專題2.4指數(shù)與指數(shù)函數(shù)（舉一反三講義）【全國通用】TOC\o"13"\h\u【題型1指數(shù)冪的運(yùn)算】 2【題型2指數(shù)冪的化簡、求值】 3【題型3指數(shù)函數(shù)的判定與求值】 3【題型4指數(shù)（型）函數(shù)的圖象問題】 4【題型5比較指數(shù)冪的大小】 5【題型6利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式】 5【題型7指數(shù)（型）函數(shù)的單調(diào)性問題】 6【題型8指數(shù)（型）函數(shù)的綜合問題】 61、指數(shù)與指數(shù)函數(shù)考點(diǎn)要求真題統(tǒng)計(jì)考情分析(1)了解根式的概念及性質(zhì)，了解分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的含義，掌握指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)(2)熟練掌握指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)2023年新課標(biāo)I卷：第4題，5分2024年天津卷：第2題，5分、第5題，5分2025年北京卷：第4題，4分2025年天津卷：第7題，5分2025年上海卷：第14題，4分指數(shù)函數(shù)是常見的重要函數(shù)，指數(shù)與指數(shù)函數(shù)是高考?？嫉臒狳c(diǎn)內(nèi)容，從近幾年的高考情況來看，指數(shù)函數(shù)的考查，主要以基本函數(shù)的性質(zhì)為依托，結(jié)合指、對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)，運(yùn)用冪函數(shù)與指、對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)解決具體的問題，包括比較指對冪的大小、解不等式等題型，主要以單選題的形式考察，難度不大.知識點(diǎn)1指數(shù)運(yùn)算的解題策略1．指數(shù)冪運(yùn)算的一般原則(1)指數(shù)冪的運(yùn)算首先將根式、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪統(tǒng)一為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，以便利用法則計(jì)算，還應(yīng)注意：①必須同底數(shù)冪相乘，指數(shù)才能相加.②運(yùn)算的先后順序.(2)當(dāng)?shù)讛?shù)是負(fù)數(shù)時(shí)，先確定符號，再把底數(shù)化為正數(shù).(3)運(yùn)算結(jié)果不能同時(shí)含有根號和分?jǐn)?shù)指數(shù)，也不能既有分母又含有負(fù)指數(shù).知識點(diǎn)2指數(shù)函數(shù)的常見問題及解題思路1．比較指數(shù)式的大小比較指數(shù)式的大小的方法是：(1)能化成同底數(shù)的先化成同底數(shù)冪，再利用單調(diào)性比較大小；(2)不能化成同底數(shù)的，一般引入“0或1”等中間量比較大小.2．指數(shù)方程(不等式)的求解思路指數(shù)方程(不等式)的求解主要利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行轉(zhuǎn)化.3．指數(shù)型函數(shù)的解題策略涉及指數(shù)型函數(shù)的綜合問題，首先要掌握指數(shù)函數(shù)相關(guān)性質(zhì)，其次要明確復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成，涉及值域、單調(diào)區(qū)間、最值等問題時(shí)，都要借助“同增異減”這一性質(zhì)分析判斷.【題型1指數(shù)冪的運(yùn)算】【例1】（2025·黑龍江佳木斯·三模）已知正數(shù)x，y滿足2x?4y=4xyA．22 B．9 C．92【變式11】（2025·遼寧葫蘆島·一模）標(biāo)準(zhǔn)對數(shù)視力表（如圖）采用的“五分記錄法”是我國獨(dú)創(chuàng)的視力記錄方式．標(biāo)準(zhǔn)對數(shù)視力表各行“E”字視標(biāo)約為正方形，每一行“E”的邊長都是上一行“E”的邊長的11010，若視力4.0的視標(biāo)邊長約為10cm，則視力4.9的視標(biāo)邊長約為（A．1010 B．10108 C．1【變式12】（2025·浙江杭州·二模）定義“真指數(shù)”e+x=1,x<0,eA．e+x1+C．e+x1【變式13】（2025·江蘇鎮(zhèn)江·三模）自“ChatGPT”橫空出世，全球科技企業(yè)掀起一場研發(fā)AI大模型的熱潮，隨著AI算力等硬件底座逐步搭建完善，AI大規(guī)模應(yīng)用成為可能，尤其在圖文創(chuàng)意、虛擬數(shù)字人以及工業(yè)軟件領(lǐng)域已出現(xiàn)較為成熟的落地應(yīng)用.Sigmoid函數(shù)和Tanh函數(shù)是研究人工智能被廣泛使用的2種用作神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的激活函數(shù)，Tanh函數(shù)的解析式為tanhx=ex?e?xeA．12 B．13 C．25【題型2指數(shù)冪的化簡、求值】【例2】（2025·河南新鄉(xiāng)·二模）8253+A．16 B．82 C．32 D．【變式21】（2025·山東·模擬預(yù)測）若a?1?a1=4A．8 B．16 C．2 D．18【變式22】（2025·全國·模擬預(yù)測）3392+A．13 B．33 C．3【變式23】（2425高一上·吉林長春·期中）已知10m=2，10n=3，則A．?12 B．49 C．2【題型3指數(shù)函數(shù)的判定與求值】【例3】（2025·四川成都·模擬預(yù)測）設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x>0時(shí)，f(x)=2x?3，則f(?2)=A．1 B．14 C．1 D．【變式31】（2025·貴州·三模）已知函數(shù)fx=x+2,x≤02xA．0 B．1 C．2 D．3【變式32】（2025·江西·二模）已知函數(shù)fx=4x,x≥02a?xA．0或32 B．0或12 C．12【變式33】（2025·貴州畢節(jié)·一模）已知函數(shù)fx是定義在R上的奇函數(shù)，且滿足f?x?2=fx，當(dāng)x∈0,1時(shí)，fA．e?1 B．?e?1 C．e【題型4指數(shù)（型）函數(shù)的圖象問題】【例4】（2025·天津·二模）已知函數(shù)y=fx的部分圖象如圖所示，則fx的解析式可能為（A．fx=ex+1ex?1 【變式41】（2025·四川綿陽·模擬預(yù)測）函數(shù)fx=1A． B．C． D．【變式42】（2025·北京·高考真題）為了得到函數(shù)y=9x的圖象，只需把函數(shù)y=3A．橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?2倍（縱坐標(biāo)不變） C．縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?3倍（橫坐標(biāo)不變） 【變式43】（2025·山東青島·二模）已知函數(shù)fx=x，gxA．fx+gx B．fx?gx【題型5比較指數(shù)冪的大小】【例5】（2025·甘肅白銀·二模）已知0<a<1<b，則（

）A．ba<aC．bb<a【變式51】（2025·天津北辰·三模）設(shè)a=2312,b=A．c<b<a B．a(chǎn)<c<bC．a(chǎn)<b<c D．c<a<b【變式52】（2025·甘肅白銀·二模）已知2025m=2024,x=2024A．y<x<0 B．0<x<yC．y<0<x D．x<0<y【變式53】（2025·廣東廣州·一模）已知實(shí)數(shù)a，b滿足3aA．b<a<0 B．2b<a<0C．0<a<b D．0<2b<a【題型6利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式】【例6】（2025·河南·三模）若f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)=2x?4，則不等式f(x)≥0A．[?2,2] B．[?2,0]∪[2,+C．[?2,0)∪[2,+∞) 【變式61】（2025·上?！じ呖颊骖}）設(shè)a>0,s∈R．下列各項(xiàng)中，能推出as>a的一項(xiàng)是（A．a(chǎn)>1，且s>0 B．a(chǎn)>1，且s<0C．0<a<1，且s>0 D．0<a<1，且s<0【變式62】（2025·山東聊城·三模）集合A=x?12x≥2，A．x∣x≥?1 B．{x∣?2<x≤?1}C．{x∣x<3} D．{x∣?1≤x<3}【變式63】（2025·甘肅·模擬預(yù)測）已知函數(shù)f(x)=2x+x+12A．?2,0 B．?∞,?2∪0,+【題型7指數(shù)（型）函數(shù)的單調(diào)性問題】【例7】（2025·新疆喀什·模擬預(yù)測）已知lna2?lna=1A．?∞,0 B．?∞,1 C．【變式71】（2025·山東濟(jì)寧·二模）若函數(shù)fx=12x2?axA．a(chǎn)≤2 B．a(chǎn)≥2 C．a(chǎn)≤1 D．a(chǎn)≥1【變式72】（2025·陜西西安·模擬預(yù)測）若函數(shù)fx=2x2+ax?3在A．?2,+∞ B．?1,+∞ C．?∞【變式73】（2025·浙江紹興·二模）已知函數(shù)fx=eA．當(dāng)λ=1時(shí)，fx是偶函數(shù)，且在區(qū)間0,1B．當(dāng)λ=1時(shí)，fx是奇函數(shù)，且在區(qū)間0,1C．當(dāng)λ=?1時(shí)，fx是偶函數(shù)，且在區(qū)間0,1D．當(dāng)λ=?1時(shí)，fx是奇函數(shù)，且在區(qū)間0,1【題型8指數(shù)（型）函數(shù)的綜合問題】【例8】（2425高二下·浙江·階段練習(xí)）已知函數(shù)f(x)=?14x+1+2x3+3A．{a|a<45} B．{a∣a<5} C．{a|0<a<【變式81】（2025·江西·二模）已知函數(shù)fx=2025x?2025?x，若關(guān)于xA．?∞,2 B．?∞,?2 C．【變式82】（2025·安徽安慶·二模）函數(shù)fx=a?2?xA．函數(shù)fxB．a(chǎn)=2C．函數(shù)fx的值域?yàn)镈．函數(shù)fx的單調(diào)遞增區(qū)間為【變式83】（2025·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測）定義雙曲余弦函數(shù)表達(dá)式為coshx=ex+e?x2，定義雙曲正弦函數(shù)的表達(dá)式為sinhx=ex?A．?1,3 B．?3,1 C．?∞,?3∪一、單選題1．（2025·江西新余·模擬預(yù)測）已知m，n∈R，則“mn<0”是“emm?A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件2．（2025·天津·高考真題）函數(shù)f(x)=0.3x?A．(0,0.3) B．(0.3,0.5) C．(0.5,1) D．(1,2)3．（2025·四川瀘州·模擬預(yù)測）已知fx=a?2xA．2 B．?2 C．1 D．?14．（2025·浙江嘉興·二模）若實(shí)數(shù)a,b滿足eae2b?1=1，則A．116 B．12 C．145．（2025·甘肅白銀·模擬預(yù)測）若函數(shù)fx=5|x?a|在1,+∞A．1,+∞ B．1,+∞ C．?∞6．（2025·河南·三模）函數(shù)fx=2A． B．C． D．7．（2025·湖北荊門·模擬預(yù)測）已知函數(shù)f(x)=23x+1?A．(?1,2) B．(?∞,?1)∪(2,+C．(?2,?1) D．(?8．（2025·重慶·模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx=12ex+A．x1+xC．x1?x二、多選題9．（2425高一下·山西大同·階段練習(xí)）下列運(yùn)算結(jié)果中，一定正確的是（

）A．a(chǎn)3?aC．8a8=a10．（2025·湖南婁底·模擬預(yù)測）下列函數(shù)，其圖象平移后可得到函數(shù)y=ex的圖象的有（A．y=ex+1 B．y=ex?2 11．（2025·廣東茂名·一模）已知函數(shù)fx=2A．當(dāng)a>0時(shí)，fxB．當(dāng)a<0時(shí)，fx的值域?yàn)镃．當(dāng)a=1時(shí)，曲線y=fx關(guān)于點(diǎn)0,1D．當(dāng)a=4時(shí)，?x∈R,fkx+1+f三、填空題12．（2025·重慶九龍坡·三模）已知3x=2,4y=3，則13．（2025·浙江·三模）已知函數(shù)fx=ex14．（2025·廣西·模擬預(yù)測）若函數(shù)f(x)=(2?a)x+1,x<2ax?1,x≥2，在R上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是四、解答題15．（2425高一上·河北張家口·階段練習(xí)）回答下面兩個(gè)題：(1)化簡：6a(2)若x+x①x2+16．（2425高一上·廣東廣州·期中）計(jì)算或化簡．(1)化簡：ab?3(2)計(jì)算：259(