第13章排隊論主要內(nèi)容§13-1M/M/1排隊系統(tǒng)§13-2M/M/C排隊系統(tǒng)§13-3一般服務(wù)時間模型§13-1M/M/1排隊系統(tǒng)一、標準型（M/M/1/∞/∞/FIFO）二、有限隊長（M/M/1/N/∞/FIFO）三、顧客源有限（M/M/1/

/m/FIFO）系統(tǒng)設(shè)定：顧客到達和服務(wù)時間隨機；單隊；FIFO一、M/M/1/∞/∞/FIFO顧客平均到達數(shù)λ；平均服務(wù)數(shù)μ；且令:且注意到：帶入系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)概率公式得到系統(tǒng)的狀態(tài)概率表達式為：排隊系統(tǒng)的運行參數(shù)如下：1.隊長（即在系統(tǒng)中的平均顧客數(shù)）一、標準型（M/M/1/∞/∞/FIFO）系統(tǒng)中至少有一個顧客的概率（或系統(tǒng)不為空的概率），即系統(tǒng)為忙期的概率2.排隊長（即排隊顧客數(shù)）3.逗留時間（在系統(tǒng)中耗費時間）（推導(dǎo)略）4.等待時間（即排隊等候的時間）這是因為（每名顧客被服務(wù)時間的平均值）。一、標準型（M/M/1/∞/∞/FIFO）概述四個指標之間的關(guān)系為：除此之外，還可以求得：①系統(tǒng)內(nèi)顧客多于k的概率：②在系統(tǒng)中逗留時間大于的概率：③排隊等待時間的概率：④逗留時間的概率：

一、標準型（M/M/1/∞/∞/FIFO）解：本題為M/M/1系統(tǒng)。若取單位時間為5分鐘，則：

1.平均汽車數(shù)：（輛） 2.每輛汽車的平均等待時間： （單位時間）=16（分鐘） 3.汽車等待加油時間超過2分鐘的概率：

P｛等待時間＞2/5｝=1－｛等待時間≤2/5｝=例：汽車平均以每5分鐘一輛的到達率去某加油站加油，并且到達過程構(gòu)成泊松流。汽車加油時間服從負指數(shù)分布，且平均需要4分鐘。若此加油站只有一臺加油設(shè)備，試求 1.

加油站里的平均汽車數(shù)；

2.每輛汽車平均等待加油的時間為多少？

3.汽車等待加油時間超過2分鐘的概率為多少？一、標準型（M/M/1/∞/∞/FIFO）系統(tǒng)容量限制為N，則排隊顧客最多為N－1個，如果顧客數(shù)超過N個，則被拒絕進入系統(tǒng)。根據(jù)系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖：二、有限隊長（M/M/1/N/∞/FIFO）由此也得到系統(tǒng)的運行指標如下：注意到λ是平均到達率，而PN是顧客被拒絕的概率，(1－PN)是顧客被接納的概率。故是到達系統(tǒng)并被接納的概率，稱之為有效到達率。記為二、有限隊長（M/M/1/N/∞/FIFO）顧客數(shù)為m，平均每個人的到達率為λ（注：此處λ與前述λ含義不同），系統(tǒng)外的平均數(shù)為，有效到達率：典型的例子就是企業(yè)中設(shè)備故障修理問題，其狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖為：三、顧客源有限（M/M/1/

/m/FIFO）每臺設(shè)備有正常轉(zhuǎn)移為故障轉(zhuǎn)移率為m臺設(shè)備轉(zhuǎn)移為一臺故障轉(zhuǎn)移率為由狀態(tài)1轉(zhuǎn)移到狀態(tài)0轉(zhuǎn)移率為所以在穩(wěn)態(tài)條件下上述狀態(tài)轉(zhuǎn)移規(guī)律可以描述為：解此差分方程得：三、顧客源有限（M/M/1/

/m/FIFO）系統(tǒng)的運行參數(shù)為：平均正常運轉(zhuǎn)臺數(shù)：三、顧客源有限（M/M/1/

/m/FIFO）§13.2M/M/c排隊系統(tǒng)一、標準M/M/C模型(M/M/n/

/

/FIFO)二、混合制，無限源（M/M/c/N/

/FIFO）三、顧客源有限模型（M/M/c//m/FIFO）系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)概率及等待概率有c個服務(wù)臺，彼此獨立，顧客到達率為λ，平均服務(wù)率相同為μ。整個服務(wù)系統(tǒng)的平均服務(wù)率為c(n≥c)或n(n<c)

令(平均服務(wù)強度)，只有時才能形成穩(wěn)定局面。按上述狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖有：且有：一、標準M/M/c模型(M/M/n/

/

/FIFO)解之得系統(tǒng)狀態(tài)概率及運行指標為一、標準M/M/c模型(M/M/n/

/

/FIFO)例：某車站售票處有三個售票口，顧客以泊松流到達，到達率為；售票員的服務(wù)時間為負指數(shù)分布，每個服務(wù)的服務(wù)率為；另顧客排成一隊依次購票。求

1.系統(tǒng)的運行參數(shù)。

2.購票人數(shù)超過3人的概率。

3.與排成3隊購票比較。解：一、標準M/M/c模型(M/M/n/

/

/FIFO)1.系統(tǒng)運行指標：一、標準M/M/c模型(M/M/n/

/

/FIFO)3.與M/M/1相比較必須等待的概率為：0.83令從顧客源來的顧客到達率為

，每臺的服務(wù)率為

則有

j=

,j=0,1,...,N–1;

N=0，

j=j,當j≤c;μj=cμ,當j＞c,j=1,...,N將

j,

j

代入生滅方程，得二、混合制，無限源（M/M/c/N/

/FIFO）特別地，當N=c時，系統(tǒng)為損失制，這時當n＞c時，系統(tǒng)的到達率為零。帶入到穩(wěn)態(tài)概率公式的：當N=c時，排隊系統(tǒng)已滿，顧客被拒絕的概率為Pc，并且有：二、混合制，無限源（M/M/c/N/

/FIFO）三、顧客源有限模型（M/M/c/

/m/FIFO）m>c，到達率λ按每個顧客考慮；n≤c時，均在服務(wù)，c-n個工人閑著；c

≤n≤m時，n-c個顧客等待服務(wù)。平均設(shè)備故障數(shù)：；等待修理設(shè)備數(shù)：；有效到達率：，其它運行參數(shù)：三、顧客源有限模型（M/M/c/

/m/FIFO）一、M/G/1一般服務(wù)時間模型二、M/D/1定長服務(wù)時間模型三、M/E/1愛爾朗服務(wù)時間模型四、一般服務(wù)時間M/G/c/c/∞損失制模型§13.3一般服務(wù)時間模型以上七個變數(shù)只要知道其中三個就可以求出其余四個。在容量有限和顧客源有限時，λ要換成有效到達率。假設(shè)：1.輸入為泊松流;2.無限隊長，無限源；3.單隊；4.FIFO；5.單服務(wù)員；6.服務(wù)時間T任意分布，均值E[T]，方差為Var(T)；7.到達時間間隔大于期望服務(wù)時間。則總有下面的關(guān)系式成立：一、M/G/1一般服務(wù)時間模型令，應(yīng)用嵌入馬爾可夫鏈分析可得Pollaczek-Khintchine(P-K)公式：且有：一、M/G/1一般服務(wù)時間模型二、M/D/1定長服務(wù)時間模型到達率為λ，服務(wù)率μ是常數(shù)，方差為0，，則有：且有：三、M/E/1愛爾朗服務(wù)時間模型

此模型所描述的是更為普遍的現(xiàn)象。負指數(shù)服務(wù)和定長服務(wù)都可以看作是愛爾朗服務(wù)時間模型的特例。

此模型描述的是k個環(huán)節(jié)串聯(lián)服務(wù)的過程，并且k個環(huán)節(jié)的服務(wù)相互獨立，服從相同的參數(shù)為kμ的負指數(shù)分布。12…kλkμkμ

設(shè)是k個獨立隨機變量，服從kμ的負指數(shù)分布。

則服從k階愛爾朗分布，且有：對每個k期望值都一樣，單方差隨k的增加而減少。當k=1時為負指數(shù)分布；當k→∞時，。三、M/E/1愛爾朗服務(wù)時間模型這是一種有c個服務(wù)臺一般服務(wù)時間的損失制模型，當系統(tǒng)滿時，后來的顧客不再進入系統(tǒng)。該模型要解決的主要問題是在服務(wù)機構(gòu)的空閑與顧客的流失之間找到平衡，找出最合適的服務(wù)臺數(shù)，使得該系統(tǒng)效益最大。典型的應(yīng)用系統(tǒng)有：電話中轉(zhuǎn)系統(tǒng)、民航電話訂票系統(tǒng)等。由于損失制，故不存在排隊顧客的數(shù)目Lq及WS，這里給出系統(tǒng)里有幾個顧客的概率Pn和在系統(tǒng)里的平均顧客數(shù)Ls。（推導(dǎo)略）四、一般服務(wù)時間M/G/c/c/∞損失制模型λ為顧客的平均到達率，μ為平均服務(wù)率，c為服務(wù)臺數(shù)。其中Pc為系統(tǒng)里正好有c個顧客的概率，也就是系統(tǒng)里c個服務(wù)臺都被顧客占滿的概率。例題：某電器商場開展了電話訂貨業(yè)務(wù)，據(jù)統(tǒng)計分析電話到達過程服從泊松分布，平均到達率為每小時16個，而一個接話員處理訂貨事宜的時間是隨著訂貨的產(chǎn)品、規(guī)格、數(shù)量及顧客的不同而變化的，但平均每個人每小時可以處理8個訂貨電話，在此電器商場里安裝了一臺電話自動交換臺，它接到電話后可以接到任一個空閑的接話員的電話上。試問該商場應(yīng)該安裝多少臺接話員的電話，使得訂貨電話占線而損失的概率不超過10%。四、一般服務(wù)時間M/G/c/c/∞損失制模型解：這是一個損失值的M/G/c/c/∞模型。當c=3時，我們來計算M/G/3/3/∞系統(tǒng)中正好有3位顧客的概率，這時c=n=3，用上述公式計算得：這也就是說，當設(shè)置三個接受訂貨的電話時，三個電話都被占滿的概率為21.05%，這時別的電話就打不進來損失到了，也就是在這個系統(tǒng)了因電話占線而損失的概率為21.05%