2025年上學(xué)期高一數(shù)學(xué)宇宙科學(xué)與數(shù)學(xué)試題一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分）1.天體距離與指數(shù)運(yùn)算光年是計量天體距離的單位，1光年約等于9.5×1012千米。若某類星體距離地球約4.75×101?千米，其距離相當(dāng)于（）A.50光年B.500光年C.5000光年D.5×10?光年2.星系幾何模型仙女座星系與銀河系的空間位置可近似視為兩個半徑分別為10萬光年和12萬光年的球體，若兩星系中心距離為250萬光年，則它們的空間位置關(guān)系滿足（）A.外離B.外切C.相交D.內(nèi)含3.哈勃定律與線性函數(shù)哈勃定律指出星系退行速度(v)（單位：km/s）與距離(d)（單位：Mpc，1Mpc≈3.26光年）的關(guān)系為(v=H_0d)，其中(H_0)為哈勃常數(shù)。若(H_0=73)km/s/Mpc，則距離地球30Mpc的星系退行速度為（）A.2190km/sB.219km/sC.21.9km/sD.無法計算4.星座與三角函數(shù)北斗七星中“天樞”與“天權(quán)”兩顆恒星的視距離為5.8光年，其與地球連線的夾角約為6°，若忽略距離差異，可近似計算兩顆恒星的實際距離為（）（參考數(shù)據(jù)：sin6°≈0.1045，cos6°≈0.9945，tan6°≈0.1051）A.5.8×sin6°光年B.5.8×cos6°光年C.5.8×tan6°光年D.5.8÷sin6°光年5.行星軌道與橢圓方程火星繞太陽運(yùn)行的軌道為橢圓，近日點距離約1.47×10?km，遠(yuǎn)日點距離約2.07×10?km，若太陽位于橢圓的一個焦點，則該橢圓的離心率為（）A.0.206B.0.307C.0.408D.0.5096.黑洞與極限運(yùn)算史瓦西半徑公式為(R_s=\frac{2GM}{c^2})，其中(G)為引力常數(shù)，(M)為天體質(zhì)量，(c)為光速。若某黑洞質(zhì)量為太陽質(zhì)量的10倍（太陽質(zhì)量(M_0≈2×10^{30})kg），當(dāng)(M)趨近于該值時，史瓦西半徑(R_s)的極限值為（）（(G=6.67×10^{-11})N·m2/kg2，(c=3×10^8)m/s）A.2.96×10?mB.2.96×10?mC.2.96×10?mD.2.96×10?m7.宇宙膨脹與指數(shù)函數(shù)宇宙大爆炸后，某星系的初始距離為(d_0)，若其距離隨時間(t)（單位：億年）的變化滿足(d(t)=d_0×2^{t/138})，則經(jīng)過276億年后，該星系距離為初始距離的（）A.2倍B.4倍C.8倍D.16倍8.星等與對數(shù)運(yùn)算恒星亮度的星等(m)與亮度(L)的關(guān)系為(m=-2.5\lg\frac{L}{L_0})（(L_0)為參考亮度）。若天狼星的亮度是參宿四的100倍，則兩者的星等差為（）A.5B.10C.25D.509.暗物質(zhì)分布與概率統(tǒng)計某天文團(tuán)隊觀測到1000個星系，其中720個呈現(xiàn)暗物質(zhì)聚集特征。若從中隨機(jī)抽取2個星系，至少有1個呈現(xiàn)暗物質(zhì)聚集的概率為（）A.0.722B.1-0.282C.0.72×0.28D.1-0.72×0.2810.彗星軌道與拋物線方程某彗星軌道可近似為拋物線(y^2=4x)，太陽位于焦點處，若彗星在點((1,2))處的速度方向與x軸夾角為(\theta)，則tanθ的值為（）A.1B.2C.1/2D.411.引力透鏡與圓的方程某星系團(tuán)對后方天體的引力透鏡效應(yīng)可簡化為圓心在原點、半徑為5的圓，若某光線方程為(3x+4y-25=0)，則該光線與引力透鏡的交點個數(shù)為（）A.0B.1C.2D.無法確定12.宇宙微波背景輻射與正態(tài)分布宇宙微波背景輻射的溫度波動近似服從正態(tài)分布(N(2.725,0.003^2))，則溫度波動在區(qū)間(2.719,2.731)內(nèi)的概率約為（）（參考數(shù)據(jù)：(P(\mu-2\sigma<X<\mu+2\sigma)=0.9545)）A.0.6827B.0.9545C.0.9973D.1二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.太陽系與球的體積木星體積約為地球的1321倍，若將兩者視為球體，則木星半徑是地球半徑的______倍（結(jié)果保留一位小數(shù)）。14.超新星爆發(fā)與數(shù)列某超新星亮度在爆發(fā)后第1天為100億倍太陽亮度，之后每天衰減20%，則第5天的亮度為______億倍太陽亮度（精確到0.1）。15.黑洞吸積盤與導(dǎo)數(shù)黑洞吸積盤的旋轉(zhuǎn)速度(v(r)=\sqrt{\frac{GM}{r}})（(r)為距離黑洞中心的距離），則速度對距離的導(dǎo)數(shù)(v'(r)=)______。16.星系碰撞與向量兩個星系的相對速度向量為(\vec{v}=(3,4))km/s，若其中一個星系的速度向量為(\vec{u}=(1,2))km/s，則另一個星系的速度向量為______。三、解答題（本大題共6小題，共70分）17.（10分）天體距離計算已知比鄰星距離地球約4.2光年，天狼星距離地球約8.6光年，兩者與地球連線的夾角為45°，求比鄰星與天狼星的實際距離（結(jié)果保留一位小數(shù)，參考數(shù)據(jù)：(\sqrt{2}≈1.414)）。18.（12分）行星運(yùn)動與橢圓地球繞太陽運(yùn)行的軌道為橢圓，半長軸(a≈1.5×10^8)km，離心率(e≈0.0167)。（1）求橢圓的半焦距(c)和短半軸(b)；（2）計算地球運(yùn)行的近日點與遠(yuǎn)日點距離。19.（12分）哈勃常數(shù)與函數(shù)模型不同觀測團(tuán)隊測得的哈勃常數(shù)如下表：|團(tuán)隊|哈勃常數(shù)（km/s/Mpc）||------|----------------------||普朗克衛(wèi)星|67.4±0.5||哈勃望遠(yuǎn)鏡|74.03±1.42|（1）分別以兩個團(tuán)隊的哈勃常數(shù)均值為(H_0)，建立退行速度(v)關(guān)于距離(d)的函數(shù)模型；（2）若某星系退行速度為5000km/s，計算兩個模型下的距離差異（結(jié)果保留一位小數(shù)）。20.（12分）黑洞與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用黑洞的事件視界面積(A=4\piR_s^2)，其中(R_s=\frac{2GM}{c^2})為史瓦西半徑。（1）證明事件視界面積關(guān)于質(zhì)量(M)的函數(shù)為(A(M)=\frac{16\piG^2M^2}{c^4})；（2）求當(dāng)質(zhì)量從(M)增加到(M+\DeltaM)時，面積的變化量(\DeltaA)與(\DeltaM)的比值。21.（12分）宇宙膨脹與指數(shù)函數(shù)假設(shè)宇宙膨脹滿足(d(t)=d_0e^{kt})，其中(d_0)為初始距離，(k)為常數(shù)，(t)為時間（單位：億年）。已知當(dāng)前(t=138)億年時，(d(138)=2d_0)。（1）求常數(shù)(k)；（2）預(yù)測(t=276)億年時，宇宙距離與當(dāng)前距離的比值。22.（12分）星系分布與統(tǒng)計案例某區(qū)域星系的紅移值(z)服從正態(tài)分布(N(0.5,0.1^2))，隨機(jī)抽取100個星系：（1）求紅移值在(0.4,0.6)內(nèi)的星系個數(shù)的期望；（2）若紅移值(z>0.7)的星系為高紅移星系，求至少有2個高紅移星系的概率（參考數(shù)據(jù)：(P(\mu-\sigma<X<\mu+\sigma)=0.6827)，(P(X>\mu+2\sigma)=0.0228)）。四、附加題（共20分，不計入總分）23.宇宙弦理論與拓?fù)鋵W(xué)若某“宇宙弦”的空間結(jié)構(gòu)可表示為函數(shù)(f(x)=\frac{1}{x})與(g(x)=-x+2)的交點形成的曲線，求該曲線繞x軸旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體體積。24.暗能量與微積分暗能量密度(\rho(t))隨時間的變化率為