2025年上學(xué)期高一數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)操作試題（二）實(shí)驗(yàn)一：函數(shù)圖像繪制與性質(zhì)探究（40分）實(shí)驗(yàn)?zāi)康耐ㄟ^實(shí)際操作繪制函數(shù)圖像，探究函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性及奇偶性，加深對(duì)函數(shù)基本性質(zhì)的理解。實(shí)驗(yàn)器材坐標(biāo)紙、直尺、鉛筆、計(jì)算器（允許使用函數(shù)計(jì)算功能）實(shí)驗(yàn)內(nèi)容基礎(chǔ)作圖題（15分）給定函數(shù)(f(x)=x^2-4x+3)，完成以下操作：（1）用配方法將函數(shù)化為頂點(diǎn)式(f(x)=a(x-h)^2+k)，確定頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱軸；（2）在坐標(biāo)紙上建立平面直角坐標(biāo)系（x軸范圍[-1,5]，y軸范圍[-2,8]），標(biāo)出至少5個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)（頂點(diǎn)、與坐標(biāo)軸交點(diǎn)、對(duì)稱點(diǎn)）；（3）用平滑曲線連接各點(diǎn)，繪制函數(shù)完整圖像，并標(biāo)注頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱軸方程。操作步驟示例：配方過程：(f(x)=x^2-4x+3=(x^2-4x+4)-1=(x-2)^2-1)，頂點(diǎn)為(2,-1)，對(duì)稱軸(x=2)；關(guān)鍵點(diǎn)計(jì)算：與y軸交點(diǎn)：令(x=0)，得(f(0)=3)，即(0,3)；與x軸交點(diǎn)：令(f(x)=0)，解得(x=1)或(x=3)，即(1,0)、(3,0)；對(duì)稱點(diǎn)：取x=4，得(f(4)=3)，即(4,3)（與(0,3)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱）。性質(zhì)探究題（25分）給定函數(shù)(g(x)=\frac{2x+1}{x-1})（(x\neq1)），完成以下探究：（1）用分離常數(shù)法將函數(shù)變形為(g(x)=a+\frac{x-1})的形式，確定漸近線方程；（2）在坐標(biāo)紙上繪制函數(shù)圖像（x軸范圍[-3,5]且x≠1，y軸范圍[-5,5]），要求標(biāo)注漸近線（用虛線表示）、至少4個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)；（3）根據(jù)圖像判斷函數(shù)的單調(diào)性（寫出單調(diào)區(qū)間），并通過定義證明在區(qū)間(1,+∞)上的單調(diào)性；（4）判斷函數(shù)是否具有奇偶性，說(shuō)明理由。解答過程示例：分離常數(shù)：(g(x)=\frac{2(x-1)+3}{x-1}=2+\frac{3}{x-1})，垂直漸近線(x=1)，水平漸近線(y=2)；單調(diào)性證明：任取(x_1,x_2\in(1,+\infty))，且(x_1<x_2)，則(g(x_1)-g(x_2)=\left(2+\frac{3}{x_1-1}\right)-\left(2+\frac{3}{x_2-1}\right)=\frac{3(x_2-x_1)}{(x_1-1)(x_2-1)})因?yàn)?x_1<x_2)，所以(x_2-x_1>0)，且(x_1-1>0)，(x_2-1>0)，故(g(x_1)-g(x_2)>0)，即(g(x_1)>g(x_2))，因此函數(shù)在(1,+∞)上單調(diào)遞減。實(shí)驗(yàn)二：分段函數(shù)與實(shí)際應(yīng)用模型（30分）實(shí)驗(yàn)?zāi)康耐ㄟ^構(gòu)建分段函數(shù)模型解決實(shí)際問題，掌握分段函數(shù)的定義域劃分、求值及圖像繪制方法。實(shí)驗(yàn)器材坐標(biāo)紙、直尺、鉛筆、計(jì)算器實(shí)驗(yàn)內(nèi)容問題情境：某快遞公司收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下：重量不超過1kg的包裹，收費(fèi)10元；超過1kg但不超過5kg的部分，每增加0.5kg加收3元（不足0.5kg按0.5kg計(jì)算）；超過5kg的部分，每增加1kg加收5元（不足1kg按1kg計(jì)算）。設(shè)包裹重量為(x)kg（(x>0)），費(fèi)用為(y)元，完成以下任務(wù)：建立函數(shù)模型（10分）寫出費(fèi)用(y)關(guān)于重量(x)的分段函數(shù)表達(dá)式，并注明各段定義域。解答示例：[y=\begin{cases}10&,0<x\leq1\10+3\times2(x-1)&,1<x\leq5\quad(\text{注：每0.5kg加收3元即每kg加收6元})\10+6\times4+5(x-5)&,x>5\quad(\text{注：5kg時(shí)費(fèi)用為10+6×4=34元})\end{cases}]化簡(jiǎn)后：[y=\begin{cases}10&,0<x\leq1\6x+4&,1<x\leq5\5x+9&,x>5\end{cases}]圖像繪制與求值（20分）（1）在坐標(biāo)紙上繪制該分段函數(shù)的圖像（x軸范圍[0,8]，y軸范圍[0,60]），注意各段端點(diǎn)的虛實(shí)線表示（定義域內(nèi)包含端點(diǎn)用實(shí)心點(diǎn)，不包含用空心點(diǎn)）；（2）計(jì)算以下包裹的費(fèi)用：重量2.3kg的包裹（按3kg計(jì)算，費(fèi)用=6×3+4=22元）；重量5.8kg的包裹（按6kg計(jì)算，費(fèi)用=5×6+9=39元）；（3）若某包裹費(fèi)用為49元，反求包裹重量的取值范圍。解答過程：費(fèi)用49元時(shí)，由(5x+9=49)解得(x=8)，結(jié)合計(jì)費(fèi)規(guī)則，重量范圍為(7,8]kg。實(shí)驗(yàn)三：函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用（30分）實(shí)驗(yàn)?zāi)康耐ㄟ^圖像法和代數(shù)法結(jié)合，探究函數(shù)零點(diǎn)與方程解的關(guān)系，掌握二分法求近似解的基本步驟。實(shí)驗(yàn)器材坐標(biāo)紙、計(jì)算器、直尺、鉛筆實(shí)驗(yàn)內(nèi)容零點(diǎn)存在性判斷（10分）已知函數(shù)(h(x)=2^x-x^2)，判斷在區(qū)間(3,4)內(nèi)是否存在零點(diǎn)，并說(shuō)明理由。解答過程：計(jì)算(h(3)=8-9=-1)，(h(4)=16-16=0)，因?yàn)?h(3)<0)，(h(4)=0)，且函數(shù)在R上連續(xù)，所以x=4是零點(diǎn)，但題目要求區(qū)間(3,4)，故需進(jìn)一步判斷(3,4)內(nèi)是否有其他零點(diǎn)。計(jì)算(h(3.5)=2^{3.5}-(3.5)^2\approx11.31-12.25=-0.94<0)，因此在(3,4)內(nèi)除x=4外無(wú)其他零點(diǎn)。二分法求近似解（20分）用二分法求方程(x^3-3x+1=0)在區(qū)間(0,1)內(nèi)的近似解（精確到0.1），要求完成以下步驟：（1）驗(yàn)證函數(shù)(m(x)=x^3-3x+1)在(0,1)內(nèi)存在唯一零點(diǎn)；（2）按二分法步驟計(jì)算，填寫下表（至少完成4次迭代）：迭代次數(shù)區(qū)間(a,b)中點(diǎn)cm(c)符號(hào)新區(qū)間1(0,1)0.5m(0.5)=-0.375<0(0,0.5)2(0,0.5)0.25m(0.25)=0.2656>0(0.25,0.5)3(0.25,0.5)0.375m(0.375)≈-0.072<0(0.25,0.375)4(0.25,0.375)0.3125m(0.3125)≈0.093>0(0.3125,0.375)（3）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，確定近似解為0.3（精確到0.1）。操作說(shuō)明：每次迭代需計(jì)算中點(diǎn)函數(shù)值，根據(jù)符號(hào)確定新區(qū)間，直