專題01集合與常用邏輯用語

易錯點一：對集合表示方法的理解存在偏差（集合運算問題

兩種解題方法）

方法一：列舉法

列舉法就是通過枚舉集合中的所有元素，然后根據(jù)集合基本運算的定義求解的方法。

其解題具體步驟如下:

第一步定元素：確定已知集合中的所有元素，利用列舉法或畫數(shù)軸寫出所有元素或范圍；

第二步定運算：利用常見不等式或等式解未知集合；

第三步：定結(jié)果。

方法二：賦值法

高考對集合的基本運算的考查以選擇題為主,所以我們可以利用特值法解題,即根據(jù)選項

之間的明顯差異,選擇一些特殊元素進行檢驗排除,從而得到正確選項.

其解題具體步驟如下:

第一步：辨差異:分析各選項,辨別各選項的差異；

第二步：定特殊:根據(jù)選項的差異,選定一些特殊的元素；

第三步：驗排除:將特殊的元素代入進行驗證，排除干擾項；

第四步：定結(jié)果:根據(jù)排除的結(jié)果確定正確的選項。

易錯提醒：對集合表示法的理解先觀察研究對象（丨前），研究對象是點集還是數(shù)集，

故要對本質(zhì)進行剖析，需要明確集合中的代表元素類型及代表元素的含義.

例已知集合Axx，Bx,yy2，則集合AB（）

A．B．2,C．,2D．,

破解：根據(jù)交集定義計算，可以認(rèn)為A是數(shù)集，B是點集，AB故選：A

變式1：已知集合Axx1x40，Byy2x2，則AB（）

A．B．x1x4

C．x1x2D．x2x4

破解：∵A1,4，B,2，AB1,2，故選：C

注意一個研究對象為數(shù)集一個為點集

22

變式2：已知集合A(x,y)∣xy1,x,yR，B{x∣xy1,x,yR}，則（）

A．AB{0,1}B．AB{(0,1),(1,0)}

C．ABD．AB

破解：由題意可知集合B{x∣xy1,x,yR}為數(shù)集，

集合A(x,y)∣x2y21,x,yR表示點集，故選D.

變式3：已知集合Ax|log2x10，B{x||x2|2}，則AB（）

A．{x|1x2}B．{x|1x4}

C．{x|0x4}D．{x|x4}

破解：因為Ax|log2x10{x|1x2}

B{x||x2|2}{x|0x4}

所以AB{x|1x2}{x|0x4}{x|1x2}，故選：A

1．集合Ax,yy3x2，Bx,yyx4，則AB（）

A．3,7B．3,7C．7,3D．x3,y7

【答案】B

【分析】根據(jù)交集的定義求解即可.

y3x2x3

【詳解】因為，所以AB3,7.

yx4y7

故選：B

22

2．已知集合Ax|x2x0，集合By|ylog22x，則AB（）

A．0,1B．(,1)C．(,2)D．0,2

【答案】A

【分析】解一元二次不等式可得集合A，根據(jù)對數(shù)函數(shù)性質(zhì)可求得集合B，根據(jù)集合的

交集運算即得答案.

【詳解】由題意Ax|x22x0(0,2)，

22

由于02x2，故log22x1，

2

故By|ylog22x(,1]，

所以AB0,1，

故選：A

x

3．設(shè)全集UR，集合P{y|y3x,1x0}，Qx|0，則PeQ等于

x2U

（）

A．2,0B．2,0C．3,2D．3,2

【答案】B

【分析】化簡集合A，B，根據(jù)集合的交集、補集運算.

【詳解】全集UR，集合P{y|y3x,1x0}(3,0)，

x

Qx|0x|x(x2)0(x2{xx0或x2}，

x2

e

所以UQ{x|2x0}，

e

則PUQ{x|2x0}．

故選：B．

4．已知集合AxN1x4，Bxylgx22x3，則AB（）

A．1,2B．0,1,2

C．1,3D．1,3

【答案】B

【分析】先化簡集合A，B，再利用集合的交集運算求解.

【詳解】解：集合AxN1x40,1,2,3，

由x22x30，得x22x30，解得1x3，

所以Bx|1x3，

所以AB0,1,2，

故選：B

5．已知集合M{x|1x2},N{x|ylnx}，則MN（）

A．{x|1x2}B．{x|1x2}C．{x|0x2}D．{x|x1或

x2}

【答案】C

【分析】先化簡集合N，再求MN即可解決．

【詳解】N{x|ylnx}{x|x0}，

則MN{x|1x2}{x|x0}{x|0x2}．

故選：C．

6.已知集合Mx4x2，NxZ2x3，則MN（）

A．2,1,0,1B．1,0,1C．0,1D．0,1,2

【答案】B

【分析】根據(jù)集合的交運算即可求解.

【詳解】NxZ2x31,0,1,2，所以MN1,0,1，

故選：B

7.下列表示正確的個數(shù)是（）

2xy10

（1）0；（2）1,2；（3）x,y3,4；（4）若AB，則

3xy5

ABA．（5）

A．4B．3C．2D．1

【答案】A

【分析】根據(jù)元素與集合的關(guān)系、集合與集合的關(guān)系、交集、子集等知識進行分析，從

而確定正確答案.

【詳解】空集沒有元素，所以0正確，也即（1）正確；

空集是任何集合的子集，所以1,2正確，也即（2）正確；

2xy10x32xy10

由解得，所以x,y3,4，所以（3）錯誤；

3xy5y43xy5

若AB，即A是B的子集，所以ABA，所以（4）正確；

根據(jù)元素與集合的關(guān)系可知正確，也即（5）正確.

所以正確的個數(shù)是4.

故選：A

易錯點二：忽視（漏）空集導(dǎo)致錯誤（集合中的含參問題）

1.利用兩個集合之間的關(guān)系確定參數(shù)的取值范圍解題時務(wù)必注意:由于是任意集合的

子集,若已知非空集合B,集合A滿足AB或AB,則對集合A分兩種情?中的含參問題

況討論:

(1)當(dāng)A=時,若集合A是以不等式為載體的集合,則該不等式無解;(2)當(dāng)A≠時,要利用子

集的概念?把子集關(guān)系轉(zhuǎn)化為兩個集合對應(yīng)區(qū)間的端點值的大小關(guān)系,從而構(gòu)?造關(guān)于參數(shù)

的不等式(組)求解.

2.利用兩集合的運算求參數(shù)的值或取值范圍解決此類問題的步驟一般為:

第一步：化簡所給集合;

第二步：用數(shù)軸表示所給集合;

第三步：根據(jù)集合端點間關(guān)系列出不等式(組);(4)解不等式(組);

第四步：檢驗,通過返回代入驗證端點是否能夠取到.

第五步：解決此類問題多利用數(shù)形結(jié)合的方法,結(jié)合數(shù)軸或Venn圖進行求解.

易錯提醒：勿忘空集和集合本身.由于是任意集合的子集，是任何集合的真子集，任何

集合的本身是該集合的子集，所以在進?行列舉時千萬不要忘記。

例已知集合A{x|1x5}，Bxaxa3．若BAB，則a的取值范圍

為（）

3

A．,1B．，1

2

33

C．,D．,

22

破解：根據(jù)集合的關(guān)系分類討論求參數(shù)即可，由BAB，可得BA

3

當(dāng)B時，aa3，即a，滿足題設(shè)

2

3a13

當(dāng)B時，aa3，即a，且，可得a1

2a352

綜上，a的取值范圍為,1，故選：B

變式1：集合Ax2x25x20，Bxax20，若BAB，則實數(shù)a的取

值集合為（）

A．1,4B．0,1,4C．1,4D．0,1,4

1

破解：首先求出集合A，依題意可得BA，再分B、B2、B三種情況

2

討論

1

因為Ax2x25x202,，BAB，所以BA，又Bxax20

2

11

當(dāng)B，則a0，當(dāng)B2，即2a20，解得a1，當(dāng)B，即a20，

22

解得a4，綜上可得實數(shù)a的取值集合為0,1,4，故選：D

變式2：設(shè)集合UR，集合Ax∣2x5,B{x∣m6x2m1}，若AB，

則實數(shù)m的取值范圍為（）

111

A．,B．11,C．,11D．,11,

222

破解：結(jié)合B是否為空集進行分類討論可求m的范圍

當(dāng)B時，AB，則m62m1，即m5

m62m1m62m1

當(dāng)B時，若AB，則或

2m12m65

11

解得5m或m11，綜上，實數(shù)m的取值范圍為,11,

22

故選：D

3

變式3：已知集合AxZx23,Bxaxa，若AB有兩個元素，則實

2

數(shù)a的取值范圍是（）

33

A．a(chǎn)a1B．a(chǎn)a0

22

313

C．a(chǎn)a1或a0D．a(chǎn)a0或a1

222

破解：先解出集合A，結(jié)合AB有兩個元素求解即可

3

因為AxZx231,0,1，Bxaxa，由于AB有兩個元素

2

a11a0

31

則3或3，解得a1或a0

0a1a122

22

31

所以實數(shù)a的取值范圍是aa1或a0，故選：C

22

1．已知集合Ax1x5，Bxaxa4，若BAB，則a的取值范圍

為（）

A．a(chǎn)2a1B．a(chǎn)a2

C．a(chǎn)a1D．a(chǎn)a2

【答案】C

【分析】由BAB可以得到BA，從而對集合B分類討論即可求解參數(shù)a的范圍.

【詳解】∵已知BAB，又因為ABB，

∴ABB，即BA，

①當(dāng)B時，滿足BA，此時aa4，解得a2；

aa4

②當(dāng)B時，由BA，得a1，解得2a1；

a45

綜上所述，a1.

故選：C.

2．設(shè)集合Ax2a1x3a5，Bxx221x800，若ABA，則（）

A．a(chǎn)2a7B．a(chǎn)6a7C．a(chǎn)a7D．a(chǎn)a6

【答案】C

【分析】解不等式化簡集合B，再利用集合的包含關(guān)系求解即得.

【詳解】顯然Bxx221x800x5x16，由ABA，得AB，

當(dāng)A時，即2a13a5，解得a6，滿足AB，則a6；

當(dāng)A時，則52a13a516，解得6a7；

所以a7.

故選：C

3．已知集合Mx|x21，Nx|ax1，若MNN，則實數(shù)a的取值集合為

（）

A．1B．1,1C．1,0D．1,1,0

【答案】D

【分析】分a0和a0討論，根據(jù)集合關(guān)系可解.

【詳解】MNNNM，

當(dāng)a0時，N，滿足NM；

111

當(dāng)a0時，N，M1,1，由NM可知1或1，得a1或a1.

aaa

綜上，實數(shù)a的取值集合為1,1,0.

故選：D

4．設(shè)集合A＝{x|1x3}，B＝{x|xa}}，若AB＝B，則a的取值范圍是（）

A．{a|a31}B．{a|a1}

C．{a|a3}D．{a|a3}

【答案】D

【分析】根據(jù)AB＝B得到兩集合間的關(guān)系，再由集合間的關(guān)系，求得a的取值范圍.

【詳解】由AB＝B得AB，已知A＝{x|1x3}，B＝{x|xa}，

從而得a3.

故選:D.

5．設(shè)集合Axx4x3，Bxxa，若ABA，則a的取值范圍是（）

A．,1B．,1C．,3D．,3

【答案】B

【分析】求出集合A，分析可知AB，由集合的包含關(guān)系可得出實數(shù)a的取值范圍.

【詳解】解不等式x4x3，即x24x30，解得1x3，即Ax1x3，

因為ABA，且Bxxa，則AB，所以，a1.

故選：B.

6．已知集合Axx210，Bxax1，若ABB，則實數(shù)a取值集合為（）

A．1B．1C．1,1D．1,0,1

【答案】D

【分析】由題意知BA，分別討論B和B兩種情況，即可得出結(jié)果.

【詳解】由ABB，知BA，因為Axx2101,1，B{x|ax1}，

若B，則方程ax1無解，所以a0；

1

若B，a0，則B{x|ax1}xx，

a

1

因為BA，所以1，則a1；

a

故實數(shù)a取值集合為1,0,1.

故選：D.

2e

7．已知集合Ax|xa,Bx|xa}，且RABB，則實數(shù)a的取值范圍為（）

A．0,1B．0,1

C．0,1D．,0

【答案】A

ee

【分析】求出RA，依題意可得BRA，可得關(guān)于a的不等式，即可得解.

e

【詳解】因為Axxa，所以RAx|xa，

ee

又RABB，所以BRA，

2

又Bxxa，所以a2a，解得0a1，

即實數(shù)a的取值范圍為0,1.

故選：A.

8．已知集合Mx1x3,Nxxa,aR，若MNM，則實數(shù)a的取值

范圍是（）

A．1,B．,1

C．1,3D．1,3

【答案】B

【分析】根據(jù)MNM得MN可得答案.

【詳解】因為MNM，所以MN，所以a1.

故選：B．

2

9．已知集合Ax|axa1,aZ，B{x|2x6}，若ABA，則a（）

A．1B．2C．3D．4

【答案】B

【分析】有集合間的關(guān)系建立不等式組求出即可.

【詳解】由ABA，得AB，易知集合A非空，

a2a2

則a2165a5，

aZaZ

解得a2．

故選：B.

10．已知集合Axx22x30，Bx1xm，若ABA，則實數(shù)m的取

值范圍為（）

A．3,B．,3C．3,D．1,3

【答案】B

【分析】解一元二次不等式化簡集合A，再利用集合的包含關(guān)系求解作答.

【詳解】解不等式x22x30，得1x3，于是A(1,3)，而B(1,m)，

因為ABA，則AB，因此m3，解得m3，

所以實數(shù)m的取值范圍為,3.

故選：B

11．已知集合Ax∣yln3xx24,By∣yx4t，若ABA，則實數(shù)t的取

值范圍是（）

A．(,1]B．(,1]

C．(,1)D．(,1)

【答案】A

【分析】首先分別求兩個集合，再根據(jù)包含關(guān)系，求參數(shù)t的取值范圍.

【詳解】由已知得Ax∣3xx240(1,4),B[t,)，

由ABA，得AB，所以t1.

故選：A.

易錯點三：忽視集合元素的互異性（利用集合元素三性解決

元素與集合關(guān)系問題）

類型1有限集中元素與集合間關(guān)系的判斷

(1)待確定元素與已知集合無關(guān):如果待確定元素的值只與自身有關(guān),只需將元素化簡、求

值,再與該有限集內(nèi)的元素進行逐個對照,確定是否存在與其相等的元素.若存在,則屬于

(∈);若不存在,則不屬于.

(2)待確定元素與已知集合有關(guān):當(dāng)一個待定集合中的元素與一個已知集合有關(guān),確定元

素與待定集合的關(guān)系(或待定集合中元素個數(shù))時,應(yīng)先將待定集合中的元素根據(jù)題中限

定條件求出(常會用到列舉法和分類討論思想),然后根據(jù)題目信息進行分析判斷(常依據(jù)

集合中元素的互異性進行檢驗).

類型2無限集中元素與集合間關(guān)系的判斷

(1)將待確定元素進行變形,看能否表示成無限集合中元素的形式,如果可以,則屬于;否則

不屬于.

(2)假設(shè)法:假設(shè)該對象是集合中的元素,代人看是否與集合限定條件相矛盾,若不矛盾,則

屬于;否則不屬于.

易錯提醒：利用集合元素的“三性”尤其是互異性是解題的關(guān)鍵,求解過程中務(wù)必注意:用

描述法表示的集合,要先認(rèn)清代表元素的含義和集合的類型，是數(shù)集、點集,還是其他類

型的集合,如y丨y2x,x丨y2x,x,y丨y2x表示不同的集合.如果是根據(jù)已知

列方程求參數(shù)值,一定要將參數(shù)值代入集合中檢驗是否滿足元素的互異性.

例已知集合Pnn2k1,kN*,k10，Q2,3,5，則集合TxyxP,yQ中

元素的個數(shù)為（）

A．30B．28C．26D．24

破解：Pnn2k1,kN*,k101,3,5,7,9,11,13,15,17,19，Q2,3,5

因為TxyxP,yQ，當(dāng)xP,y2時，xy為偶數(shù)，共有10個元素

當(dāng)xP,y3時，xy為奇數(shù)，此時xy3,9,15,21,27,33,39,45,51,57，共有10個元素

當(dāng)xP,y5時，xy為奇數(shù)，此時xy5,15,25,35,45,55,65,75,85,95，有重復(fù)數(shù)字

15,45，去掉，共有8個元素.

綜上TxyxP,yQ中元素的個數(shù)為1010828個，故選：B

變式1：設(shè)集合M2m1,m3，若3M，則實數(shù)m=（）

A．0B．1C．0或1D．0或1

破解：根據(jù)元素與集合的關(guān)系，分別討論2m13和m33兩種情況，求解m并

檢驗集合的互異性

設(shè)集合M2m1,m3，若3M，3M，2m13或m33。

當(dāng)2m13時，m1，此時M3,4，當(dāng)m33時，m0，此時M3,1

所以m1或0，故選：C

變式2：已知集合A1,2,3，BabaA,bA，則集合B中元素個數(shù)為（）

A．5B．6C．8D．9

破解：集合A1,2,3，BabaA,bA，則當(dāng)ab時，有ab0，當(dāng)ab時，

ab1或ab2，當(dāng)ab時，ab1或ab2，所以B{2,1,0,1,2}，集合

B有中5個元素，故選：A

2

變式3：若a1,3,a，則a的可能取值有（）

A．0B．0，1C．0，3D．0，1，3

破解：根據(jù)元素與集合的關(guān)系及集合中元素的性質(zhì)，即可判斷a的可能取值

a0，則a1,3,0，符合題設(shè)，a1時，顯然不滿足集合中元素的互異性，不合

題設(shè)，a3時，則a1,3,9，符合題設(shè)，∴a0或a3均可以.故選：C

1．對于復(fù)數(shù)a,b,c,d，若集合Sa,b,c,d具有性質(zhì)“對任意x,yS，必有xyS”，則

a1

當(dāng){b21時，bcd等于()

c2b

A．1B．－1C．0D．i

【答案】B

【詳解】試題分析：集合Sa,b,c,d中a,b,c,d各不相同

a1,b21b1c21ci，由已知“對任意x,yS，必有xyS”可知ci時

di，ci時dibcd1

2．已知集合A{1,2,a1}，B{0,3,a21}，若AB{2}，則實數(shù)a的值為

A．1B．1C．1D．0

【答案】B

【詳解】因為AB2，則a2＋1＝2，即a＝±1.但當(dāng)a＝1時，A＝{1，2，0}，

此時AB0,2，不合題意，舍去，所以a＝－1，故選B.

3．已知集合A0,2a1,a22，若1A，則實數(shù)a＝（）

A．1B．-1C．0D．±1

【答案】A

【分析】根據(jù)1A得a221或2a11，分類討論結(jié)合集合中元素的互異性求

解即可.

【詳解】由1A，可得a221或2a11，解得：a1或1，

當(dāng)a1時，集合A0,3,1，符合題意；

當(dāng)a1時，集合A0,1,1不滿足集合的互異性；

綜上，a1.

故選：A.

4．已知集合A4,x,2y，B2,x2,1y，若AB，則實數(shù)x的取值集合為（）

A．{1,0,2}B．{2,2}C．1,0,2D．{2,1,2}

【答案】B

【分析】根據(jù)集合元素的唯一性分類討論即可.

【詳解】因為AB，所以2A.

1

當(dāng)x2時，2y1y，得y；

3

當(dāng)2y2時，則x2.

故實數(shù)x的取值集合為2,2.

故選：B

b2

5．已知aR，bR，若集合a,,1a,ab,0，則a2019b2020的值為（）

a

A．-2B．-1C．1D．2

【答案】B

【分析】結(jié)合已知條件，利用集合的互異性即可求解.

b

【詳解】∵集合a,,1a2,ab,0，分母a0，

a

∴b=0，a21，且a2aba，解得a1，

∴a2019b20201.

故選：B.

2

6．已知集合Aa1,a4a9,2021，若4A，則實數(shù)a的值為（）．

A．5B．1C．5或1D．5或1

【答案】B

【分析】根據(jù)元素與集合之間的關(guān)系，及集合元素的互異性即可求出a的值.

2

【詳解】Aa1,a4a9,2021，且4A，4=a1或4=a24a9

⑴、當(dāng)4=a24a9即a=5或a=1，

①、當(dāng)a=5時，a1=4，a24a9=4，此時A4,4,2021，不滿足集合元素

的互異性，故舍去；

②、當(dāng)a=1時，a1=2，a24a9=4，此時A2,4,2021，符合題意；

⑵、當(dāng)a1=4即a=5時，此時A4,4,2021，不滿足集合元素的互異性，故舍

去；

綜上所述：實數(shù)a的值為1.

故選：B

2

7．已知x為實數(shù)，A2,x,x，集合A中有一個元素恰為另一個元素的2倍，則實數(shù)x

的個數(shù)為（）

A．3B．4C．5D．6

【答案】B

【分析】由題意分情況討論并判斷即可.

【詳解】由題意：

當(dāng)22x時，x1，此時集合A2,1,1，不成立；

當(dāng)22x2時，x1，x1時不成立，x=1時，集合A2,1,1，成立；

當(dāng)x224時，集合A2,4,16，成立；

1111

當(dāng)x2x2時，x0或x，x0時集合A2,0,0，不成立，x時集合A2,,，

2224

成立；

當(dāng)x222時，x2，x2時集合A2,2,4，不成立，x2時集合A2,2,4，

成立；

當(dāng)x22x時，x0或x2，x0時集合A2,0,0，不成立，x2時不成立；

1

故x2,1,,4，

2

故選：B.

8．已知集合A12,a24a,a10，5A，則a（）

A．5B．5或1C．1D．5

【答案】C

【分析】分a24a5和a105兩種情況進行求解，要檢驗是否與互異性矛盾，得到

答案.

【詳解】當(dāng)a24a5，解得a5或1，

當(dāng)a5時，a105105，與元素互異性矛盾，舍去；

當(dāng)a1時，A12,5,11，滿足要求，

當(dāng)a105時，解得a5，顯然與元素互異性矛盾，舍去，

綜上，a1.

故選：C

易錯點四：判斷充分性必要性位置顛倒

1.充分條件與必要條件的相關(guān)概念

(1)如果pq,則p是q的充分條件,同時q是p的必要條件;

(2)如果pq,但q?p,則p是q的充分不必要條件;

(3)如果pq,且qp,則p是q的充要條件;

(4)如果qp,且p?q,則p是q的必要不充分條件;

(5)如果p?q,且q?p,則p是q的既不充分又不必要條件

2.從集合角度理解充分條件與必要條件

若p以集合A的形式出現(xiàn),q以集合B的形式出現(xiàn),即A={p(x)},B={q(x)},則關(guān)于充分條件、

必要條件又可以敘述為:

(1)若AB,則p是q的充分條件;

(2)若BA,則p是q的必要條件;

(3)若A=B,則p是q的充要條件;

(4)若A?B,則p是q的充分不必要條件;

(5)若A?B,則p是q的必要不充分條件;

(6)若A?B且A?B,則p是q的既不充分又不必要條件.

易錯提醒：(1)A是B的充分不必要條件是指:AB且B?A;

(2)A的充分不必要條件是B是指:BA且A?B,在解題中要弄清它們的區(qū)別,以免出現(xiàn)

錯誤.

例命題“x1,2,x2a0”為真命題的一個充分不必要條件是（）

A．a(chǎn)4B．a(chǎn)4C．a(chǎn)5D．a(chǎn)5

破解：求解命題“x1,2,x2a0”為真命題時a4，即可根據(jù)真子集求解

命題x1,2,x2a0為真命題則2對x1,2恒成立，所以ax2，故

“”,axmax

a4，所以命題“x1,2,x2a0”為真命題的充分不必要條件需要滿足是aa4

的真子集即可，由于aa5是aa4的真子集，故符合，故選：D

1

變式1：已知命題p：x4,2，x2a0，則p為真命題的一個充分不必要條件

2

是（）

A．a(chǎn)2B．a(chǎn)0C．a(chǎn)8D．a(chǎn)16

破解：先分離參數(shù)求出a的取值范圍，則p為真命題的一個充分不必要條件應(yīng)該是

1

,0的一個真子集，由題設(shè)命題為真，即ax2在x4,2上恒成立，所以

2

12

ax0，則p為真命題的一個充分不必要條件應(yīng)該是,0的一個真子集，

2min

故選：A

變式2：記方程①：x2ax10，方程②：x2bx20，方程③：x2cx40，

其中a,b,c是正實數(shù).若a,b,c成等比數(shù)列，則“方程③無實根”的一個充分條件是（）

A．方程①有實根，且②有實根B．方程①有實根，且②無實根

C．方程①無實根，且②有實根D．方程①無實根，且②無實根

破解：根據(jù)判別式以及充分條件的定義逐項分析

由題意，baq,cbqaq2，其中q＞0，

222

對于A，如果xax10有實根，則1a40,a2，如果xbx20有實根，

2224

則2b80,b22，q有可能大于等于2.則3c16aq16，即3有可

能大于等于0，即由①②不能推出③無實根，A不是充分條件，

22＜

對于B，有a2,b＜22，則必有q＜2，即3bq160，方程③無實根，所以B

是③無實根的充分條件.

22＞

對于C，有a＜2,b22,q＞2，3bq160，方程③有實根，C不是方程③無

實根的充分條件，

對于D，有a＜2,b＜22，q的值不確定，有可能小于2，也有可能大于2，不能保

b

證方程③無實根，例如a0.1,b2，則q20，2220216＞0

a3

所以D不是方程③無實根的充分條件，故選：B.

變式3：若x,yR，則“xy”的一個充分不必要條件可以是（）

A．xyB．x2y2

x

C．1D．xy

y22

破解：由xy，x2y2推不出xy，排除AB

xxyx

由1可得0，解得xy0或xy0，所以1是xy的既不充分也不

yyy

必要條件，排除C，2xy2xy，反之不成立，D正確，故選：D

1．設(shè)a,b為實數(shù)，則“ab0”的一個充分非必要條件是（）

A．a(chǎn)1b1B．a(chǎn)2b2

11

C．D．a(chǎn)bba

ba

【答案】A

【分析】由充分非必要條件定義，根據(jù)不等式的性質(zhì)判斷各項與ab0推出關(guān)系即

可.

a1b1

【詳解】由a1b1，則，可得ab1，可推出ab0，反向推

b10

不出，滿足；

由a2b2，則|a||b|，推不出ab0，反向可推出，不滿足；

11

由，則ab0或b0a或0ab，推不出ab0，反向可推出，不

ba

滿足；

由abba，則ab，推不出ab0，反向可推出，不滿足；

故選：A

2．使“ab”成立的一個充分不必要條件是（）

A．x0,1，a≤bxB．x0,1，axb

C．x0,1，abxD．x0,1，ax≤b

【答案】B

【分析】根據(jù)不等式的關(guān)系結(jié)合充分不必要條件分別進行判斷即可．

【詳解】對于A，若x0,1，a≤bx，當(dāng)ab時，abbx成立，

所以“x0,1，a≤bx”“ab”，A不滿足條件；

對于B，x0,1，axb，則aaxb，即ab，

所以“x0,1，axb”“ab”，

若ab，則x0,1，不妨取a1，b1.2，x0.5，則axb，

所以“x0,1，axb”“ab”，

所以“x0,1，axb”是“ab”的充分不必要條件，B滿足條件；

對于C，若ab，則x0,1，使得abbx，即abx，

即“ab”“x0,1，abx”，

所以“x0,1，abx”是“ab”的充分條件，C不滿足條件；

對于D，若x0,1，ax≤b，則aaxb，即ab，當(dāng)且僅當(dāng)x0時，等號成

立，

所以“x0,1，ax≤b”“ab”，D不滿足條件.

故選：B.

3．若不等式a1xa1的一個充分條件為0x1，則實數(shù)a的取值范圍是（）

A．a(chǎn)0B．a(chǎn)0C．a(chǎn)1D．a(chǎn)1

【答案】D

【分析】結(jié)合充分條件的定義列出不等式組，求解即可．

【詳解】若不等式a1xa1的一個充分條件為0x1，

0a1

則0,1a1,a1，所以a1a1，解得a1.

a11

則實數(shù)a的取值范圍是a1.

故選：D.

3

4．命題“xR，2kx2kx0”為真命題的一個充分不必要條件是（）

8

A．k3,0B．k3,0C．k3,1D．k3,

【答案】A

3

【分析】先求命題“xR,2kx2kx0”為真命題的等價條件，再結(jié)合充分不必要的

8

定義逐項判斷即可.

23k0

【詳解】因為xR,2kxkx0為真命題，所以k0或23k0，

8k3k0

3

對A，3,0是命題“xR,2kx2kx0”為真命題的充分不必要條件，A對，

8

3

對B，3,0是命題“xR,2kx2kx0”為真命題的充要條件，B錯，

8

3

對C，3,1是命題“xR,2kx2kx0”為真命題的必要不充分條件，C錯，

8

3

對D，3,是命題“xR,2kx2kx0”為真命題的必要不充分條件，D錯，

8

故選：A

13

5．如果不等式xa1成立的充分不必要條件是x；則實數(shù)a的取值范圍是（）

22

131313

A．,B．,C．,,

222222

13

D．,,

22

【答案】B

13

【分析】解絕對值不等式，得到a1x1a，結(jié)合題干條件得到x<x<是

22

xa1<x<1+a的真子集，從而得到不等式組，求出實數(shù)a的取值范圍.

【詳解】xa1，解得：a1x1a，

13

所以a1x1a成立的充分不必要條件是x，

22

13

故x<x<是xa1<x<1+a的真子集，

22

11

a1a1<

22

所以或，

33

a+1>a+1

22

13

解得：a，

22

13

故實數(shù)a的取值范圍是,.

22

故選：B

6．命題“x(1,2),log2xa0”為真命題的一個充分不必要條件是（）

A．a(chǎn)0B．a(chǎn)2C．a(chǎn)1D．a(chǎn)4

【答案】B

【分析】對命題x(1,2),log2xa0進行求解，可得a1，再通過充分條件和必要條

件進行判斷即可.

【詳解】因為命題x(1,2),log2xa0是真命題，當(dāng)x(1,2)時，0log2x1，若

alog2x恒成立，則a1，結(jié)合選項，命題是真命題的一個充分不必要條件是a2，

故選：B．

7．函數(shù)f(x)x3axa1有兩個零點的一個充分不必要條件是（）

A．a(chǎn)=3B．a(chǎn)=2C．a(chǎn)=1D．a(chǎn)=0

【答案】A

【分析】先因式分解得f(x)(x1)x2x1a，再分類討論求解當(dāng)f(x)有兩個零點

時a的值，再根據(jù)充分不必要條件的性質(zhì)判斷選項即可

【詳解】f(x)x31a(x1)(x1)x2x1a，f(x)有兩個零點，有兩種情形：

①1是yx2x1a的零點，則a3，此時yx2x2有1，2共兩個零點

3

②1不是yx2x1a的零點，則判別式14(1a)0，即a

4

∴a3是f(x)有兩個零點的充分不必要條件

故選：A．

8．已知a，bR，則“ab0”的一個必要條件是（）

11

A．a(chǎn)b0B．a(chǎn)2b20C．a(chǎn)3b30D．0

ab

【答案】B

【分析】利用a3,b3否定ACD選項，進而得答案.

【詳解】解：對于A選項，當(dāng)a3,b3時，ab0，此時ab0，故ab0不是

ab0的必要條件，故錯誤；

對于B選項，當(dāng)ab0時，a2b20成立，反之，不成立，故a2b20是ab0的必

要條件，故正確；

對于C選項，當(dāng)a3,b3時，ab0，但此時a3b30，故a3b30不是ab0的

必要條件，故錯誤；

1111

對于D選項，當(dāng)a3,b3時，ab0，但此時0，故故0不是ab0的

abab

必要條件，故錯誤.

故選：B

易錯點五：由含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題的真假求參數(shù)的取值范

圍

根據(jù)命題的真假求參數(shù)的取值范圍的方法步驟:

第一步：求出當(dāng)命題p,q為真命題時所含參數(shù)的取值范圍;

第二步：根據(jù)復(fù)合命題的真假判斷命題p,q的真假性;

第三步：根據(jù)命題p,q的真假情況,利用集合的交集和補集的運算,求解參數(shù)的取值范圍.

易錯提醒：此類題目一般會出現(xiàn)“p或q”為真,“p或q”為假,“p且q"為真,“p且q”為假

等條件,解題時應(yīng)先將這些條件轉(zhuǎn)化為p,q的真假.p,q的真假有時是不確定的,需要討論,

但無論哪種情況,一般都是先假設(shè)p,q為真,求出參數(shù)的取值范圍,當(dāng)它們?yōu)榧贂r取補集即

可。

22

例已知p:x[1,2]，xa0，q:x0R，x02ax02a0，若“p且q”是真命題，

則實數(shù)a的取值范圍是（）

A．a(chǎn)2B．a(chǎn)1C．a(chǎn)2或a1D．a(chǎn)2且a1

破解：分類討論p為真和q為真時，a的取值，進而利用集合的交集關(guān)系，即可求解

若p真，則a1；若q真，則a2或a1．又因為“p且q”是真命題，所以a2或a1

故選：C

變式1：若命題“xR，ax210”為真命題，則實數(shù)a的取值范圍為（）

A．a(chǎn)0B．a(chǎn)0C．a(chǎn)0D．a(chǎn)1

破解：結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)來求得a的取值范圍

依題意命題“xR，ax210”為真命題，當(dāng)a0時，10成立

當(dāng)a0時，ax210成立.

當(dāng)a<0時，函數(shù)yax21開口向下，ax210不恒成立，綜上所述，a0，故選：B

1

變式2：已知命題p:xR,x22xa0，命題q:x0,xa，若p假q真，則

000x

實數(shù)a的取值范圍為（）

A．(1,)B．(,2]

C．(1,2)D．(1,2]

破解：根據(jù)命題p為假命題，則p為真命題，從而求出a1，再由命題q為真命題，

利用基本不等式求出a的范圍，再取交集即可得解

22

命題p:x0R，x02x0a0為假命題，則xR,x2xa0為真命題，滿足

111

224a0，解得a1,命題q:x0,xa為真命