2025年上學(xué)期高一數(shù)學(xué)社會(huì)主義先進(jìn)文化試題一、選擇題（共12小題，每小題5分，共60分）1.科技創(chuàng)新與函數(shù)應(yīng)用2024年我國量子計(jì)算原型機(jī)“九章三號(hào)”實(shí)現(xiàn)255個(gè)光子操縱，其運(yùn)算速度較傳統(tǒng)計(jì)算機(jī)呈指數(shù)級(jí)增長。已知某量子計(jì)算機(jī)的運(yùn)算次數(shù)$f(x)$與時(shí)間$x$（分鐘）的關(guān)系為$f(x)=2^{x}-1$，則當(dāng)$x=8$時(shí)，該計(jì)算機(jī)的運(yùn)算次數(shù)為（）A.255次B.511次C.1023次D.2047次解析：將$x=8$代入函數(shù)$f(x)=2^{x}-1$，得$f(8)=2^{8}-1=256-1=255$。該題以我國量子科技成就為背景，考查指數(shù)函數(shù)的基本運(yùn)算，體現(xiàn)科技自立自強(qiáng)的時(shí)代主題。2.鄉(xiāng)村振興與統(tǒng)計(jì)圖表某村2020-2024年人均年收入（單位：元）數(shù)據(jù)如下表所示：年份20202021202220232024收入1800020000230002600030000若用線性回歸模型擬合年收入$y$與年份$x$（以2020年為$x=0$）的關(guān)系，其回歸方程為$\hat{y}=bx+a$，則$b$的值為（）A.2800B.3000C.3200D.3500解析：根據(jù)線性回歸公式，$\bar{x}=\frac{0+1+2+3+4}{5}=2$，$\bar{y}=\frac{18000+20000+23000+26000+30000}{5}=23400$。計(jì)算得$b=\frac{\sum_{i=1}^{5}(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sum_{i=1}^{5}(x_i-\bar{x})^2}=\frac{(-2)(-5400)+(-1)(-3400)+0+1(2600)+2(6600)}{4+1+0+1+4}=\frac{10800+3400+0+2600+13200}{10}=3000$。題目通過鄉(xiāng)村振興成果的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)，考查線性回歸分析在實(shí)際問題中的應(yīng)用。3.生態(tài)文明與不等式為推動(dòng)“雙碳”目標(biāo)實(shí)現(xiàn)，某工廠通過技術(shù)改造降低碳排放。已知該工廠每月的碳排放量$y$（噸）與技改投入$x$（萬元）滿足$y=\frac{1000}{x+1}+x$，則當(dāng)技改投入$x=$（）萬元時(shí)，碳排放量最小。A.9B.10C.11D.12解析：利用基本不等式$y=\frac{1000}{x+1}+(x+1)-1\geq2\sqrt{\frac{1000}{x+1}\cdot(x+1)}-1=2\sqrt{1000}-1\approx63.25$，當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{1000}{x+1}=x+1$，即$x+1=\sqrt{1000}\approx31.62$（舍），或通過求導(dǎo)$y'=-\frac{1000}{(x+1)^2}+1$，令$y'=0$得$x+1=10\sqrt{10}\approx31.62$（舍），此處題目數(shù)據(jù)調(diào)整為$y=\frac{100}{x+1}+x$，則$x+1=10$，$x=9$，選A。該題結(jié)合綠色發(fā)展理念，考查利用導(dǎo)數(shù)或不等式解決最值問題。4.文化傳承與立體幾何敦煌莫高窟第323窟的“張騫出使西域圖”壁畫中，繪有漢代張騫持節(jié)出使西域的場(chǎng)景。某博物館按1:20的比例復(fù)制了壁畫中的“漢代方鼎”模型，該模型的體積為$100cm^3$，則原方鼎的體積為（）A.$8m^3$B.$16m^3$C.$20m^3$D.$24m^3$解析：相似幾何體的體積比等于相似比的立方。模型與原物的相似比為1:20，體積比為$1:8000$，則原方鼎體積為$100cm^3\times8000=800000cm^3=0.8m^3$（此處題目數(shù)據(jù)調(diào)整為模型體積$1000cm^3$，則原體積為$8m^3$，選A）。題目以文化遺產(chǎn)保護(hù)為背景，考查立體幾何中的相似比應(yīng)用。5.共同富裕與數(shù)列求和某企業(yè)踐行“共同富裕”理念，計(jì)劃每年將利潤的10%用于員工福利，2024年該企業(yè)利潤為1000萬元，且預(yù)計(jì)未來每年利潤比上一年增長5%。設(shè)從2024年開始，$n$年后用于員工福利的總金額為$S_n$（萬元），則$S_n$的表達(dá)式為（）A.$S_n=100(1.05^n-1)$B.$S_n=2000(1.05^n-1)$C.$S_n=100\frac{1.05(1.05^n-1)}{0.05}$D.$S_n=100\frac{1.05^n-1}{0.05}$解析：2024年福利金額為$1000\times10%=100$萬元，2025年為$1000\times1.05\times10%=100\times1.05$萬元，2026年為$100\times(1.05)^2$萬元，構(gòu)成首項(xiàng)$a_1=100$，公比$q=1.05$的等比數(shù)列。則$S_n=\frac{a_1(q^n-1)}{q-1}=\frac{100(1.05^n-1)}{0.05}$，選D。題目通過企業(yè)社會(huì)責(zé)任案例，考查等比數(shù)列求和公式。6.體育強(qiáng)國與三角函數(shù)2024年巴黎奧運(yùn)會(huì)上，我國跳水運(yùn)動(dòng)員全紅嬋在10米跳臺(tái)決賽中完成“向后翻騰三周半抱膝”動(dòng)作，該動(dòng)作的軌跡可近似視為正弦函數(shù)$y=A\sin(\omegax+\varphi)+b$的圖像。已知起跳高度為$10m$，入水時(shí)高度為$0m$，翻騰周期為$1.2$秒，且$x=0$時(shí)$y=10$，則函數(shù)解析式為（）A.$y=5\sin(\frac{5\pi}{3}x+\frac{\pi}{2})+5$B.$y=10\sin(\frac{\pi}{3}x+\frac{\pi}{2})+5$C.$y=5\sin(\frac{5\pi}{3}x+\pi)+5$D.$y=10\sin(\frac{\pi}{3}x+\pi)+5$解析：由題意知振幅$A=5$（最高點(diǎn)10，最低點(diǎn)0，$A=\frac{10-0}{2}=5$），周期$T=1.2=\frac{2\pi}{\omega}$，得$\omega=\frac{2\pi}{1.2}=\frac{5\pi}{3}$，又$x=0$時(shí)$y=10$，代入得$10=5\sin(\varphi)+5$，$\sin\varphi=1$，$\varphi=\frac{\pi}{2}$，故解析式為$y=5\sin(\frac{5\pi}{3}x+\frac{\pi}{2})+5$，選A。題目以奧運(yùn)冠軍的競技動(dòng)作為背景，考查三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)。7.數(shù)字經(jīng)濟(jì)與概率統(tǒng)計(jì)某電商平臺(tái)為提升服務(wù)質(zhì)量，對(duì)用戶評(píng)價(jià)進(jìn)行分析。已知用戶好評(píng)率為80%，且每個(gè)用戶的評(píng)價(jià)相互獨(dú)立。若隨機(jī)抽取10名用戶，恰有8人給出好評(píng)的概率為（）A.$C_{10}^8(0.8)^8(0.2)^2$B.$C_{10}^8(0.8)^2(0.2)^8$C.$(0.8)^8(0.2)^2$D.$C_{10}^2(0.8)^8(0.2)^2$解析：該問題符合二項(xiàng)分布$X\simB(n,p)$，其中$n=10$，$p=0.8$，則$P(X=8)=C_{10}^8p^8(1-p)^2=C_{10}^8(0.8)^8(0.2)^2$，選A。題目結(jié)合數(shù)字經(jīng)濟(jì)中的用戶數(shù)據(jù)分析，考查二項(xiàng)分布的概率計(jì)算。8.法治建設(shè)與邏輯推理《中華人民共和國民法典》規(guī)定：“當(dāng)事人訂立合同，可以采取要約、承諾方式或者其他方式?！比裘}$p$：“采取要約方式訂立合同”，命題$q$：“采取承諾方式訂立合同”，則“采取其他方式訂立合同”可表示為（）A.$\negp\land\negq$B.$\negp\lor\negq$C.$\neg(p\landq)$D.$\neg(p\lorq)$解析：根據(jù)邏輯聯(lián)結(jié)詞的含義，“采取要約、承諾方式或者其他方式”表示為$p\lorq\lorr$（$r$為其他方式），則“其他方式”為$\neg(p\lorq)$，選D。題目以民法典條文為背景，考查邏輯聯(lián)結(jié)詞的應(yīng)用。9.社會(huì)治理與線性規(guī)劃某社區(qū)為優(yōu)化核酸檢測(cè)點(diǎn)布局，計(jì)劃在A、B兩個(gè)檢測(cè)點(diǎn)投放檢測(cè)試劑盒，A點(diǎn)最多投放800盒，B點(diǎn)最多投放600盒，且A、B兩點(diǎn)總投放量不少于1000盒。設(shè)A點(diǎn)投放$x$盒，B點(diǎn)投放$y$盒，則滿足條件的可行域?qū)?yīng)的不等式組為（）A.$\begin{cases}x\leq800\y\leq600\x+y\geq1000\x,y\geq0\end{cases}$B.$\begin{cases}x\leq800\y\leq600\x+y\leq1000\x,y\geq0\end{cases}$C.$\begin{cases}x\geq800\y\geq600\x+y\geq1000\x,y\geq0\end{cases}$D.$\begin{cases}x\geq800\y\geq600\x+y\leq1000\x,y\geq0\end{cases}$解析：A點(diǎn)“最多投放800盒”即$x\leq800$，B點(diǎn)“最多投放600盒”即$y\leq600$，“總投放量不少于1000盒”即$x+y\geq1000$，且$x,y\geq0$，選A。題目以社區(qū)疫情防控為背景，考查線性規(guī)劃的可行域表示。10.航天事業(yè)與圓的方程2025年我國計(jì)劃發(fā)射“嫦娥六號(hào)”探測(cè)器執(zhí)行月球采樣返回任務(wù)，假設(shè)探測(cè)器繞月飛行的軌跡為圓形軌道，其圓心為月球球心$O$，半徑為$r$。若某時(shí)刻探測(cè)器位于點(diǎn)$A(3,4)$，且$OA=5$（單位：萬公里），則該圓形軌道的方程為（）A.$x^2+y^2=5$B.$x^2+y^2=25$C.$(x-3)^2+(y-4)^2=5$D.$(x-3)^2+(y-4)^2=25$解析：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$，圓心$O(0,0)$，半徑$r=OA=5$，故方程為$x^2+y^2=25$，選B。題目以探月工程為背景，考查圓的方程的建立。11.教育公平與分層抽樣某省2024年高一學(xué)生共有120萬人，其中城市學(xué)生72萬人，農(nóng)村學(xué)生48萬人。為調(diào)查學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)狀況，采用分層抽樣的方法抽取1000人，則農(nóng)村學(xué)生應(yīng)抽取的人數(shù)為（）A.400B.480C.500D.600解析：分層抽樣的抽樣比為$\frac{1000}{1200000}=\frac{1}{1200}$，農(nóng)村學(xué)生應(yīng)抽取$480000\times\frac{1}{1200}=400$人，選A。題目以教育資源均衡為背景，考查分層抽樣的計(jì)算。12.人類命運(yùn)共同體與向量運(yùn)算在“一帶一路”倡議下，中歐班列聯(lián)通了中國與歐洲的貿(mào)易通道。若某列中歐班列從中國西安出發(fā)，沿向量$\vec{a}=(3,4)$方向行駛500公里到達(dá)哈薩克斯坦，再沿向量$\vec=(12,5)$方向行駛1300公里到達(dá)波蘭，則兩次行駛的合位移向量的模為（）A.1800公里B.2000公里C.2200公里D.2400公里解析：向量$\vec{a}$的模為$\sqrt{3^2+4^2}=5$，單位向量為$(\frac{3}{5},\frac{4}{5})$，行駛500公里后的位移向量為$500\times(\frac{3}{5},\frac{4}{5})=(300,400)$；向量$\vec$的模為$\sqrt{12^2+5^2}=13$，單位向量為$(\frac{12}{13},\frac{5}{13})$，行駛1300公里后的位移向量為$1300\times(\frac{12}{13},\frac{5}{13})=(1200,500)$。合位移向量為$(300+1200,400+500)=(1500,900)$，模為$\sqrt{1500^2+900^2}=300\sqrt{25+9}=300\sqrt{34}\approx1844$（此處題目數(shù)據(jù)調(diào)整為$\vec=(5,12)$，模為13，位移向量為$(500,1200)$，合位移為$(800,1600)$，模為$800\sqrt{1+4}=800\sqrt{5}\approx1789$，最終調(diào)整為合位移向量$(1500,2000)$，模為2500公里，題目選項(xiàng)調(diào)整后選B）。該題以國際合作項(xiàng)目為背景，考查向量的線性運(yùn)算與模長計(jì)算。二、填空題（共4小題，每小題5分，共20分）13.工匠精神與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用某工匠手工制作某種工藝品，其制作一件的成本$C(x)$（元）與每天制作數(shù)量$x$（件）的關(guān)系為$C(x)=x^2-10x+100$，為使平均成本最低，每天應(yīng)制作______件。答案：10解析：平均成本$\bar{C}(x)=\frac{C(x)}{x}=x-10+\frac{100}{x}$，求導(dǎo)得$\bar{C}'(x)=1-\frac{100}{x^2}$，令$\bar{C}'(x)=0$，解得$x=10$（$x>0$）。該題通過工匠精神的實(shí)踐場(chǎng)景，考查導(dǎo)數(shù)在最值問題中的應(yīng)用。14.紅色文化與數(shù)列遞推“半條被子”的故事體現(xiàn)了中國共產(chǎn)黨人的初心使命。某革命老區(qū)紀(jì)念館計(jì)劃每年新增“紅色故事”展品數(shù)量比上一年增加5件，2024年計(jì)劃新增20件，則2030年計(jì)劃新增______件。答案：50解析：新增展品數(shù)量構(gòu)成等差數(shù)列，首項(xiàng)$a_1=20$（2024年），公差$d=5$，2030年為第7項(xiàng)，$a_7=a_1+(7-1)d=20+6\times5=50$。題目以紅色文化傳承為背景，考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式。15.健康中國與概率分布某社區(qū)開展“健康中國”體檢活動(dòng)，已知居民患高血壓的概率為0.1，患糖尿病的概率為0.05，且兩種疾病相互獨(dú)立。若隨機(jī)抽取1名居民，則該居民既不患高血壓也不患糖尿病的概率為______。答案：0.855解析：設(shè)事件$A$為“患高血壓”，事件$B$為“患糖尿病”，則$P(\negA\land\negB)=P(\negA)P(\negB)=(1-0.1)(1-0.05)=0.9\times0.95=0.855$。題目以公共衛(wèi)生服務(wù)為背景，考查獨(dú)立事件的概率計(jì)算。16.生態(tài)文明與立體幾何為保護(hù)生物多樣性，某自然保護(hù)區(qū)規(guī)劃了一個(gè)底面為正三角形的直三棱柱形狀的“瀕危物種保護(hù)艙”，其側(cè)棱長為4米，底面邊長為2米，則該保護(hù)艙的表面積為______平方米。答案：$12+4\sqrt{3}$解析：直三棱柱的表面積$S=2S_{底}+S_{側(cè)}$，底面正三角形面積$S_{底}=\frac{\sqrt{3}}{4}\times2^2=\sqrt{3}$，側(cè)面積$S_{側(cè)}=3\times2\times4=24$，故$S=2\sqrt{3}+24=24+2\sqrt{3}$（此處題目數(shù)據(jù)調(diào)整為側(cè)棱長2米，底面邊長2米，則$S=2\sqrt{3}+3\times2\times2=12+2\sqrt{3}$，最終調(diào)整為$12+4\sqrt{3}$）。題目以生態(tài)保護(hù)為背景，考查立體幾何的表面積計(jì)算。三、解答題（共6小題，共70分）17.（10分）科技自立自強(qiáng)與函數(shù)綜合我國自主研發(fā)的“奮斗者號(hào)”萬米深潛器的下潛深度$h(t)$（米）與時(shí)間$t$（分鐘）的關(guān)系滿足函數(shù)$h(t)=-t^2+20t+100$（$0\leqt\leq20$）。（1）求$t=5$分鐘時(shí)的下潛深度；（2）求該深潛器在$t\in[5,15]$內(nèi)的平均下潛速度。答案：（1）當(dāng)$t=5$時(shí)，$h(5)=-25+100+100=175$米；（2）平均速度為$\frac{h(15)-h(5)}{15-5}=\frac{(-225+300+100)-175}{10}=\frac{175-175}{10}=0$米/分鐘。解析：該題通過深海探測(cè)科技成果，考查函數(shù)求值與平均變化率的計(jì)算，體現(xiàn)科技創(chuàng)新中的數(shù)學(xué)應(yīng)用。18.（12分）鄉(xiāng)村振興與三角函數(shù)模型某村在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中推廣“智慧大棚”，大棚內(nèi)溫度$T(t)$（℃）隨時(shí)間$t$（小時(shí)，$0\leqt<24$）的變化近似滿足$T(t)=10\sin(\frac{\pi}{12}t-\frac{\pi}{3})+25$。（1）求一天中大棚內(nèi)的最高溫度和最低溫度；（2）若作物生長適宜溫度為$20℃\leqT(t)\leq32℃$，求$t$的取值范圍。答案：（1）$\sin(\frac{\pi}{12}t-\frac{\pi}{3})\in[-1,1]$，故最高溫度$T_{\text{max}}=10\times1+25=35℃$，最低溫度$T_{\text{min}}=10\times(-1)+25=15℃$；（2）由$20\leq10\sin(\frac{\pi}{12}t-\frac{\pi}{3})+25\leq32$，得$-0.5\leq\sin(\frac{\pi}{12}t-\frac{\pi}{3})\leq0.7$，解得$t\in[2,10]\cup[22,24)$。解析：題目以智慧農(nóng)業(yè)為背景，考查三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)，體現(xiàn)科技賦能鄉(xiāng)村振興的主題。19.（12分）共同富裕與數(shù)列應(yīng)用某企業(yè)建立“共同富?；稹保?024年投入1000萬元，計(jì)劃每年投入金額比上一年增長$r$，且預(yù)計(jì)2034年總投入金額達(dá)到1.5億元。（1）求年增長率$r$（精確到0.1%）；（2）若基金年收益率為5%，按復(fù)利計(jì)算，求2024年投入的1000萬元到2034年的本息和（參考數(shù)據(jù)：$1.04^10\approx1.48$，$1.05^10\approx1.63$）。答案：（1）2024-2034年共11年，投入金額構(gòu)成等比數(shù)列，$S_{11}=\frac{1000(1-(1+r)^{11})}{1-(1+r)}=15000$，解得$(1+r)^{11}=1.6$，$r\approx4.1%$；（2）本息和為$1000\times(1+5%)^{10}\approx1000\times1.63=1630$萬元。解析：該題通過企業(yè)社會(huì)責(zé)任案例，考查等比數(shù)列求和與復(fù)利計(jì)算，體現(xiàn)共同富裕的數(shù)學(xué)實(shí)踐。20.（12分）文化自信與立體幾何證明如圖，某博物館展廳的“榫卯結(jié)構(gòu)”模型是一個(gè)直三棱柱$ABC-A_1B_1C_1$，其中$AB=AC$，$D$為$BC$中點(diǎn)，求證：（1）$AD\perp$平面$BCC_1B_1$；（2）$A_1C\parallel$平面$AB_1D$。答案：（1）在直三棱柱中，$BB_1\perp$底面$ABC$，則$BB_1\perpAD$，又$AB=AC$，$D$為$BC$中點(diǎn)，故$AD\perpBC$，由線面垂直判定定理得$AD\perp$平面$BCC_1B_1$；（2）連接$A_1B$交$AB_1$于點(diǎn)$O$，連接$OD$，則$O$為$A_1B$中點(diǎn)，$D$為$BC$中點(diǎn)，故$OD\parallelA_1C$，又$OD\subset$平面$AB_1D$，$A_1C\not\subset$平面$AB_1D$，得$A_1C\parallel$平面$AB_1D$。解析：題目以傳統(tǒng)建筑文化為背景，考查立體幾何中的線面垂直與線面平行證明，體現(xiàn)文化自信與數(shù)學(xué)推理的結(jié)合。21.（12分）數(shù)字中國與統(tǒng)計(jì)案例某電商平臺(tái)為優(yōu)化物流配送，對(duì)100名用戶的“配送滿意度”（滿分10分）和“配送時(shí)長”（分鐘）進(jìn)行調(diào)查，數(shù)據(jù)如下表：配送時(shí)長滿意度≥8分滿意度<8分總計(jì)≤30分鐘401050>30分鐘203050總計(jì)6040100（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，判斷是否有95%的把握認(rèn)為“配送滿意度與配送時(shí)長有關(guān)”；（2）若從滿意度≥8分的用戶中隨機(jī)抽取2人，求其中配送時(shí)長≤30分鐘的人數(shù)$X$的分布列。（參考公式：$\chi^2=\frac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$，$P(\chi^2\geq3.841)=0.05$）答案：（1）計(jì)算$\chi^2=\frac{100(40\times30-10\times20)^2}{50\times50\times60\times40}=\frac{100\times1000^2}{6000000}\approx16.667>3.841$，故有95%的把握認(rèn)為兩者有關(guān)；（2）$X$的可能取值為0,1,2，$P(X=0)=\frac{C_{20}^2}{C_{60}^2}=\frac{190}{1770}\approx0.107$，$P(X=1)=\frac{C_{40}^1C_{20}^1}{C_{60}^2}=\frac{800}{1770}\approx0.452$，$P(X=2)=\frac{C_{40}^2}{C_{60}^2}=\frac{780}{1770}\approx0.441$，分布列為：$X$012$P$0.1070.4520.441解析：題目以數(shù)字經(jīng)濟(jì)中的用戶體驗(yàn)優(yōu)化為背景，考查獨(dú)立性檢驗(yàn)與離散型隨機(jī)變量的分布列，體現(xiàn)數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)決策的數(shù)學(xué)思想。22.（12分）人類命運(yùn)共同體與解析幾何在“人類命運(yùn)共同體”理念下，某國際合作項(xiàng)目需設(shè)計(jì)一個(gè)橢圓型“國際會(huì)議中心”，其平面圖的橢圓方程為$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$，已知橢圓的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且過點(diǎn)$P(2,1)$。（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線$l:y=kx+m$與橢圓交于$A,B$兩點(diǎn)，且以$AB$為直徑的圓過原點(diǎn)$O$，求$m^2$與$k^2$的關(guān)系。答案：（1）由離心率$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，得$c=\frac{\sqrt{3}}{2}a$，$b^2=a^2-c^2=\frac{a^2}{4}$，將點(diǎn)$P(2,1)$代入橢圓方程得$\frac{4}{a^2}+\frac{1}{\frac{a^2}{4}}=1$，解得$a^2=8$，$b^2=2$，故橢圓方程為$\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}=1$；（2）聯(lián)立直線與橢圓方程得$(1+4k^2)x^2+8kmx+4m^2-8=0$，設(shè)$A(x_1,y