dāng)甲球隊(duì)分到B組或C組時(shí)，乙、丙兩支球隊(duì)分到的小組也分別有9種情況，

故甲、乙、丙三支球隊(duì)的分組情況共有3927（種）．

又因?yàn)榧?、乙、丙三支球?duì)分到同一小組有AAA，BBB，和CCC共3種情況，

31

所以甲、乙、丙三支球隊(duì)分到同一小組的概率為．

279

（2）方法一當(dāng)甲、乙兩支球隊(duì)都分到A組而丙球隊(duì)分到B組或C組時(shí)有2種情況．

同理，當(dāng)甲、乙兩支球隊(duì)都分到B組或C組而丙球隊(duì)不與它們一組時(shí)也分別有2種情況．

322

故甲、乙兩支球隊(duì)同組，而丙球隊(duì)不與它們一組的概率為．

279

同理，甲、丙兩支球隊(duì)同組，而乙球隊(duì)不與它們一組的概率也為2，

9

乙、丙兩支球隊(duì)同組，而甲球隊(duì)不與它們一組的概率也為2．

9

2222

又因?yàn)樯鲜鋈N情況互斥，所以甲、乙、丙三支球隊(duì)中恰有兩支分到同一組的概率為．

9993

方法二甲、乙、丙三支球隊(duì)中恰有兩支分到同一組的對(duì)立事件是甲、乙、丙三支球隊(duì)都分到不同小組和甲、

乙、丙三支球隊(duì)都分到同一小組．

甲、乙、丙三支球隊(duì)都分到不同小組的情況有ABC，ACB，BAC，BCA，CAB，CBA，共6種，

62

所以甲、乙、丙三支球隊(duì)都分到不同小組的概率為．

279

122

所以甲、乙、丙三支球隊(duì)中恰有兩支分到同一組的概率為1．

993

8．某娛樂(lè)節(jié)目闖關(guān)游戲共有三關(guān)，游戲規(guī)則如下，選手依次參加第一，二，三關(guān)，闖關(guān)成功可獲得的獎(jiǎng)金

分別為1000元、2000元、3000元.獎(jiǎng)金可累加，若某關(guān)闖關(guān)成功，選手可以選擇結(jié)束闖關(guān)游戲并獲得相應(yīng)

獎(jiǎng)金，也可以選擇繼續(xù)闖關(guān)，若有任何一關(guān)闖關(guān)失敗，則連同前面所得獎(jiǎng)金全部歸零，闖關(guān)游戲結(jié)束.選手

432

小劉參加闖關(guān)游戲，已知他第一，二，三關(guān)闖關(guān)成功的概率分別為，，.第一關(guān)闖關(guān)成功選擇繼續(xù)闖

543

32

關(guān)的概率為，第二關(guān)闖關(guān)成功選擇繼續(xù)闖關(guān)的概率為，且每關(guān)闖關(guān)成功與否互不影響.

55

(1)求小劉第一關(guān)闖關(guān)成功，但所得總獎(jiǎng)金為零的概率；

(2)設(shè)小劉所得獎(jiǎng)金為X，求隨機(jī)變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望.

21

【答案】(1)；

125

(2)分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為1544元.

【分析】（1）利用獨(dú)立事件乘法及互斥事件加法求小劉第一關(guān)闖關(guān)成功，但所得總獎(jiǎng)金為零的概率；

（2）首先確定可能X0,1000,3000,6000，應(yīng)用乘法公式、加法公式求對(duì)應(yīng)概率，寫出分布列，進(jìn)而求期

望即可.

【詳解】（1）由題意，要使小劉第一關(guān)闖關(guān)成功，但所得總獎(jiǎng)金為零，

選擇闖第二關(guān)且失敗，或選擇闖第二關(guān)且成功，又選擇闖第三關(guān)且失敗，

4314332121

所以小劉第一關(guān)闖關(guān)成功，但所得總獎(jiǎng)金為零的概率P.

55455453125

12146

（2）由題意，X0,1000,3000,6000，且P(X0)，

5125125

428433327

P(X1000)，P(X3000)，

55255545125

4332212

P(X6000)，

55453125

X的分布列如下：

X0100030006000

4682712

P

12525125125

4682712

E(X)01000300060001544元.

12525125125

9．甲、乙、丙三人進(jìn)行臺(tái)球比賽，比賽規(guī)則如下：先由兩人上場(chǎng)比賽，第三人旁觀，一局結(jié)束后，敗者下

場(chǎng)作為旁觀者，原旁觀者上場(chǎng)與勝者比賽，按此規(guī)則循環(huán)下去.若比賽中有人累計(jì)獲勝3局，則該人獲得最

終勝利，比賽結(jié)束，三人經(jīng)過(guò)抽簽決定由甲、乙先上場(chǎng)比賽，丙作為旁觀者.根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)，每局比賽中，

112

甲、乙比賽甲勝概率為，乙、丙比賽乙勝概率為，丙、甲比賽丙勝概率為，每局比賽相互獨(dú)立且每局

233

比賽沒(méi)有平局.

(1)比賽完3局時(shí)，求甲、乙、丙各旁觀1局的概率；

(2)已知比賽進(jìn)行5局后結(jié)束，求甲獲得最終勝利的概率.

2

【答案】(1)

3

13

(2)

108

【分析】（1）根據(jù)獨(dú)立事件的概率公式進(jìn)行求解即可；

（2）分析比賽情況，根據(jù)和事件的概率公式進(jìn)行求解即可.

【詳解】（1）由題可知，甲、乙、丙各旁觀1局只需討論前兩局的勝負(fù)情況，可分為：

甲勝乙、丙勝甲；乙勝甲，丙勝乙.

設(shè)甲、乙比賽甲勝，乙、丙比賽乙勝，丙、甲比賽丙勝分別為事件A，B，C，則A，B，C相互獨(dú)立，

設(shè)比賽完3局時(shí)，甲、乙、丙各旁觀1局為事件M，則MACAB，

12122

則PMPACPABPAPCPAPB，

23233

2

所以甲、乙、丙各旁觀1局的概率為.

3

（2）設(shè)甲、乙、丙第i局比賽獲勝分別為事件Ai，Bi，Ci，i1,2,3,4,5，

設(shè)比賽完5局甲獲得最終勝利為事件D，則

DB1B2A3A4A5B1C2A3A4A5A1A2B3B4A5A1A2B3C4A5A1C2C3A4A5A1C2B3A4A5,

111111

PBBAAAPBPBPAPAPA，

12345123452323272

121111

PBCAAAPBPCPAPAPA，

12345123452332354

111111

PAABBAPAPAPBPBPA，

12345123452323272

111211

PAABCAPAPAPBPCPA，

12345123452323354

122111

PACCAAPAPCPCPAPA，

12345123452333227

121111

PACBAAPAPCPBPAPA，

12345123452332354

11111113

所以PD.

725472542754108

13

所以，已知比賽進(jìn)行5局后結(jié)束，甲獲得最終勝利的概率為.

108

10．某校為豐富教職工業(yè)余文化活動(dòng)，在教師節(jié)活動(dòng)中舉辦了“三神杯”比賽，現(xiàn)甲乙兩組進(jìn)入到?jīng)Q賽階段，

決賽采用三局兩勝制決出冠軍，每一局比賽中甲組獲勝的概率為p0p1，且甲組最終獲得冠軍的概率

1

為（每局比賽沒(méi)有平局）.

2

(1)求p；

(2)已知冠軍獎(jiǎng)品為28個(gè)籃球，在甲組第一局獲勝后，比賽被迫取消，獎(jiǎng)品分配方案是：如果比賽繼續(xù)進(jìn)行

下去，按照甲乙兩組各自獲勝的概率分配籃球，請(qǐng)問(wèn)按此方案，甲組、乙組分別可獲得多少個(gè)籃球?

1

【答案】(1)p

2

(2)甲組應(yīng)獲得21個(gè)籃球，乙獲得7個(gè)籃球比較合理.

【分析】（1）利用互斥事件的概率加法公式和相互獨(dú)立事件的概率乘法公式列式計(jì)算即可；

（2）先求出在甲第一局獲勝的情況下，甲輸?shù)舯荣惖氖录怕?，即可求?

【詳解】（1）令事件Ai：甲組在第i局獲勝，i1,2,3.甲組勝的概率為：

1

222，

P1PA1A2PA1A2A3PA1A2A3p2p1pp32p

2

121

所以p2p2p10，解得p.

22

（2）由題意知，在甲組第一局獲勝的情況下，甲組輸?shù)舯荣愂录椋杭捉M接下來(lái)的比賽中連輸兩場(chǎng)，

1113

所以在甲第一局獲勝的前提下，最終輸?shù)舯荣惖母怕?，即甲獲勝的概率為，

P2PA2·A3

2244

故甲組、乙組應(yīng)按照3：1的比例來(lái)分配比賽獎(jiǎng)品，

即甲組應(yīng)獲得21個(gè)籃球，乙組獲得7個(gè)籃球比較合理.

易錯(cuò)點(diǎn)二：混淆基本事件的“等可能性”與“非等可能性”致誤（古典概率）

古典概型

（1）定義

一般地，若試驗(yàn)E具有以下特征：

①有限性：樣本空間的樣本點(diǎn)只有有限個(gè)；

②等可能性：每個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生的可能性相等.

稱試驗(yàn)E為古典概型試驗(yàn)，其數(shù)學(xué)模型稱為古典概率模型，簡(jiǎn)稱古典概型.

（2）古典概型的概率公式

一般地，設(shè)試驗(yàn)E是古典概型，樣本空間包含n個(gè)樣本點(diǎn)，事件A包含其中的k個(gè)樣本點(diǎn)，則定義

knA

事件A的概率PA.

nn

（3）概率的基本性質(zhì)

（1）對(duì)于任意事件A都有：0P(A)1．

（2）必然事件的概率為1，即P()=1；不可能事概率為0，即P()=0．

（3）概率的加法公式：若事件A與事件B互斥，則P(AB)P(A)P(B)．

推廣：一般地，若事件，，，彼此互斥，則事件發(fā)生（即，，，中有一個(gè)發(fā)生）

A1A2…AnA1A2…An

的概率等于這個(gè)事件分別發(fā)生的概率之和，即：．

nP(A1A2...An)P(A1)P(A2)...P(An)

（4）對(duì)立事件的概率：若事件A與事件B互為對(duì)立事件，則P(A)1P(B)，P(B)1P(A)，且

P(AB)P(A)P(B)1．

（5）概率的單調(diào)性：若AB，則P(A)P(B)．

（6）若A，B是一次隨機(jī)實(shí)驗(yàn)中的兩個(gè)事件，則P(AB)P(A)P(B)P(AB)．

解題步驟如下：

第一步：仔細(xì)閱讀題目，弄清題目的背景材料，加深理解題意；

第二步：判斷本試驗(yàn)的結(jié)果是否為等可能事件，設(shè)出所求事件A；

第三步：分別求出基本事件的個(gè)數(shù)n與所求事件A中所包含的基本事件個(gè)數(shù)m；

A包含的基本事件的個(gè)數(shù)

第四步：利用公式P(A)求出事件A的概率．

基本事件的總數(shù)

易錯(cuò)提醒：在解決古典概型問(wèn)題時(shí)要分清事件與基本事件，每個(gè)基本事件發(fā)生的概率都是相等的，而某個(gè)

事件可能包含幾個(gè)基本事件，要注意區(qū)分，避免出錯(cuò).

例、設(shè)袋中有4只白球和2只黑球，現(xiàn)從袋中無(wú)放回地摸出2只球．

（1）求這2只球都是白球的概率；

（2）求這2只球中1只是白球1只是黑球的概率．

解：我們不妨把4只白球標(biāo)以1，2，3，4號(hào)，2只黑球標(biāo)以5，6號(hào)，則基本事件有1,2，1,3，…，1,6，

2,1，2,3，…，2,6，…，6,1，6,2，…，6,5，共30個(gè)．

（1）用A表示“2只球都是白球”這一事件，則A1,2,1,3,1,4,2,1,2,3,2,4,3,1,3,2,

122

3,4,4,1,4,2,4,3共12個(gè)．所以PA．

305

（2）用B表示“2只球中1只是白球1只是黑球”這一事件，則B1,5,1,6,2,5,2,6,3,5,3,6,

168

4,5,4,6,5,1,5,2,5,3,5,4,6,1,6,2,6,3,6,4共16個(gè)，所以PB．

3015

變式1：袋中共有6個(gè)除了顏色外完全相同的球，其中有1個(gè)紅球，2個(gè)白球和3個(gè)黑球，從袋中任取兩球，

兩球顏色為一白一黑的概率等于（）

1234

A．B．C．D．

5555

C1C12

23

解：由題意P2．故選B．

C65

變式2：一個(gè)口袋里有形狀一樣僅顏色不同的5個(gè)小球，其中白色球3個(gè)，黑色球2個(gè)．若從中任取1個(gè)球，

每次取球后都放回袋中，則事件“連續(xù)取球3次，恰好取到兩次白球”的概率為_____________；若從中任取

2個(gè)球，記所取球中白球可能被取到的個(gè)數(shù)為，則隨機(jī)變量的期望為_____________．

C1C1C1C1C1C1C1C1C154

233323332

解：連續(xù)取球3次，恰好取到兩次白球”的概率P111，

C5C5C5125

C21C1C16C23

2323

由題意，的可能值為