第38講數(shù)列的綜合運用設(shè)等差數(shù)列an的前n項和為Sn，點a1010,a1012在直線x＋y－ A．4042 B．2021 C．1010 D．1012我國古代名著《九章算術(shù)》中有這樣一段話：“今有金箠，長五尺，斬本一尺，重四斤，斬末一尺，重二斤．”意思是：現(xiàn)有一根金箠，長5尺，頭部1尺，重4斤，尾部1尺，重2斤．若該金箠從頭到尾，每一尺的質(zhì)量構(gòu)成等差數(shù)列，則該金箠共重?? A．6斤 B．7斤 C．9斤 D．15斤已知等比例an中的各項都是正數(shù)，且a1，12a3，2a2 A．1+2 B．1-2 C．3+22 D．已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn，公差d>0，a6和a8是函數(shù)fx=15 A．-38 B．38 C．-17 D．17已知x>0，y>0，x，a1，a2，y成等差數(shù)列，x，b1，b2，y成等比數(shù)列，那么a數(shù)列an的前n項和為Sn，定義an的“優(yōu)值”為Hn=a1+2a2+?+2n-1an我國古代數(shù)學著作《九章算術(shù)》有如下問題：“今有金箠，長五尺，斬本一尺，重四斤，斬末一尺，重二斤，問次一尺各重幾何？”意思是：“現(xiàn)有一根金箠，長5尺，一頭粗，一頭細，在粗的一端截下1尺，重4斤，在細的一端截下1尺，重2斤，問依次每一尺各重多少斤？”設(shè)該金箠由粗到細是均勻變化的，其重量為M，現(xiàn)將該金箠截成長度相等的10段，記第i段的重量為aii=1,2,?,10，且a1<a2<?<a10 A．4 B．5 C．6 D．7九連環(huán)是我國從古至今廣為流傳的一種益智游戲，它用九個圓環(huán)相連成串，以解開為勝．據(jù)明代楊慎《丹鉛總錄》記載：“兩環(huán)互相貫為一，得其關(guān)捩，解之為二，又合而為一．”在某種玩法中，用an表示解下nn≤9,n∈N*個圓環(huán)所需的最少移動次數(shù)，數(shù)列an滿足a1=1，且an=2an-1 A．7 B．10 C．12 D．22中國古代數(shù)學著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個問題：“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見次日行里數(shù)，請公仔細算相還．”其大意為：“有一個人走了378里路，第一天健步行走，從第二天起因腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達目的地．”問此人第4天和第5天共走了?? A．60里 B．48里 C．36里 D．24里我國古代數(shù)學著作《九章算術(shù)》有如下問題：“今有蒲生一日，長三尺．莞生一日，長一尺．蒲生日自半，莞生日自倍．問幾何日而長等？”意思是：“今有蒲草第1天長高3尺，莞草第1天長高1尺．以后，蒲草每天長高前一天的一半，莞草每天長高前一天的2倍．問第幾天蒲草和莞草的高度相同？”根據(jù)上述的已知條件，可求得第天時，蒲草和莞草的高度相同．（結(jié)果采取“只入不舍”的原則取整數(shù)，相關(guān)數(shù)據(jù)：lg3≈0.4771，lg意大利數(shù)學家斐波那契以兔子繁殖為例，引入“兔子數(shù)列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55?即F1=F2=1，F(xiàn)n=Fn-1+Fn-2n≥3,n∈N*，此數(shù)列在現(xiàn)代物理、化學等方面都有著廣泛的應(yīng)用．若此數(shù)列被2除后的余數(shù)構(gòu)成一個新數(shù)列a A．672 B．673 C．1346 D．2019中國古代著作《張丘建算經(jīng)》有這樣一個問題：“今有馬行轉(zhuǎn)遲，次日減半疾，七日行七百里”，意思是說有一匹馬行走的速度逐漸減慢，每天行走的里程是前一天的一半，七天一共行走了700里．那么這匹馬在最后一天行走的里程數(shù)為．已知實數(shù)a，b，c成等比數(shù)列，a+6，b+2，c+1成等差數(shù)列，則b的最大值為．已知等比數(shù)列an滿足a2a5=2a3，且a4，54，設(shè)公差不為零的等差數(shù)列an滿足a3=7，且a1-1，a2-1，a4已知數(shù)列an的前n項和為Sn，a1=1，an+1=2Sn+1n∈N*，等差數(shù)列bn中，bn>0n∈N*，且b A．20n-20 B．14-4n C．2n+1 D．20n-10設(shè)an是首項為a，公差為d的等差數(shù)列d≠0，Sn是其前n項和．記bn=nSn(1)若c=0，且b1，b2，b4(2)若bn是等差數(shù)列，證明：c=0已知數(shù)列an的前n項和為Sn，點n,Sn在曲線y=12x2+52x上，數(shù)列bn滿足b(1)求an，bn(2)設(shè)cn=12an-32bn-8，數(shù)列cn的前n已知兩個無窮數(shù)列an和bn的前n項和分別為Sn，Tn，a1=1，S2(1)求數(shù)列an(2)若bn為等差數(shù)列，對任意的n∈N*，都有S設(shè)函數(shù)fx=12+1x，正項數(shù)列an滿足a(1)求數(shù)列an(2)求證：1a定義：對于任意n∈N*，xn+xn+2-xn+1仍為數(shù)列xn(1)已知an=2n（n∈N*），判斷數(shù)列a(2)若數(shù)列bn為“回歸數(shù)列”，b3=3，b9=9，且對于任意n∈N*，均有如果無窮數(shù)列an滿足條件：①an+an+22≤an+1；②存在實數(shù)M，使得an≤M，其中(1)設(shè)數(shù)列bn的通項為bn=20n-2n，且是Ω(2)設(shè)cn是各項為正數(shù)的等比數(shù)列，Sn是其前n項和，c3=14，S3=7(3)設(shè)數(shù)列dn是各項均為正整數(shù)的Ω數(shù)列，求證：d如果數(shù)列an共有kk∈①a1②a1則稱數(shù)列an為Pk(1)若等比數(shù)列an為P4數(shù)列，求a(2)已知m為給定的正整數(shù)，且m≥2．①若公差為正數(shù)的等差數(shù)列an是P2m+3數(shù)列，求數(shù)列a②若an=qn-13,1≤n≤m,n∈N*,m-n12,m+1≤n≤2m,n∈N已知等差數(shù)列an的公差為2，若a1，a3，a4成等比數(shù)列，Sn是an的前n項和，則 A．-8 B．-6 C．10 D．0天壇公園是明、清兩代皇帝“祭天”“祈谷”的場所．天壇公園中的圜丘臺共有三層（如圖1所示），上層壇的中心是一塊呈圓形的大理石板，從中心向外圍以扇面形石（如圖2所示）．上層壇從第一環(huán)至第九環(huán)共有九環(huán)，中層壇從第十環(huán)至第十八環(huán)共有九環(huán)，下層壇從第十九環(huán)至第二十七環(huán)共有九環(huán)；第一環(huán)的扇面形石有9塊，從第二環(huán)起，每環(huán)的扇面形石塊數(shù)比前一環(huán)多9塊，則第二十七環(huán)的扇面形石塊數(shù)是；上、中、下三層壇所有的扇面形石塊數(shù)是．在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列an中，a3-a1=8，當a4取最小值時，則數(shù)列na已知數(shù)列an為等比數(shù)列，數(shù)列bn為等差數(shù)列，且b1=a(1)求數(shù)列an，bn(2)設(shè)cn=1bnbn+2，數(shù)列cn的前在數(shù)列an中，a1=1，a2=3，且對任意的(1)證明數(shù)列an+1-an是等比數(shù)列，并求數(shù)列(2)設(shè)bn=2nanan+1，記數(shù)列bn的前n項和為Sn，若對任意的已知數(shù)列ann∈N*的首項a1=1，前n項和為Sn．設(shè)λ與k是常數(shù)，若對一切正整數(shù)n，均有(1)若等差數(shù)列an是“λ-1”數(shù)列，求λ(2)若數(shù)列an是“33-2”數(shù)列，且an>0(3)對于給定的λ，是否存在三個不同的數(shù)列an為“λ-3”數(shù)列，且an≥0？若存在，求

答案1.【答案】B【解析】由題意得a1010＋a10122.【答案】D【解析】設(shè)從頭到尾每一尺的質(zhì)量構(gòu)成等差數(shù)列an則有a1=4，所以a1+a5=6，數(shù)列an的前5項和為故選D．3.【答案】C【解析】記等比數(shù)列an的公比為q，其中q>0由題意知a3=a1因為a1所以有q2-2q-1=0，解得又q>0，所以q=1+2所以a10+a4.【答案】A【解析】因為fx所以f?x令f?x=0，解得x=12又a6和a8是函數(shù)fx的極值點，且公差所以a6=12，a8=152所以S85.【答案】4【解析】因為a1+a所以a1+a226.【答案】n(n+3)2【解析】由Hn得a1當n≥2時，a1由①-②得2n-1an=n?當n=1時，a1=2也滿足式子所以數(shù)列an的通項公式為a所以Sn7.【答案】C【解析】由題意知，由細到粗每段的重量組成一個等差數(shù)列，記為an，設(shè)公差為d，則有a所以該金箠的總重量M=10×15因為48ai=5M，所以有481516+8.【答案】A【解析】因為數(shù)列an滿足a1=1，且所以a2所以a3所以a49.【答案】C【解析】記每天走的路程里數(shù)為an，可知an是公比q=由S6=378，得S6所以a4=192×1此人第4天和第5天共走24+12=36里．10.【答案】3【解析】由題意得，蒲草的長度組成首項為a1=3，公比為12的等比數(shù)列an，設(shè)其前n項和為An；莞草的長度組成首項為b1=1，公比為2的等比數(shù)列bn，設(shè)其前n項和為Bn．則An=3所以n=lg6lg2=1+11.【答案】C【解析】由于an是數(shù)列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，?各項除以2故an為1，1，0，1，1，0，1，1，0，1，?所以an是周期為3且一個周期中的三項之和為1+1+0=2．因為2019=673×3，所以數(shù)列an的前2019項的和為673×2=1346故選C．12.【答案】700127【解析】設(shè)這匹馬第n天行走的里程是an里，則數(shù)列an是公比q=且其前7項的和S7=700，即a11-所以這匹馬在最后一天行走的里程數(shù)為a713.【答案】34【解析】解法1（基本不等式）由題意知，b2=ac，2b+4=a+c+7，所以a+c=2b-3，由基本不等式的變形式ac≤a+c則有：b2≤2b-32所以b的最大值為34解法2（判別式法）由題意知，b2=ac，2b+4=a+c+7，則代入得b2=a2b-a-3，即a2+3-2ba+b2=0，上述關(guān)于a的方程有解，所以Δ=3-2b14.【答案】1024【解析】解法1：設(shè)等比數(shù)列an的公比為q根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可得a2由于a3≠0，可得因為a4，54，2所以2×54=a由a7=a4q3可得q=12，由a4=a1q3可得a1=16，從而an=a1qn-1=16×12n-1（也可直接由an解法2：同解法1得an令an≥1可得故當1≤n≤5時，an≥1，當n≥6時，所以當n=4或5時，a1?a解法3：同解法1得an令Tn因為n∈N所以當且僅當n=4或5時，n9-n2取得最大值10，從而Tn15.【答案】21【解析】設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，則a1-1=a3因為a1-1，a2-1所以a1即6-d2=6-2d6+d又因為d≠0，所以d=2，從而a1016.【答案】C【解析】因為a1=1，所以an所以an+1所以an+1所以an+1而a2=2a1所以數(shù)列an是以1為首項，3所以an=3n-1，所以a1在等差數(shù)列bn中，因為b1+b又因為a1+b1，a即1+5-d9+5+d=64，解得d=2或因為bn>0n∈N故d=2，故b1=3，17.【答案】(1)因為an是首項為a，公差為d的等差數(shù)列d≠0，Sn是其前n所以Sn因為c=0，所以bn因為b1，b2，b4成等比數(shù)列，所以所以a+1所以12ad-14因為d≠0，所以a=12d，所以所以Sn所以左邊=Snk=nk所以左邊=右邊，所以Snk(2)因為bn是等差數(shù)列，設(shè)其公差為d所以bn=b1+n-1d所以d1-12dn所以d1由①式得d1=12d，因為所以由②式得c=0．18.【答案】(1)由已知得Sn當n=1時，a1當n≥2時，an當n=1時，符合上式．所以an因為數(shù)列bn滿足b所以數(shù)列bn為等差數(shù)列．設(shè)其公差為d則b1+3d=11,5b1所以bn(2)由（1）得，cn所以Tn因為Tn+1所以Tn是遞增數(shù)列，所以T故要使Tn>k54恒成立，只要解得k<9，所以使不等式成立的最大正整數(shù)k的值為8．19.【答案】(1)由3Sn+1=2S即2a所以an+2由a1=1，S2=4所以數(shù)列an是以1為首項，2故an的通項公式為a(2)（方法1）設(shè)數(shù)列bn的公差為d，則T由（1）知，Sn因為Sn所以n2>nb1+所以2-d≥0,d-2b1>0,又由S1>T1所以an所以an（方法2）設(shè)bnbn的公差為d，假設(shè)存在自然數(shù)n0則a1即a1因為a1所以d>2．所以Tn因為d2所以存在N0∈N*，當n>N這與“對任意的n∈N*，都有S所以an20.【答案】(1)因為an所以an=12+a所以數(shù)列an是以1為首項，12所以an(2)由（1）可知1a所以1a21.【答案】(1)假設(shè)an是“回歸數(shù)列”，則對任意n∈N*，總存在k∈N*，使an+a所以假設(shè)不成立，所以an不是“回歸數(shù)列”(2)因為bn所以bn+1所以bn+bn+2-又bn為“回歸數(shù)列”所以bn+bn+2所以數(shù)列bn又b3=3，所以bn=n（22.【答案】(1)因為bn=20n-2n所以當n≤4時，bn+1>bn；當n≥5所以數(shù)列bn的最大項是b所以M≥68，所以M的取值范圍是68,+∞．(2)設(shè)cn的公比為qq>0，則S3整理得6q2-q-1=0，解得q=12因為q>0，所以q=1因為cn所以Sn+Sn+22因為Sn<2，所以數(shù)列Sn是(3)假設(shè)存在正整數(shù)k，使得dk>dk+1，由數(shù)列dn是各項均為正整數(shù)得因為數(shù)列dn是Ω數(shù)列，所以d所以dk+2同理，dk+3依此類推，得dk+m因為數(shù)列dn是Ω所以存在M，dk所以當m>M時，dk+m≤dk-m<0，與數(shù)列dn23.【答案】(1)設(shè)等比數(shù)列an的公比為q因為數(shù)列an為P4數(shù)列，所以從而1+q+q2+q3=0，即又因為a1所以4a1=1，解得(2)①設(shè)等差數(shù)列an的公差為d因為數(shù)列an為P2m+3所以a1+a2因為1+2m+3=2m+2，所以a從而2m+3am+2=0，即又因為a1+a2所以-a即m+2m+1d=1，解得因此等差數(shù)列an的公差為d=②若數(shù)列an是P2ma1a1因為an=qn-1所以1313當m為偶數(shù)時，在*中，13所以*不成立．當m為奇數(shù)時，由*+**得：又因為q<-1，所以1-qm1-q+因為mm≥2為奇數(shù)，所以q所以3q2-12即12≤q2≤1綜上可知，數(shù)列an不是P2m24.【答案】D【解析】因為a1，a3，a所以5,6=所以a1化為2a1=-16，解得所以則S9故選D．25.【答案】243；3402【解析】第一環(huán)的扇面形石有9塊，從第二環(huán)起，每環(huán)的扇面形石塊數(shù)比前一環(huán)多9塊，則依題意得：每環(huán)的扇面形石塊數(shù)是一個以9為首項，9為公差的等差數(shù)列，所以，an所以，a27