第09講函數(shù)的奇偶性與周期性對于定義在R上的函數(shù)fx①若fx是偶函數(shù)，則f②若f-2=f2，則函數(shù)③若f-2≠f2，則函數(shù)④若f-2=f2，則函數(shù)其中，正確的說法是?? A．①③ B．①④ C．②③ D．③④已知fx是定義在2b,1-b上的偶函數(shù)，且在2b,0上為增函數(shù)，則fx-1≤f2x A．-1,23 B．-1,13 C．-1,1 D函數(shù)y=fx在0,2上單調(diào)遞增，且函數(shù)fx+2是偶函數(shù)，則下列結(jié)論成立的是 A．f1<f52<f7 C．f72<f52<f定義在R上的奇函數(shù)fx滿足fx+2=-fx，且在0,1 A．f3 B．f1 C．f3 D．f-已知偶函數(shù)fx滿足fx+f2-x A．函數(shù)fx是以2 B．函數(shù)fx是以4 C．函數(shù)fx+2 D．函數(shù)fx-3已知fx是R上最小正周期為2的周期函數(shù)，且當(dāng)0≤x<2時，fx=x3-x，則函數(shù)y=fx的圖象在區(qū)間0,6已知函數(shù)fx的周期為4，且當(dāng)x∈0,4時，fx=cosπx2已知函數(shù)fx=2x4+4x2，若f判斷下列函數(shù)的奇偶性：(1)fx(2)fx(3)fx(4)fx判斷下列函數(shù)的奇偶性．(1)fx(2)fx(3)fx下列函數(shù)是偶函數(shù)的是?? A．fx=tanx B C．fx=cosx D已知函數(shù)fx滿足f0=2，且對任意x∈R都滿足fx+3=-fx，則 A．2019 B．2 C．0 D．-2已知函數(shù)fx是定義在R上且周期為4的偶函數(shù)，當(dāng)時x∈2,4，fx=log4x-已知fx是R上最小正周期為2的周期函數(shù)，且當(dāng)0≤x<2時，fx=x3-x，則函數(shù)y=fx的圖象在區(qū)間0,6 A．6 B．7 C．8 D．9定義在R上的函數(shù)fx滿足fx+6=fx．當(dāng)-3≤x<-1時，fx=-x+22；當(dāng)-1≤x<3已知函數(shù)fx是定義在R上的奇函數(shù)，且f1+x=f1-x，若f1=9 A．-9 B．9 C．-3 D．0若函數(shù)fx=a+12x-1是奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)已知函數(shù)fx=x2-2x,x≥0-x已知函數(shù)fx是定義在R上的奇函數(shù)，且fx+2=fx．當(dāng)0<x≤1時，fx=x已知函數(shù)fx=x2-ax,x≤0a A．-1 B．1 C．0 D．±1設(shè)fx為定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時，fx=3x-7x+2b（b A．6 B．-6 C．4 D．-4定義在R上的函數(shù)fx對任意實(shí)數(shù)x，y，恒有fx+fy=fx+y，且當(dāng)x>0(1)求證：fx(2)求證：fx在R(3)求fx在-3,6函數(shù)fx定義域D=xx≠0，且滿足對于任意x(1)求f1(2)判斷fx(3)如果f4=1，f3x+1+f2x-6≤3，且fx在設(shè)fx是-∞,+∞上的奇函數(shù)，fx+2=-fx，當(dāng)0≤x≤1(1)求fπ(2)當(dāng)-4≤x≤4時，求fx的圖象與x完成下列問題．(1)設(shè)函數(shù)fx=a?2x+a-2(2)設(shè)函數(shù)fx是定義在-1,1上的偶函數(shù)，在0,1上是增函數(shù)，若fa-2-f4-a已知函數(shù)fx=x-2sinx+ex-1ex，則滿足 A．-∞,-1 B．-∞,1 C．-1,+∞ D．1,+∞已知fx是定義在R上的函數(shù)，且滿足fx+2=-1fx，當(dāng)2≤x≤3時，f下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)，又在區(qū)間-1,1上單調(diào)遞增的是?? A．fx=2x B． C．fx=tanx D已知函數(shù)fx是定義在R上的偶函數(shù)，且當(dāng)x≥0時，fx=x2+x．若fa設(shè)函數(shù)fx的定義域?yàn)镽，滿足fx+1=2fx，且當(dāng)x∈0,1時，fx=xx-1，若對任意x∈-∞,m，都有 A．-∞,94 B．-∞,73 C．-∞,52已知fx是定義域?yàn)?∞,+∞的奇函數(shù)，滿足f1-x=f1+x．若f1=2 A．-50 B．0 C．2 D．50已知fx是定義域?yàn)?∞,+∞的奇函數(shù)，滿足f1-x=f1+x．若f1=2 A．-50 B．0 C．2 D．50定義在R上的奇函數(shù)fx滿足當(dāng)x≥0時，fx=log22+x+a-1x+b（a，b為常數(shù)）．若若函數(shù)fx=xx-b,x≥0axx+2已知函數(shù)fx是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x∈-∞,0時，fx=2x3已知fx是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)x≥0時，fx=2x-2，則不等式已知函數(shù)fx=sinx-x+1-4x2x，則關(guān)于已知函數(shù)fx對任意x∈R滿足fx+f-x=0，fx-1=fx+1，若當(dāng)x∈0,1時，f(1)求實(shí)數(shù)a,b的值；(2)求函數(shù)gx=

答案1.【答案】A【解析】根據(jù)偶函數(shù)的定義，①③正確，若舉例奇函數(shù)fx由于f-2=f2，所以②④2.【答案】B【解析】因?yàn)閒x是定義在2b,1-b上的偶函數(shù)，所以2b+1-b=0，所以b=-1因?yàn)閒x在2b,0上為增函數(shù)，即函數(shù)fx在-2,0上為增函數(shù)，故函數(shù)fx在0,2上為減函數(shù)，則由fx-1≤f2x，可得解得-1≤x≤1又因?yàn)槎x域?yàn)?2,2，所以-2≤x-1≤2,-2≤2x≤2,解得-1≤x≤3,-1≤x≤1.所以-1≤x≤3.【答案】B【解析】因?yàn)楹瘮?shù)fx+2所以函數(shù)fx的圖象關(guān)于直線x=2所以f52=f又fx在0,2所以f12<f14.【答案】C【解析】因?yàn)閒x+2所以fx+2+2所以函數(shù)的周期為4，作出fx由圖可知f35.【答案】B；C【解析】偶函數(shù)fx滿足fx+f2-x即為fx+2=-fx可得fx的最小正周期為4，故A錯誤，B由fx+f2-x=0兩式相減得f2-x-f2+x=0所以fx+2為偶函數(shù)，故C由fx為偶函數(shù)得f若fx-3為偶函數(shù)，則有f可得fx+3=fx-3，即可得6為fx的周期，這與4為最小正周期矛盾，故D6.【答案】7【解析】因?yàn)楫?dāng)0≤x<2時，fx又fx是R上最小正周期為2的周期函數(shù)，且f則f6又f1所以f3故函數(shù)y=fx的圖象在區(qū)間0,6上與x軸的交點(diǎn)有77.【答案】0【解析】因?yàn)楹瘮?shù)fx的周期為4，所以f故ff8.【答案】(-1,+∞)【解析】函數(shù)fx=2因?yàn)閒?x所以當(dāng)x∈0,+∞時，函數(shù)fx當(dāng)x∈-∞,0時，函數(shù)fx由fa+3>fa-1，得即a+32>a-12所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為-1,+∞．9.【答案】(1)由9-x2≥0,x2所以fx的定義域?yàn)?3,3，此時f又f3+f-3=0，f所以fx(2)由1-x1+x≥0,1+x≠0得因?yàn)閒x的定義域-1,1所以fx(3)由4-x2≥0,∣x+3∣-3≠0得-2≤x≤2所以fx的定義域?yàn)?2,0此時，有fx所以f-x所以fx(4)當(dāng)x>0時，fx-x<0，f-x當(dāng)x<0時，fx-x>0，f-x所以fx10.【答案】(1)由1-x故函數(shù)fx的定義域?yàn)?1,1，關(guān)于原點(diǎn)對稱，且f所以f-x=fx=-fx(2)因?yàn)閒x有意義，則滿足1-x1+x≥0，所以所以fx的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以fx(3)因?yàn)?-x2≥0,x2≠0,所以所以定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱．又f-x所以f-x=fx，故函數(shù)11.【答案】C；D【解析】根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：對于A，fx對于B，fx對于C，fx對于D，fx=lg∣x∣，其定義域?yàn)閤故選：CD．12.【答案】D【解析】因?yàn)閒x+3=-fx，所以所以fx的周期為6，所以f又f3=-f0=-213.【答案】1214.【答案】B【解析】當(dāng)0≤x<2時，令fx=x3-x=0，得x=0或x=1．根據(jù)周期函數(shù)的性質(zhì)，由fx的最小正周期為2，可知y=fx在0,6上有6個零點(diǎn)，又f6=f3×2=f0=0，所以f15.【答案】338【解析】由fx+6=fx可知，函數(shù)fx所以f-3=f3=-1，f-2=f4=0，所以在一個周期內(nèi)有f1所以f116.【答案】A【解析】根據(jù)題意，函數(shù)fx是定義在R上的奇函數(shù)，則f-x=-fx，又由f1+x=f1-x，則f-x=f2+x，則有fx+2=-fx，變形可得故選：A．17.【答案】12【解析】解法1（特殊值法）因?yàn)楹瘮?shù)fx為奇函數(shù)，且定義域?yàn)閤x≠0，所以有f1+f-1=0解法2（定義法）因?yàn)楹瘮?shù)fx為奇函數(shù)，所以有fx+f-x=0，即a+1218.【答案】-2【解析】解法1（特殊值法）f-1=-1-a，因?yàn)閒x為奇函數(shù)，所以-1-a=1，則a=-2解法2（定義法）設(shè)x<0，則-x>0，所以f-x=x2+2x=-fx，即x2+2x=x19.【答案】2【解析】因?yàn)閒x+2=fx，則f-1=f1，又f所以f-1=-f1，則有f1所以1-a+1=0，則a=2．故答案為2．20.【答案】A【解析】因?yàn)楹瘮?shù)fx是奇函數(shù)，所以f-x=-fx即1+a=-a-1，即2a=-2，得a=-1（符合題意）．21.【答案】A【解析】因?yàn)閒x為定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x≥0時，f所以f0所以b=-1所以fx所以f-222.【答案】(1)因等式fx+fy=fx+y對任意實(shí)數(shù)令x=y=0，可得f0+f0令y=-x，可得fx+f-x=fx-x=0，即(2)設(shè)x1,x2∈R，且所以fx所以fx所以fx(3)由（2）知，fx在R上是減函數(shù)，故所求函數(shù)的最大值為f-3，最小值為f-3=-f3故fx在-3,6上的最大值為2，最小值為-423.【答案】(1)令x1=x2=1，有(2)fx令x1=x2=-1，有令x1=-1，x2=x所以f-x=fx，所以(3)f4×4=f4由f3x+1+f2x-6≤3因?yàn)閒x為偶函數(shù)，所以f所以不等式*等價于f3x+1又因?yàn)閒x在0,+∞所以3x+12x-6≤64，且解得-73≤x<-13或-所以x的取值范圍是x?-24.【答案】(1)由fx+2=-ffx+4所以fx是以4所以fπ(2)由fx是奇函數(shù)且f得fx-1即f1+x故函數(shù)y=fx的圖象關(guān)于直線x=1又當(dāng)0≤x≤1時，fx=x，且f則fx當(dāng)-4≤x≤4時，fx的圖象與x軸圍成的圖形面積為S，則S25.【答案】(1)要使fx因?yàn)閤∈R所以需fx+f又因?yàn)閒x所以f-x由a-22x+1所以a=1．(2)由fx的定義域是-1,1，知-1<a-2<1,解得3<a<由fa-2-f4-a因?yàn)楹瘮?shù)fx所以f∣a-2∣由于fx在0,1所以∣a-2∣<4-解得a<-3或a>-1且a≠2．綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是3<a<5且26.【答案】D【解析】因?yàn)閒x的定義域是Rf-x故fx又f?x故fx在R若fx-2等價于fx-2故x-2>-x，解得x>1．27.【答案】52【解析】因?yàn)閒x+2所以fx+4所以f-112=f52，又所以f5所以f-28.【答案】A；C【解析】結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知，y=2x為非奇非偶函數(shù)，y=cosxy=2x為奇函數(shù)且在-1,1上單調(diào)遞增，符合題意；結(jié)合正切函數(shù)的性質(zhì)可知，y=tanx為奇函數(shù)且在-1,1故選：AC．29.【答案】(-1,1)【解析】解法1（奇偶性的性質(zhì)）因?yàn)閒x是定義在R所以fa+f-a=2f即a2+a<2，a解法2（奇偶性的定義）當(dāng)x≤0時，-x≥0，又因?yàn)閒x是定義在R所以fx=f-x=當(dāng)a≥0時，fa+f-a=當(dāng)a≤0時，fa+f-a=綜上，-1<a<1．30.【答案】B【解析】當(dāng)-1<x≤0時，0<x+1≤1，則fx當(dāng)1<x≤2時，0<x-1≤1，則fx當(dāng)2<x≤3時，0<x-2≤1，則fx=2fx-1=22f由此作出函數(shù)fx由圖可知當(dāng)2<x≤3時，令22整理，得3x-73x-8=0，解得x=73將這兩個值標(biāo)注在圖中．要使對任意x∈-∞,m都有fx≥-8即實(shí)數(shù)m的取值范圍是-∞,731.【答案】C【解析】方法一：因?yàn)閒x在R上是奇函數(shù)，且f所以fx+1=-fx-1，即因此fx+4=fx，則函數(shù)fx是周期為由于f1-x=f1+x故令x=1，得f0令x=2，得f3令x=3，得f4故f1所以f1方法二：取一個符合題意的函數(shù)fx=2sinπx2，則結(jié)合該函數(shù)的圖象易知數(shù)列fn故f132.【答案】C【解析】因?yàn)閒x所以f-x所以f1-x由f1-x=f1+x，得所以fx+2所以fx+4所以函數(shù)fx是周期為4由fx為奇函數(shù)得f又因?yàn)閒1-x所以fx的圖象關(guān)于直線x=1所以f2=f0=0又f1=2，所以所以f1所以f133.【答案】4【解析】由題意得f0=0，所以所以b=-