第四章幾何圖形初步1.立體圖形的概念：有些幾何圖形的各個部分不都在同一平面內(nèi)，這個圖形叫做立體圖形.2.平面圖形的概念：有些幾何圖形的各個部分在同一平面內(nèi)的圖形，這個圖形叫做平面圖形.3.點、線、面、體的定義體長方體、正方體、圓柱、圓錐、球、棱柱、棱錐等都是幾何體.幾何體也簡稱體.面包圍著體的是面.線面和面相交的地方形成線.點線和線相交的地方是點.4.點、線、面、體之間的關(guān)系:點動成線，線動成面，面動成體.5.線段、射線、直線的區(qū)別與聯(lián)系直線射線線段定義直線是幾何圖形基礎(chǔ)，是一個不做定義的原始概念.直線上一點和它一旁的部分叫做射線.直線上兩點和它們之間的部分叫做線段.圖形表示方法直線AB或直線BA直線m射線OA射線n線段AB、線段BA線段l端點個數(shù)無1個2個度量情況不可度量不可度量可以度量延伸情況可向兩方無限延伸只能以一方無限延伸不能延伸作法敘述作直線AB作直線m作射線OA作線段AB作線段m連接AB延伸敘述反向延伸射線OA延長線段AB

反向延伸線段BA聯(lián)系射線和線段都是直線的一部分，線段向一方無限延伸就成為射線，向兩方無限延伸就成為了直線，射線向反方向無限延伸就成為直線.7.有關(guān)直線的基本事實：經(jīng)過兩點有一條直線，并且只有一條直線，簡述為兩點確定一條直線.8.線段基本性質(zhì)：兩點的所有連線中，線段最短．簡記為：兩點之間，線段最短.9.線段的中點：如圖，點C把線段AB分成兩條相等的線段AC和CB，點C就叫做線段AB的中點.幾何描述：∵點C為線段AB的中點∴AC=BC=12AB或AB=2AC10.角的定義角的定義（靜態(tài)）：由公共端點的兩條射線所組成的圖形叫做角，這個公共端點是角的頂點，這兩條射線是角的兩條邊．角的定義（動態(tài)）：由一條射線繞著它的端點旋轉(zhuǎn)一定角度而形成的圖形，射線旋轉(zhuǎn)時經(jīng)過的平面部分是角的內(nèi)部.11.角的分類：∠β銳角直角鈍角平角周角范圍0＜∠β＜90°∠β=90°90°＜∠β＜180°∠β=180°∠β=360°12.角的幾何符號為“∠”，表示方法有以下四種：角的表示圖例記法適用范圍用三個大寫字母表示∠ABC或∠CBA任何情況都適用，但表示頂點的字母一定要寫在中間，邊上的字母寫在兩側(cè).用一個大寫字母表示∠O當(dāng)以某一字母表示的點為頂點的角只有一個時，可用這個頂點的字母來表示.用一個數(shù)字表示∠1在靠近頂點處畫上弧線，表示出角的范圍，并注上數(shù)字或小寫的希臘字母.注意：數(shù)字或小寫的希臘字母不能表示超過一個以上的角.用一個希臘字母表示∠13.角的換算方法：1）由度化為分、秒的形式（即由高位向低位化）：1°＝60′，1′＝60″；2）由分、秒化為度的形式（即由低位向高位化）：，.14.角平分線的定義：從一個角的頂點出發(fā)，把這個角分成相等的兩個角的射線，叫做這個角的平分線.15.方向角：正北或正南方向線與目標(biāo)方向線所成的小于90°的角叫做方向角.16.方位角：從正北方向順時針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角，叫做方位角，取值范圍為0°到360°,比如正東方向就是方位角為90°,正西方向就是方位角為270°.17.余角和補角余角：如果兩個角的和等于90°，就說這兩個角互為余角，即其中一個角是另一個角的余角.補角：如果兩個角的和等于180°，就說這兩個角互為補角，即其中一個角是另一個角的補角.18.余角和補角的性質(zhì)余角的性質(zhì)：同角（等角）的余角相等；補角的性質(zhì)：同角（等角）的補角相等；序號易錯點易錯題注意事項1理解線段、射線、直線的概念1-4詳見知識清單52求線段數(shù)量問題5-6注意火車行駛是單向的還是往返的，單向印制種車票，雙向印制n(n-1)種車票.3面對線段雙中點/雙角平分線模型時，未分類討論7-8當(dāng)題目中未給出具體圖形時，切記分類討論，列舉可能出現(xiàn)的情況.4角度的四則運算9-13在計算兩個角的和或差時，要將度與度、分與分、秒與秒分別相加減，分、秒相加時，逢60要進(jìn)位，相減時要借1作60.1．對于直線，線段，射線，在下列各圖中能相交的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)線段有兩個端點，射線有一個端點，直線無端點，解答即可，本題考查了線段，直線，射線的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：A.

都是線段，無法相交，不符合題意；B.，射線向一個方向無限伸展，可以相交，符合題意；

C.

線段，無法相交，不符合題意；D.射線的方向不對，無法相交，不符合題意；故選：B．2．下列圖示中，直線表示方法正確的有（

）A．①②③④ B．①② C．②④ D．①④【答案】D【分析】本題考查了直線的表示方法，掌握直線的表示方法是解題的關(guān)鍵．根據(jù)直線的表示方法進(jìn)行判斷即可；【詳解】解：用兩個點表示直線時，這兩個點必須是大寫字母，故②③錯誤，①正確；用一個字母表示直線時，這個字母必須是小寫，且不要在直線上標(biāo)點，故④正確，綜上，直線表示方法正確的有①④，故選：．3．下列語句中正確的是（

）A．延長直線B．延長線段到點C，使線段與線段相等C．延長射線D．反向延長射線到點B，使射線與射線相等【答案】B【分析】本題考查了幾何基本概念：直線、射線與線段；根據(jù)幾何基本概念，逐一分析各選項的正確性．【詳解】解：A選項錯誤：直線是向兩端無限延伸的，沒有端點，因此無法再被“延長”；B選項正確：線段可以沿B點方向延長到點C，使；例如，用圓規(guī)截取的長度，從B點延長即可構(gòu)造點C；C選項錯誤：射線從端點O向A方向無限延伸，已無法再延長；D選項錯誤：射線反向延長得到的是另一條射線（方向與相反），射線本身是無限長的，無法定義“相等”；綜上，只有B選項符合幾何基本概念．故選：B．4．下列說法：①射線與射線是同一條射線；②兩點確定一條直線；③把一個角分成兩個角的射線叫作這個角的平分線；④連接兩點的線段叫作這兩點之間的距離．其中正確的個數(shù)是（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】A【分析】本題考查射線識別，直線公理，角平分線的定義，兩點之間的距離．根據(jù)射線定義可判斷①，根據(jù)直線公理可判斷②，根據(jù)角平分線的定義可判斷③，根據(jù)兩點之間距離定義可判斷④．【詳解】解：射線與射線的起點不同方向不同，不是同一條射線，故①不正確；經(jīng)過兩點，有且只有一條直線，兩點確定一條直線，故②正確；把一個角分成兩個相等的角的射線叫角的平分線，故③不正確；連接兩點的線段的長度叫做這兩點之間的距離，故④不正確．所以正確的說法有1個．故選：A．5．高鐵京滬二線途徑東營市，預(yù)計2026年能通車，屆時將大大方便人們的出行．列車往返于北京，上海兩個城市，中途經(jīng)過13個站點（共15個站點），不同的車站來往需要不同的車票，則這條路線共有種不同的車票．【答案】【分析】本題考查了線段的數(shù)法應(yīng)用，在線段的計數(shù)時，應(yīng)注重分類討論的方法計數(shù)，做到不遺漏，不重復(fù)，注意：每條線段有兩種車票．n個車站每兩站之間車票有兩種，則n個車站的票的種類數(shù)種，據(jù)此即可解答．【詳解】解：n個車站每兩站之間車票有兩種，則n個車站的票的種類數(shù)種，當(dāng)時，（種）．故答案為：．6．觀察圖形，并回答下列問題：【觀察思考】（1）圖中共有______條線段；【模型構(gòu)建】（2）若線段上標(biāo)記了n個點（包括端點），則該線段中共有______條線段；【拓展應(yīng)用】（3）請你用上述模型構(gòu)建來解決以下問題：①某班50個同學(xué)聚會，若每個同學(xué)都與其他同學(xué)握一次手，總共握手多少次？②某班50個同學(xué)聚會，若每個同學(xué)都送給其他同學(xué)一張名片，總共送出名片多少張？【答案】（1）10；（2）；（3）①共握了1275次手；②共送了2550張．【分析】本題考查了線段數(shù)量問題及其應(yīng)用，有條理思考問題是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)線段的定義求解即可；（2）畫圖根據(jù)線段的定義求解出線段條數(shù)的規(guī)律即可；（3）①根據(jù)上面總結(jié)的規(guī)律求解即可；②根據(jù)上面總結(jié)的規(guī)律求解即可．【詳解】解：（1）以A為端點的線段有四條；以B為端點的且與前面不重復(fù)的線段有三條；以C為端點的且與前面不重復(fù)的線段有兩條；以D為端點的且與前面不重復(fù)的線段有一條．圖中共有（條）線段．故答案為：10．（2）如圖，線段上有3個點（包括A，B兩點）則線段數(shù)為：；線段上有4個點（包括A，B兩點）則線段數(shù)為：；線段上有5個點（包括A，B兩點）則線段數(shù)為：；線上有6個點（包括A，B兩點）則線段數(shù)為：；線段上有7個點（包括A，B兩點）則線段數(shù)為：；……線段上有n個點（包括A，B兩點）則線段數(shù)為：，故答案為：；（3）①類比數(shù)線段的方法可知：（次）答：共握了1275次手；②∵送名片是相互的，類比數(shù)線段的方法可知：（張）．答：共送了2550張．7．已知線段AB＝20，，點P、Q分別是AM、AB的中點，當(dāng)點M在直線AB上時，則PQ的長為．【答案】7.5或15【分析】本題主要考查線段的復(fù)雜計算，熟練掌握線段的和差倍分是解題的關(guān)鍵．由線段的中點，和差倍分分類討論即可求出答案．【詳解】解：①點在線段上時，，，，，，點、分別是、的中點，，，，；；②點在線段的反向延長線上時，點、分別是、的中點，，，，，，，．故答案為：或15．8．已知是的平分線，，平分，設(shè)，則（

）A．或 B．或 C．或 D．【答案】A【分析】本題考查角平分線的定義，角的和與差，角的n等分線．利用數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想是解題關(guān)鍵．分類討論：當(dāng)位于內(nèi)部時和當(dāng)位于外部時，解答即可．【詳解】解：如圖1，當(dāng)位于內(nèi)部時，∵，是的平分線，∴．∵，∴，．∵平分，∴，∴；如圖2，當(dāng)位于外部時，∵，是的平分線，∴．∵，∴，．∵平分，∴，∴；綜上可知或．故選：A．9．計算：°′″．【答案】19812【分析】本題主要考查了角的四則運算，根據(jù)度分秒的關(guān)系，結(jié)合有理數(shù)除法運算法則進(jìn)行求解即可．【詳解】解：．故答案為：19；8；12．10．．【答案】【分析】本題考查角的計算和度分秒的換算，解題的關(guān)鍵是掌握角的單位之間的換算關(guān)系：，．【詳解】解：．故答案為：．11．定義：如果兩個角互余角，那么這兩個角之和等于．若，則的余角度數(shù)是【答案】【分析】本題考查了求一個角的余角，熟練掌握余角的定義是解題關(guān)鍵．根據(jù)余角的定義列式計算即可得．【詳解】解：∵，∴的余角度數(shù)是，故答案為：．12．有公共端點的三條射線，，，已知，，則的度數(shù)為．【答案】或【分析】此題考查了幾何圖中角的計算，解題關(guān)鍵：要根據(jù)射線的位置不同，分類討論，分別求出的度數(shù)．【詳解】解：當(dāng)射線在內(nèi)部時；當(dāng)射線在外部時，．故答案為∶或13．已知一個角是，則它的余角為，補角為．【答案】【分析】本題考查求一個角的余角和補角，根據(jù)和為90度的兩個角互為余角，和為180度的兩個角互為補角，進(jìn)行求解即可．【詳解】解：，；故答案為：，．重難點01立體圖形初步1．（24-25七年級上·安徽安慶·階段練習(xí)）下列幾何體中不含曲面的是（

）A．B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)幾何體的意義是解題的關(guān)鍵．本題考查了幾何體的認(rèn)識，熟練掌握幾何體的意義是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：根據(jù)題意，得無曲面．故選：B．2．（23-24七年級上·甘肅張掖·階段練習(xí)）下列圖形屬于棱柱的有（）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】B【分析】本題考查了棱柱的定義，熟練掌握定義是解題的關(guān)鍵．根據(jù)棱柱的特點：上下兩個面大小，形狀完全相同，側(cè)棱都相等，側(cè)面都是平行四邊形去判斷．【詳解】解：根據(jù)題意，圖中的第1個，第2個，第4個都是棱柱，共有3個棱柱，故選：B．3．（2024七年級上·安徽·專題練習(xí)）如圖四個幾何體分別是三棱柱，四棱柱，五棱柱和六棱柱，三棱柱有個面，條棱，個頂點，觀察圖形，填寫下面的空．（1）四棱柱有個面，條棱，個頂點；（2）六棱柱有個面，條棱，個頂點；（3）由此猜想棱柱有個面，條棱，個頂點．【答案】/【詳解】此題考查了認(rèn)識立體圖形，熟記常見棱柱的特征是解題的關(guān)鍵；（1）結(jié)合已知四棱柱特征，即可求解；（2）結(jié)合六棱柱的特征，即可求解；（3）可知棱柱一定有個面，條棱和個頂點；【解答】解：（1）四棱柱有個面，條棱，個頂點；（2）六棱柱有個面，條棱，個頂點；（3）由此猜想棱柱有個面，條棱，個頂點．故答案為：（1），，；（2），，；（3），，．4．（23-24七年級上·河南商丘·期末）紙翻花是我國傳統(tǒng)的紙制工藝品，它花里有花，花中變花，花姿優(yōu)美，栩栩如生，深受兒童的喜愛，轉(zhuǎn)動翻花的花柄平面圖形變換成不同的美麗的立體圖形，這說明了．【答案】面動成體【分析】本題主要考查了面動成體．根據(jù)面動成體解答即可．【詳解】解：轉(zhuǎn)動翻花的花柄平面圖形變換成不同的美麗的立體圖形，這說明了面動成體，故答案為：面動成體．5．（22-23七年級上·安徽宿州·階段練習(xí)）如圖①，把一張長10厘米、寬6厘米的長方形紙板分成甲、乙兩個相同的直角三角形．

(1)將甲三角形繞軸（如圖②）旋轉(zhuǎn)一周，可以形成一個怎樣的幾何體？它的體積是多少立方厘米？(2)將乙三角形繞軸（如圖③）旋轉(zhuǎn)一周形成一個幾何體，求該幾何體的體積．【答案】(1)圓錐，立方厘米(2)立方厘米【分析】（1）根據(jù)題意可得，分成的直角三角形的兩條直角邊分別是10厘米、6厘米，以較長邊10厘米為軸旋轉(zhuǎn)一周得到的是一個圓錐，底面半徑是6厘米，高是10厘米，據(jù)此利用圓錐的體積公式計算即可解答．（2）根據(jù)題意可得，所形成的幾何體的體積底面半徑是6厘米高是10厘米的圓柱體積底面半徑是6厘米，高是10厘米的圓錐體積，據(jù)此利用圓柱和圓錐的體積公式計算即可解答．【詳解】（1）解：根據(jù)題干分析可得：以其中一個直角三角形較長的直角邊所在直線為軸，將紙板快速轉(zhuǎn)動，可以形成一個圓錐，它的體積是，，（立方厘米）；（2）根據(jù)題干分析可得：乙三角形（如圖③）旋轉(zhuǎn)一周，可以形成一個空心的圓柱．體積為：（立方厘米）．【點睛】此題主要考查了圓柱和圓錐的體積公式的計算應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是明確旋轉(zhuǎn)后的圓柱和圓錐體的底面半徑和高．6．（22-23七年級上·安徽宿州·期中）如圖所示是一個六棱柱，它的底面邊長是4cm，高是6cm．(1)這個棱柱共有多少條棱？所有的棱長的和是多少?(2)這個棱柱共有多少個頂點？【答案】(1)這個棱柱共有18條棱，所有的棱長的和是84cm(2)這個棱柱共有12個頂點【分析】（1）根據(jù)六棱柱的特點，可得棱的條數(shù)，然后根據(jù)題意可得棱長的和；（2）根據(jù)三條棱交于一點，可得棱柱的頂點．【詳解】（1）解：這個棱柱共有條棱；所有的棱長的和是；答：這個棱柱共有18條棱，所有的棱長的和是84cm；（2）解：由題意得這個棱柱共有12個頂點；答：這個棱柱共有12個頂點．【點睛】本題考查了認(rèn)識立體圖形，棱柱的面是個，棱是條，頂點是個．重難點02畫直線、射線、線段7．（21-22七年級上·安徽蚌埠·期中）如圖，平面上有四個點A，B，C，D，按要求畫圖．（1）畫直線AB；（2）畫射線AD；（3）畫線段AC、CD．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析；【分析】（1）根據(jù)直線的定義畫出圖形即可；（2）根據(jù)射線的定義畫出圖形即可；（3）根據(jù)線段的定義畫出圖形即可．【詳解】解：如圖，直線AB，射線AD，線段AC，線段CD即為所求．【點睛】本題考查作圖?復(fù)雜作圖，直線，射線，線段的定義等知識，解題的關(guān)鍵是理解直線，射線，線段的定義，屬于中考?？碱}型．8．（21-22七年級上·安徽阜陽·階段練習(xí)）如圖，A，B，C，D四點不在同一直線上，根據(jù)下面的要求作圖．（1）作線段AB，CD．（2）作射線DA與射線CB交于點E．（3）作直線AC和直線BD交于點F．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析【詳解】解：（1）如圖所示，線段AB，CD即為所求；（2）如圖所示，射線DA與射線CB交于點E即為所求；（3）如圖所示，直線AC和直線BD交于點F即為所求．【點睛】本題主要考查了點、線段、射線、直線的定義，熟練掌握點、線段、射線、直線的定義是解題的關(guān)鍵．9．（20-21七年級上·安徽合肥·階段練習(xí)）已知：如圖，不在同一條直線上的四個點A、B、C、D，請按下列要求畫圖（不寫畫法）（1）畫直線AD；（2）畫射線AB；（3）畫直線BD，在BD上求作點P到A、C兩點的距離之和最小，理由是．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）圖見解析，兩點之間，線段最短【分析】（1）畫直線AD即可；（2）畫射線AB即可；（3）畫直線BD，在BD上求作點P，使點P到A、C兩點的距離之和最小即可．【詳解】解：如圖所示：（1）直線AD即為所求作的圖形；（2）射線AB即為所求作的圖形；（3）畫直線BD，連接AC，與BD交于點P，點P為所求．理由是：兩點之間，線段最短．故答案為：兩點之間，線段最短．【點睛】本題主要考查了作圖-復(fù)雜作圖、直線、/射線、線段、兩點間的距離，解決本題的關(guān)鍵是掌握兩點之間線段最短．重難點03直線、射線、線段的聯(lián)系與區(qū)別10．（24-25七年級上·安徽亳州·期末）如圖，下列說法正確的是（

）A．點在線段上 B．點是直線的一個端點C．圖中共有3條線段 D．射線和射線是同一條射線【答案】C【分析】本題主要考查了直線、射線和線段的知識，理解并掌握直線、射線和線段的定義是解題關(guān)鍵．根據(jù)直線、射線和線段的定義和性質(zhì)，逐項分析判斷即可．【詳解】解：A.點在直線上，故該選項說法錯誤，不符合題意；B.直線沒有端點，故該選項說法錯誤，不符合題意；C.圖中共有3條線段，故該選項說法正確，符合題意；D.射線和射線的端點不同，故不是同一條射線，故該選項說法錯誤，不符合題意．故選：C．11．（22-23七年級上·廣西賀州·期末）如圖，下列說法中：①線段與線段是同一條線段；②線段與線段是同一條線段；③直線與直線是同一條直線；④點A在線段上；⑤點C在射線上，正確的有（）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】B【分析】本題考查了直線、射線、線段的表示方法，根據(jù)直線、射線、線段的表示方法，線段與射線的關(guān)系對各小題分析判斷即可得解．【詳解】解：①線段與線段是同一條線段，正確；②線段與線段不是同一條線段，原來的說法錯誤；③直線與直線是同一條直線，正確；④點A不在線段上，原來的說法錯誤；⑤點C在射線上，正確；綜上所述，正確的有3個．故選：B．12．（23-24七年級上·河北廊坊·階段練習(xí)）下列幾何圖形與相應(yīng)語言描述相符的是（

）A．如圖1，延長線段到點B．如圖2，點在射線上C．如圖3，直線的延長線與直線的延長線相交于點D．如圖4，射線和線段沒有交點【答案】D【分析】本題考查了直線、射線和線段的性質(zhì)，根據(jù)直線、射線和線段的性質(zhì)逐項進(jìn)行判定即可．【詳解】解：A.如圖1，延長線段到點，故該選項不正確，不符合題意；B.如圖2，點在直線上，故該選項不正確，不符合題意；C.如圖3，直線與直線相交于點，故該選項不正確，不符合題意；D.如圖4，射線和線段沒有交點，故該選項正確，符合題意；故選：D．13．（21-22七年級上·安徽安慶·期末）如圖，A、C、D三點在一條直線上，觀察圖形，下列說法正確的個數(shù)是（

）（1）直線BA和直線AB是同一條直線；（2）射線AC和射線AD是同一條射線；（3）；（4）∠ACD是一條直線．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】結(jié)合圖形，根據(jù)直線、射線、兩點之間，線段最短和平角的定義逐一進(jìn)行判斷即可．【詳解】（1）直線BA和直線AB是同一條直線，直線沒有端點，此說法正確；（2）射線AC和射線AD是同一條射線，都是以A為端點，同一方向的射線，正確；（3）AB+BD＞AD，兩點之間，線段最短，所以此說法正確；（4）因∠ACD是一個平角，故錯誤．所以共有3個正確．故選：C．【點睛】本題考查了直線、射線、線段的概念，屬于基礎(chǔ)題型，熟練掌握概念是解題關(guān)鍵．重難點04用數(shù)學(xué)知識解釋實際生活現(xiàn)象14．（24-25七年級上·安徽亳州·期末）為了讓一隊學(xué)生站成一條直線，先讓兩名學(xué)生站好不動，其他學(xué)生依次往后站，要求目視前方只能看到各自前面的那名學(xué)生，這種做法依據(jù)的幾何知識應(yīng)是．【答案】兩點確定一條直線【分析】本題主要考查了直線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確掌握直線的性質(zhì)．先讓兩個同學(xué)站好，實質(zhì)是確定兩定點，而由兩點即可確定一條直線．【詳解】解：由題意可知：這種做法依據(jù)的幾何知識應(yīng)是兩點確定一條直線．故答案為：兩點確定一條直線．15．（23-24七年級上·福建福州·期末）如圖，建筑工人砌墻時，經(jīng)常先在兩端立樁拉線，然后沿著線砌墻，讀用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識解釋它這樣操作的原因是【答案】兩點確定一條直線【分析】此題主要考查直線的性質(zhì)：兩點確定一條直線，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】建筑工人砌墻時經(jīng)常先在兩端立樁、拉線，然后沿著線砌出筆直的墻，其依據(jù)的基本事實是兩點確定一條直線．故答案為：兩點確定一條直線．16．（23-24七年級上·安徽亳州·階段練習(xí)）下列三種實踐方式：木匠彈墨線、打靶瞄準(zhǔn)、拉繩插秧等，反映了直線的一個基本事實是：．【答案】兩點確定一條直線【分析】本題考查了直線的性質(zhì)，根據(jù)直線的性質(zhì)即可解答，解題的關(guān)鍵是掌握直線的性質(zhì)．【詳解】解：木匠彈墨線確定直線、打靶瞄準(zhǔn)確定直線、拉繩插秧確定直線，他們所反映的直線的基本事實是：兩點確定一條直線，故答案為：兩點確定一條直線．17．（24-25七年級下·安徽池州·開學(xué)考試）如圖，從學(xué)校到博物館有①②③④四條路線可走，其中最短的路線是②，理由是．【答案】兩點之間，線段最短【分析】本題考查的是線段的性質(zhì)，熟知兩點之間，線段最短是解題的關(guān)鍵．根據(jù)線段的性質(zhì)解答即可．【詳解】解：從學(xué)校到公園有①②③④四條路線可走，其中最短的路線是③，理由是：兩點之間，線段最短．故答案為：兩點之間，線段最短．18．（23-24七年級上·安徽合肥·期末）11月的第二個周末，小騰跟隨爸爸媽媽去巢湖東庵森林公園游玩，行走到古銀杏樹下，他撿到一片沿直線被折斷了的銀杏葉，如右圖中直線左側(cè)的部分，他發(fā)現(xiàn)該銀杏葉的周長比折斷前原銀杏葉的周長要小，能合理解釋這一現(xiàn)象的數(shù)學(xué)原理是．【答案】兩點之間，線段最短【分析】本題考查了兩點之間，線段最短，據(jù)此得出答案即可，理解題意是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵剩下的銀杏葉的一邊是線段，原先是曲線，∴剩下的銀杏葉的周長比折斷前原銀杏葉的周長要小，能合理解釋這一現(xiàn)象的數(shù)學(xué)原理是：兩點之間，線段最短，故答案為：兩點之間，線段最短．重難點05線段數(shù)量問題19．（24-25七年級上·安徽馬鞍山·期末）從馬鞍山東站到上海站的次高鐵一共有個站，車站需要準(zhǔn)備種單程車票．【答案】【分析】本題考查了線段數(shù)量問題的實際應(yīng)用，單程每兩個站點之間都有種車票相當(dāng)于一條線段，根據(jù)線段數(shù)量的公式解答．【詳解】解：車站需要準(zhǔn)備單程車票的種數(shù)為：（種），故答案為：．20．（2024七年級上·安徽·專題練習(xí)）一列火車往返于蕪湖、杭州兩個城市，中途經(jīng)過宣城、廣德、長興南和德清西4個站點（共6個站點），不同的車站往返需要不同的車票．(1)共有多少種不同的車票？(2)一列火車往返、兩個城市，如果共有個站點，則需要多少種不同的車票？【答案】(1)30種(2)【分析】本題考查了直線、射線、線段，解決本題的關(guān)鍵是在線段的計數(shù)時，應(yīng)注重分類討論的方法計數(shù)，做到不遺漏，不重復(fù)．（1）兩站之間的往返車票各一種，即兩種，個車站每兩站之間有兩種，則個車站的票的種類數(shù)種，時，即6個車站，代入上式即可求得票的種數(shù)．（2）與（1）同理，即共有個站點，則需要種不同的車票，即可作答．【詳解】（1）解：依題意，兩站之間的往返車票各一種，即兩種，則個車站每兩站之間有兩種，則個車站的票的種類數(shù)種，則6個車站的票的種類數(shù)（種；（2）解：依題意，與（1）同理，個車站的票的種類數(shù)種．21．（2024七年級上·安徽·專題練習(xí)）如圖所示，線段上的點數(shù)與線段的總數(shù)有如下關(guān)系：如果線段上有個點時，線段總數(shù)共有條，如果上有個點時，線段總數(shù)共有條，如果線段上有個點時，線段總數(shù)共有條，．(1)當(dāng)線段上有個點時，線段總數(shù)共有多少條？(2)當(dāng)線段上有個點時，線段總數(shù)共有多少條？（用含的式子表示）(3)當(dāng)時，線段總數(shù)共有多少條？【答案】(1)(2)(3)【分析】本題主要考查了線段的數(shù)量問題，用代數(shù)式表示圖形的規(guī)律，代數(shù)式求值等知識點，從圖形中發(fā)現(xiàn)并總結(jié)出一般規(guī)律是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)題意，數(shù)出線段的條數(shù)即可求解；（2）從圖形中發(fā)現(xiàn)并總結(jié)出一般規(guī)律，然后用代數(shù)式表示出圖形的規(guī)律即可；（3）將，代入（2）中的關(guān)系式即可得出答案．【詳解】（1）解：當(dāng)線段上有個點時，線段總數(shù)共有條，答：當(dāng)線段上有個點時，線段總數(shù)共有條；（2）解：當(dāng)線段上有個點時，線段總數(shù)共有條，當(dāng)線段上有個點時，線段總數(shù)共有條，當(dāng)線段上有個點時，線段總數(shù)共有條，，當(dāng)線段上有個點時，線段總數(shù)共有：條，答：當(dāng)線段上有個點時，線段總數(shù)共有條；（3）解：當(dāng)時，線段總數(shù)共有條，答：當(dāng)時，線段總數(shù)共有條．22．（24-25七年級上·山東青島·階段練習(xí)）問題提出：某學(xué)校舉辦足球賽，若有5支球隊進(jìn)行單循環(huán)比賽（即全部比賽過程中任何一隊都要分別與其他各隊比賽一場且只比賽一場），則該校一共要安排多少場比賽？構(gòu)建模型：生活中的許多實際問題，往往需要構(gòu)建相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，利用模型的思想來解決問題．為解決上述問題，我們構(gòu)建如下數(shù)學(xué)模型：（1）如圖①，我們可以在平面內(nèi)畫出5個點（任意3個點都不在同一條直線上），其中每個點各代表一支足球隊，兩支球隊之間比賽一場就用一條線段把它們連接起來．由于每支球隊都要與其他各隊比賽一場，即每個點與另外4個點都可連成一條線段，這樣一共連成條線段，而每兩個點之間的線段都重復(fù)計算了一次，實際只有條線段，所以該校一共要安排10場比賽．（2）若學(xué)校有6支足球隊進(jìn)行單循環(huán)比賽，借助圖②，我們可知該校一共要安排______場比賽；（3）根據(jù)以上規(guī)律，若學(xué)校有n支足球隊進(jìn)行單循環(huán)比賽，則該校一共要定排______場比賽．實際應(yīng)用：（4）9月2日開學(xué)時，老師為了讓全班新同學(xué)互相認(rèn)識，請班上46位新同學(xué)每兩個人都相互握一次手，全班同學(xué)總共握手______次．拓展提高：（5）往返于濟(jì)南和青島的同一輛高速列車，中途經(jīng)濟(jì)南東站、章丘、淄博、青州、濰坊、青島6個車站（每種車票票面都印有上車站名稱與下車站名稱），那么在這段線路上往返行車，要準(zhǔn)備車票的種數(shù)為______種．【答案】（2）15（3）（4）1035（5）30【分析】本題主要考查了單循環(huán)球賽賽制場次計算．熟練掌握計算原理和方法，建立數(shù)學(xué)模型，是解題的關(guān)鍵．（2）6支足球隊進(jìn)行單循環(huán)比賽，共要安排15場比賽；（3）n支足球隊進(jìn)行單循環(huán)比賽，共要安排場比賽；（4）46位新同學(xué)每兩個人都相互握一次手，全班同學(xué)總共握手1035次；（5）6個車站，在這段線路上往返行車，要準(zhǔn)備車票30種．【詳解】（2）6支足球隊，任何一支球隊都要分別與其他5支球隊比賽一場，共比賽場；故答案為：15；（3）n支足球隊，任何一支球隊都要分別與其他支球隊比賽一場，共比賽場；故答案為：；（4）46位新同學(xué)，任何一位同學(xué)都要分別與其他45位同學(xué)相互握一次手，全班同學(xué)總共握手次；故答案為：1035；（5）6個車站，任何一個車站都要分別與其他5個車站準(zhǔn)備車票，且往返車票種類不同，要準(zhǔn)備車票的種數(shù)共種．故答案為：30．重難點06線段交點問題23．（24-25七年級上·湖北武漢·開學(xué)考試）同一平面內(nèi)的2條直線相交最多有1個交點，3條直線相交最多有3個交點，10條直線相交最多有（

）個交點．A．15 B．30 C．45 D．60【答案】C【分析】本題主要考查了直線的交點，數(shù)字變化規(guī)律問題，先根據(jù)交點個數(shù)隨著直線條數(shù)的變化得出規(guī)律，進(jìn)而得出答案．【詳解】根據(jù)題意可知在同一平面內(nèi)，2條直線相交最多有1個交點，3條直線相交最多有個交點，4條直線相交最多有個交點，10條直線相交最多有個交點．故選：C．24．（2024七年級上·全國·專題練習(xí)）若兩條相交直線與第三條直線（不與相交直線中的任何一條重合）在同一平面，則它們的交點個數(shù)是（

）A．1 B．2C．3或2 D．1或2或3【答案】D【分析】本題涉及直線的相關(guān)知識，難度一般，考生需要全面考慮問題本題中直線的位置關(guān)系不明確，應(yīng)分情況討論，包括兩條相交直線是否是另一條直線平行、相交或交于同一點．【詳解】解：當(dāng)另一條直線與兩條相交直線交于同一點時，交點個數(shù)為1；當(dāng)另一條直線與兩條相交直線中的一條平行時，交點個數(shù)為2；當(dāng)另一條直線分別與兩條相交直線相交時，交點個數(shù)為3；故選D．25．（24-25七年級下·北京·期中）探究平面內(nèi)條直線相交的交點個數(shù)問題．(1)研究：平面內(nèi)條直線相交，當(dāng)這條直線無任何三條交于一點，且在某一方向上無任何直線相互平行時，交點個數(shù)是最多的．也就是說，當(dāng)這條直線兩兩相交時交點個數(shù)最多．所以容易得出以下結(jié)論：平面內(nèi)有3條直線，則最多有個交點；平面內(nèi)有4條直線，則最多有個交點；若平面內(nèi)有條直線，則最多有個交點．(2)拓展：若平面內(nèi)的條直線（無任何三條交于一點）在某一方向上有平行直線，則交點的總個數(shù)與上題相比便會減少，比如：若平面內(nèi)有5條直線，當(dāng)在某一方向上有3條是互相平行時，其交點的個數(shù)最多為，其中表示5條直線兩兩相交時的最多交點個數(shù)，表示3條直線相互平行時減少的交點個數(shù)．問：若平面內(nèi)有10條直線（無任何三條交于一點），且在某一方向上有5條是互相平行的，則這10條直線交點的個數(shù)最多為．(3)應(yīng)用：地面上有9條公路（假設(shè)公路是筆直的，并且可以無限延伸），無任何三條公路交于同一個岔口，現(xiàn)在有26位交警剛好滿足每個岔口有且只有一位交警，則在某一方向上必須有條公路互相平行．【答案】(1)，，(2)(3)【分析】本題考查了直線與直線間交點規(guī)律題，觀察出相鄰兩個圖形的交點個數(shù)的差為連續(xù)整數(shù)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)題意結(jié)合圖形即可解答；（2）利用題中方法代入數(shù)據(jù)計算即可；（3）把9條公路看作是9條直線，先求出9條直線兩兩相交時的交點的個數(shù)，再根據(jù)差是10進(jìn)行分析，即可得解．【詳解】（1）解：平面內(nèi)有3條直線，則最多有個交點，即；平面內(nèi)有4條直線，則最多有個交點，即；；若平面內(nèi)有條直線，則最多有個交點，即；（2）解：平面內(nèi)有10條直線，且在某一方向上有5條是互相平行時，其交點的個數(shù)最多為（個），其中表示10條直線兩兩相交時的最多交點個數(shù)，表示5條直線相互平行時減少的交點個數(shù)；（3）解：把9條公路看作是9條直線，則9條公路兩兩相交時交點的個數(shù)為：，，則可以看作，在某一方向上有5條直線兩兩互相平行，其余4條直線不平行，如圖：重難點07按照題目要求作線段26．（23-24七年級上·安徽合肥·期末）如圖，已知線段a、b、及內(nèi)部一點P．按下列要求畫出圖形（保留作圖痕跡，不寫作法）；①用無刻度的直尺和圓規(guī)在∠O的一條邊上作線段，另一條邊上作線段；②畫出直線；③畫射線與直線相交于點C；【答案】見解析【分析】本題主要考查了作已知線段相等的線段，畫直線，射線，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握線段，射線，直線的作圖方法．①以O(shè)點為圓心，以線段a的長為半徑畫弧，分別與交于A、D，再以D為圓心，以線段b的長為半徑畫弧，交于B，則點A、B即為所求；②連接并向兩端延長即可得到直線；③連接與交于點C，延長即可得到答案【詳解】解：如圖所示，27．（23-24七年級上·陜西渭南·期末）點，，的位置如圖所示．（用尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）(1)作直線和線段；(2)作射線，在射線上作一點，使得．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】本題主要考查了復(fù)雜作圖，（1）過點和點畫直線即可，用線段連接點和點兩點即可；（2）連接并延長即可；以為圓心，長為半徑畫弧，交于的延長線于點E，再以為圓心，長度為半徑畫弧，交線段于點，線段則為所求．解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．【詳解】（1）解：作圖如下：（2）解：如圖，點即為所求．28．（24-25七年級上·安徽安慶·期末）如圖，已知，，，四點，請用尺規(guī)按下列要求作圖．（保留作圖痕跡）(1)畫直線；(2)連接并延長到點，使得；(3)畫射線，并在線段上取點，使的值最?。敬鸢浮?1)見解析(2)見解析(3)見解析【分析】本題考查的是畫直線，射線，尺規(guī)作圖——作一條線段等于已知線段，熟練掌握幾種基本尺規(guī)作圖的作法是解題的關(guān)鍵；（1）過A，B畫直線即可；（2）以C為端點，在的延長線上作，即可；（3）以B為端點，作射線，然后連接，即可．【詳解】（1）解：畫直線，如圖所示；（2）解：線段即為所求，如圖所示；（3）解：畫射線，點即為所求，如圖所示．重難點08與線段中點有關(guān)的計算問題29．（24-25七年級上·安徽合肥·期末）已知線段，在線段的延長線上取一點C，使，點M是線段的中點，若則線段的長為（

）A．5 B．10 C．15 D．30【答案】B【分析】本題考查兩點間的距離，掌握線段中點的定義以及和差關(guān)系是正確解答的關(guān)鍵．根據(jù)線段的和差關(guān)系以及線段中點的定義進(jìn)行計算即可．【詳解】解：∵，，∴，，∵點M是線段的中點，∴，∴．故選：B．30．（24-25七年級上·安徽安慶·期末）如圖，線段表示一條繩子，現(xiàn)從點處將繩子剪成兩段，其中一段長為．（1）若為的中點，則剪斷前的繩長為；（2）若，則剪斷前的繩長為．【答案】6048或80【分析】本題考查了線段的中點計算，以及線段的和差關(guān)系，分類討論是解題的關(guān)鍵．（1）當(dāng)點P為的中點，可知對折前的繩長是的2倍，即可計算出結(jié)果；（2）分類討論∶①是，根據(jù)可得的長，再根據(jù)線段的和差，可得答案；②是，根據(jù)，可得的長，再根據(jù)線段的和差，可得答案．【詳解】解：（1）∵若為的中點，其中一段長為∴故答案為∶60．（2）①當(dāng)是，，∴∴；②當(dāng)，∴，∴綜上所述∶原來繩長為或．故答案為∶48或80．31．（24-25七年級上·安徽阜陽·期末）如圖，已知線段，延長到點，使得．點分別是的中點．(1)求的長度；(2)若點在線段上，且，求的長度．【答案】(1)(2)【分析】本題主要考查了線段和與差計算、線段中點的有關(guān)計算，理解題意，弄清各線段之間的關(guān)系是解題關(guān)鍵．（1）首先根據(jù)可解得，進(jìn)而可知長度，再由線段中點的定義確定的值，然后由求解即可；（2）根據(jù)題意，由求解即可．【詳解】（1）解：∵，，∴，∴，∵點分別是的中點，∴，∴；（2）如下圖，∵點在線段上，且，∴．32．（24-25七年級上·安徽合肥·期末）如圖，已知線段，點，在線段上，，點是的中點，點是的中點．(1)若，，當(dāng)，求線段的長度；(2)當(dāng)線段在線段上運動時，試判斷線段的長度是否發(fā)生變化，如果不變，請求出線段的長度；如果變化，請說明理由．【答案】(1)(2)線段的長度不發(fā)生變化，長度為【分析】本題考查了線段的和差，線段中點的有關(guān)計算，掌握線段間的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．（1）先求出線段，然后再利用線段中點的性質(zhì)求出，，進(jìn)而求解即可；（2）利用線段中點的性質(zhì)證明的長度不會發(fā)生改變．【詳解】（1）解：，，，，點是的中點，點是的中點．，，；（2）線段的長度不發(fā)生變化．理由如下：點是的中點，點是的中點，，，，線段的長度不發(fā)生變化，長度為．重難點09線段雙中點模型（注意分類討論）33．（24-25七年級上·安徽合肥·期末）已知線段，為直線上的一點，且，，分別是，的中點，求的長度．【答案】或【分析】本題考查與線段中點有關(guān)的計算，分點在線段上和點在線段延長線上，兩種情況，進(jìn)行求解即可．【詳解】①點在線段上時，如圖所示：∵點是的中點，∴，又∵，∴，又∵點是的中點，∴，又∵，∴，又∵，∴．②點在線段延長線上時，如圖所示，同理可求出，，又∵，∴，綜上所述：的長度為或．34．（21-22七年級上·安徽滁州·階段練習(xí)）已知A、B、C在同一條直線上，且，其中點M是線段AB的中點，點N是線段BC的中點，求線段MN的長．【答案】4cm或8cm【分析】分點C在線段AB上和點C在線段AB的延長線兩種情況考慮，利用中點的含義及線段的和差關(guān)系即可完成．【詳解】（1）點C在線段AB上時，如圖∵M(jìn)、N分別是線段AB、BC的中點，且AB=12cm，BC=4cm∴，∴；（2）點C在線段AB的延長線上時，如圖∴所以線段MN的長為4cm或8cm．【點睛】本題考查了線段的中點、線段的和差關(guān)系，涉及分類討論思想，注意不要遺漏其中任一種情況．重難點10鐘面角35．（24-25七年級上·安徽馬鞍山·期末）當(dāng)時鐘時，時針與分針?biāo)鶌A的角(小于平角)的度數(shù)是．【答案】/度【分析】本題考查了鐘面角，根據(jù)鐘面平均分成份，可得每份的度數(shù)；根據(jù)時針與分針相距的份數(shù)乘以每份的度數(shù)，可得答案．【詳解】解：鐘面每份是，上午時時針與分針相距份，此時時鐘的時針與分針?biāo)鶌A的角(小于平角)的度數(shù)是．故答案為：．36．（2024七年級上·安徽·專題練習(xí)）同學(xué)們，鬧鐘都見過吧！它的時針和分針如同兄弟倆在賽跑，可你是否知道時針每分鐘走多少度？分針每分鐘走多少度？當(dāng)你弄清楚這個問題后，你能解決很多關(guān)于鬧鐘有趣的問題：(1)三點整時時針與分針?biāo)鶌A的角是___________度．(2)點分時針與分針?biāo)鶌A的角是___________度．(3)一晝夜（點到點）時針與分針互相垂直的次數(shù)有多少次？【答案】(1)(2)(3)【分析】本題考查一元一次方程，鐘面角，熟練掌握鐘面角的運算是解題的關(guān)鍵；（1）看時針和分針之間相隔幾個大格，一個大格表示；（2）看時針和分針之間相隔幾個大格，一個大格表示，分針每分走度，時針每分走度，計算求解即可；（3）時針與分針垂直時，夾角為，先得到經(jīng)過多少分就能垂直一次，再看24小時里有幾個得到的分鐘數(shù)即可．【詳解】（1）解：；故答案為：（2）解：；故答案為：（3）解：從重合到第一次垂直所需要的時間為，設(shè)一次垂直到下一次垂直經(jīng)過分鐘，則，（次取整為次．故總次數(shù)為（次答：一晝夜時針與分針互相垂直的次數(shù)為次．37．（2024七年級上·全國·專題練習(xí)）在我國古代，人們用“銅壺滴漏”的方法計時，把一晝夜分為十二時辰，對應(yīng)于今天的二十四小時，又劃為九十六刻，一刻對應(yīng)于今天的十五分鐘．已知寅時為凌晨三點到五點．則寅時二刻所對應(yīng)鐘表時間的時針和分針之間所夾的角度為．【答案】/75度【分析】本題考查了鐘面角問題，讀懂題意，準(zhǔn)確計算是正確解決本題的關(guān)鍵．用分針轉(zhuǎn)動的角度：減去時針與分針?biāo)山嵌葹?，時針轉(zhuǎn)動的角度：，即即可求解．【詳解】解：寅時二刻是指，∵時，時針與分針?biāo)山嵌葹?，再過15分鐘，分針轉(zhuǎn)動的角度：，時針轉(zhuǎn)動的角度：，∴，故答案為：．重難點11方位角的表示38．（24-25七年級上·安徽合肥·期末）如圖，聰聰在明明的（

）A．北偏東方向上 B．北偏東方向上C．南偏西方向上 D．南偏東方向上【答案】C【分析】本題考查了方向角，熟練掌握方向角的意義是解答本題的關(guān)鍵．在觀測物體時，地球南北方向與觀測者觀測物體視線的夾角叫做方向角．【詳解】解：聰聰在明明的南偏西方向上．故選C．39．（24-25七年級上·安徽黃山·期末）如圖，射線的方向是北偏東，射線的方向是北偏西，，則射線的方向是；【答案】南偏東【分析】本題考查的是方向角的含義，先標(biāo)注字母，求解，，從而可得答案.【詳解】解：如圖，標(biāo)注字母，∵，，∴，∵，∴，∴，則射線的方向是南偏東．故答案為：南偏東40．（22-23七年級上·安徽合肥·期末）學(xué)習(xí)情境·方位角：如圖，甲從點A出發(fā)向北偏東方向走到點B，乙從點A出發(fā)向南偏西方向走到點C，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了方向角，先求得與正東方向的夾角的度數(shù)，即可求解．【詳解】解：與正東方向的夾角的度數(shù)是：，則．故選：C．41．（23-24七年級上·安徽合肥·期末）如圖，點A和點B表示兩個碼頭，點C表示海面上一只船，下列方位描述正確的是（

）A．碼頭B在碼頭A的西偏南方向B．碼頭B在碼頭A的北偏東方向C．船C在碼頭B的東北方向D．船C在碼頭A的南偏東方向【答案】D【分析】本題主要考查的是方向角問題，理解方向角的定義是解決本題的關(guān)鍵．【詳解】A.碼頭B在碼頭A的南偏西方向，原說法錯誤；B.碼頭B在碼頭A的南偏西方向，原說法錯誤；C.船C不在碼頭B的東北方向，原說法錯誤；D.船C在碼頭A的南偏東方向，說法正確；故選D．重難點12角度的四則運算42．（24-25七年級上·安徽合肥·期末）．【答案】【分析】本題考查了角的計算、度分秒的換算，解題關(guān)鍵是掌握度分秒之間的進(jìn)制關(guān)系．根據(jù)度分秒的換算方法求解即可，注意度分秒的進(jìn)制關(guān)系．【詳解】解：．故答案為：．43．（24-25七年級上·安徽六安·期末）．【答案】【分析】本題考查了角度的四則運算，掌握度、分、秒的換算是解題關(guān)鍵．根據(jù)度、分、秒的換算及角度的四則運算求解即可．【詳解】解：．故答案為：44．（24-25七年級上·安徽蕪湖·期末）計算：．【答案】/【分析】本題考查了度分秒的換算和計算，熟知進(jìn)率、正確計算是解題關(guān)鍵，根據(jù)度、分、秒的減法運算法則計算即可．【詳解】解：，故答案為：．45．（23-24七年級上·湖北孝感·期末）計算：(1)(2)【答案】(1)；(2)．【分析】（1）根據(jù)角的四則運算法則求解即可．（2）根據(jù)角的四則運算法則求解即可．本題考查了角的四則運算，熟練掌握運算法則是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：．（2）解：．重難點13按題目要求作角46．（24-25七年級上·安徽合肥·期末）如圖，已知射線和射線外兩點A、D，按下列要求作圖：

(1)畫射線；(2)畫線段，并延長交射線于點O；(3)以為一邊，用尺規(guī)作圖作，保留作圖痕跡，寫結(jié)論，不寫作法．【答案】(1)圖見解析(2)圖見解析(3)圖見解析【分析】本題考查畫直線，射線，線段，尺規(guī)作圖—作一個角等于已知角：（1）根據(jù)射線的定義畫圖即可；（2）根據(jù)作圖語言畫圖即可；（3）根據(jù)尺規(guī)作角的方法作圖即可．【詳解】（1）解：如圖，射線即為所求；（2）如圖，線段，點即為所求；（3）如圖，即為所求；

47．（24-25七年級上·安徽合肥·期末）如圖，已知，利用無刻度的直尺和圓規(guī)作圖（不要求寫作法）．(1)求作：的補角；(2)求作：．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】本題考查了利用尺規(guī)作角的和差，熟練掌握尺規(guī)作圖法是解題的關(guān)鍵．（1）延長到，即為所求；（2）在的左側(cè)作，即為所求．【詳解】（1）解：如圖，即為所求；（2）解：如圖，即為所求．48．（22-23七年級下·安徽安慶·期末）已知：線段，，，．

求作：（要求：僅用無刻度的直尺和圓規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）(1)線段；(2)．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）首先作射線，然后截取線段，，則即為所求；（2）首先作射線，然后利用尺規(guī)作，，則即為所求．【詳解】（1）如圖所示，線段即為所求的線段．

；（2）解：如圖所示，即為所求作的角．

【點睛】此題主要考查根據(jù)已知線段作另外一條線段，作一個角等于已知角．解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識進(jìn)行作圖．重難點14幾何圖形中的角度運算49．（24-25七年級上·安徽蕪湖·期末）如圖所示，已知點為直線上一點，，，平分．(1)求的度數(shù)；(2)若與互余，求的度數(shù)．【答案】(1)(2)【分析】本題主要考查余角、平角的定義，角平分線的定義及角的計算，靈活運用角的和差求解相關(guān)角的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．（1）由已知角度結(jié)合平角的定義可求解的度數(shù)，進(jìn)而求解即可；（2）根據(jù)余角的定義，平角的定義可求解的度數(shù)，再利用角的和差可求解．【詳解】（1）又平分，所以，因為，所以．（2）由（1）可知，又與互余，所以，又因為，所以，所以．50．（24-25七年級上·安徽宣城·期末）如圖，已知，是內(nèi)部的兩條射線，平分，平分，(1)若，，求的度數(shù)．(2)若，，求的度數(shù)．（用，含的式子表示）【答案】(1)(2)【分析】本題主要考查了角平分線定義，幾何圖形中角的計算，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，注意整體思想應(yīng)用．（1）先根據(jù)，，求出，再根據(jù)角平分線定義得出，，從而求出，最后求出結(jié)果即可；（2）先根據(jù)，，求出，再根據(jù)，求出結(jié)果即可．【詳解】（1）解：∵，，∴，∵平分，平分，∴，，∵，∴；（2）解：∵，，∴，∵平分，平分，∴，，∵，∴∵，∴．51．（24-25七年級上·安徽合肥·期末）閱讀理解：從的頂點出發(fā)，在角的內(nèi)部作一條射線，若該射線將分得的兩個角中有一個角與互為補角，則稱該射線為的“分補線”.如圖，點在直線上，、在直線上方，且，射線是的“分補線”．(1)若，且在內(nèi)部，則_____，______；(2)若平分，求的度數(shù)；(3)若是的平分線，是的平分線，請直接寫出與的數(shù)量關(guān)系：__________．【答案】(1)；(2)(3)或【分析】（1）根據(jù)“分補線”的定義與補角定義可得，再由余角定義即可求解；（2）根據(jù)“分補線”可得，，根據(jù)角平分線的定義可得，由，可得，即得；（3）分兩種情況：，或，進(jìn)行解答即可．【詳解】（1）解：如圖，∵射線是的“分補線”，∴，∵，∴，∵，∴，∴；故答案為：；；（2）解：如圖，∵是的“分補線”，∴，∵，∴，∴，∵平分，∴，∵，∴，∴，∴；

（3）解：或理由：當(dāng)時，由于，∴，∵是的平分線，是的平分線，∴，，∵，∴；當(dāng)時，由于，∴，∵，∴，此情況，重合，同理可得：，∴．綜上，或．故答案為：或．【點睛】本題考查了新定義——角的“分補線”．熟練掌握新定義，角平分線定義，余角補角定義，角的和差倍分關(guān)系的計算，分類討論，是解題的關(guān)鍵．52．（24-25七年級上·安徽蚌埠·期末）如圖1，，在內(nèi)部，射線繞點順時針旋轉(zhuǎn)，與此同時，射線繞點逆時針旋轉(zhuǎn)且旋轉(zhuǎn)速度是的倍，，旋轉(zhuǎn)后的位置分別是，，當(dāng)?shù)竭_(dá)位置時兩條射線均停止旋轉(zhuǎn)．整個運動過程中始終滿足．(1)直接寫出的度數(shù)∶；(2)①如圖2，在，旋轉(zhuǎn)的過程中，是的平分線，是的平分線，若旋轉(zhuǎn)到某一時刻，恰好，求此時的度數(shù)；②在①的條件下，如果越過的位置(但滿足)，的度數(shù)又是多少？在備用圖畫出圖形并計算．【答案】(1)(2)①，②圖見解析，【分析】本題考查了角度的和差計算，角平分線，一元一次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意正確列式計算是解題的關(guān)鍵．（1）由題意得，，得到，計算即可得到答案；（2）①由（1）知，得到，，根據(jù)角平分線定義得到，，得到，再由已知，計算即可得到答案；②根據(jù)題意畫出圖形，根據(jù)題意可得，，得到，，根據(jù)角平分線定義得到，，從而得到，再由已知，即可求出的度數(shù)．【詳解】（1）解：射線繞點順時針旋轉(zhuǎn)，與此同時，射線繞點逆時針旋轉(zhuǎn)且旋轉(zhuǎn)速度是的倍，，整個運動過程中始終滿足，，，，故答案為：（2）解：①由（1）知，，，，是的平分線，是的平分線，，，，旋轉(zhuǎn)到某一時刻，恰好，，，此時的度數(shù)為；②在①的條件下，如果越過的位置(但滿足)，則也越過的位置，如圖，，，，，，是的平分線，是的平分線，，，，旋轉(zhuǎn)到某一時刻，恰好，，．重難點15雙角平分線模型（注意分類討論）53．已知，平分平分，則的度數(shù)是．【答案】或【分析】本題考查了角平分線的有關(guān)計算，根據(jù)題意畫出滿足條件的兩種情況即可求解．【詳解】解：如圖所示：第一種情況如下圖∵，∴∵平分平分，∴∴第二種情況如圖此時，故答案為：或54．已知∠AOB＝80°，射線OC在∠AOB內(nèi)部，且∠AOC＝20°，