湖北省武漢市武昌區(qū)2025屆高三元月調(diào)考數(shù)學(xué)參考答案及評分細(xì)則一、選擇題（每題5分，共40分）題號12345678答案ABCCBDDA二、多項(xiàng)選擇題（每題5分，共15分，全部選對得5分，部分選對得2分，選錯得0分）題號91011答案ACBCDACD三、填空題（每題5分，共15分）\boxed{12}\boxed{\dfrac{1}{3}}\boxed{2}四、解答題（共70分，需寫出文字說明、證明過程或演算步驟）15.（13分）在\triangleABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c，點(diǎn)D為線段AC的中點(diǎn)，滿足\sin^2A-2\sinA\sinC+\sin^2C=\sin^2B-\sinA\sinC。（1）求角B；（2）若\triangleABC的面積為\sqrt{3}，b=\sqrt{13}，求中線BD的長。解：（1）因?yàn)锳+B+C=\pi，所以\sinB=\sin(\pi-(A+C))=\sin(A+C)。由正弦定理\dfrac{a}{\sinA}=\dfrac{\sinB}=\dfrac{c}{\sinC}，將已知等式轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系：a^2-2ac+c^2=b^2-ac，整理得b^2=a^2+c^2-ac。由余弦定理\cosB=\dfrac{a^2+c^2-b^2}{2ac}，代入得：\cosB=\dfrac{ac}{2ac}=\dfrac{1}{2}，又B\in(0,\pi)，故B=60^\circ?！?分）（2）由\triangleABC的面積S=\dfrac{1}{2}ac\sinB=\sqrt{3}，代入B=60^\circ得：\dfrac{1}{2}ac\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}，解得ac=4。由余弦定理b^2=a^2+c^2-ac，得a^2+c^2=b^2+ac=13+4=17。因?yàn)锽D為中線，所以\overrightarrow{BD}=\dfrac{1}{2}(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC})，兩邊平方得：BD^2=\dfrac{1}{4}(a^2+c^2+2ac\cosB)=\dfrac{1}{4}(17+2\times4\times\dfrac{1}{2})=\dfrac{21}{4}，故BD=\dfrac{\sqrt{21}}{2}?！?3分）16.（15分）在四棱錐F-ABCD中，F(xiàn)A\perp平面ABCD，四邊形ABCD為直角梯形，AD\parallelBC，\angleDAB=90^\circ，CD=2，BC=1。（1）已知G為AF的中點(diǎn)，求證：BG\parallel平面DCF；（2）若直線BF與平面ABCD所成的角為\dfrac{\pi}{4}，二面角C-DF-A的余弦值為\dfrac{2}{3}，求點(diǎn)B到平面DCF的距離。（1）證明：取DF中點(diǎn)K，連接GK、KC。因?yàn)镚為AF中點(diǎn)，所以KG\parallelAD且KG=\dfrac{1}{2}AD。由直角梯形性質(zhì)，BC\parallelAD且BC=\dfrac{1}{2}AD，故KG\parallelBC且KG=BC，四邊形KGBC為平行四邊形，因此KC\parallelBG。又BG\not\subset平面DCF，KC\subset平面DCF，故BG\parallel平面DCF。…………（6分）（2）解：以A為原點(diǎn)，AF、AB、AD所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系。由直線BF與平面ABCD所成角為\dfrac{\pi}{4}，得AB=AF，設(shè)AB=AF=a(a>0)，則B(0,a,0)、F(a,0,0)、C(1,a,0)、D(2,0,0)。平面DCF的法向量\boldsymbol{n}=(x,y,z)滿足\begin{cases}\boldsymbol{n}\cdot\overrightarrow{DC}=-x+ay=0\\\boldsymbol{n}\cdot\overrightarrow{DF}=-2x+az=0\end{cases}，令x=1，得\boldsymbol{n}=(1,\dfrac{1}{a},\dfrac{2}{a})。平面ADF的法向量為\overrightarrow{AB}=(0,a,0)，由二面角余弦值\dfrac{2}{3}得：\left|\dfrac{\boldsymbol{n}\cdot\overrightarrow{AB}}{|\boldsymbol{n}|\cdot|\overrightarrow{AB}|}\right|=\dfrac{1}{\sqrt{1+\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{4}{a^2}}}=\dfrac{2}{3}，解得a=2，故\boldsymbol{n}=(1,\dfrac{1}{2},1)，\overrightarrow{BF}=(2,-2,0)。點(diǎn)B到平面DCF的距離h=\dfrac{|\overrightarrow{BF}\cdot\boldsymbol{n}|}{|\boldsymbol{n}|}=\dfrac{|2-1+0|}{\sqrt{1+\dfrac{1}{4}+1}}=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}。…………（15分）17.（15分）已知函數(shù)f(x)=\dfrac{e^x(2x-a)}{x-1}(x\neq1)。（1）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)x<1時(shí)，f(x)<1，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，f(x)=\dfrac{e^x(2x-1)}{x-1}，求導(dǎo)得：f'(x)=\dfrac{e^x(2x^2-3x)}{(x-1)^2}，令f'(x)=0，解得x=0或x=\dfrac{3}{2}。當(dāng)x<0或x>\dfrac{3}{2}時(shí)，f'(x)>0；當(dāng)0<x<1或1<x<\dfrac{3}{2}時(shí)，f'(x)<0。故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-\infty,0)、(\dfrac{3}{2},+\infty)，單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1)、(1,\dfrac{3}{2})。…………（6分）（2）由x<1時(shí)f(x)<1，得\dfrac{e^x(2x-a)}{x-1}<1，整理得a<2x-\dfrac{x-1}{e^x}（因x-1<0，不等號方向不變）。令h(x)=2x-\dfrac{x-1}{e^x}(x<1)，求導(dǎo)得h'(x)=2-\dfrac{2-x}{e^x}=\dfrac{2e^x+x-2}{e^x}。令\varphi(x)=2e^x+x-2，其在(-\infty,1)單調(diào)遞增，且\varphi(0)=0。當(dāng)x<0時(shí)，\varphi(x)<0，h'(x)<0；當(dāng)0<x<1時(shí)，\varphi(x)>0，h'(x)>0。故h(x)_{\min}=h(0)=1，因此a<1?！?5分）18.（17分）已知橢圓C：\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)的長軸長是短軸長的2倍，焦距為2\sqrt{3}，點(diǎn)A、B分別為C的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)P、Q為C上的兩個動點(diǎn)，且分別位于x軸上、下兩側(cè)。（1）求橢圓C的方程；（2）若\dfrac{S_1}{S_2}=3（S_1、S_2分別為\triangleAPQ和\triangleBPQ的面積），求證直線PQ過定點(diǎn)，并求出該點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）若\dfrac{S_1}{S_2}=1，設(shè)直線AP和直線BQ的斜率分別為k_1、k_2，求\dfrac{k_1}{k_2}的取值范圍。解：（1）由題意得\begin{cases}2a=4b\\2c=2\sqrt{3}\\a^2-b^2=c^2\end{cases}，解得a=2，b=1，故橢圓方程為\dfrac{x^2}{4}+y^2=1?！?分）（2）由對稱性知定點(diǎn)在x軸上，設(shè)M(x_0,0)為定點(diǎn)，直線PQ：x=my+x_0。S_1=\dfrac{1}{2}|AM|\cdot|y_1-y_2|，S_2=\dfrac{1}{2}|BM|\cdot|y_1-y_2|，故\dfrac{|AM|}{|BM|}=3。|AM|=x_0+2，|BM|=2-x_0，則\dfrac{x_0+2}{2-x_0}=3，解得x_0=1，定點(diǎn)為(1,0)。…………（8分）（3）由\dfrac{S_1}{S_2}=1得x_0=0，直線PQ：x=my。聯(lián)立橢圓方程得(m^2+4)y^2-4=0，故y_1+y_2=0，y_1y_2=-\dfrac{4}{m^2+4}。k_1=\dfrac{y_1}{x_1+2}=\dfrac{y_1}{my_1+2}，k_2=\dfrac{y_2}{x_2-2}=\dfrac{-y_1}{-my_1-2}=\dfrac{y_1}{my_1+2}，故\dfrac{k_1}{k_2}=1？（此處原文解析不完整，需結(jié)合完整試題補(bǔ)充）…………（17分）19.（17分）有五張背面完全相同的數(shù)字卡片，正面分別寫著1、2、3、4、5，將它們背面朝上隨機(jī)放在桌子上，翻開卡片時(shí)要求按從小到大的順序依次翻開，不符合要求則翻回（不計(jì)次數(shù)），直到所有卡片正面朝上為止。（1）求第三次恰好翻開數(shù)字為2的卡片且不再翻回的概率；（2）記X為需要翻開的次數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望；（3）將卡片數(shù)量改為n張，記E_n為平均次數(shù)，求證：E_n=2^n-1。解：（1）前兩次需翻到1，分兩類：①第一次翻1，第二次不翻2，第三次翻2：概率\dfrac{1}{5}\times\dfrac{3}{4}\times\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{20}；②第一次翻2（翻回），第二次翻1，第三次翻2：概率\dfrac{1}{5}\times\dfrac{1}{4}\times1=\dfrac{1}{20}?？偢怕蔖=\dfrac{1}{20}+\dfrac{1}{20}=\dfrac{1}{10}。…