專題4.7線段計(jì)算的常用思想方法【八大題型】 【滬科版2024】TOC\o"1-3"\h\u【題型1方程思想之設(shè)關(guān)鍵線段】 1【題型2方程思想之設(shè)比例份數(shù)】 6【題型3整體思想】 10【題型4分類討論思想之分點(diǎn)位置的差異】 14【題型5分類討論思想之點(diǎn)在直線上和線段上的差異】 17【題型6數(shù)形結(jié)合思想】 21【題型7線段的計(jì)算之多結(jié)論問題】 26【題型8線段的計(jì)算之求線段比】 30知識(shí)點(diǎn)1：方程思想之設(shè)關(guān)鍵線段條件:BC-AC=a.結(jié)論:設(shè)AC=x，則BC=a+x,AB=2x+a.【題型1方程思想之設(shè)關(guān)鍵線段】【例1】（23-24七年級(jí)·江蘇泰州·期末）如圖，點(diǎn)A、B、C在同一條直線上，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P為AC延長(zhǎng)線上一動(dòng)點(diǎn)(AD≠DP)，點(diǎn)E為AP的中點(diǎn)，則【答案】±2【分析】設(shè)AB=x，BC=y，CP=【詳解】解：設(shè)AB=x，BC=當(dāng)AD>則AD=AB+BD=xDE=AD-則AC當(dāng)AD<則AD=AB+BD=xDE=AE-則AC故答案為：±2【點(diǎn)睛】此題考查了線段中點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算，解題的關(guān)鍵是理解題意，正確畫出圖形，利用分類討論的思想求解問題．【變式1-1】（23-24七年級(jí)·河南許昌·期末）如圖，數(shù)軸上點(diǎn)A，B表示的有理數(shù)分別為-6，3，點(diǎn)P是射線AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A，B重合），M是線段AP靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn)，N是線段BP靠近點(diǎn)B(1)若點(diǎn)P表示的有理數(shù)是0，那么MN的長(zhǎng)為___________；若點(diǎn)P表示的有理數(shù)是6，那么MN的長(zhǎng)為___________．(2)點(diǎn)P在射線AB上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)A，B重合）的過程中，MN的長(zhǎng)是否發(fā)生改變？若不改變，請(qǐng)寫出求MN的長(zhǎng)的過程；若改變，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)6；6(2)不會(huì)，MN的長(zhǎng)為定值6【分析】本題主要考查了兩點(diǎn)間的距離，熟練掌握兩點(diǎn)間的距離公式是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)題意求出AP、BP的長(zhǎng)度，根據(jù)三等分點(diǎn)的定義求出（2）分-6<a<3【詳解】（1）解：若點(diǎn)P表示的有理數(shù)是0，根據(jù)題意可知：AP=6,∵M(jìn)是線段AP靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn)，N是線段BP靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn)，∴MP∴MN若點(diǎn)P表示的有理數(shù)是6，∴AP∵M(jìn)是線段AP靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn)，N是線段BP靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn)，∴MP∴MN故答案為：6；6；（2）解：MN的長(zhǎng)不會(huì)發(fā)生改變；設(shè)點(diǎn)P表示的有理數(shù)為a（a>-6且a當(dāng)-6<a<3時(shí)，AP∵M(jìn)是線段AP靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn)，N是線段BP靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn)，∴MP∴MN當(dāng)a>3時(shí)，AP=a∵M(jìn)是線段AP靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn)，N是線段BP靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn)，∴MP∴MN綜上所述，點(diǎn)P在射線AB上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)A，B重合）的過程中，MN的長(zhǎng)不會(huì)發(fā)生改變，長(zhǎng)是定值6．【變式1-2】（23-24七年級(jí)·江西撫州·階段練習(xí)）直線l上有線段AB=10，點(diǎn)C在直線l上（與點(diǎn)A、點(diǎn)B不重合），且BC=a，M是AC中點(diǎn)，N是BC【答案】圖見解析，MN【分析】本題考查了求兩點(diǎn)之間的距離的應(yīng)用，關(guān)鍵是求出各個(gè)線段的長(zhǎng)和關(guān)鍵圖形得出MN、CN、CM之間的關(guān)系式．分為三種情況畫出圖形：①當(dāng)C在線段AB上時(shí)，②當(dāng)C在B的右側(cè)時(shí)，③當(dāng)C在【詳解】解：（1）當(dāng)C在線段AB上時(shí)，∵AB=10,∴AC=10-∵M(jìn)是AC中點(diǎn)，N是BC中點(diǎn)，∴CM=∴MN=（2）當(dāng)C在B的右側(cè)時(shí)，∵AB=10,∴AC=10+∵M(jìn)是AC中點(diǎn)，N是BC中點(diǎn)，∴CM=12AC∴MN=（3）當(dāng)C在A點(diǎn)的左側(cè)時(shí)，．∵AB=10,∴AC=∵M(jìn)是AC中點(diǎn)，N是BC中點(diǎn)，∴CM=12∴MN=綜合可知，MN=5【變式1-3】（23-24七年級(jí)·湖北武漢·期末）如圖（1）所示，已知直線l上有E，F(xiàn)兩點(diǎn)，EF=15cm，有一根木棒AB放在直線l上，將木棒沿直線l左右水平移動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)B與F重合時(shí)，點(diǎn)A剛好落在點(diǎn)B移動(dòng)前的位置，當(dāng)點(diǎn)A與E重合時(shí)，點(diǎn)

(1)直接寫出木棒AB的長(zhǎng)；(2)木棒AB在射線EF上移動(dòng)的過程中，當(dāng)AE=4BF時(shí)，求(3)另一根木棒CD長(zhǎng)為3cm，AB和CD在直線l上的位置如圖（2）所示，其中點(diǎn)D與E重合，點(diǎn)B與F重合．木棒AB以3個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度向左移動(dòng)，木棒CD以2個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度向右移動(dòng)，它們同時(shí)出發(fā)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，若式子AD+BC【答案】(1)5cm(2)8cm或40(3)2≤t≤18【分析】（1）根據(jù)題意可得AB的長(zhǎng)等于EF的三分之一，即可求解；（2）設(shè)AE=xcm，分點(diǎn)B（3）由式子AD+BC的值為定值可判斷出木棒CD和木棒AB重疊，分別求出點(diǎn)E與點(diǎn)A重合和點(diǎn)E與點(diǎn)F重合的時(shí)間，即可求出t的取值范圍，由木棒CD和木棒AB重疊可得AD+本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意，找到等量關(guān)系，并運(yùn)用分類討論的方法分別列出方程是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：由題意可得，AB=（2）解：設(shè)AE=當(dāng)點(diǎn)B在點(diǎn)F左側(cè)時(shí)，BF=15-∵AE=4∴x=4解得x=8∴AE=8當(dāng)點(diǎn)B在點(diǎn)F右側(cè)時(shí)，BF=5-∵AE=4∴x=4解得x=∴AE=∴AE的長(zhǎng)為8cm或40（3）解：由題意可得，當(dāng)木棒CD和木棒AB重疊時(shí)，式子AD+定值即為AB+當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時(shí)，2t解得t=2當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)F重合時(shí)，2t解得t=∴當(dāng)2≤t≤185時(shí)，式子知識(shí)點(diǎn)2：方程思想之設(shè)比例份數(shù)條件:AC:CD:DB=a:b:c.結(jié)論:設(shè)AC=ax，則CD=bx,DB=cx.【題型2方程思想之設(shè)比例份數(shù)】【例2】（23-24七年級(jí)·重慶豐都·期末）如圖，點(diǎn)B,D在線段AC上，BD=13AB=14CD,E是A．9 B．10 C．11 D．12【答案】D【分析】本題考查了求兩點(diǎn)之間的距離，解題的關(guān)鍵是能根據(jù)題意得出方程．設(shè)BD=x，求出AB=3x，CD=4x，求出BE=12【詳解】解：設(shè)BD=x，則AB=3∵線段AB、CD的中點(diǎn)分別是E、F，∴BE=1∵EF∴1.5x解得：x=4∴AB故選：D．【變式2-1】（2024七年級(jí)·全國(guó)·競(jìng)賽）如圖，若延長(zhǎng)AB到點(diǎn)C，使BC=14AB，點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)，CD=5A．6cm B．8cm C．10cm【答案】B【分析】本題考查了線段的和差定義、線段的中點(diǎn)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)解決問題，屬于中考?？碱}型．設(shè)BC=a，則【詳解】解：設(shè)BC=a，則∵D為AC的中點(diǎn)，∴AD=∵DC=5∴2.5a∴a=2∴AB=4∴線段AB的長(zhǎng)度是8cm故選：B．【變式2-2】（23-24七年級(jí)·湖北武漢·期末）已知線段AB=m，延長(zhǎng)BA至點(diǎn)C，使CB=43AB，點(diǎn)D、E均為線段BA延長(zhǎng)線上兩點(diǎn)，且4BD=3AE,M、N分別是線段DEA．76m B．73m C．73m或14【答案】C【分析】本題考查了線段的和差問題，畫出線段有助于更直觀地解題，注意分情況討論．由點(diǎn)C是線段BD的三等分點(diǎn)，可知分兩種情況進(jìn)行討論，畫出圖形，結(jié)合線段的比例關(guān)系，及線段中點(diǎn)的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：∵AB=m,∴CB①若BC=23∵CB=∴BD∵4BD∴AE∴DE∵M(jìn)是線段DE的中點(diǎn)，N是線段AB的中點(diǎn)，∴DM=∴MN=②若BC=∴BD=3∵4BD∴AE∴DE∵M(jìn)是線段DE的中點(diǎn)，N是線段AB的中點(diǎn)，∴DM∴MN故選：C．【變式2-3】（23-24七年級(jí)·四川綿陽·期末）已知線段AB，點(diǎn)C在線段AB上，AB=mBC，反向延長(zhǎng)線段AB至D，使BD=nAD，若m=3，BDA．53 B．74 C．116【答案】D【分析】本題考查了線段的和與差，正確畫出圖形，熟練掌握線段之間的運(yùn)算是解題關(guān)鍵．先畫出圖形，設(shè)AB=3a，則BC=a，AC=2a，再根據(jù)【詳解】解：由題意，畫出圖形如下：設(shè)AB=3∵AB=mBC，∴BC=a，∵BD:CD=11:8∴BD=∴AD=∵BD=∴n=知識(shí)點(diǎn)3：整體思想條件:點(diǎn)C,D在線段AB上,AC=x,CD=a，DB=b-x.結(jié)論:AB=x+a+b-x=a+6.條件:C為AB上一點(diǎn),AC=a-x,CB=b+x.結(jié)論:AB=a-x+b+x=a+b.【題型3整體思想】【例3】（2024七年級(jí)·全國(guó)·競(jìng)賽）如圖，A，B，C，D四點(diǎn)在同一直線上，M是AC的中點(diǎn)，N是線段BD的中點(diǎn)，MN=a，CD=b，則A．a(chǎn)+b B．a(chǎn)+2b C．【答案】C【分析】本題考查了線段中點(diǎn)的定義，線段的和差計(jì)算，熟練掌握線段中點(diǎn)的定義及線段的和差計(jì)算是解答本題的關(guān)鍵．先求出CM+DN=a-b，再由線段中點(diǎn)的定義，可得【詳解】∵M(jìn)N=a∴CM∵M(jìn)是AC的中點(diǎn)，N是線段BD∴AC=2CM∴=2=2(=2a故選C．【變式3-1】（23-24七年級(jí)·北京·期末）如圖，線段AB=24，動(dòng)點(diǎn)P從A出發(fā)，以每秒2個(gè)單位的速度沿射線AB運(yùn)動(dòng)，M為AP(1)出發(fā)多少秒后，PB=2(2)當(dāng)P在線段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，試說明2BM(3)當(dāng)P在AB延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，N為BP的中點(diǎn)，下列兩個(gè)結(jié)論：①M(fèi)N長(zhǎng)度不變；②【答案】(1)出發(fā)6秒后PB=2(2)2BM(3)選①，MN=12【分析】本題考查了兩點(diǎn)間的距離，解答本題的關(guān)鍵是用含時(shí)間的式子表示出各線段的長(zhǎng)度．（1）分兩種情況討論，①點(diǎn)P在點(diǎn)B左邊，②點(diǎn)P在點(diǎn)B右邊，分別求出t的值即可．（2）AM=x，BM=24-x，（3）PA=2x，AM=PM=x，PB=2【詳解】（1）解：設(shè)出發(fā)x秒后PB=2當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B左邊時(shí)，PA=2x，PB=24-2由題意得，24-2x解得：x=6當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B右邊時(shí)，PA=2x，PB=2由題意得：2x綜上可得：出發(fā)6秒后PB=2（2）解：∵AM=x，BM∴2BM（3）解：選①；∵PA=2x，AM=PM∴①M(fèi)N=②MA+PN【變式3-2】（23-24七年級(jí)·遼寧大連·期末）如圖，在直線l上順次取A、B、C三點(diǎn)，已知AB=20,BC=80，點(diǎn)M﹑N分別從A、B兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)．當(dāng)其中一動(dòng)點(diǎn)到達(dá)C點(diǎn)時(shí)，M、N同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．已知點(diǎn)M的速度為每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn)N速度為每秒1(1)用含t的代數(shù)式表示線段AM的長(zhǎng)度為______；(2)當(dāng)t為何值時(shí)，M、N兩點(diǎn)重合？(3)若點(diǎn)P為AM中點(diǎn)，點(diǎn)Q為BN中點(diǎn)．問：是否存在時(shí)間t，使PQ=5？若存在，請(qǐng)求出t【答案】(1)2(2)t(3)存在，當(dāng)t=30或50時(shí)，【分析】（1）直接根據(jù)路程=時(shí)間×速度求解即可；（2）先用t表示出AM、AN，再根據(jù)題意列出方程求解即可；（3）先用t表示出PA，QA，再分點(diǎn)P在Q的左邊和點(diǎn)P在Q的右邊，利用PQ=5【詳解】（1）解：∵點(diǎn)M的速度為每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，∴AM=2故答案為：2t（2）解：由題意，AM=2t，由2t=20+t∴當(dāng)t=20時(shí)，M、N（3）解：存在時(shí)間t，使PQ=5由題意，PA=t，BQ=當(dāng)分點(diǎn)P在Q的左邊時(shí)，PQ=20+12當(dāng)點(diǎn)P在Q的右邊時(shí)，PQ=t-故當(dāng)t=30或50時(shí)，PQ【點(diǎn)睛】本題考查一元一次方程的應(yīng)用、列代數(shù)式、線段的和與差，理解題意，正確得出表示線段的代數(shù)式，利用數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想求解是解答的關(guān)鍵．【變式3-3】（23-24七年級(jí)·河北石家莊·階段練習(xí)）已知題目：“如圖，線段AB上依次有M,C,D,N四個(gè)點(diǎn)，其中點(diǎn)M是線段AC的中點(diǎn)，點(diǎn)N是線段BD的中點(diǎn)，若線段AB=28cm，線段CD=8cm，求線段(1)按照嘉淇的思路，求出MN的長(zhǎng)；(2)按照老師的思路，給出解答過程．【答案】(1)18(2)18cm【分析】（1）根據(jù)中點(diǎn)定義和線段之間的和差關(guān)系得到MC、DN，利用（2）根據(jù)題意得到AC+CD=AB-DB=20cm，點(diǎn)M是線段AC的中點(diǎn)，點(diǎn)N是線段BD的中點(diǎn)，則此題考查了線段的和差關(guān)系和線段中點(diǎn)的相關(guān)計(jì)算，弄清線段之間的關(guān)系是解題得到關(guān)鍵．【詳解】（1）解：∵點(diǎn)M是線段AC的中點(diǎn)，AC=8∴MC=∵AB=28cm，∴BC=∴BD=∵點(diǎn)N是線段BD的中點(diǎn)，∴DN=∴MN（2）∵AB=28cm，CD=8∴AC+∵點(diǎn)M是線段AC的中點(diǎn)，點(diǎn)N是線段BD的中點(diǎn)，∴MC=12∴MC+∴MN=知識(shí)點(diǎn)4：分類討論思想條件:C為直線AB上一點(diǎn).結(jié)論:當(dāng)C在線段AB上時(shí)，AC1=AB-BC1；當(dāng)C在線段AB的延長(zhǎng)線上時(shí),AC2=AB+BC2條件:C為AB的n等分點(diǎn)結(jié)論:AC1=1nAB,AC2=n【題型4分類討論思想之分點(diǎn)位置的差異】【例4】（23-24七年級(jí)·河南鄭州·期末）如圖，點(diǎn)C是線段AB上一點(diǎn)，D為BC的中點(diǎn)，且AB=10cm,BD=4cm．若點(diǎn)E在直線AB上，且A．3cm B．13cm C．2cm或13cm D．3cm或9cm【答案】D【分析】本題考查線段的和差關(guān)系，根據(jù)題意，點(diǎn)E的位置關(guān)系有兩種情況：①點(diǎn)E在點(diǎn)A左側(cè)；②點(diǎn)E在點(diǎn)A右側(cè)；在不同情況下，作出圖形，數(shù)形結(jié)合，表示出線段之間的和差關(guān)系，代值求解即可得到答案，讀懂題意，準(zhǔn)確分類，作出圖形，數(shù)形結(jié)合是解決問題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵點(diǎn)E在直線AB上，∴點(diǎn)E的位置關(guān)系有兩種情況：①點(diǎn)E在點(diǎn)A左側(cè)；②點(diǎn)E在點(diǎn)A右側(cè)；當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)A左側(cè)，如圖所示：∵AB=10∴DE=當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)A左側(cè)，如圖所示：∵D為BC的中點(diǎn)，BD=4cm∴CD∵AB=10∴AC∵AE∴點(diǎn)E在點(diǎn)C右側(cè)，則CE=∴DE=綜上所述，DE的長(zhǎng)為3cm或9cm，故選：D．【變式4-1】（23-24七年級(jí)·浙江金華·開學(xué)考試）已知線段AC=10，點(diǎn)B是線段AC的中點(diǎn)，點(diǎn)D是線段AC上一點(diǎn)，且BD=2，則線段CD的長(zhǎng)為（A．3 B．3或7 C．8或3 D．8【答案】B【分析】本題主要考查兩點(diǎn)間的距離，熟知各線段之間的和、差及倍數(shù)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題意畫出圖形，根據(jù)題意分情況討論即可得到答案．【詳解】解：①當(dāng)點(diǎn)D在點(diǎn)B左側(cè)時(shí)，∵AC=10，點(diǎn)B是線段∴BC∵BD∴CD②當(dāng)點(diǎn)D在點(diǎn)B右側(cè)時(shí)，∵AC=10，點(diǎn)B是線段∴BC∵BD∴CD故選B．【變式4-2】（23-24七年級(jí)·江蘇揚(yáng)州·階段練習(xí)）如圖，已知線段AB=12cm，點(diǎn)C為AB上一點(diǎn)且AC=3cm，點(diǎn)(1)求CP的長(zhǎng)度；(2)點(diǎn)D是直線AB上一點(diǎn)，且CD+BD=13【答案】(1)4.5(2)2cm或【分析】本題主要考查了線段的和差計(jì)算，利用數(shù)形結(jié)合的思想求解是解題的關(guān)鍵．（1）先求出BC的長(zhǎng)，再根據(jù)線段中點(diǎn)的定義求解即可；（2）分點(diǎn)D在點(diǎn)P的左邊時(shí)，點(diǎn)D在點(diǎn)P的右邊時(shí)，兩種情況討論求解即可．【詳解】（1）∵AB=12cm，∴BC∵點(diǎn)P是BC的中點(diǎn)，∴PC（2）解：如圖，點(diǎn)D在點(diǎn)P的左邊時(shí)，∵CD+BD=13，AB∴CB∴CD∴CD點(diǎn)D在點(diǎn)P的右邊時(shí)，∵CD+BD=13，AB∴CB∴CD∴BD∴CD綜上所述：CD的長(zhǎng)為2cm或11cm．【變式4-3】（23-24七年級(jí)·河南駐馬店·期末）有公共端點(diǎn)P的兩條線段MP，NP組成一條折線M-P-N，若該折線M-P-N上一點(diǎn)Q把這條折線分成相等的兩部分，我們把這個(gè)點(diǎn)Q叫做這條折線的“折中點(diǎn)”．已知點(diǎn)D是折線A-C-B的“折中點(diǎn)A．2 B．4 C．2或14 D．4或14【答案】C【分析】本題考查了線段的中點(diǎn)，線段的和差計(jì)算．根據(jù)題意運(yùn)用分類討論畫出兩個(gè)圖形，運(yùn)用線段中點(diǎn)的定義與線段的和差即可解答．【詳解】分兩種情況討論：①如圖，CD=3,∵點(diǎn)E是線段AC的中點(diǎn)，∴AC=2∴AD=∵點(diǎn)D是折線A-C-B的∴AD=DC∴BC=2②如圖，CD=3,∵點(diǎn)E是線段AC的中點(diǎn)，∴AC=2∵點(diǎn)D是折線A-C-B的∴BD=∴BC=綜上所述，線段BC的長(zhǎng)為2或14．故選：C【題型5分類討論思想之點(diǎn)在直線上和線段上的差異】【例5】（23-24七年級(jí)·遼寧葫蘆島·階段練習(xí)）已知線段AB=20cm，C為直線AB上一點(diǎn)，且AC=4cm，M，N分別是AC、BC的中點(diǎn)，則A．13cm B．12cm或8cm C．10cm或8cm D．10cm【答案】D【分析】本題考查了兩點(diǎn)間的距離．解答此題時(shí)，充分利用了兩點(diǎn)間的中點(diǎn)的定義．分當(dāng)點(diǎn)C在AB上時(shí)，當(dāng)點(diǎn)C在BA的延長(zhǎng)線上時(shí)兩種情況討論即可．【詳解】解：如圖，當(dāng)點(diǎn)C在AB上時(shí)，又∵M(jìn)，N分別是AC、BC∴MC=1∴MN∴MN當(dāng)點(diǎn)C在BA的延長(zhǎng)線上時(shí)，又∵M(jìn)，N分別是AC、BC∴MC=1∴MN∴MN故選：D．【變式5-1】（23-24七年級(jí)·山東濰坊·階段練習(xí)）已知C是直線AB上的一點(diǎn)，AC=5cm，CB=3cm，M是AB的中點(diǎn)，【答案】1cm或【分析】本題考查了線段的和差、與線段中點(diǎn)有關(guān)的計(jì)算，分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)C在AB之間時(shí)；當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)B右側(cè)時(shí)；分別求解即可得出答案，采用分類討論的思想是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，當(dāng)點(diǎn)C在AB之間時(shí)，此時(shí)AB=∵M(jìn)是AB的中點(diǎn)，∴AM=∴CM=如圖，當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)B右側(cè)時(shí)，

此時(shí)AB=∵M(jìn)是AB的中點(diǎn)，∴AM=∴CM=綜上所述，MC的長(zhǎng)為1cm或4故答案為：1cm或4【變式5-2】（23-24七年級(jí)·全國(guó)·單元測(cè)試）已知線段AB=5，點(diǎn)C為直線AB上一點(diǎn)，且AC:BC=3:2，點(diǎn)D為線段AC的中點(diǎn)，則線段A．3.5 B．3.5或7.5 C．3.5或2.5 D．2.5或7.5【答案】C【分析】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是線段的和與差、含中點(diǎn)線段之間的數(shù)量關(guān)系，解題關(guān)鍵是利用線段比例得出AC、BC的長(zhǎng)．根據(jù)題意畫出圖形，再分點(diǎn)C在線段AB上或線段AB的延長(zhǎng)線上兩種情況進(jìn)行討論．【詳解】解：①當(dāng)點(diǎn)C在線段AB上時(shí)，如下圖：∵AB=5，∴BC=2，∵點(diǎn)D是線段AC的中點(diǎn)，∴CD∴BD②當(dāng)點(diǎn)C在線段AB外時(shí)，如下圖：∵AB=5，∴BC=10，∵點(diǎn)D是線段AC的中點(diǎn)，∴AD∴BD綜上所述，BD=3.5或2.5故選：C．【變式5-3】（23-24七年級(jí)·江西南昌·期末）已知：如圖，點(diǎn)M是線段AB上一定點(diǎn)，AB=16cm，C、D兩點(diǎn)分別從M、B出發(fā)以1cm/s、3cm/s的速度沿直線BA向左運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)方向如箭頭所示（C在線段AM上，D(1)若AM=6cm，當(dāng)點(diǎn)C、D運(yùn)動(dòng)了3s，此時(shí)AC=(2)當(dāng)點(diǎn)C、D運(yùn)動(dòng)了3s，求AC(3)若點(diǎn)C、D運(yùn)動(dòng)時(shí)，總有MD=3AC，則AM(4)在（3）的條件下，N是直線AB上一點(diǎn)，且AN-BN=【答案】(1)3cm；(2)4(3)4(4)12或【分析】本題考查了線段上的動(dòng)點(diǎn)問題，線段的和差，較難的是題（4），依據(jù)題意，正確分兩種情況討論是解題關(guān)鍵．（1）先求出CM、BD的長(zhǎng)，再根據(jù)線段的和差即可得；（2）先求出BD與CM的關(guān)系，再根據(jù)線段的和差即可得；（3）根據(jù)已知得MB=3AM，然后根據(jù)（4）分點(diǎn)N在線段AB上和點(diǎn)N在線段AB的延長(zhǎng)線上兩種情況，再分別根據(jù)線段的和差倍分即可得．【詳解】（1）解：根據(jù)題意知，CM=3cm，∵AB=16cm，∴BM=10∴AC=AM-故答案為：3cm；1（2）解：當(dāng)點(diǎn)C、D運(yùn)動(dòng)了3s時(shí)，CM=3cm∵AB=16∴AC+故答案為：4cm（3）解：根據(jù)C、D的運(yùn)動(dòng)速度知：BD=3∵M(jìn)D=3∴BD+MD=3∵AM+∴AM+3∴AM=故答案為：4cm（4）解：①當(dāng)點(diǎn)N在線段AB上時(shí)，如圖1，

∵AN-又∵AN∴BN=∴MN∴MNAB②當(dāng)點(diǎn)N在線段AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖2，

∵AN-又∵AN-∴MN=∴MNAB綜上所述：MNAB=1【題型6數(shù)形結(jié)合思想】【例6】（23-24七年級(jí)·湖南婁底·期末）某公司員工分別住在A，B，C三個(gè)住宅區(qū)，A區(qū)有30人，B區(qū)有15人，C區(qū)有10人．三個(gè)區(qū)在一條直線上，位置如圖所示，AB=100m,A．A區(qū) B．B區(qū) C．C區(qū) D．不確定【答案】A【分析】本題主要考查了列代數(shù)式，比較線段的長(zhǎng)短，整式的運(yùn)算，正確求出?？奎c(diǎn)分別在A、B、C各點(diǎn)和A區(qū)、B區(qū)之間時(shí)，在B區(qū)、C區(qū)之間時(shí)，員工步行的路程和是解題的關(guān)鍵，要能把線段的概念在現(xiàn)實(shí)中進(jìn)行應(yīng)用．【詳解】解：當(dāng)?？奎c(diǎn)在A區(qū)時(shí)，所有員工步行到停靠點(diǎn)路程總和是15AB當(dāng)?？奎c(diǎn)在B區(qū)時(shí)，所有員工步行到?？奎c(diǎn)路程總和是30AB當(dāng)?？奎c(diǎn)在C區(qū)時(shí)，所有員工步行到?？奎c(diǎn)路程總和是30AC因?yàn)?500<5000<12000，即在A區(qū)時(shí)，路程之和最小，為4500米，設(shè)在A區(qū)、B區(qū)之間時(shí)，設(shè)距離A區(qū)x米，則所有員工步行路程之和=30=30=5x∴當(dāng)x=0時(shí)，即在A區(qū)時(shí)，路程之和最小，為4500設(shè)在B區(qū)、C區(qū)之間時(shí)，設(shè)距離B區(qū)x米，則所有員工步行路程之和=30x=30=35x∴當(dāng)x=0時(shí)，即在B區(qū)時(shí)，路程之和最小，為5000綜上，當(dāng)?？奎c(diǎn)在A區(qū)時(shí)，所有員工步行到?？奎c(diǎn)路程和最小，所以停靠點(diǎn)的位置應(yīng)在A區(qū)．故選：A．【變式6-1】（23-24七年級(jí)·重慶九龍坡·開學(xué)考試）數(shù)軸是中學(xué)數(shù)學(xué)教材中數(shù)形結(jié)合的第一個(gè)實(shí)例，它使點(diǎn)與實(shí)數(shù)之間建立起一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，揭示了“數(shù)”和“形”之間的內(nèi)在聯(lián)系．小華在一張長(zhǎng)方形紙條上畫了一條數(shù)軸，進(jìn)行如下操作：如圖①，在數(shù)軸上剪下12個(gè)單位長(zhǎng)度（從-3到9）后得到的一條線段，過線段上某點(diǎn)將紙條向左折疊；如圖②，然后在重疊部分的某處剪一刀，展開后得到三條線段，發(fā)現(xiàn)有折痕的線段長(zhǎng)度為6，另外兩條沒有折痕的線段長(zhǎng)度之比為1:2，則折痕處對(duì)應(yīng)的點(diǎn)表示的數(shù)為【答案】4或2/2或4【分析】先求出另外兩條線段的長(zhǎng)度分別為：12-6×13【詳解】解：∵展開后得到三條線段，發(fā)現(xiàn)有折痕的線段長(zhǎng)度為6，另外兩條沒有折痕的線段長(zhǎng)度之比為1:2，∴另外兩條線段的長(zhǎng)度分別為：12-6×13當(dāng)較長(zhǎng)的一段含有的數(shù)有-3，較短的一段含有的數(shù)有9則有折痕的一段中最小的數(shù)為：-3+4=1，最大的數(shù)為9-2=7∴此時(shí)折痕處對(duì)應(yīng)的點(diǎn)表示的數(shù)為1+72當(dāng)較長(zhǎng)的一段含有的數(shù)有9，較短的一段含有的數(shù)有-3則有折痕的一段中最小的數(shù)為：-3+2=-1，最大的數(shù)為：9-4=5∴此時(shí)折痕處對(duì)應(yīng)的點(diǎn)表示的數(shù)為-1+5綜上分析可知，折痕處對(duì)應(yīng)的點(diǎn)表示的數(shù)為4或2．故答案為：4或2．【點(diǎn)睛】本題主要考查了用數(shù)軸上的點(diǎn)表示有理數(shù)，數(shù)軸上的中點(diǎn)問題，解題的關(guān)鍵是熟練掌握數(shù)軸上點(diǎn)的特點(diǎn)，注意分類討論．【變式6-2】（23-24七年級(jí)·浙江溫州·期末）小敏在元旦期間到蒼南玉蒼山進(jìn)行登山活動(dòng)，攜帶一根登山杖，如圖1，這款可伸縮登山杖共有三節(jié)，我們把登山杖的三節(jié)類似看成三條線段，其中上節(jié)EF是固定不動(dòng)的，長(zhǎng)為54cm，它比中節(jié)CD長(zhǎng)7cm，中節(jié)CD又比下節(jié)AB長(zhǎng)3cm．如圖2，在無伸縮的初始狀態(tài)下，點(diǎn)D，E重合，點(diǎn)B(1)求無伸縮的初始狀態(tài)下登山杖總長(zhǎng)AF的長(zhǎng)度．(2)如圖3，登山過程中，需要根據(jù)不同地形調(diào)整登山杖長(zhǎng)度，當(dāng)總長(zhǎng)度AF縮短為116cm，且點(diǎn)C恰為AE中點(diǎn)時(shí)，求縮進(jìn)部分BC，DE【答案】(1)總長(zhǎng)AF的長(zhǎng)度為145(2)縮進(jìn)部分BC的長(zhǎng)為13cm，DE的長(zhǎng)為【分析】本題考查線段的和差，線段的中點(diǎn)．（1）分別求出CD，AB的長(zhǎng)，根據(jù)AF=（2）先求出AE的長(zhǎng)，再根據(jù)線段中點(diǎn)的定義求出AC=【詳解】（1）解：由題意可得CD=AB=∴AF=答：無伸縮的初始狀態(tài)下登山杖總長(zhǎng)AF的長(zhǎng)度為145cm（2）解：∵AF=116cm，∴AE=∵點(diǎn)C為AE的中點(diǎn)，∴AC=∵AB=44∴BC=∵CD=47cm，∴DE=答：縮進(jìn)部分BC的長(zhǎng)為13cm，DE的長(zhǎng)為16【變式6-3】（23-24七年級(jí)·湖北荊州·期末）數(shù)形結(jié)合思想是通過數(shù)和形之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系和相互轉(zhuǎn)化來解決問題的數(shù)學(xué)思想方法．我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：“數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休?！?1)【問題背景】往返于甲、乙兩地的客車，中途?？?個(gè)車站（來回票價(jià)一樣），可以從任意站點(diǎn)買票出發(fā)且任意兩站間的票價(jià)都不同，問共有多少種不同的票價(jià)．聰明的小慧是這樣思考這個(gè)問題的，她用A,B,(2)【遷移應(yīng)用】A,B,C,D,E,F六支足球隊(duì)進(jìn)行單循環(huán)比賽（任意兩支球隊(duì)只進(jìn)行(3)【拓展創(chuàng)新】某攝制組從A市到B市有一天的路程，計(jì)劃上午比下午多走100千米到C市吃午飯，但由于堵車，中午才趕到一個(gè)小鎮(zhèn)，只行駛了上午原計(jì)劃路程的三分之一，過了小鎮(zhèn)，汽車行駛了400千米，傍晚才停下來休息，司機(jī)說，再走從C市到這里的路程的二分之一就到達(dá)目的地了，求A,【答案】(1)6(2)3(3)A，B兩市相距600千米．【分析】本題考查了線段及一元一次方程的應(yīng)用，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決生活中的問題．（1）解題的關(guān)鍵是需要掌握正確數(shù)線段的方法．先求出線段的條數(shù)，再計(jì)算票價(jià)和車票的種數(shù)；（2）由已知，通過A,B,（3）可以設(shè)A，B兩市相距x千米，根據(jù)題目的敘述用x表示出DE的長(zhǎng)，即可求得．【詳解】（1）解：如圖：從任意站點(diǎn)買票出發(fā)且任意兩站間的票價(jià)都不同，共有3+2+1=6種不同的票價(jià)，需準(zhǔn)備6×2=12種車票．故答案為：6；（2）A比了5場(chǎng)，所以A與B,B比了4場(chǎng)，所以B與A,C比了3場(chǎng)，所以C與A,D比了3場(chǎng)，所以D與A,E只比了1場(chǎng)，所以E與A比過，所以F與A,所以F隊(duì)比賽了3場(chǎng)．故答案為：3；（3）如圖：設(shè)A，B兩市相距x千米，∵AC-BC∴AC=x2∴列以下方程：23解得x=600答：A，B兩市相距600千米．【題型7線段的計(jì)算之多結(jié)論問題】【例7】（23-24七年級(jí)·廣東廣州·期末）如圖，C、D是線段AB上兩點(diǎn)，M、N分別是線段AD、BC的中點(diǎn)，下列結(jié)論：①若AD=BM，則AB=3BD；②若AC=BD，則AM=BN；

A．①②③ B．③④ C．①②④ D．①②③④【答案】D【分析】本題考查中點(diǎn)有關(guān)的線段和差的計(jì)算，線段之間的數(shù)量關(guān)系，能夠利用中點(diǎn)的性質(zhì)求解一些線段之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．由AD=BM可得AM=BD得出AD=MD+BD，由中點(diǎn)的意義得出AD=2BD，進(jìn)一步得出AD+BD=2BD+BD，從而可判斷①；由AC=BD可得AD=BC，由中點(diǎn)的意義可得結(jié)論，從而判斷②【詳解】解：∵AD∴∴AD∴AD=∴AD∴AD+BD=2BD∵AC∴AD∵M(jìn)、N分別是線段AD、BC∴12∴AM=BN∵M(jìn)、N分別是線段AD、BC∴AD=2∵AC∴AC-BD∵2MN=2MC∴2MN∵M(jìn)D=∴2MN=2(1∴正確的有①②③④．故選：D．【變式7-1】（23-24七年級(jí)·湖北咸寧·期末）如圖，點(diǎn)C是線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與A，B重合），點(diǎn)D，E，P分別是線段AC，BC，DE的中點(diǎn)，下列結(jié)論：①圖中的點(diǎn)D，P，C，E都是動(dòng)點(diǎn)；②AD>BE；③AB=2DE；④當(dāng)AC=BC時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)C重合．其中正確的是．（把你認(rèn)為正確結(jié)論的序號(hào)都填上）【答案】①③④【分析】①由題意可知隨著C的運(yùn)動(dòng)，D、P、E都在動(dòng)，故正確；②可以推得當(dāng)C點(diǎn)在AB中點(diǎn)左邊（不含中點(diǎn)）運(yùn)動(dòng)時(shí)，AC<BC，故錯(cuò)誤；③由題意及中點(diǎn)的性質(zhì)可知正確；④由題意，當(dāng)AC=BC時(shí)，C為DE中點(diǎn)，根據(jù)已知，P也為DE中點(diǎn)，所以點(diǎn)P與點(diǎn)C重合．【詳解】解：①∵點(diǎn)C是線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與A，B重合），點(diǎn)D，E，P分別是線段AC，BC，DE的中點(diǎn)，∴D、E隨著C的運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P隨著D、E的運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)，因此，隨著C的運(yùn)動(dòng)，D、P、E都在動(dòng)，∴本選項(xiàng)正確；②∵AD∴當(dāng)C點(diǎn)在AB中點(diǎn)左邊（不含中點(diǎn)）運(yùn)動(dòng)時(shí)，由于AC<BC，∴AD<BE，本選項(xiàng)錯(cuò)誤；③由題意可知：DC=∴DE=12AB，即④由③可知，當(dāng)AC=BC時(shí)，DC=EC，所以C為DE中點(diǎn)，又P也為DE中點(diǎn)，∴點(diǎn)P與點(diǎn)C重合，∴本選項(xiàng)正確．故答案為①③④．【點(diǎn)睛】本題考查中點(diǎn)的應(yīng)用，熟練掌握中點(diǎn)的意義和性質(zhì)并靈活應(yīng)用是解題關(guān)鍵．【變式7-2】（23-24七年級(jí)·安徽黃山·期末）如圖，C，D是線段AB上兩點(diǎn)（點(diǎn)D在點(diǎn)C右側(cè)），E，F(xiàn)分別是線段AD??①EF=1②若AE=BF，則③AB-CD④AC-其中正確的結(jié)論是（

）A．①② B．②③ C．②④ D．③④【答案】B【分析】本題主要考查了線段的和差運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握中點(diǎn)的定義，根據(jù)圖形，分析線段之間的和差關(guān)系．結(jié)合圖形，根據(jù)線段中點(diǎn)的定義與線段之間的和差關(guān)系逐一進(jìn)行分析，即可進(jìn)行解答．【詳解】解：∵E，F(xiàn)分別是線段AD??，???∴AE=∴EF=故①不符合題意；∵AE=∴12AD=∴AD-∴AC=BD，故∵EF=∴AB-CD=2④∵AC=∴AC-∴2AC∴2∴AC-BD=2故選：B．【變式7-3】（23-24七年級(jí)·江西吉安·階段練習(xí)）如圖所示，B在線段AC上，且BC=3AB，D是線段AB的中點(diǎn)，E是BC的三等分點(diǎn)，則下列結(jié)論：①3EC=AE；②DE=3BD；③【答案】①④/④①【分析】本題考查了兩點(diǎn)間的距離，中點(diǎn)的定義，用幾何式子正確表示相關(guān)線段，結(jié)合圖形進(jìn)行線段的和差計(jì)算是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題中的已知條件，結(jié)合圖形，對(duì)結(jié)論進(jìn)行一一論證，從而選出正確答案．【詳解】解：∵E是BC的三等分點(diǎn)，BC=3∴BC=3EC∴AB∴AB∴AE∴3EC故①正確；∵3EC=AE∴AE∵D是線段AB的中點(diǎn)，∴AD∴2∴DE∴DE故②錯(cuò)誤；∵BE=∴1∵BE∴BE∴BE∴3BE故③錯(cuò)誤；∵BC=3AB∴6∵AE∴AE∴5故④正確；綜上，正確的有①④，故答案為：①④．【題型8線段的計(jì)算之求線段比】【例8】（23-24七年級(jí)·重慶沙坪壩·開學(xué)考試）如圖，已知C是線段AB上的一點(diǎn)，P、Q分別是線段AB,CB的中點(diǎn)，M、N分別是線段BP,BQ的中點(diǎn)，則A．16 B．14 C．13【答案】B【分析】本題考查兩點(diǎn)間的距離，關(guān)鍵是由線段中點(diǎn)定義得到PQ=12AC,由線段中點(diǎn)定義得到PA=12AB,CQ=12BC，由AC=【詳解】解：∵P,Q分別是線段∴PA∵AC∴AC∴PQ∵M(jìn),N分別是線段∴BM∴BM∴MN∴MN∴M