第四章對(duì)數(shù)運(yùn)算與對(duì)數(shù)函數(shù)（高效培優(yōu)單元測(cè)試·強(qiáng)化卷）（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）第一部分（選擇題共58分）（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。）1．（2025·安徽·二模）已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】將集合化簡(jiǎn)，再由交集的運(yùn)算，即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋?，解得，所以，則，故選：C.2．（24-25高一上·河北保定·期末）下列函數(shù)為奇函數(shù)的是（

）A． B． C． D．y=log23【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性的判定方法一一分析即可.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，，，，所以函數(shù)不是奇函數(shù)；對(duì)于選項(xiàng)B，，所以，且函數(shù)定義域?yàn)椋院瘮?shù)為偶函數(shù)；對(duì)于選項(xiàng)C，，，解得，則其定義域?yàn)椋P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，而，，所以函數(shù)是奇函數(shù)；對(duì)于選項(xiàng)D，y=log23x2，所以，且定義域?yàn)楣蔬x：C3．（24-25高二下·天津·期末）“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的概念，以及充分、必要性判斷即可.【詳解】由題可知：，若，則不能推出，所以“”是“”的必要不充分條件.故選：B4．（24-25高一下·北京·期末）已知，則（

）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】A【分析】由指數(shù)、對(duì)數(shù)運(yùn)算即可求解.【詳解】已知，則.故選：A.5.（24-25高二下·北京·期中）若函數(shù)的圖象如圖，為常數(shù).則函數(shù)的圖象是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)復(fù)合函數(shù)的圖象得到，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)確定大致圖象，即可得.【詳解】由解析式知，結(jié)合圖知，故，對(duì)于，其在R上單調(diào)遞增且值域?yàn)椋Y(jié)合各項(xiàng)的圖知A符合.故選：A6．（24-25高一下·廣西南寧·期末）已知且，函數(shù)是減函數(shù)，則a的取值范圍為（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】由是減函數(shù)，列不等式組，解出即可.【詳解】因?yàn)槭菧p函數(shù)，所以，解得．故選：B.7．（24-25高二下·山東青島·期末）已知，若，則的最小值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】利用對(duì)數(shù)運(yùn)算，結(jié)合因式分解，通過分析可得，然后再利用基本不等式可求得最小值.【詳解】由題意得：，所以或，即或，因?yàn)?，所以，即，取等?hào)條件為，此時(shí)，故選:D8．（24-25高一上·山東泰安·階段練習(xí)）已知偶函數(shù)在單調(diào)遞減，若，，，則的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得，，利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算得到，結(jié)合題設(shè)條件，即可求解.【詳解】因?yàn)?，，，又偶函?shù)在單調(diào)遞減，所以，即.故選：C.二?選擇題(本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.)9．（2025高一上·全國(guó)·專題練習(xí)）（多選）關(guān)于函數(shù)，下列選項(xiàng)中正確的有（

）A．定義域?yàn)?B．增區(qū)間為C．最小值為1 D．圖象恒在x軸上方【答案】BCD【分析】本題已知函數(shù)，得到它的定義域、單調(diào)區(qū)間、最值和圖象性質(zhì).【詳解】由題，令,解得,故A錯(cuò)誤；函數(shù)在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞增，所以函數(shù)的增區(qū)間是,故B正確；由選項(xiàng)B的分析可得，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取到最小值，,故C正確；因?yàn)?所以恒成立，即函數(shù)圖象恒在軸上方.故D正確.故選：BCD.10．（24-25高一上·云南玉溪·期末）已知函數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．若函數(shù)為增函數(shù)，則B．若函數(shù)為增函數(shù)，則C．若函數(shù)的值域?yàn)?，則或D．當(dāng)時(shí)，若函數(shù)，則或【答案】AC【分析】根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合二次函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)列不等式求參數(shù)范圍判斷A、B；由函數(shù)的值域，討論對(duì)稱軸的位置求時(shí)對(duì)應(yīng)函數(shù)值域，再由函數(shù)的值域?yàn)镽，列不等式求參數(shù)范圍判斷C，根據(jù)已知有或，結(jié)合解析式求解判斷D.【詳解】對(duì)于A、B，若函數(shù)為增函數(shù)，得，解得，故A正確，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，有，又函數(shù)在定義域上的值域?yàn)镽，當(dāng)時(shí)，時(shí)，此時(shí)，即，當(dāng)時(shí)，時(shí)，此時(shí)，即，綜上，或，故C正確；對(duì)于D，令，則，解得或，當(dāng)時(shí)，或，解得或，當(dāng)時(shí)，或，解得，故D不正確.故選：AC11．（24-25高二下·江西贛州·期末）關(guān)于函數(shù)，以下說法正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，的增區(qū)間為 B．當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)镃．如果的值域?yàn)?，則 D．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱【答案】AD【分析】利用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，包括定義域、值域、單調(diào)性等，同時(shí)結(jié)合二次函數(shù)分析復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)，逐個(gè)分析每個(gè)選項(xiàng)即可得到答案.【詳解】由題可知為復(fù)合函數(shù)，其中對(duì)數(shù)函數(shù)的底數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)遞減，令.對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，的定義域?yàn)?，根?jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，只需求的減區(qū)間即可，的單調(diào)遞減區(qū)間為，的增區(qū)間為，故A正確.對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)的定義域?yàn)椋藭r(shí)，的最小值為，即內(nèi)層函數(shù)可取，即，的值域?yàn)?，故B錯(cuò)誤.對(duì)于C選項(xiàng)，的值域?yàn)?只需要內(nèi)層函數(shù)能取到所有的正實(shí)數(shù)，即判別式，解得，故C錯(cuò)誤.對(duì)于D選項(xiàng)，內(nèi)層函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱，而函數(shù)的圖象是由經(jīng)過對(duì)數(shù)變換得到的，的圖象形狀由決定，即函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱（也可驗(yàn)證是否成立），故D正確.故選：AD.第二部分（非選擇題共92分）三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分．）12．（24-25高二下·北京豐臺(tái)·期末）已知函數(shù)（，且）的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則．【答案】/0.5【分析】代值計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)（，且）的圖象經(jīng)過點(diǎn)，所以.故答案為：13．（24-25高二下·上海浦東新·期末）方程的解集為.【答案】【分析】先確定的范圍，再利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)對(duì)方程合理變形，結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性轉(zhuǎn)化為，求解出但不在范圍內(nèi)，最后得到原方程解集為即可.【詳解】由題意得，解得，，解得，因?yàn)椋?，則，由對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)得在上單調(diào)遞增，可得，解得，不在范圍內(nèi)，故原方程的解集為.故答案為：14．（24-25高一下·河北保定·期末）函數(shù)，其中表示不超過的最大整數(shù)．給出下列四個(gè)結(jié)論：①的定義域?yàn)椋虎诜匠虥]有實(shí)數(shù)根；③函數(shù)在上單調(diào)遞增；④函數(shù)的值域?yàn)椋渲兴姓_結(jié)論的序號(hào)是．【答案】②④【分析】對(duì)于①，根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域以及取整函數(shù)的意義求解即可，也可舉反例判斷；對(duì)于②，解方程，并結(jié)合取整函數(shù)的意義判斷即可；對(duì)于③，舉反例即可判斷；對(duì)于④，通過變量替換和不等式變形，分析函數(shù)表達(dá)式的范圍即可判斷.【詳解】對(duì)于①，由，可知，即，所以函數(shù)的定義域?yàn)?，故①錯(cuò)誤；對(duì)于②，由，得，即，而，，所以方程沒有實(shí)數(shù)根，故②正確；對(duì)于③，因?yàn)椋?，所以，所以函?shù)在不單調(diào)遞增，故③錯(cuò)誤；對(duì)于④，由題意，，令，則，所以，，所以，所以，而，因?yàn)楹瘮?shù)隨的增大而增大，又因?yàn)?，所以，所以，又因?yàn)樗院瘮?shù)的值域?yàn)椋盛苷_.故答案為：②④.三、解答題（本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）15．（24-25高一上·河南鄭州·階段練習(xí)）如圖，對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與一次函數(shù)的圖象有A，B兩個(gè)公共點(diǎn)，且B點(diǎn)的縱坐標(biāo)為lg2.

(1)求一次函數(shù)的解析式.(2)求對(duì)數(shù)函數(shù)的解析式(3)寫出（2）中函數(shù)的反函數(shù)，并寫出其定義域【分析】（1）由圖象可得，，利用待定系數(shù)法求解；（2）將點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式求得，得解；（3）根據(jù)同底的指對(duì)數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)求解.【詳解】（1）由圖象可得，，設(shè)，則，解得，.（2）將點(diǎn)坐標(biāo)代入，可得，，解得，所以對(duì)數(shù)函數(shù)的解析式為.（3）由（2），，其反函數(shù)為，定義域?yàn)?16．（24-25高一上·黑龍江黑河·階段練習(xí)）已知函數(shù)的圖象與（且）的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，且的圖象過點(diǎn)．(1)求函數(shù)的解析式；(2)若成立，求x的取值范圍．【分析】（1）已知點(diǎn)坐標(biāo)代入求得，然后由求得，再把互換位置即得；（2）由的單調(diào)性解不等式．【詳解】（1）的圖象過點(diǎn)，則，即，∴（負(fù)值舍去），∴，由得，所以；（2）在定義域內(nèi)是減函數(shù)，因此由得，解得．17．（24-25高一上·全國(guó)·周測(cè)）（1）已知，求的值；（2）已知，求的值.【分析】（1）（2）根據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算的概念以及運(yùn)算律，可得答案.【詳解】（1）由已知，，所以.（2）因?yàn)?，所以，解得，由，解得，所?18．（23-24高一下·云南曲靖·期末）某鄉(xiāng)鎮(zhèn)企業(yè)2024年1～4月份生產(chǎn)的產(chǎn)品產(chǎn)量（單位：千件）與收益（單位：萬元）的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表：月份產(chǎn)品產(chǎn)量千件…收益萬元…已知且，給出以下4個(gè)函數(shù)模型：①；②；③；④.(1)選擇一個(gè)恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型來描述，之間的關(guān)系，并求出其解析式；(2)已知該鄉(xiāng)鎮(zhèn)企業(yè)由于場(chǎng)地小，最多只能生產(chǎn)500千件，否則需要搬遷，現(xiàn)鎮(zhèn)政府想使該企業(yè)的收益在10萬元以上（含10萬元），此企業(yè)是否應(yīng)搬遷？【分析】（1）首先根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)判斷符合的函數(shù)，再代入表格數(shù)據(jù)，即可求解函數(shù)的解析式；（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，列不等式，即可求解.【詳解】（1）由表中數(shù)據(jù)可知，收益隨著產(chǎn)品產(chǎn)量的遞增而遞增，且增長(zhǎng)速度越來越慢.而①單調(diào)遞減，不合題意，③是單調(diào)遞減函數(shù)，不合題意，對(duì)于②，由題意可知，從而增長(zhǎng)率越來越快，不合題意.故只能選擇④的模型，且.將，代入，可得，解得，所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以符合題意，所以可用④來描述，之間的關(guān)系，解析式為；（2）令，則，又，所以此企業(yè)需要搬遷.19．（24-25高一上·云南曲靖·期末）已知函數(shù)（且）的圖象過點(diǎn)．(1)求a的值；(2)若（i）求的定義域并判斷其奇偶性；（ii）求的單調(diào)遞減區(qū)間．【分析】（1）將點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)式即可求得；（2）（i）求出的表