專題09一次函數(shù)考點概覽考點1正比例函數(shù)考點2一次函數(shù)的性質(zhì)考點3一次函數(shù)與平移考點4一次函數(shù)與不等式考點5一次函數(shù)與方程組考點6一次函數(shù)的應(yīng)用考點7一次函數(shù)與幾何問題考點8一次函數(shù)與新定義問題考點1正比例函數(shù)1．（2025·內(nèi)蒙古·中考真題）在閉合電路中，通過定值電阻的電流（單位：A）是它兩端的電壓（單位：）的正比例函數(shù)，其圖象如圖所示，當(dāng)該電阻兩端的電壓為時，通過它的電流為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了正比例函數(shù)的實際應(yīng)用，正確求出函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．通過待定系數(shù)法求出電流關(guān)于電壓的函數(shù)解析式，再將代入函數(shù)解析式即可求解．【詳解】解：由題意得設(shè)電流關(guān)于電壓的函數(shù)解析式為：，由圖象可代入得：，解得：，∴，當(dāng)，則故選：A．2．（2025·吉林長春·中考真題）已知點、在同一正比例函數(shù)的圖象上，則下列結(jié)論正確的是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，根據(jù)反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)判斷即可求解，掌握反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵點、在同一正比例函數(shù)的圖象上，∴，，∴，∵，∴正比例函數(shù)的圖象經(jīng)過二、四象限，當(dāng)時，當(dāng)時，∵，∴，，∴選項正確，選項錯誤，故選：．3．（2025·青海西寧·中考真題）在平面直角坐標系中，點，點P在過原點的直線上，且，則直線的解析式是．【答案】或【分析】本題考查求一次函數(shù)的解析式，等邊三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，根據(jù)，結(jié)合，得到為等邊三角形，分點在點上方和點在點下方兩種情況，求出點的坐標，待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式即可．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，∴為等邊三角形，∴，過點作軸，則：，，∴或，設(shè)直線的解析式為，∴當(dāng)時，，解得，此時；當(dāng)時，，解得，此時；綜上：或；故答案為：或．考點2一次函數(shù)的性質(zhì)4．（2025·江蘇南通·中考真題）已知直線經(jīng)過第一、第二、第三象限，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)一次函數(shù)（、為常數(shù)，）的圖象性質(zhì)，分析、取值對直線經(jīng)過象限的影響來求解．本題主要考查了一次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握不同、取值對應(yīng)直線經(jīng)過的象限是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵一次函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、二、三象限，∴時，時，故選：．5．（2025·黑龍江大慶·中考真題）寫出一個圖象與y軸正半軸相交，且y的值隨x值增大而增大的一次函數(shù)表達式．【答案】（答案不唯一）【分析】本題考查了一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，一次函數(shù)圖象與坐標軸的交點問題，熟練掌握一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．設(shè)一次函數(shù)解析式，根據(jù)題意可得，即可寫出符合題意的一次函數(shù)解析式．【詳解】解：設(shè)一次函數(shù)解析式，當(dāng)時，，∴與y軸交點為，∵圖象與y軸正半軸相交，且y的值隨x值增大而增大，∴，∴解析式可以為：，故答案為：（答案不唯一）．6．（2025·江蘇蘇州·中考真題）過兩點畫一次函數(shù)的圖像，已知點A的坐標為，則點B的坐標可以為．（填一個符合要求的點的坐標即可）【答案】（答案不唯一）【分析】本題考查一次函數(shù)圖象上的點，根據(jù)一次函數(shù)上的點的橫縱坐標滿足函數(shù)解析式，可以令，求出函數(shù)值，進而得到點B的坐標即可．【詳解】解：∵，∴當(dāng)時，，∴點B的坐標可以為；故答案為：（答案不唯一）考點3一次函數(shù)與平移7．（2025·廣東廣州·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，點，點，若將直線向上平移d個單位長度后與線段有交點，則d的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查一次函數(shù)圖象的平移以及一次函數(shù)與線段的交點問題，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．先求出直線平移后的解析式，再根據(jù)直線與線段有交點，分別求出直線經(jīng)過點A和點B時d的值，進而確定d的取值范圍，據(jù)此進行分析，即可作答．【詳解】解：依題意，將直線向上平移d個單位長度后得∵點，點，且直線向上平移d個單位長度后與線段有交點，∴把代入得，解得；把代入得，解得；則，故選：D．8．（2025·黑龍江大慶·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，為坐標原點，反比例函數(shù)與正比例函數(shù)的圖象交于點A．將正比例函數(shù)的圖象向上平移個單位后得到的圖象與y軸交于點B，與反比例函數(shù)的圖象交于點C．過點C作x軸的垂線，與x軸交于點D．線段與交于點E，點E為中點，則k的值為（

）A． B．1 C． D．2【答案】C【分析】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題．聯(lián)立求得點的坐標為，由點E為中點，求得點E的坐標為，由平移的性質(zhì)求得點C的坐標為，再利用待定系數(shù)法求解即可．【詳解】解：聯(lián)立得，解得（舍去負值），∴，則，∴點的坐標為，∵點E為中點，∴點E的坐標為，由題意得，，∴，∴點C的坐標為，∵點C在反比例函數(shù)的圖象上，∴，解得，故選：C．9．（2025·天津·中考真題）將直線向上平移個單位長度，若平移后的直線經(jīng)過第三、第二、第一象限，則的值可以是（寫出一個即可）．【答案】2（答案不唯一，滿足即可）【分析】本題考查一次函數(shù)圖象的平移，根據(jù)直線經(jīng)過的象限，求參數(shù)的范圍，根據(jù)平移規(guī)則求出新的解析式，根據(jù)圖象經(jīng)過第三、第二、第一象限，得到，進行求解即可．【詳解】解：由題意，平移后的解析式為：，∵平移后的直線經(jīng)過第三、第二、第一象限，∴，∴；∴的值可以是2；故答案為：2（答案不唯一，滿足即可）考點4一次函數(shù)與不等式10．（2025·江蘇徐州·中考真題）如圖為一次函數(shù)的圖象，關(guān)于x的不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了一次函數(shù)與一元一次不等式，一次函數(shù)圖象的平移，把一次函數(shù)的圖象向右平移3個單位得的圖象，可得函數(shù)與軸的交點坐標為，再結(jié)合圖象可得答案．【詳解】解：把一次函數(shù)的圖象向右平移3個單位得的圖象，∴向右平移3個單位得，∴函數(shù)與軸的交點坐標為，∵，∴結(jié)合圖象可得：，故選：C．11．（2025·江蘇淮安·中考真題）如圖，直線經(jīng)過點，將繞A點順時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為，得到直線．點在上，若，則n的值可以是．（填寫一個值即可）【答案】6（答案不唯一，大于5均可）【分析】本題考查一次函數(shù)圖象的旋轉(zhuǎn)問題，熟練掌握一次函數(shù)的相關(guān)知識的是解題的關(guān)鍵．根據(jù)直線與坐標軸的交點和旋轉(zhuǎn)角度的范圍得出旋轉(zhuǎn)后直線所處的位置，即可求解．【詳解】解：直線經(jīng)過點，，即設(shè)直線分別交x軸和y軸與、兩點，當(dāng)時，；當(dāng)時，，即，，∴，，過點分別作直線軸，直線軸，交x軸于，交y軸于，如圖，則軸，，∴，∴∴當(dāng)繞A點順時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為時，在如圖所示位置，∵點在上，∴當(dāng)，則點在點的右上方，此時，故答案為：6（答案不唯一，大于5均可）．12．（2025·北京·中考真題）在平面直角坐標系中，函數(shù)的圖象經(jīng)過點和．(1)求k，b的值；(2)當(dāng)時，對于x的每一個值，函數(shù)的值既小于函數(shù)的值，也小于函數(shù)的值，直接寫出m的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】本題主要考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，一次函數(shù)與不等式之間的關(guān)系，熟知一次函數(shù)的相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．（1）直接利用待定系數(shù)法求解即可；（2）由（1）可得函數(shù)的解析式為，函數(shù)的解析式為，當(dāng)時，則，當(dāng)時，則，根據(jù)當(dāng)時，兩個不等式都成立可得；當(dāng)，時，和恒成立；當(dāng)時，則且，再分當(dāng)時，則，當(dāng)時，則，兩種情況分別解不等式即可得到答案．【詳解】（1）解：∵在平面直角坐標系中，函數(shù)的圖象經(jīng)過點和，∴，解得；（2）解：由（1）可得函數(shù)的解析式為，函數(shù)的解析式為，當(dāng)時，則，當(dāng)時，則，∵當(dāng)時，對于x的每一個值，函數(shù)的值既小于函數(shù)的值，也小于函數(shù)的值，∴，且，∴，當(dāng)，時，和恒成立，故符合題意；當(dāng)時，則且，當(dāng)時，則，解不等式得，解不等式，∴；當(dāng)時，則，解不等式得，解不等式得，此時不符合題意；綜上所述，．考點5一次函數(shù)與方程組13．（2025·寧夏·中考真題）如圖，直線與直線交于點，則關(guān)于的方程組的解是．【答案】【分析】本題考查了一次函數(shù)與二元一次方程組的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是理解兩直線的交點坐標與方程組解的對應(yīng)關(guān)系．明確一次函數(shù)與二元一次方程組的聯(lián)系：兩條直線的交點坐標同時滿足兩個直線對應(yīng)的函數(shù)解析式；因此方程組的解就是兩直線交點的坐標；已知直線與交于點，該點坐標即為方程組的解．【詳解】∵直線與直線交于點，∴點A的坐標同時滿足兩個函數(shù)的解析式，即方程組的解為點A的坐標．故答案為：．考點6一次函數(shù)的應(yīng)用14．（2025·江蘇蘇州·中考真題）聲音在空氣中傳播的速度隨溫度的變化而變化，科學(xué)家測得一定溫度下聲音傳播的速度與溫度部分對應(yīng)數(shù)值如下表：溫度01030聲音傳播的速度324330336348研究發(fā)現(xiàn)滿足公式（為常數(shù)，且）．當(dāng)溫度t為時，聲音傳播的速度v為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了一次函數(shù)的實際應(yīng)用，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．根據(jù)表格數(shù)據(jù)，確定一次函數(shù)中的系數(shù)a和常數(shù)項b，再代入計算v的值，即可解題．【詳解】解：滿足公式，由表格數(shù)據(jù)可得，解得，即，當(dāng)溫度t為時，，故選：B．15．（2025·福建·中考真題）彈簧秤是根據(jù)胡克定律并利用物體的重力來測量物體質(zhì)量的．胡克定律為：在彈性限度內(nèi)，彈簧彈力F的大小與彈簧伸長（或壓縮）的長度x成正比，即，其中k為常數(shù)，是彈簧的勁度系數(shù)；質(zhì)量為m的物體重力為，其中g(shù)為常數(shù)．如圖，一把彈簧秤在不掛任何物體時彈簧的長度為6厘米．在其彈性限度內(nèi)：當(dāng)所掛物體的質(zhì)量為0.5千克時，彈簧長度為6.5厘米，那么，當(dāng)彈簧長度為6.8厘米時，所掛物體的質(zhì)量為千克．【答案】0.8【分析】本題主要考查了胡克定律的應(yīng)用，熟練掌握胡克定律（其中為彈力，為勁度系數(shù)，為彈簧伸長或壓縮量）及重力與質(zhì)量的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．先根據(jù)已知條件求出彈簧的勁度系數(shù)，再利用胡克定律求出彈簧長度為厘米時所掛物體的質(zhì)量．【詳解】解：不掛物體時彈簧長度厘米，掛質(zhì)量千克物體時，彈簧長度厘米，則彈簧伸長量(厘米)．物體重力（為常量），根據(jù)胡克定律，可得，即，解得．當(dāng)彈簧長度厘米時，彈簧伸長量(厘米)．設(shè)此時所掛物體質(zhì)量為千克，則，因為，所以，兩邊同時除以，得．故答案為：．16．（2025·江蘇宿遷·中考真題）甲、乙兩人從同一地點出發(fā)沿同一路線勻速步行前往處參加活動．甲比乙早出發(fā)，兩人途中均未休息，先到達處的人在原地休息等待，直到另一人到達處．兩人之間的路程與甲行走的時間的函數(shù)圖像如圖所示．(1)乙步行的速度為___________之間的路程為___________；(2)當(dāng)時，求關(guān)于的函數(shù)表達式；(3)甲出發(fā)多長時間時，兩人之間的路程為．【答案】(1)90，3960(2)(3)當(dāng)甲出發(fā)或時，兩人之間的路程為【分析】本題考查一次函數(shù)的實際應(yīng)用，從函數(shù)圖像中有效的獲取信息，正確的求出函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵：（1）觀察圖像可知，甲走了，甲行走時，乙追上甲，進而求出甲和乙的速度，當(dāng)甲行走時，乙到達點，求出乙的總路程即為之間的路程；（2）求出點坐標，待定系數(shù)法求出段的函數(shù)關(guān)系式即可；（3）分和兩種情況，求出的值即可．【詳解】（1）解：由圖像可知：甲的速度為：，設(shè)乙的速度為，由題意，得：，解得：，故乙的速度為；之間的路程為：；故答案為：90，3960；（2）由圖像可知：點的縱坐標為，∴，當(dāng)時，設(shè)，把，代入，得：，解得：，∴；（3）當(dāng)時，令，解得：；當(dāng)時，，解得：；綜上：當(dāng)甲出發(fā)或時，兩人之間的路程為．17．（2025·四川攀枝花·中考真題）跨學(xué)科主題學(xué)習(xí)活動中，某探究小組對“彈珠在水平軌道上運動快慢、路程隨時間變化的關(guān)系”開展深入探究．先設(shè)計方案，再進行實驗，利用所學(xué)知識對實驗數(shù)據(jù)進行分析，并進一步應(yīng)用．【設(shè)計實驗方案】如圖1所示，設(shè)計一個由傾斜和水平軌道組成的實驗裝置，將彈珠從傾斜軌道頂端由靜止釋放．從彈珠運動到點處開始，用計時器、測速儀等測量并記錄彈珠在水平軌道上的運動時間、運動快慢、運動路程的數(shù)據(jù)．【收集整理數(shù)據(jù)】運動時間048121620…運動快慢12108642…運動路程04480108128140…【數(shù)學(xué)建模探究】【猜想】根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)分別在圖2、圖3的平面直角坐標系中描點、連線，觀察圖象并猜想：與之間的關(guān)系可以近似地用______________函數(shù)表示，與之間的關(guān)系可以近似地用______________函數(shù)表示．（選填：一次、二次、反比例）【檢驗】根據(jù)猜想求出與與之間的函數(shù)關(guān)系式，并代入一組數(shù)據(jù)進行驗證．【應(yīng)用】當(dāng)彈珠到達水平軌道上點時，前方點處有一輛電動小車以的速度在勻速向前直線運動，若彈珠能追上小車，那么的最大值是多少？【答案】【猜想】：圖見解析，一次，二次；【檢驗】：，，驗證見解析；【應(yīng)用】：最大為【分析】本題考查一次函數(shù)，二次函數(shù)的實際應(yīng)用，正確求出函數(shù)解析式，是解題的關(guān)鍵：猜想：描點，連線，畫出函數(shù)圖象，根據(jù)圖象形狀，判斷函數(shù)類型即可；檢驗：待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式，再代入另外一組數(shù)據(jù)進行驗證即可；應(yīng)用：設(shè)，由題意，得到，得到，根據(jù)二次函數(shù)求最值即可．【詳解】解：【猜想】：描點，連線，畫圖如下：猜想：與之間的關(guān)系可以近似地用一次函數(shù)表示，與之間的關(guān)系可以近似地用二次函數(shù)表示；故答案為：一次，二次；【檢驗】：設(shè)，把代入，得，解得：，∴，驗證：當(dāng)時，，符合題意；設(shè)，把點，代入，得，解得，∴，驗證：當(dāng)時，，符合題意；【應(yīng)用】：∵，設(shè)，由題意，得：，∴，∴當(dāng)時，最大為；故最大為．18．（2025·江蘇鹽城·中考真題）［生活觀察］小明通過觀察發(fā)現(xiàn)，將運動中的羽毛球看成一個點，扣殺球和網(wǎng)前吊球這兩種擊球的運動路線可以近似抽象成如下兩種，如圖（1）、（2）所示．［數(shù)學(xué)建模］小明發(fā)現(xiàn)扣殺球的路線近似為一條直線，網(wǎng)前吊球的路線近似為拋物線．羽毛球運動軌跡的剖面圖如圖（3）所示，從點擊球，擊球點是拋物線的最高點，點到地面的距離，球網(wǎng)上端點到地面的距離，人與球網(wǎng)之間的距離，假設(shè)兩種擊球路線都經(jīng)過點正上方處的點，網(wǎng)前吊球和扣殺球的落點分別為點、．（1）請在圖（3）中建立合適的平面直角坐標系，并分別求出兩種擊球路線的函數(shù)表達式．［模型應(yīng)用］（2）網(wǎng)前吊球的落點到球網(wǎng)的距離的長是_________．（3）甲在處擊球，扣殺球時，羽毛球的平均速度約為．網(wǎng)前吊球時，羽毛球下降的高度與時間之間的關(guān)系式為．乙在看到甲擊球的同時，嘗試接球，從甲擊球到乙能成功接球的時間至少需要．請通過計算說明，乙能接到哪種方式的擊球．【答案】（1）扣殺球擊球路線的函數(shù)表達式為；網(wǎng)前吊球擊球路線的函數(shù)表達式為；（2）；（3）乙能接到網(wǎng)前吊球的擊球【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，二次函數(shù)圖象上點的坐標的特征，一次函數(shù)應(yīng)用，利用點的坐標表示出相應(yīng)線段的長度是解題的關(guān)鍵．（1）以為坐標原點，所在的中線為軸，所在的中線為軸，建立如圖所示的坐標系，再利用待定系數(shù)法解答即可；（2）利用網(wǎng)前吊球擊球路線的函數(shù)表達式求得點坐標，則可求，利用解答即可得出結(jié)論；（3）分別利用函數(shù)的解析式求得兩種擊球方式接球所需的時間，通過與0.5秒比較即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）以為坐標原點，所在的直線為軸，所在的直線為軸，建立如圖所示的坐標系，則，，設(shè)直線的解析式為，，，扣殺球擊球路線的函數(shù)表達式為；設(shè)網(wǎng)前吊球擊球路線的函數(shù)表達式為，，，網(wǎng)前吊球擊球路線的函數(shù)表達式為；（2）令，則，，，，，．故答案為：；（3）對于，令，則，，，，，扣殺球時，羽毛球的平均速度約為，（秒，乙不能接到扣殺球的擊球．從點擊球，擊球點是拋物線的最高點，，，，，乙能接到網(wǎng)前吊球的擊球．19．（2025·山東青島·中考真題）某公司成功研發(fā)了一款新型產(chǎn)品，接到了首批訂單，產(chǎn)品數(shù)量為2100件．公司有甲、乙兩個生產(chǎn)車間，甲車間每天生產(chǎn)的數(shù)量是乙車間的1.5倍．先由甲、乙兩個車間共同完成1500件，剩余產(chǎn)品再由乙車間單獨完成，前后共用10天完成這批訂單．(1)求甲、乙兩個車間每天分別能生產(chǎn)多少件產(chǎn)品；(2)首批訂單完成后，公司將繼續(xù)生產(chǎn)30天該產(chǎn)品，每天只能安排一個車間生產(chǎn)，如果安排甲車間生產(chǎn)的天數(shù)不多于乙車間的2倍，要使這30天的生產(chǎn)總量最大，那么應(yīng)如何安排甲、乙兩個車間的生產(chǎn)天數(shù)？【答案】(1)甲車間每天能生產(chǎn)件產(chǎn)品乙車；間每天能生產(chǎn)件產(chǎn)品(2)安排甲車間生產(chǎn)天，則乙車間生產(chǎn)天【分析】本題考查了分式方程和一元一次不等式以及一次函數(shù)的實際應(yīng)用，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．（1）設(shè)乙車間每天能生產(chǎn)件產(chǎn)品，則甲車間每天能生產(chǎn)件產(chǎn)品，分別表示出甲、乙兩個車間合作完成的時間和乙車間單獨完成的時間，再根據(jù)“前后共用10天完成這批訂單”建立分式方程求解；（2）設(shè)安排甲車間生產(chǎn)天，則乙車間生產(chǎn)天，先根據(jù)“安排甲車間生產(chǎn)的天數(shù)不多于乙車間的2倍”得到關(guān)于的一元一次不等式，再設(shè)生產(chǎn)總量為，建立關(guān)于的一次函數(shù)關(guān)系式，再由一次函數(shù)的性質(zhì)求解．【詳解】（1）解：設(shè)乙車間每天能生產(chǎn)件產(chǎn)品，則甲車間每天能生產(chǎn)件產(chǎn)品，由題意得：，解得：，經(jīng)檢驗：是原方程的解，且符合題意，則（件），答：甲車間每天能生產(chǎn)件產(chǎn)品，乙車間每天能生產(chǎn)件產(chǎn)品（2）解：設(shè)安排甲車間生產(chǎn)天，則乙車間生產(chǎn)天，由題意得：，解得：，設(shè)生產(chǎn)總量為，由題意得：，∵，∴隨著的增大而增大，∴當(dāng)時，最大，即這30天的生產(chǎn)總量最大，∴，∴安排甲車間生產(chǎn)天，則乙車間生產(chǎn)天．考點7一次函數(shù)與幾何問題20．（2025·西藏·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，直線交x軸于點，交y軸于點，以原點O為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，交x軸于點C，交y軸于點D，分別以點C，D為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧在第一象限內(nèi)交于點E，作射線交于點F，則點F的坐標是．【答案】【分析】方法一：本題考查了坐標與圖形，角平分線的作法，等腰三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，過點作軸于點G，根據(jù)題意可得平分，易證是等腰直角三角形，得到，再證明，易證，推出，即，求出，即可得到點F的坐標．方法二：本題考查了一次函數(shù)解析式的求解、角平分線的性質(zhì)以及兩直線交點的求法．用到了函數(shù)與方程的思想，解題關(guān)鍵是確定所在直線的解析式為，易錯點是聯(lián)立方程求解時計算出錯．首先，利用直線上兩點和，用待定系數(shù)法求出直線的解析式．然后，根據(jù)作圖步驟可知是的角平分線，因為，所以所在直線的解析式為．最后，求直線與的交點，聯(lián)立它們的解析式，解方程組得到交點坐標，也就是點F的坐標．【詳解】解法一：解：如圖，過點作軸于點G，根據(jù)題意得平分，，∴，∵，即，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∵，∴，∴，∴，即，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，∴點F的坐標為．故答案為：．解法二：解：∵，，設(shè)直線的解析式為：,∴，解得：，直線的解析式為：,是的角平分線，，所在直線的解析式為．聯(lián)立方程組：將代入中，得到：，解得．，．所以，直線與的交點F的坐標為．故答案為：．21．（2025·江蘇南通·中考真題）在平面直角坐標系中，以點為圓心，為半徑作．直線與交于兩點，則的最小值為．【答案】6【分析】本題主要考查了一次函數(shù)的圖象，垂徑定理，對于，當(dāng)時，得直線過定點，再求出，得點P在內(nèi)部，根據(jù)過圓內(nèi)定點P的所有弦中，與垂直的弦最短，得當(dāng)直線與垂直時，為最小，此時，在中，由勾股定理求出，進而可得的最小值．【詳解】解：∵∴直線過定點，∵點，∴，又∵的半徑為，∴，∴點P在內(nèi)部，由于過圓內(nèi)定點P的所有弦中，與垂直的弦最短，即當(dāng)直線與垂直時，為最小，如圖所示：由垂徑定理得：，∴，在中，，，由勾股定理得：，∴，即的最小值為6．故答案為：6．考點8一次函數(shù)與新定義問題22．（2025·江蘇無錫·中考真題）若函數(shù)的圖象上存在點，函數(shù)的圖象上存在點，且關(guān)于軸對稱，則稱函數(shù)和具有“對偶關(guān)系”，此時點或點的縱坐標稱為“對偶值”．下列結(jié)論：①函數(shù)與函數(shù)不具有“對偶關(guān)系”；②函數(shù)與函數(shù)的“對偶值”為；③若1是函數(shù)與函數(shù)的“對偶值”，則：④若函數(shù)與函數(shù)具有“對偶關(guān)系”，則．其中正確的是（）A．①④ B．②③ C．①③④ D．②③④【答案】B【分析】本題考查新定義展開，圍繞“對偶關(guān)系”和“對偶值”的定義逐一求解即可；根據(jù)關(guān)于軸對稱，稱函數(shù)和具有“對偶關(guān)系”，則橫坐標是相反數(shù)關(guān)