專題14二次函數(shù)與壓軸問題（10大考點，精選31題）考點概覽考點1二次函數(shù)與線段、周長問題

考點2二次函數(shù)與面積問題

考點3二次函數(shù)與角度問題

考點4二次函數(shù)與特殊三角形問題

考點5二次函數(shù)與特殊四邊形問題

考點6二次函數(shù)與幾何動點問題

考點7二次函數(shù)與公共點、交點問題

考點8二次函數(shù)與定點問題

考點9二次函數(shù)與圓問題

考點10二次函數(shù)性質與幾何綜合問題考點1二次函數(shù)與線段、周長問題1．（2025·四川眉山·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線關于直線對稱，與x軸交于、B兩點，與y軸交于點C．(1)求拋物線的解析式；(2)點P為拋物線對稱軸上一點，連接，將線段繞點P逆時針旋轉，使點B的對應點D恰好落在拋物線上，求此時點P的坐標；(3)在線段上是否存在點Q，使存在最小值？若存在，請直接寫出點Q的坐標及最小值；若不存在，請說明理由．2．（2025·四川涼山·中考真題）如圖，二次函數(shù)的圖像經(jīng)過三點．(1)求拋物線的解析式；(2)點P在直線下方的拋物線上運動，求點P到直線的最大距離；(3)動點Q在拋物線的對稱軸上，作射線，若射線繞點Q逆時針旋轉與拋物線交于點D，是否存在點Q使？若存在，請直接寫出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．3．（2025·吉林·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，為坐標原點，拋物線經(jīng)過點．點在此拋物線上，其橫坐標為，連接并延長至點，使．當點不在坐標軸上時，過點作軸的垂線，過點作軸的垂線，這兩條垂線交于點．(1)求此拋物線對應的函數(shù)解析式．(2)被軸分成的兩部分圖形的面積比是否保持不變．如果不變，直接寫出這個面積比；如果變化，說明理由．(3)當?shù)倪吔?jīng)過此拋物線的最低點時，求點的坐標．(4)當此拋物線在內部的點的縱坐標隨的增大而減小時，直接寫出的取值范圍．4．（2025·四川德陽·中考真題）如圖1，在平面直角坐標系中，已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于點，與y軸交于點C．(1)求拋物線的函數(shù)解析式；(2)如圖2，連接，過點C作與拋物線相交于另一點D．①求點D的坐標；②如圖3，點E，F(xiàn)為線段上兩個動點（點E在點F的右側），且，連接，．求的最小值．5．（2025·湖南·中考真題）如圖，已知二次函數(shù)的圖象過點，連接點，，，是此二次函數(shù)圖象上的三個動點，且，過點作軸交線段于點．(1)求此二次函數(shù)的表達式；(2)如圖1，點、在線段上，且直線、都平行于軸，請你從下列兩個命題中選擇一個進行解答：①當時，求證：；②當時，求證：；(3)如圖，若，，延長交軸于點，射線、分別與軸交于點，，連接，分別在射線、軸上取點、（點在點的右側），且，．記，試探究：當為何值時，有最大值？并求出的最大值．6．（2025·湖北·中考真題）拋物線與軸相交于點和點，與軸相交于點，是拋物線的頂點，是拋物線上一動點，設點的橫坐標為．(1)求的值；(2)如圖1，若點在對稱軸左側，過點作對稱軸的垂線，垂足為，求的值；(3)定義：拋物線上兩點M，N之間的部分叫做拋物線?。ê它c和）．過，分別作軸的垂線，過拋物線弧的最高點和最低點分別作軸的垂線，直線與圍成的矩形叫做拋物線弧的特征矩形．若點在第四象限，記拋物線弧的特征矩形的周長為．①求關于的函數(shù)解析式；②過點作軸，交拋物線于點，點與點不重合．記拋物線弧的特征矩形的周長為．若，直接寫出的長．7．（2025·甘肅·中考真題）如圖1，拋物線分別與x軸，y軸交于A，兩點，M為的中點．(1)求拋物線的表達式；(2)連接，過點M作的垂線，交于點C，交拋物線于點D，連接，求的面積；(3)點E為線段上一動點（點A除外），將線段繞點O順時針旋轉得到．①當時，請在圖2中畫出線段后，求點F的坐標，并判斷點F是否在拋物線上，說明理由；②如圖3，點P是第四象限的一動點，，連接，當點E運動時，求的最小值．考點2二次函數(shù)與面積問題8．（2025·江蘇蘇州·中考真題）如圖，二次函數(shù)的圖像與x軸交于兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C，作直線為二次函數(shù)圖像上兩點．(1)求直線對應函數(shù)的表達式；(2)試判斷是否存在實數(shù)m使得．若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由．(3)已知P是二次函數(shù)圖像上一點（不與點重合），且點P的橫坐標為，作．若直線與線段分別交于點，且與的面積的比為，請直接寫出所有滿足條件的m的值．9．（2025·黑龍江·中考真題）如圖，拋物線交x軸于點A、點B，交y軸于點C，且點A在點B的左側，頂點坐標為．(1)求b與c的值．(2)在x軸上方的拋物線上是否存在點P，使的面積與的面積相等．若存在，請直接寫出點P的橫坐標；若不存在，請說明理由．10．（2024·黑龍江哈爾濱·中考真題）在平面直角坐標系中，點為坐標原點，拋物線經(jīng)過點，與軸正半軸交于點，點的坐標為．(1)求、的值；(2)如圖1，點為第二象限內拋物線上一點，連接，，設點的橫坐標為，的面積為，求與的函數(shù)解析式（不要求寫出自變量的取值范圍）；(3)如圖2，在（2）的條件下，，點在上，，交于點，，點在第二象限，連接，，連接，過點作的垂線，交過點且平行的直線于點，連接交于點，過點作軸的垂線，交的延長線于點，交的延長線于點，，連接并延長交拋物線于點，，點在內，連接，，，，交的長線于點，，求直線的解析式．考點3二次函數(shù)與角度問題11．（2025·吉林長春·中考真題）在平面直角坐標系中，點為坐標原點，拋物線經(jīng)過點．點、是該拋物線上的兩點，橫坐標分別為、，已知點，作點關于點的對稱點，作點關于點的對稱點，構造四邊形．(1)求該拋物線所對應的函數(shù)表達式；(2)當兩點關于該拋物線的對稱軸對稱時，求點的坐標；(3)設拋物線在、兩點之間的部分（含、兩點）為圖象．當時，若圖象的最高點與最低點的縱坐標之差為．求的值；(4)連結、，當時，直接寫出的取值范圍（這里、、均是大于且小于的角）．12．（2025·四川南充·中考真題）拋物線與x軸交于，B兩點，N是拋物線頂點．(1)求拋物線的解析式及點B的坐標．(2)如圖1，拋物線上兩點，，若，求m的值．(3)如圖2，點，如果不垂直于y軸的直線l與拋物線交于點G，H，滿足．探究直線l是否過定點？若直線l過定點，求定點坐標；若不過定點，請說明理由．13．（2025·四川成都·中考真題）如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線過點，且對稱軸為直線，直線與拋物線交于A，B兩點，與x軸交于點C．(1)求拋物線的函數(shù)表達式；(2)當時，直線與y軸交于點D，與直線交于點E．若拋物線與線段有公共點，求h的取值范圍；(3)過點C與垂直的直線交拋物線于P，Q兩點，M，N分別是，的中點．試探究：當k變化時，拋物線的對稱軸上是否存在定點T，使得總是平分？若存在，求出點T的坐標；若不存在，請說明理由．14．（2025·重慶·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與x軸交于A，兩點，與軸交于點，拋物線的對稱軸是直線．(1)求拋物線的表達式：(2)點P是射線下方拋物線上的一動點，連接與射線交于點Q，點D，E為拋物線對稱軸上的動點（點E在點D的下方），且，連接，．當取得最大值時，求點P的坐標及的最小值；(3)在（2）中取得最大值的條件下，將拋物線沿射線方向平移個單位長度得到拋物線，點M為點P的對應點，點N為拋物線上的一動點．若，請直接寫出所有符合條件的點N的坐標，并寫出求解點N的坐標的其中一種情況的過程．15．（2025·四川廣安·中考真題）如圖，二次函數(shù)（b，c為常數(shù)）的圖象交x軸于A，B兩點，交y軸于點C，已知點B的坐標為，點C的坐標為，連接．(1)求拋物線的解析式．(2)若點P為拋物線上的一個動點，連接，當時，求點P的坐標．(3)將拋物線沿射線的方向平移個單位長度后得到新拋物線，點E在新拋物線上，點F是原拋物線對稱軸上的一點，若以點B，C，E，F(xiàn)為頂點的四邊形是平行四邊形，請直接寫出點E的坐標．16．（2025·四川遂寧·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)（為常數(shù)）的圖像與軸交于、兩點，交軸于點，對稱軸為直線．(1)求二次函數(shù)關系式．(2)連接，拋物線上是否存在點，使，若存在，求出點的坐標，若不存在，說明理由．(3)在軸上方的拋物線上找一點，作射線，使，點是線段上的一動點，過點作軸，垂足為點，連結，求的最小值．考點4二次函數(shù)與特殊三角形問題17．（2025·黑龍江綏化·中考真題）綜合與探究如圖，拋物線交軸于A、兩點，交軸于點．直線經(jīng)過、兩點，若點，．點是拋物線上的一個動點（不與點A、重合）．

(1)求拋物線的函數(shù)解析式．(2)過點作直線軸于點，交直線于點，當時，求點坐標．(3)若點是直線上的一個動點．請判斷在點右側的拋物線上是否存在點，使是以為斜邊的等腰直角三角形．若存在，請直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．18．（2025·山東東營·中考真題）已知拋物線與x軸交于，兩點，與y軸交于點．(1)求出拋物線的解析式；(2)如圖1，點D是拋物線上位于對稱軸右側的一個動點，且點D在第一象限內，過點D作x軸的平行線交拋物線于點E，作y軸的平行線交x軸于點G，過點E作軸，垂足為點F，當四邊形的周長最大時，求點D的坐標；(3)如圖2，點M是拋物線的頂點，將沿翻折得到，與y軸交于點Q，在對稱軸上找一點P，使得是以為直角邊的直角三角形，請直接寫出點P的坐標．19．（2025·山東煙臺·中考真題）如圖，拋物線與x軸交于A，B兩點（點A在點B左側），與y軸交于點C，，，D是直線上方拋物線上一動點，作交于點E，垂足為點F，連接．(1)求拋物線的表達式；(2)設點D的橫坐標為，①用含有的代數(shù)式表示線段的長度；②是否存在點D，使是等腰三角形?若存在，請求出所有滿足條件的點D的坐標；若不存在，請說明理由；(3)連接，將線段繞點按順時針方向旋轉得到線段，連接，請直接寫出線段長度的最小值．考點5二次函數(shù)與特殊四邊形問題20．（2025·四川瀘州·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線經(jīng)過點，與軸交于點和點．(1)求該拋物線的解析式；(2)點在直線上，點在軸上，是拋物線上位于第一象限的點，若四邊形是正方形，求點的坐標；(3)設點在拋物線上，點在拋物線上，當時，的最小值為3，求的值．考點6二次函數(shù)與幾何動點問題21．（2025·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）綜合與探究如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于點，，與軸交于點，連接．(1)求拋物線的解析式；(2)點是直線下方拋物線上的點，連接，，當時，求點的坐標；(3)點是第四象限內拋物線上的一點，連接，若，則點的坐標為__________；(4)如圖2，作點關于軸的對稱點，過點作軸的平行線l，過點作，垂足為點，動點，分別從點，同時出發(fā)，動點以每秒個單位長度的速度沿射線方向勻速運動，動點以每秒個單位長度的速度沿射線方向勻速運動（當點到達點時，點，都停止運動），連接，過點作的垂線，垂足為點，連接，則的取值范圍是__________．考點7二次函數(shù)與公共點、交點問題22．（2025·四川宜賓·中考真題）如圖，是坐標原點，已知拋物線與軸交于、兩點，與軸交于點，其中．(1)求b、c的值；(2)點為拋物線上第一象限內一點，連結，與直線交于點，若，求點D的坐標；(3)若為拋物線的頂點，平移拋物線使得新頂點為，若又在原拋物線上，新拋物線與直線交于點，連結．探新拋物線與軸是否存在兩個不同的交點．若存在，求出這兩個交點之間的距離；若不存在，請說明理由．23．（2025·河北·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線經(jīng)過點，，頂點為．拋物線經(jīng)過點．兩條拋物線在第一象限內的部分分別記為，．(1)求，的值及點的坐標．(2)點在上，到軸的距離為．判斷能否經(jīng)過點，若能，求的值；若不能，請說明理由．(3)直線交于點，點在線段上，且點的橫坐標是點橫坐標的一半．①若點與點重合，點恰好落在上，求的值；②若點為直線與的唯一公共點，請直接寫出的值．考點8二次函數(shù)與定點問題24．（2025·四川自貢·中考真題）如圖，在中，分別是的中點，連接，交于點．

(1)若，，，則四邊形的面積為___________；(2)若，的最大面積為．設，求與之間的函數(shù)關系式，并求的最大值；(3)若（2）問中取任意實數(shù)，將函數(shù)的圖象依次向右、向上平移1個單位長度，得到函數(shù)的圖象．直線交該圖象于點，（點在點左邊），過點的直線交該圖象于另一點，過點的直線與直線交于點．若，試問直線是否過定點？若過定點，求出定點坐標；若不過定點，請說明理由．考點9二次函數(shù)與圓問題25．（2025·四川達州·中考真題）如圖，已知拋物線交x軸于A，B兩點，交y軸于C點，B的坐標為，C的坐標為，頂點為M．(1)求拋物線的解析式；(2)連接，過第四象限內拋物線上一點作的平行線，交x軸于點E，交y軸于點F．①連接，當時，求內切圓半徑r與外接圓半徑R的比值；②連接，當點F在的內角平分線上，上的動點P滿足的值最小時，求的面積．考點10二次函數(shù)性質與幾何綜合問題26．（2025·天津·中考真題）已知拋物線為常數(shù)，．(1)當時，求該拋物線頂點的坐標；(2)點和點為拋物線與軸的兩個交點，點為拋物線與軸的交點．①當時，若點在拋物線上，，求點的坐標；②若點，以為邊的的頂點在拋物線的對稱軸上，當取得最小值為時，求頂點的坐標．27．（2025·北京·中考真題）在平面直角坐標系中，拋物線經(jīng)過點O和點