2025年上學(xué)期高一數(shù)學(xué)小組合作探究試題模塊一：函數(shù)應(yīng)用與數(shù)學(xué)建模探究任務(wù)1：校園快遞柜優(yōu)化問題情境：某學(xué)校計(jì)劃在教學(xué)樓附近設(shè)置智能快遞柜，已知快遞柜容量為100個(gè)儲(chǔ)物格，每天9:00-18:00為取件高峰時(shí)段。根據(jù)歷史數(shù)據(jù)，高峰時(shí)段內(nèi)每個(gè)儲(chǔ)物格的使用頻率服從函數(shù)模型$f(t)=20\sin\left(\frac{\pi}{6}(t-9)\right)+50$，其中$t$為小時(shí)數(shù)（$9\leqt\leq18$），$f(t)$為每分鐘取件人次。合作要求：數(shù)據(jù)收集組：計(jì)算$t=10,12,15$時(shí)的取件人次，并繪制函數(shù)圖像，分析使用高峰時(shí)段分布。建模分析組：若每個(gè)取件流程平均耗時(shí)30秒，儲(chǔ)物柜的最大排隊(duì)等待人數(shù)出現(xiàn)在何時(shí)？此時(shí)需要安排幾名工作人員維持秩序（每人可同時(shí)處理2個(gè)排隊(duì)人員）？方案優(yōu)化組：若將快遞柜容量增加20%，或調(diào)整開放時(shí)間為8:00-19:00，哪種方案更能降低排隊(duì)風(fēng)險(xiǎn)？通過計(jì)算說明理由。問題拆解：求函數(shù)$f(t)$在區(qū)間$[9,18]$的最大值點(diǎn)及對(duì)應(yīng)函數(shù)值；建立排隊(duì)人數(shù)$Q(t)$與$f(t)$的關(guān)系模型$Q(t)=\int_{9}^{t}(f(x)-4)dx$（注：4為每分鐘處理能力）；比較兩種優(yōu)化方案下$Q(t)$的最大值變化率。探究任務(wù)2：社區(qū)人口結(jié)構(gòu)分析情境：某社區(qū)2025年常住人口年齡分布近似服從正態(tài)分布$N(38,12^2)$，現(xiàn)隨機(jī)抽取100人進(jìn)行調(diào)查，其中60歲以上人口占比15%。社區(qū)計(jì)劃為居民購買醫(yī)療保險(xiǎn)，保費(fèi)計(jì)算方式為：年齡$x<18$歲或$x>60$歲的居民保費(fèi)為200元/年，其余居民為300元/年。合作要求：統(tǒng)計(jì)分析組：計(jì)算該社區(qū)居民年齡在18-60歲之間的理論概率，并與抽樣數(shù)據(jù)對(duì)比，判斷樣本是否具有代表性（$\alpha=0.05$）。預(yù)算規(guī)劃組：若社區(qū)共有5000人，估算年度醫(yī)?？傎M(fèi)用，并設(shè)計(jì)一個(gè)分層抽樣方案（按年齡分為3層），使抽樣誤差不超過2%。政策建議組：若政府補(bǔ)貼60歲以上居民保費(fèi)的50%，計(jì)算社區(qū)實(shí)際承擔(dān)的費(fèi)用變化，并給出保費(fèi)調(diào)整的數(shù)學(xué)依據(jù)。關(guān)鍵提示：正態(tài)分布$P(\mu-3\sigma<X<\mu+3\sigma)\approx0.9974$；分層抽樣樣本量公式：$n_i=n\times\frac{N_i}{N}$（$N_i$為各層人口數(shù)）。模塊二：立體幾何與空間想象探究任務(wù)3：教學(xué)樓采光優(yōu)化設(shè)計(jì)情境：學(xué)校新建教學(xué)樓為長方體結(jié)構(gòu)，長50米、寬20米、高15米。為保證教室采光，要求冬至日正午（太陽高度角30°）時(shí)，南樓陰影不得遮擋北樓一樓窗戶（窗臺(tái)高1.2米）。已知兩棟樓間距為$d$米，太陽光線與地面夾角為$\theta$。合作要求：幾何建模組：建立空間直角坐標(biāo)系，以南樓底面中心為原點(diǎn)，寫出南樓頂點(diǎn)坐標(biāo)及太陽光線的方向向量（提示：$\theta=30°$時(shí)，光線斜率$k=\tan(90°-\theta)$）。計(jì)算分析組：推導(dǎo)陰影長度$L$與樓間距$d$的函數(shù)關(guān)系，求出滿足采光要求的最小$d$值。模型驗(yàn)證組：使用等比例模型（比例尺1:100）模擬間距$d=25$米時(shí)的陰影覆蓋情況，測量陰影在北樓墻面的高度，與理論計(jì)算對(duì)比。拓展問題：若將教學(xué)樓屋頂改為傾斜角15°的坡屋頂，陰影長度會(huì)如何變化？用空間向量證明你的結(jié)論。探究任務(wù)4：包裝紙箱的最優(yōu)化情境：某電商平臺(tái)需設(shè)計(jì)正方體禮盒的包裝紙箱，要求紙箱為正四棱柱，禮盒棱長為10cm，紙箱與禮盒間需填充緩沖材料（厚度均勻?yàn)?cm）。合作要求：結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)組：畫出紙箱展開圖，標(biāo)注尺寸，并計(jì)算紙箱表面積（不計(jì)接口損耗）。材料預(yù)算組：若紙箱材料單價(jià)為0.5元/㎡，現(xiàn)有1000個(gè)禮盒需要包裝，估算材料總費(fèi)用。若將紙箱高度增加xcm，表面積如何變化？求出最小值點(diǎn)。方案對(duì)比組：對(duì)比“正方體紙箱”與“圓柱形容器（底面直徑等于禮盒棱長）”的材料利用率，哪種更節(jié)省材料？數(shù)學(xué)工具：導(dǎo)數(shù)應(yīng)用：表面積$S(x)=(14+x)^2\times2+(14+x)\times14\times4$，求$S'(x)$并分析單調(diào)性。模塊三：概率統(tǒng)計(jì)與數(shù)據(jù)分析探究任務(wù)5：校園垃圾分類效果評(píng)估情境：學(xué)校推行“垃圾分類積分制”，隨機(jī)抽取4個(gè)班級(jí)（每班50人）的周積分?jǐn)?shù)據(jù)如下表：班級(jí)一等獎(jiǎng)（≥100分）二等獎(jiǎng)（80-99分）三等獎(jiǎng)（60-79分）未達(dá)標(biāo)（<60分）A班822155B班1218164C班520187D班1025123合作要求：數(shù)據(jù)整理組：計(jì)算各班積分的平均分和方差，用卡方檢驗(yàn)判斷“班級(jí)”與“獲獎(jiǎng)等級(jí)”是否獨(dú)立（$\chi^2=\sum\frac{(O-E)^2}{E}$）。概率計(jì)算組：從4個(gè)班中隨機(jī)抽取1名學(xué)生，求該學(xué)生獲得一等獎(jiǎng)的概率；若已知某學(xué)生來自A班或B班，求其未達(dá)標(biāo)的概率。效果分析組：繪制各班獲獎(jiǎng)率的條形圖，分析積分制對(duì)不同班級(jí)的影響差異，并提出改進(jìn)建議。參考公式：方差$s^2=\frac{1}{n}\sum(x_i-\bar{x})^2$；卡方臨界值：當(dāng)自由度$df=6$時(shí)，$\chi^2_{0.05}=12.592$。探究任務(wù)6：游戲中的概率問題情境：某數(shù)學(xué)趣味活動(dòng)設(shè)置抽獎(jiǎng)環(huán)節(jié)，規(guī)則如下：道具：3個(gè)不透明盒子，A盒中有2紅1藍(lán)球，B盒中有3紅2白球，C盒中有1紅3黑球。規(guī)則：隨機(jī)選擇一個(gè)盒子，再從中不放回抽取2個(gè)球，若抽到2個(gè)紅球則獲得獎(jiǎng)勵(lì)。合作要求：規(guī)則解析組：計(jì)算抽中獎(jiǎng)勵(lì)的總概率，比較選擇A、B、C盒的獲獎(jiǎng)概率差異。策略優(yōu)化組：設(shè)計(jì)一個(gè)“最優(yōu)選擇策略”（如先摸1個(gè)球觀察顏色后再?zèng)Q定是否繼續(xù)抽第二個(gè)），使獲獎(jiǎng)概率最大化。實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證組：每組進(jìn)行30次模擬實(shí)驗(yàn)，記錄采用不同策略的獲獎(jiǎng)次數(shù)，用頻率估計(jì)概率并與理論值對(duì)比。延伸思考：若允許用一個(gè)藍(lán)球換A盒中的一個(gè)紅球，獲獎(jiǎng)概率會(huì)提升多少？用全概率公式證明。模塊四：綜合應(yīng)用與跨學(xué)科探究探究任務(wù)7：新能源汽車?yán)m(xù)航模型情境：某品牌新能源汽車的續(xù)航里程$y$（km）與車速$v$（km/h）的關(guān)系滿足函數(shù)$y=-\frac{1}{20}v^2+5v+100$（$0<v\leq100$），電池容量為60kWh，充電效率為$P(t)=15-0.5t$（kW，$t$為充電時(shí)間，單位小時(shí)）。合作要求：函數(shù)分析組：求續(xù)航里程最大值及對(duì)應(yīng)車速，計(jì)算車速為60km/h時(shí)的百公里電耗（kWh/100km）。充電規(guī)劃組：若剩余電量為20%，充滿電需要多長時(shí)間？若計(jì)劃行駛300km，應(yīng)如何規(guī)劃車速和充電時(shí)間？成本核算組：對(duì)比燃油車（油耗8L/100km，油價(jià)8元/L）與新能源車的出行成本，繪制成本對(duì)比函數(shù)圖像（假設(shè)電費(fèi)0.5元/kWh）?？鐚W(xué)科鏈接：結(jié)合物理知識(shí)：解釋車速與風(fēng)阻的關(guān)系對(duì)續(xù)航里程的影響（提示：風(fēng)阻與速度平方成正比）。探究任務(wù)8：校園活動(dòng)日程安排情境：學(xué)生會(huì)計(jì)劃在周五下午15:00-18:00舉辦“數(shù)學(xué)文化節(jié)”，需安排5項(xiàng)活動(dòng)（每項(xiàng)活動(dòng)時(shí)長60分鐘，場地互不沖突），每項(xiàng)活動(dòng)的參與人數(shù)預(yù)測如下表：活動(dòng)數(shù)學(xué)建模競賽趣味數(shù)學(xué)游園科普講座解題挑戰(zhàn)賽頒獎(jiǎng)儀式預(yù)計(jì)人數(shù)40806050100場地容量501008060120指導(dǎo)老師需求23124合作要求：時(shí)間規(guī)劃組：用統(tǒng)籌法（甘特圖）安排活動(dòng)時(shí)段，使相鄰活動(dòng)的場地轉(zhuǎn)換時(shí)間不低于30分鐘。資源調(diào)配組：若僅有8名老師可供調(diào)配，如何分配指導(dǎo)老師才能滿足所有活動(dòng)需求？用匈牙利算法求解最優(yōu)分配方案。風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估組：若每項(xiàng)活動(dòng)的實(shí)際參與人數(shù)可能在預(yù)測值±10%范圍內(nèi)波動(dòng)，計(jì)算場地超載的概率，并提出應(yīng)急預(yù)案。數(shù)學(xué)工具：線性規(guī)劃：設(shè)$x_i$為第$i$項(xiàng)活動(dòng)的老師分配人數(shù)，建立約束條件$\sumx_i\leq8$及目標(biāo)函數(shù)。合作評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)分工合理性（20%）：是否明確數(shù)據(jù)收集、計(jì)算分析、模型構(gòu)建等角色分工；方法創(chuàng)新性（30%）：是否結(jié)合數(shù)形結(jié)合、分類討論等數(shù)學(xué)思想，提出獨(dú)特解決方案；結(jié)果準(zhǔn)確性（30%）：計(jì)算過程是否規(guī)范，結(jié)論是否通過數(shù)據(jù)或模型驗(yàn)證；報(bào)告完整性（20%）：是否包含問題分析、推導(dǎo)過程、誤差評(píng)估及改進(jìn)建議。（注：各小組需提交300字以內(nèi)的合作反思，說明任務(wù)完成過程中遇到的數(shù)學(xué)問題及解決策略）試題設(shè)計(jì)說明：本套試題嚴(yán)