專題4.3線段的長短【十大題型】 【滬科版2024】TOC\o"1-3"\h\u【題型1尺規(guī)作線段】 1【題型2比較線段的長短】 4【題型3線段的性質(zhì)】 7【題型4線段的和差】 9【題型5與線段中點有關(guān)的計算】 13【題型6與線段n等分點有關(guān)的計算】 18【題型7由線段之間的數(shù)量關(guān)系求線段長度】 23【題型8最短路徑問題】 30【題型9與線段有關(guān)的對折問題】 34【題型10與線段有關(guān)的動點問題】 38知識點1：畫一條線段等于已知線段①度量法；②用尺規(guī)作圖法.【題型1尺規(guī)作線段】【例1】（19-20七年級上·全國·課后作業(yè)）如圖所示，已知線段a，b，c（a>b＋c），求作線段AB，使

A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】根據(jù)圖形觀察分析得出.【詳解】A、錯誤，圖中AB=B、錯誤，圖中AB=C、錯誤，圖中AB=D、正確，故選：D【點睛】本題主要考查了尺規(guī)作圖的應用，解題的關(guān)鍵是明確作一條線段等于已知的線段的方法.【變式1-1】（23-24七年級上·浙江臺州·期末）如圖，已知平面上三點A，B，C，請按如下要求作圖：

(1)畫直線BC，射線BA，線段AC．(2)在射線BA上作一點D，使得BD=【答案】(1)答案見解析(2)答案見解析【分析】（1）本題考查了畫直線，畫射線，線段，解題的關(guān)鍵是掌握直線，射線，線段之間的區(qū)別；（2）本題考查了線段的尺規(guī)作圖，解題的關(guān)鍵是作線段AC=【詳解】（1）解：如下圖所示，直線BC，射線BA，線段AC即為所求；

（2）如（1）圖，以A為圓心，以線段AC的長為半徑畫弧交射線BA于D，則AC=AD，BD=AC+AB，點D即為所求．【變式1-2】（18-19七年級上·全國·課后作業(yè)）尺規(guī)作圖：作一條線段等于已知線段．已知：線段AB，如圖求作：線段CD，使AB=小亮的作法如下：如圖，（1）作射線；（2）以點為圓心，長為半徑作弧交CE于點．線段CD就是所求作的線段．【答案】CECABD【分析】根據(jù)尺規(guī)作圖的要求進行作圖即可．【詳解】作法如下：如圖，（1）作射線CE；（2）以點C為圓心，AB長為半徑作弧交CE于點D．線段CD就是所求作的線段．故答案為：（1）CE；（2）C，AB，D．【點睛】本題考核知識點：作一條線段等于已知線段．解題關(guān)鍵點：注意尺規(guī)作圖的要求．【變式1-3】（23-24七年級上·陜西渭南·期末）點A，B，C的位置如圖所示．（用尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）(1)作直線AC和線段BC；(2)作射線AB，在射線AB上作一點D，使得AD=2【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】本題主要考查了復雜作圖，（1）過點A和點C畫直線即可，用線段連接點B和點C兩點即可；（2）連接AB并延長即可；以B為圓心，AB長為半徑畫弧，交于AB的延長線于點E，再以E為圓心，BC長度為半徑畫弧，交線段AE于點D，線段AD則為所求．解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．【詳解】（1）解：作圖如下：（2）解：如圖，點D即為所求．知識點2：線段的長短比較方法①度量法；②疊合法；③圓規(guī)截取法.【題型2比較線段的長短】【例2】（23-24七年級上·全國·課后作業(yè)）為了比較線段AB和線段CD的長短，把線段CD移到線段AB上，使點C與點A重合．（填“>”“=”或“<”）（1）當點D落在線段AB上時，ABCD；（2）當點D與點B重合時，ABCD；（3）當點D落在線段AB的延長線上時，ABCD．【答案】>=<【分析】（1）正確畫出圖形，根據(jù)圖形求解即可；（2）正確畫出圖形，根據(jù)圖形求解即可；（3）正確畫出圖形，根據(jù)圖形求解即可．【詳解】解：（1）如圖，

當點D落在線段AB上時，AB>（2）如圖，

當點D與點B重合時，AB=（3）如圖，

當點D落在線段AB的延長線上時，AB<故答案為：>，=，<【點睛】本題主要考查了線段比較長短，正確理解題意并畫出圖形是解題的關(guān)鍵．【變式2-1】（18-19七年級上·北京海淀·期末）如圖，用圓規(guī)比較兩條線段AB和A'B'A．A'B'>AB B．A【答案】C【分析】本題考查了線段的大小比較，熟練掌握線段大小比較的方法是解答本題的關(guān)鍵．根據(jù)比較線段長短的方法即可得出答案．【詳解】解：由圖可知，A'故選：C．【變式2-2】（22-23七年級上·山東臨沂·期末）兩根木條，用疊合法比較他們的長短時，發(fā)現(xiàn)長的比短的長2cm，此時兩根木條中點之間的距離是cm（木條的粗細忽略不計）.【答案】1【分析】根據(jù)點D是AB的中點，點E是AC的中點，得AD=12【詳解】解：如下圖，點D是AB的中點，點E是AC的中點，BC=2∵點D是AB的中點，點E是AC的中點，∴AD∴DE故答案為：1．【點睛】本題考查了線段的中點及線段的和差，熟練掌握線段的中點及線段的和差的計算方法是解題的關(guān)鍵．【變式2-3】（23-24七年級上·河南洛陽·期末）如圖：A、M、N、B四點在同一直線上．(1)若AM=①比較線段的大?。篈N______BM（填“>”、“=”或“<”）；②若MN=35AN，且AN=15cm(2)若線段AB被點M、N分成了2:4:3三部分，且AM的中點P和NB的中點Q之間的距離是26cm，求【答案】(1)①=；②21(2)28【分析】本題考查線段及其中點的有關(guān)計算，理解線段中點的意義是正確計算的關(guān)鍵．（1）①根據(jù)等式的性質(zhì)，得出答案；②求出BC的值，在求出MN、AM的長，進而求出（2）根據(jù)線段的比，線段中點的意義，設未知數(shù)，列方程求解即可．【詳解】（1）解：①∵AM=∴AM+即，AN=故答案為：=；②∵MN∴MN∴AM=∴AB=故答案為：21；（2）解：如圖1所示，設每份為x，則AM=2∵P是AM的中點，點Q是BN的中點，∴AP=又PQ=26∴x+4解得，x=4∴MB=7知識點3：線段的性質(zhì)兩點的所有連線中，線段最短.簡單地：兩點之間，線段最短.【題型3線段的性質(zhì)】【例3】（22-23七年級上·黑龍江大慶·期末）如圖所示，從甲到乙共有a，b，c三條路線，最短的路線是（）

A．a(chǎn) B．b C．c D．無法確定【答案】B【分析】兩點之間，線段最短，甲到乙最短的路線是從甲到乙的線段，由此解答即可．【詳解】解：甲到乙最短的路線是b，故選：B．【點睛】此題考查了兩點之間線段最短，解題的是理解最短路線的簡單應用．【變式3-1】（23-24七年級上·甘肅張掖·階段練習）在實際問題中，修路和架線都盡可能減少彎路，是因為．【答案】兩點之間線段最短【分析】本題主要考查兩點之間線段最短，理解并掌握最短線段的含義是解題的關(guān)鍵，根據(jù)實際問題中的修路可知運用的是兩點之間線段最短的原理，由此即可求解.【詳解】解：減少彎路是因為兩點之間線段最短，故答案為：兩點之間線段最短.【變式3-2】（20-21七年級下·山東濟寧·期中）如圖，l是一條筆直的公路，在公路的兩側(cè)各有一個村莊A，B，兩個村莊準備集資修建一個公交車站，經(jīng)過協(xié)商，要求車站到兩個村莊的路程和最短，小聰幫助設計了公交車站修建點M，則小聰設計的理由是．【答案】兩點之間線段最短【分析】根據(jù)兩點之間線段最短即可求解．【詳解】解：兩點之間線段最短．【點睛】本題主要考查線段的基本事實，理解線段的基本事實是解題的關(guān)鍵．【變式3-3】（24-25七年級上·河北石家莊·階段練習）下列兩種現(xiàn)象：①用一個釘子把一根細木條釘在木板上，用手撥木條，木條能轉(zhuǎn)動；②把彎曲的河道改直，可以縮短河道長度，其中可用“兩點之間，線段最短”來解釋的現(xiàn)象是（

）A．① B．② C．①② D．都不可以【答案】B【分析】此題主要考查了線段的性質(zhì)，直接利用兩點之間線段最短分析即可得出答案．【詳解】解：①用一個釘子把一根細木條釘在木板上，用手撥木條，木條能轉(zhuǎn)動，不能用“兩點之間線段最短”來解釋，②把彎曲的河道改直，可以縮短河道長度，可用“兩點之間線段最短”來解釋．故選：B．知識點4：兩點的距離連接兩點的線段的長度叫做兩點的距離（距離是線段的長度，而不是線段本身）.【題型4線段的和差】【例4】（23-24七年級上·浙江寧波·期末）如圖，A,B,C為直線l上從左到右的三個點，AB=2BC，動點M、N分別從A、B兩點同時出發(fā)，向右運動，點

A．AM B．BN C．BM D．CM【答案】D【分析】本題考查了線段的和差關(guān)系，根據(jù)題意可設BC=a，BN=b，則AB=2a，AM=3b，可求出【詳解】解：設BC=a，則∵動點M、N分別從A、B兩點同時出發(fā)，向右運動，點M的速度是點∴AM=3設BN=b，則∴MN=ABCM=∴MN=故選：D．【變式4-1】（24-25七年級上·遼寧·期末）在直線l上順次取三點A、B、C，使線段AB=8cm，BC=3cm，則線段A．5cm B．8cm C．10cm【答案】D【分析】本題考查了線段的和差運算，根據(jù)在直線l上順次取三點A、B、C，得出AC=【詳解】解：∵在直線l上順次取三點A、B、C，∴AC∵AB=8cm∴AC故選：D．【變式4-2】（22-23七年級上·福建福州·期末）已知線段AB和線段CD在同一直線上，線段AB（A在左，B在右）的長為a，長度小于AB的線段CD（D在左，C在右）在直線AB上移動，M為AC的中點，N為BD的中點，線段MN的長為b，則線段CD的長為（用a，b的式子表示）．【答案】a-2【分析】根據(jù)題意畫出圖形，分情況討論，再利用線段和差分別表示線段CD的長度即可．【詳解】解：∵M為AC的中點，N為BD的中點，∴MA=MC=∵線段AB和線段CD在同一直線上，線段AB（A在左，B在右）的長為a，長度小于AB的線段CD（D在左，C在右）在直線AB上移動，∴分以下5種情況說明：①當DC在AB左側(cè)時，如圖1，MN===即2MN2MN∴2MN∴CD②當點D與點A重合時，如圖2，MN===即22∴2MN∴CD③當DC在AB內(nèi)部時，如圖3，MN===即22∴2MN∴CD④當點C在點B右側(cè)時，同理可得：CD=⑤當DC在AB右側(cè)時，同理可得：CD=綜上所述：線段CD的長為a-故答案為：a-【點睛】本題考查線段的和差，根據(jù)題意畫出對應情況的圖形是解題的關(guān)鍵，注意分類討論思想的運用．【變式4-3】（22-23七年級上·新疆烏魯木齊·期末）如圖，點A、B、C在同一直線上，H為AC的中點，M為AB的中點，N為BC的中點，則下列說法：①MN=HCA．①③ B．②④ C．①④ D．①③④【答案】D【分析】根據(jù)線段中點的定義和線段的和差分別計算MN、MH【詳解】①∵H是AC的中點，∴∵M、N分別是∴MB=∴==∴∴①正確.②由①知MN∴②錯誤.③MH=====∴③正確.④HN=HC====∴④正確.綜上，①③④正確.故選：D【點睛】本題主要考查了線段中點的定義，線段的和差.根據(jù)線段的和差進行求解是解題的關(guān)鍵.知識點5：線段的中點定義：把一條線段平均分成兩條相等線段的點.圖形：AMB符號：若點M是線段AB的中點，則AM=BM=AB，AB=2AM=2BM.【題型5與線段中點有關(guān)的計算】【例5】（21-22七年級上·陜西西安·期末）如圖，線段AB＝5cm，AC：CB＝3：2，點P以0.5cm/s的速度從點A沿線段AC向點C運動；同時點Q以1cm/s從點C出發(fā)，在線段CB上做來回往返運動（即沿C→B→C→B→…運動），當點P運動到點C時，點P、Q都停止運動，設點P運動的時間為t秒．(1)當t＝1時，PQ＝cm；(2)當t為何值時，點C為線段PQ的中點？(3)若點M是線段CQ的中點，在整個運動過程中，是否存在某個時間段，使PM的長度保持不變？如果存在，求出PM的長度；如果不存在，請說明理由．【答案】(1)3.5(2)t為2或143時，點C為線段PQ(3)存在，PM的長度為3cm或1cm，理由見解析【分析】（1）根據(jù)題意可求出AC的長，AP和CQ的長，再由PQ=AC+（2）由題意可得出t的取值范圍，再根據(jù)點C在線段CB上做來回往返運動，可分類討論①當Q由C往B第一次運動時，即0≤t≤2時，分別用t表示出CP和CQ的長度，再根據(jù)中點的性質(zhì)，列出等式，求出t的值即可；②當Q由B往C點第一次返回時，即2<t≤4時，同理求出t的值即可；③當Q由C往B第二次運動時，即4<t（3）同理（2）可分類討論①當Q由C往B第一次運動時，即0≤t≤2時，分別用t表示出CP和CM的長度，再根據(jù)PM=CP+CM，求出PM即可；②當Q由B往C點第一次返回時，即2<t≤4時，同理求出PM即可；③當Q由C往B第二次運動時，即【詳解】（1）解：當t=1時，AP∵AB=5∴AC=∴PQ=故答案為：3.5．（2）∵點P運動到點C時，點P、Q都停止運動，∴0≤t∵AB=5∴BC=①當Q由C往B第一次運動時，即0≤t此時AP=0.5tcm∴CP=∵點C為線段PQ的中點，∴CP=CQ，即解得：t=2②當Q由B往C點第一次返回時，即2<t此時CP=(3-0.5t)∴3-0.5t解得：t=2③當Q由C往B第二次運動時，即4<t此時CP=(3-0.5t)∴3-0.5t解得：t=綜上可知，t為2或143時，點C為線段PQ（3）根據(jù)（2）可知0≤t∵點M是線段CQ的中點，∴CM=①當Q由C往B第一次運動時，即0≤t此時CP=(3-0.5t)∵PM=∴PM=3-0.5∴此時PM為定值，長度為3cm，符合題意．②當Q由B往C點第一次返回時，即2<t此時CP=(3-0.5t)∴PM=3-0.5∴此時PM的長度，隨時間的變化而變化，不符合題意；③當Q由C往B第二次運動時，即4<t此時CP=(3-0.5t)∴PM=3-0.5∴此時PM為定值，長度為1cm，符合題意．綜上可知PM的長度為3cm或1cm．【點睛】本題考查線段的和與差，線段的中點的性質(zhì)，與線段有關(guān)的動點問題．利用數(shù)形結(jié)合的思想是解答本題的關(guān)鍵．【變式5-1】（23-24六年級下·山東東營·期末）如圖，點C是線段AB上的點，點M、N分別是AC、BC的中點，若MN=5A．6cm B．7cm C．8cm【答案】D【分析】本題主要考查線段中點的定義、線段的和差等知識點，掌握線段的中點定義是解題的關(guān)鍵．根據(jù)線段中點的定義可得MC=12AC、NC=12BC，再結(jié)合【詳解】解：∵點M、N分別是AC、∴MC=12∵MN=5∴MC+NC=5cm∴12AC+∴AB=10故選：D．【變式5-2】（20-21七年級上·河南南陽·期末）如圖，已知點C在線段AB上，點D、E分別在線段AC、BC上，（1）觀察發(fā)現(xiàn)：若D、E分別是線段AC、BC的中點，且AB=12，則DE=（2）拓展探究；若AD=2DC，BE=2CE，且（3）數(shù)學思考：若AD=kDC，BE=kCE（k為正數(shù)），則線段DE與【答案】（1）6；（2）103；（3）【分析】（1）根據(jù)中點的定義，結(jié)合線段的和、差計算即可（2）利用線段之間的和、差關(guān)系倍數(shù)關(guān)系計算即可（3）結(jié)合（2）的求解，再利用線段之間的和、差關(guān)系倍數(shù)關(guān)系計算即可【詳解】（1）∵D、E為線段AC，BC∴∴∵∴∵（2）∵∵AB=∴∵∴3（3）∵∵AB=∴∴【點睛】本題考查了線段n等分點的有關(guān)計算，掌握線段之間和、差倍數(shù)關(guān)系是解題關(guān)鍵．【變式5-3】（22-23七年級上·四川眉山·期末）如圖，線段CD在射線AB上運動，AB=m，(1)求線段AB、CD的長；(2)點M、N分別為線段AC、BD的中點，若BC=2，求MN(3)當CD運動到某一時刻時，點D與點B重合，點P是線段AB延長線上任意一點求證：PA+【答案】(1)AB(2)MN(3)見解析【分析】本題主要考查非負數(shù)的性質(zhì)，線段和差倍分的計算，分類討論是解題的關(guān)鍵．（1）依據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)可知m-2n=0，6-n（2）需要分類討論：①如圖1，當點C在點B的右側(cè)時，根據(jù)“M、N分別為線段AC、BD的中點”，先計算出AM、DN的長度，然后計算MN=AD-AM-DN；②如圖2，當點（3）先求得AC=BC=6【詳解】（1）解：∵|m∴|m∴m∴n∴AB（2）解：①點C在點B右邊時，如圖：∵M、N分別為線段AC、BD∴AMDN=∴MN②點C在點B左邊時，如圖：∵M、N分別為線段AC、BD∴AMDN=∴MN綜上，MN=9（3）證明：當點B與點D重合時，如圖：∵AB=12∴AC∴AC∴PA即PA+【題型6與線段n等分點有關(guān)的計算】【例6】（22-23七年級上·湖北武漢·期末）在直線l上有A、B、C、D四點，其中點B是線段AD的三等分點，點C是線段AD的中點，點E是線段AD延長線上一點，且AE+BE=2AD，則【答案】54或【分析】本題考查了線段的和差關(guān)系，中點的性質(zhì)，線段n等分點的計算，設AD=x，根據(jù)題意可得AC=【詳解】解：設AD=∵點C是線段AD的中點，∴AC如圖，當點B是靠近A的線段AD的三等分點時，則AB=13∵AE+∴x∴DE∴BE如圖，當點B是靠近D的線段AD的三等分點時，則BD=13∵AE+∴x∴DE∴BE故答案為：54或4【變式6-1】（23-24六年級下·上海青浦·期末）已知線段AB=12厘米，延長線段AB到點C，點M是線段AC的中點，如果BM=14【答案】16或48【分析】本題考查了線段的中點，分類討論，即點M在B點左邊或者右邊，兩種情況，用線段的和差進行解答即可，熟知各線段之間的和、差及倍數(shù)關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，當點M在B點左邊時，∵點M是線段AC的中點，∴AM∵BM∴BC∴AB∴AC如圖，當點M在B點右邊時，利用上述原理可得∴AB∴AC綜上所述，AC=16或48故答案為：16或48．【變式6-2】（22-23七年級上·山東青島·期末）如圖1，點C在線段AB上，圖中有三條線段，分別為線段AB,AC和BC，若其中一條線段的長度是另外一條線段長度的2倍，則稱點C是線段AB的“巧點(1)線段的中點______這條線段的“巧點”，線段的三等分點_______這條線段的“巧點”（填“是”或“不是”）；(2)若線段AB=18cm，點C為線段AB的“巧點”，則AC(3)如圖2，已知．AB=18cm，動點P從點A出發(fā)，以2cm/s的速度沿AB向點B運動，點Q從點B出發(fā)，以1cm/s的速度沿BA向點A運動，點P、Q同時出發(fā)，當其中一點到達終點時，運動停止，設運動的時間為t秒，當t為何值時，點【答案】(1)是；是(2)6cm或9cm(3)187s或185【分析】本題主要考查了一元一次方程的應用，線段中點的有關(guān)計算，解題的關(guān)鍵是理解題意，注意進行分類討論．（1）根據(jù)線段“巧點”的定義進行判斷即可；（2）根據(jù)點C為線段AB的中點或三等分點時，點C是線段AB的“巧點”進行解答即可；（3）分三種情況：當AP=13AQ時，當【詳解】（1）解：根據(jù)“巧點”定義可知，線段的中點是這條線段的“巧點”，線段的三等分點是這條線段的“巧點”；故答案為：是；是．（2）解：∵當點C為線段AB的中點或三等分點時，點C是線段AB的“巧點”，∴AC=或AC=或AC=故答案為：6cm或9cm或（3）解：由題意得：AP=2t，BQ=t，AQ=18-∵點P為AQ的巧點，∴點P應該在點Q的左邊，t的范圍應該在0~6秒之間，當AP=13AQ時，∴2t=解得：t=當AP=12AQ時，∴2t解得：t=當AP=23AQ時，∴2t=解得：t=所以當t為187s或185s或92s時，點Р為線段【變式6-3】（22-23七年級上·四川成都·期末）（1）如圖1，點C在線段AB上，M，N分別是AC，BC的中點．若AB=12，AC=8，求（2）設AB=a，C是線段AB上任意一點（不與點A，①如圖2，M，N分別是AC，BC的三等分點，即AM=13AC，②若M，N分別是AC，BC的n等分點，即AM=1nAC，【答案】（1）6；（2）①23a；【分析】本題考查線段的中點、線段的和差，解題的關(guān)鍵是掌握線段中點的定義及線段和差運算．（1）由中點的定義可得MC=12（2）①由AM=13AC，BN=13BC可得【詳解】解：（1）∵M，N分別是AC，BC∴MC∵∴MN（2）①∵AM∴MC∵∴MN=②∵AM∴CM∴MN∴∴MN=【題型7由線段之間的數(shù)量關(guān)系求線段長度】【例7】（22-23七年級上·江西南昌·期末）已知點C在線段AB上，AC=2BC，點D、E在直線AB上，點D在點

(1)若AB=18，DE=8，線段DE在線段①如圖1，當E為BC中點時，求AD的長；②若點F在線段BC上，且AF=3AD，CE+(2)若AB=2DE，線段DE在直線AB上移動，且滿足關(guān)系式AD+【答案】(1)①7；②5(2)1742或【分析】（1）根據(jù)已知條件得到BC=6，AC=12，①由線段中點的定義得到CE=3，求得CD=5，由線段的和差得到AD=AB-DB=7；②點E在點F的左側(cè)，點F是BC的中點，所以CF=BF=3，可以根據(jù)AF=3（2）當E在點C的右側(cè)時，設CE=x，DC=y，則DE=x+y，AB=2x+y，AC=23AB=43【詳解】（1）解：①AC=2BC，AB=18∴BC=6，如圖，∵E為BC中點，∴CE∴CD∴AD②如圖，∵CE+∴點E在點F的左側(cè)，∴點F是BC的中點，∴CF∴AF∴AD當點E在點F的右側(cè)，如圖∵AC=12，CE∴AF∵AF∴AD綜上所述，AD的長為5；（2）∵AC=2BC，AB如圖，當E在點C的右側(cè)時：設CE=x，DC=∴AB=2x∴AD=AC∴BE∴AD∵2AD∴27解得，17x=4∴CD如圖，當E在點C的左側(cè)時：設CE=x，DC=∴AB=2y∴AD=DC∴BE∴AD∵2AD∴27解得，11x=8∴CD故答案為是1742或11【點睛】本題考查了兩點間的距離，熟悉各線段間的和、差及倍數(shù)關(guān)系，根據(jù)題意分情況討論是解答本題的關(guān)鍵．【變式7-1】（23-24七年級上·安徽池州·期末）如圖，已知線段AB=24，點C是線段AB的中點，點M在線段AB上，且AM(1)求線段MC的長；(2)若點N在線段CB上，且MN:NB=3:1【答案】(1)8(2)7【分析】本題考查了線段的中點，線段的和差等知識，數(shù)形結(jié)合是解答本題的關(guān)鍵．（1）先根據(jù)中點的定義求出AC=12（2）先求出MB=20，根據(jù)MN:NB=3:1求出【詳解】（1）∵AB=24，點C是線段AB∴AC=∵AM=4∴MC=（2）∵AB=24，AM∴MB=∵MN:∴MN=∵MC=8∴CN=【變式7-2】（23-24七年級上·江西南昌·期末）已知：如圖，點M是線段AB上一定點，AB=16cm，C、D兩點分別從M、B出發(fā)以1cm/s、3cm/s的速度沿直線BA向左運動，運動方向如箭頭所示（C在線段AM上，D(1)若AM=6cm，當點C、D運動了3s，此時AC=(2)當點C、D運動了3s，求AC(3)若點C、D運動時，總有MD=3AC，則AM(4)在（3）的條件下，N是直線AB上一點，且AN-BN=【答案】(1)3cm；(2)4(3)4(4)12或【分析】本題考查了線段上的動點問題，線段的和差，較難的是題（4），依據(jù)題意，正確分兩種情況討論是解題關(guān)鍵．（1）先求出CM、BD的長，再根據(jù)線段的和差即可得；（2）先求出BD與CM的關(guān)系，再根據(jù)線段的和差即可得；（3）根據(jù)已知得MB=3AM，然后根據(jù)（4）分點N在線段AB上和點N在線段AB的延長線上兩種情況，再分別根據(jù)線段的和差倍分即可得．【詳解】（1）解：根據(jù)題意知，CM=3cm，∵AB=16cm，∴BM=10∴AC=AM-故答案為：3cm；1（2）解：當點C、D運動了3s時，CM=3cm∵AB=16∴AC+故答案為：4cm（3）解：根據(jù)C、D的運動速度知：BD=3∵MD=3∴BD+MD=3∵AM+∴AM+3∴AM=故答案為：4cm（4）解：①當點N在線段AB上時，如圖1，

∵AN-又∵AN∴BN=∴MN∴MNAB②當點N在線段AB的延長線上時，如圖2，

∵AN-又∵AN-∴MN=∴MNAB綜上所述：MNAB=1【變式7-3】（22-23七年級上·福建廈門·期末）如圖已知線段AB、CD，(1)線段AB在線段CD上（點C、A在點B的左側(cè)，點D在點C的右側(cè)）①若線段AB=6，CD=14，M、N分別為AC、BD的中點，求②M、N分別為AC、BD的中點，求證：MN=(2)線段CD在線段AB的延長線上，M、N分別為AC、BD的中點，②中的結(jié)論是否成立？請畫出圖形，直接寫出結(jié)論【答案】(1)①10，②見解析(2)不成立，見解析【分析】（1）①利用CD-AB求出AC+BD的值，利用中點平分線段，得到AM=12AC,BN=（2）分C點在D點的左側(cè)，點N在點C的右側(cè)，C點在D點的左側(cè)，點N在點C的左側(cè)，以及D點在C點的左側(cè)，三種情況分類討論，求解即可．【詳解】（1）解：①∵AB=6，CD∴AC+∵M、N分別為AC、BD的中點，∴AM=∴MN=②∵M、N分別為AC、BD的中點，∴AM=∵AC+∴AM+∴MN=（2）不成立；∵M、N分別為AC、BD的中點，∴AM=①當C點在D點的左側(cè)，點N在點C的右側(cè)時，如圖：或MN=====1②當C點在D點的左側(cè)，點N在點C的左側(cè)時，如圖：或MN====1③當D點在C點的左側(cè)時，如圖：或MN====1綜上：MN=12【點睛】本題考查線段之間的和與差．正確的識圖，理清線段之間的和，差，倍數(shù)關(guān)系，是解題的關(guān)鍵．注意分類討論．【題型8最短路徑問題】【例8】（2024七年級·全國·競賽）某城市平面圖如圖所示，每條線段均表示街道．(1)圖中共有多少條線段？(2)小饒需從A1到B【答案】(1)144條(2)6種【分析】本題考查了線段的數(shù)量問題、最短路徑問題，采用數(shù)形結(jié)合的思想是解此題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)兩點可以確定一條線段，水平方向每行有15條線段，豎直方向處含F(xiàn)列外，每列有10條線段，含F(xiàn)點這列有15條線段，D4B6方向有3（2）觀察圖形即可列出線路，從而得出答案．【詳解】（1）解：由題意得：15×5+10×5+15×1+1+3=144（條），∴圖中共有144條線段；（2）解：最近路線為：①A②A③A④A⑤A⑥A共6種走法．【變式8-1】（23-24七年級上·寧夏銀川·期末）幾何知識可以解決生活中許多距離最短的問題．讓我們從書本一道習題入手進行探索．(1)如圖①，A、B是公路l兩側(cè)的兩個村莊．現(xiàn)要在公路l上修建一個垃圾站C，使它到A、B兩村莊的路程之和最小，請在圖中畫出點C的位置，并說明理由．(2)如圖②，在B村莊附件有一個生態(tài)保護區(qū)，現(xiàn)要在公路l上修建一個垃圾站C，使它到A、B兩村莊的路程之和最小，從B村莊到公路不能穿過生態(tài)保護區(qū)，請在圖中畫出點C的位置．【答案】(1)見解析，理由為：兩點之間，線段最短(2)見解析【分析】本題考查作圖?應用與設計作圖，兩點之間線段最短等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．（1）如圖所示，連接AB交直線l于點C，點C即為所求，理由為兩點之間，線段最短；（2）如圖所示，設生態(tài)保護區(qū)右下角的頂點為P，連接BP，連接AP交直線l于點C，點C即為所求．【詳解】（1）解：如圖所示，連接AB交直線l于點C，點C即為所求；理由為：兩點之間，線段最短；（2）解：如圖所示，設生態(tài)保護區(qū)右下角的頂點為P，連接BP，連接AP交直線l于點C，點C即為所求．【變式8-2】（20-21七年級上·重慶巫山·期末）如圖所示，某鄉(xiāng)鎮(zhèn)A、B、C、D、E五個村莊位于同一條筆直的公路邊，相鄰兩個村莊的距離分別為AB＝1千米，BC＝3千米，CD＝2千米，DE＝1.5千米．鄉(xiāng)村扶貧改造期間，該鄉(xiāng)鎮(zhèn)打算在此間新建一個便民服務點M，使得五個村莊到便民服務點的距離之和最小，則這個最小值為千米．【答案】12.5/12【分析】分類討論當便民服務點分別在A、B、C、D、E時，根據(jù)線段的和與差計算即可．【詳解】當便民服務點在A或E時，由A、E為兩端點，可知此時五個村莊到便民服務點的距離之和最長；當便民服務點M在B時，五個村莊到便民服務點的距離之和為AB+BC+BD+BE=1+3+(3+2)+(3+2+1.5)=15.5千米；當便民服務點M在C時，五個村莊到便民服務點的距離之和為AC+BC+CD+CE=(1+3)+3+2+(2+1.5)=12.5千米；當便民服務點M在D時，五個村莊到便民服務點的距離之和為AD+BD+CD+DE=(1+3+2)+(3+2)+2+1.5=14.5千米．綜上可知當便民服務點M在C時，五個村莊到便民服務點的距離之和最小，最小值為12.5千米．故答案為：12.5．【點睛】本題考查線段的和與差．利用分類討論的思想是解題關(guān)鍵．【變式8-3】（22-23九年級下·北京·開學考試）如圖，在公路MN兩側(cè)分別有A1，A2，?，A7七個工廠，各工廠與公路MN（圖中粗線）之間有小公路連接．現(xiàn)在需要在公路MN上設置一個車站，選擇站址的標準是“使各工廠到車站的距離之和越小越好”，由以上幾個描述：①車站的位置設在C點好于B點；②【答案】①③/③①【分析】根據(jù)最優(yōu)化問題，即可判斷出正確答案．此題屬于最優(yōu)化問題，做這類題要做到規(guī)劃合理，也就是要考慮到省時省力．【詳解】解；如圖，因為A、D、E點各有一個工廠相連，B，C，各有兩個工廠相連，把工廠看作“人”．可簡化為“A，B，C，D，E處分別站著1，2，2，1，1個人（如圖），求一點，使所有人走到這一點的距離和最小”把人盡量靠攏，顯然把人聚到B、C最合適，靠攏完的結(jié)果變成了B=4，C=3，最好是移動3個人而不要移動故答案為：①③【題型9與線段有關(guān)的對折問題】【例9】（22-23七年級上·遼寧沈陽·階段練習）如圖，有公共端點P的兩條線段MP，NP組成一條折線M﹣P﹣N，若該折線M﹣P﹣N上一點Q把這條折線分成相等的兩部分，我們把這個點Q叫做這條折線的“折中點”．已知點D是折線A﹣C﹣B的“折中點”，點【答案】4或24【分析】本題主要考查兩點間的距離，熟練掌握分類討論的思想是解題的關(guān)鍵．根據(jù)“折中點”的定義分情況求出BC的長度即可．【詳解】①如圖，CD=5，CE∵點D是折線A﹣C﹣B的∴AD=∵點E為線段AC的中點，∴AE∴AC=14∴AD=∴DC+∴BC=9-5=4如圖，CD=5，CE∵點D是折線A﹣C﹣B的∴BD=∵點E為線段AC的中點，∴AE∴AC=14∴BD=∴BC=綜上所述，BC的長為4或24，故答案為：4或24．【變式9-1】（22-23七年級上·廣東東莞·期末）如圖，將一根繩子對折一次后用線段AB表示，點P在AB上，且2AP=3PB，現(xiàn)從P處將繩子剪斷，剪斷后的各段繩子中最短的一段為30cm【答案】90cm或180cm/180【分析】本題主要考查了線段的和差，分兩種情況：當點B為折點時，當點A為折點時，結(jié)合圖形，分別求出各段繩子的長度，即可得出答案，熟練掌握線段的和差計算，采用分類討論的思想是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：①如圖1，當點B為折點時，∵2AP∴剪開的三段分別為AP=∴AA'=30×3=90②如圖2，當點A為折點時，∵2AP∴剪開的三段分別為BP，∴BP=∴AP∴A綜上所述，這條繩子的原長為90cm或180故答案為：90cm或180【變式9-2】（21-22七年級上·安徽滁州·期末）如圖，線段AB表示一條已經(jīng)對折的繩子，現(xiàn)從P點處將繩子剪斷，剪斷后的各段繩子中最長的一段為30cm．（1）若點P為AB的中點，則對折前的繩長為cm；（2）若AP=23BP【答案】6050或75【分析】（1）根據(jù)P為AB中點，可知AP=（2）分類討論：①AP是最長的一段，根據(jù)AP=23BP，可得PB的長，再根據(jù)線段的和差，可得答案；②PB是最長的一段，根據(jù)【詳解】解：（1）∵P為AB∴AP∴2AB故答案為：60；（2）①AP是最長的一段，AP=15=PB=15×由線段的和差，得AB=∴原來繩長為2AB②PB是最長的一段，由題意PB=15∴AP由線段的和差，得AB=∴原來繩長為50cm故答案為：50或75．【點睛】本題考查了線段的和與差，分類討論是解題關(guān)鍵，以防遺漏．【變式9-3】（20-21七年級上·福建泉州·期末）如圖①，在數(shù)軸上點A表示的數(shù)為-2，將點A沿數(shù)軸向左平移12個單位，得到一條線段AB（1）在數(shù)軸上點B表示的數(shù)為；（2）若C為線段AB上一點，如圖②，以點C為折點，將此數(shù)軸向右對折，如圖③，點B落在點A的右邊點B′處，若A恰好為線段CB′的中點，求線段AC的長．【答案】（1）-14；（2）4【分析】（1）根據(jù)點的平移方向列式求解；（2）利用數(shù)軸上兩點間距離公式先去得AB的長，然后根據(jù)折疊及中點的概念列出線段間的和差關(guān)系，從而求解．【詳解】解：（1）∵在數(shù)軸上點A表示的數(shù)為-2，將點A沿數(shù)軸向左平移12個單位，得到一條線段AB∴在數(shù)軸上點B表示的數(shù)為-2-12=-14故答案為：－14

，（2）∵A點表示-2，B點表示-14∴AB=-2-（-14）=12∵A為CB′的中點∴CB由對折得BC∴AB∴AC=4【點睛】此題數(shù)軸上兩點之間的距離及線段中點的定義，利用數(shù)形結(jié)合的思想和數(shù)軸上求兩點之間距離的方法解決問題．【題型10與線段有關(guān)的動點問題】【例10】（22-23七年級上·吉林·期末）如圖，在直線l上順次取A，B，C三點，已知AB=20，BC=80，點M，N分別從A，B兩點同時出發(fā)向點C運動．當其中一動點到達C點時，M，N同時停止運動．已知點M的速度為每秒2個單位長度，點N速度為每秒1個單位長度，設運動時間為(1)用含t的式子表示線段AM的長度為______；(2)當t為何值時，M，N兩點重合？(3)若點P為AM中點，點Q為BN中點．問：是否存在時間t，使PQ長度為5？若存在，請說明理由．【答案】(1)2(2)當t=20時，M、N(3)當t=30或50時，【分析】本題考查一元一次方程的應用、列代數(shù)式、線段的和與差，理解題意，正確得出表示線段的代數(shù)式，利用數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想求解是解答的關(guān)鍵．（1）直接根據(jù)路程=時間×速度求解即可；（2）先用t表示出AM、AN，再根據(jù)題意列出方程求解即可；（3）先用t表示出PA，QA，再分點P在Q的左邊和點P在Q的右邊，利用PQ=5【詳解】（1）解：∵點M的速度為每秒2個單位長度，運動時間為t秒，∴AM=2故答案為：2t（2）解：由題意，AM=2t，當M，N兩點重合時，AM=∴2t解得t=20∴當t=20時，M、N（3）解：存在時間t，使PQ=5由題意得，AM=2∵點P為AM中點，點Q為BN中點．∴PA=t，∴QA=20+當點P在Q的左邊時，PQ=20+12當點P在Q的右邊時，PQ=t-∴當t=30或50時，PQ【變式10-1】（22-23七年級上·四川綿陽·期末）如圖，數(shù)軸上A，B，C三點對應的數(shù)分別是a，b，c，滿足a=2k-2，c=a+9，且k為最大的負整數(shù)，點B為線段AC上一點，將射線BA沿點B對折后落在射線BC上，點A(1)求b的值；(2)動點P從A點出發(fā)沿數(shù)軸以每秒1個單位的速度向點C運動，同時動點Q從C點出發(fā)沿數(shù)軸以每秒2個單位的速度向點A運動．設運動的時間為t秒，當P，Q相遇時，求t的值．【答案】(1)2．(2)t=3【分析】本題考查的是負整數(shù)的定義，線段