2025年上學(xué)期高一數(shù)學(xué)周測（第二十一周）一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）已知集合(A={x|x^2-3x+2=0})，(B={x|x^2-ax+a-1=0})，若(A\cupB=A)，則實(shí)數(shù)(a)的值為（）A.2B.3C.2或3D.1或2解析：先求解集合(A)：解方程(x^2-3x+2=0)，得(x=1)或(x=2)，故(A={1,2})。由(A\cupB=A)可知(B\subseteqA)，即集合(B)是(A)的子集。解方程(x^2-ax+a-1=0)，因式分解得((x-1)(x-(a-1))=0)，故(B={1,a-1})（若(a-1\neq1)）或(B={1})（若(a-1=1)，即(a=2)）。當(dāng)(B={1})時(shí)，(a-1=1)，解得(a=2)；當(dāng)(B={1,2})時(shí)，(a-1=2)，解得(a=3)；綜上，(a=2)或(a=3)，答案選C。函數(shù)(f(x)=\sqrt{x-1}+\frac{1}{x-2})的定義域是（）A.([1,+\infty))B.((1,2)\cup(2,+\infty))C.([1,2)\cup(2,+\infty))D.((1,+\infty))解析：函數(shù)定義域需滿足：偶次根式被開方數(shù)非負(fù)：(x-1\geq0\Rightarrowx\geq1)；分式分母不為零：(x-2\neq0\Rightarrowx\neq2)；綜上，定義域?yàn)?[1,2)\cup(2,+\infty))，答案選C。已知(\sin\alpha=\frac{3}{5})，(\alpha\in(\frac{\pi}{2},\pi))，則(\cos(\alpha-\frac{\pi}{4}))的值為（）A.(-\frac{\sqrt{2}}{10})B.(\frac{\sqrt{2}}{10})C.(-\frac{7\sqrt{2}}{10})D.(\frac{7\sqrt{2}}{10})解析：由(\alpha\in(\frac{\pi}{2},\pi))且(\sin\alpha=\frac{3}{5})，得(\cos\alpha=-\sqrt{1-\sin^2\alpha}=-\frac{4}{5})。利用余弦差角公式：[\cos(\alpha-\frac{\pi}{4})=\cos\alpha\cos\frac{\pi}{4}+\sin\alpha\sin\frac{\pi}{4}=(-\frac{4}{5})\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{3}{5}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=-\frac{\sqrt{2}}{10}]答案選A。已知向量(\vec{a}=(2,3))，(\vec=(m,-6))，若(\vec{a}\parallel\vec)，則(m=)（）A.(-4)B.4C.(-9)D.9解析：向量平行的充要條件是坐標(biāo)交叉相乘相等，即(2\times(-6)=3\timesm)，解得(m=-4)，答案選A。若(\log_2a<0)，((\frac{1}{2})^b>1)，則（）A.(a>1)，(b>0)B.(0<a<1)，(b>0)C.(a>1)，(b<0)D.(0<a<1)，(b<0)解析：(\log_2a<0=\log_21)，由于(y=\log_2x)在((0,+\infty))上單調(diào)遞增，故(0<a<1)；((\frac{1}{2})^b>1=(\frac{1}{2})^0)，由于(y=(\frac{1}{2})^x)在(\mathbb{R})上單調(diào)遞減，故(b<0)；答案選D。函數(shù)(f(x)=x^3-3x^2+2)在區(qū)間([-1,2])上的最大值是（）A.2B.0C.(-2)D.(-4)解析：求導(dǎo)得(f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2))，令(f'(x)=0)，解得(x=0)或(x=2)（均在區(qū)間([-1,2])內(nèi)）。計(jì)算函數(shù)在端點(diǎn)及極值點(diǎn)處的值：(f(-1)=(-1)^3-3(-1)^2+2=-1-3+2=-2)；(f(0)=0-0+2=2)；(f(2)=8-12+2=-2)；故最大值為2，答案選A。已知直線(l_1:2x+y-4=0)與(l_2:mx-y+1=0)垂直，則(m)的值為（）A.(-2)B.(-\frac{1}{2})C.(\frac{1}{2})D.2解析：兩直線垂直的充要條件是斜率之積為(-1)。(l_1)的斜率(k_1=-2)，(l_2)的斜率(k_2=m)；由(k_1k_2=-1)，得(-2m=-1\Rightarrowm=\frac{1}{2})，答案選C。已知(\triangleABC)中，(a=2)，(b=3)，(C=60^\circ)，則(c=)（）A.(\sqrt{7})B.(\sqrt{19})C.7D.19解析：由余弦定理(c^2=a^2+b^2-2ab\cosC)，代入得：(c^2=2^2+3^2-2\times2\times3\times\cos60^\circ=4+9-12\times\frac{1}{2}=7)，故(c=\sqrt{7})，答案選A。函數(shù)(f(x)=\sin(2x+\frac{\pi}{3}))的最小正周期和對稱軸方程分別是（）A.(\pi)，(x=\frac{k\pi}{2}+\frac{\pi}{12}(k\in\mathbb{Z}))B.(2\pi)，(x=\frac{k\pi}{2}+\frac{\pi}{12}(k\in\mathbb{Z}))C.(\pi)，(x=k\pi+\frac{\pi}{12}(k\in\mathbb{Z}))D.(2\pi)，(x=k\pi+\frac{\pi}{12}(k\in\mathbb{Z}))解析：最小正周期：(T=\frac{2\pi}{|2|}=\pi)；對稱軸方程：令(2x+\frac{\pi}{3}=k\pi+\frac{\pi}{2}(k\in\mathbb{Z}))，解得(x=\frac{k\pi}{2}+\frac{\pi}{12}(k\in\mathbb{Z}))；答案選A。若圓(x^2+y^2-2x+4y+m=0)與(x)軸相切，則(m=)（）A.1B.4C.5D.(-5)解析：將圓方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式：((x-1)^2+(y+2)^2=5-m)，圓心為((1,-2))，半徑(r=\sqrt{5-m})。圓與(x)軸相切，則圓心到(x)軸的距離等于半徑，即(|-2|=\sqrt{5-m})，解得(2=\sqrt{5-m}\Rightarrow4=5-m\Rightarrowm=1)，答案選A。已知等比數(shù)列({a_n})中，(a_1=2)，(a_4=16)，則數(shù)列({a_n})的前5項(xiàng)和(S_5=)（）A.30B.31C.62D.63解析：設(shè)公比為(q)，則(a_4=a_1q^3\Rightarrow16=2q^3\Rightarrowq^3=8\Rightarrowq=2)。前5項(xiàng)和(S_5=\frac{a_1(1-q^5)}{1-q}=\frac{2(1-2^5)}{1-2}=2(32-1)=62)，答案選C。若函數(shù)(f(x)=x^2-2ax+3)在區(qū)間([1,+\infty))上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)(a)的取值范圍是（）A.((-\infty,1])B.([1,+\infty))C.((-\infty,-1])D.([-1,+\infty))解析：函數(shù)(f(x)=x^2-2ax+3)的對稱軸為(x=a)，開口向上。若在([1,+\infty))上單調(diào)遞增，則對稱軸(x=a\leq1)，故(a\in(-\infty,1])，答案選A。二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）已知(f(x)=2x+1)，則(f(f(1))=)________。解析：先求(f(1)=2\times1+1=3)，再求(f(f(1))=f(3)=2\times3+1=7)，答案填7。已知(\tan\alpha=2)，則(\frac{\sin\alpha+\cos\alpha}{\sin\alpha-\cos\alpha}=)________。解析：分子分母同除以(\cos\alpha)（(\cos\alpha\neq0)），得(\frac{\tan\alpha+1}{\tan\alpha-1}=\frac{2+1}{2-1}=3)，答案填3。某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的體積是________(\text{cm}^3)。（注：此處默認(rèn)三視圖對應(yīng)的幾何體為一個(gè)長方體挖去一個(gè)正方體，長方體長、寬、高分別為4、3、2，正方體棱長為1）解析：長方體體積(V_1=4\times3\times2=24)，正方體體積(V_2=1\times1\times1=1)，故幾何體體積(V=V_1-V_2=23)，答案填23。若函數(shù)(f(x)=\begin{cases}x+1,&x\leq0\2^x,&x>0\end{cases})，則(f(f(-1))=)________。解析：先求(f(-1)=-1+1=0)，再求(f(f(-1))=f(0)=0+1=1)，答案填1。三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）（本小題滿分10分）已知函數(shù)(f(x)=x^2-4x+5)，求：（1）函數(shù)(f(x))在區(qū)間([0,3])上的最大值和最小值；（2）函數(shù)(f(x))的單調(diào)遞增區(qū)間。解析：（1）函數(shù)(f(x)=x^2-4x+5)的對稱軸為(x=2)，開口向上。在區(qū)間([0,3])上，函數(shù)在([0,2])上單調(diào)遞減，在([2,3])上單調(diào)遞增；最小值：(f(2)=2^2-4\times2+5=1)；最大值：比較端點(diǎn)值(f(0)=0-0+5=5)，(f(3)=9-12+5=2)，故最大值為5。（2）對稱軸為(x=2)，開口向上，故單調(diào)遞增區(qū)間為([2,+\infty))。答案：（1）最大值5，最小值1；（2）([2,+\infty))。（本小題滿分12分）已知(\triangleABC)中，角(A,B,C)所對的邊分別為(a,b,c)，且(\cosA=\frac{4}{5})，(b=2)，(c=5)。（1）求邊(a)的長；（2）求(\sinC)的值。解析：（1）由余弦定理(a^2=b^2+c^2-2bc\cosA)，代入得：(a^2=2^2+5^2-2\times2\times5\times\frac{4}{5}=4+25-16=13)，故(a=\sqrt{13})。（2）由(\cosA=\frac{4}{5})，得(\sinA=\sqrt{1-(\frac{4}{5})^2}=\frac{3}{5})。由正弦定理(\frac{a}{\sinA}=\frac{c}{\sinC})，得(\sinC=\frac{c\sinA}{a}=\frac{5\times\frac{3}{5}}{\sqrt{13}}=\frac{3\sqrt{13}}{13})。答案：（1）(\sqrt{13})；（2）(\frac{3\sqrt{13}}{13})。（本小題滿分12分）已知等差數(shù)列({a_n})中，(a_3=7)，(a_5=13)。（1）求數(shù)列({a_n})的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)(b_n=2^{a_n})，求數(shù)列({b_n})的前(n)項(xiàng)和(T_n)。解析：（1）設(shè)等差數(shù)列公差為(d)，則(a_5-a_3=2d=13-7=6\Rightarrowd=3)。又(a_3=a_1+2d=7\Rightarrowa_1+6=7\Rightarrowa_1=1)，故通項(xiàng)公式(a_n=a_1+(n-1)d=1+3(n-1)=3n-2)。（2）由(b_n=2^{a_n}=2^{3n-2}=2^{-2}\times(2^3)^n=\frac{1}{4}\times8^n)，可知({b_n})是首項(xiàng)(b_1=\frac{1}{4}\times8=2)，公比(q=8)的等比數(shù)列。前(n)項(xiàng)和(T_n=\frac{b_1(1-q^n)}{1-q}=\frac{2(1-8^n)}{1-8}=\frac{2(8^n-1)}{7})。答案：（1）(a_n=3n-2)；（2）(T_n=\frac{2(8^n-1)}{7})。（本小題滿分12分）已知圓(C)的圓心在直線(x-y-4=0)上，且經(jīng)過點(diǎn)(A(1,0))和(B(0,1))。（1）求圓(C)的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線(l:y=kx+1)與圓(C)相交于(M,N)兩點(diǎn)，且(|MN|=2\sqrt{2})，求(k)的值。解析：（1）設(shè)圓心坐標(biāo)為((a,b))，半徑為(r)。由圓心在直線(x-y-4=0)上，得(a-b=4)①。又圓經(jīng)過(A(1,0))和(B(0,1))，故((a-1)^2+b^2=r^2)②，(a^2+(b-1)^2=r^2)③。②-③得：((a-1)^2-a^2+b^2-(b-1)^2=0\Rightarrow-2a+1+2b-1=0\Rightarrow-a+b=0\Rightarrowb=a)。代入①得(a-a=4)，矛盾？？？（修正：應(yīng)為(a-b=4)且(b=a-4)，代入②③）重新計(jì)算：②-③得((a-1)^2-a^2+b^2-(b-1)^2=0\Rightarrow-2a+1+2b-1=0\Rightarrowb=a)，與①聯(lián)立：(a-a=4)不成立，說明前面計(jì)算錯(cuò)誤。正確解法：設(shè)圓心((a,a-4))（由(a-b=4\Rightarrowb=a-4)），則((a-1)^2+(a-4)^2=a^2+(a-5)^2)，展開得(a^2-2a+1+a^2-8a+16=a^2+a^2-10a+25\Rightarrow-10a+17=-10a+25\Rightarrow17=25)，矛盾？？？（發(fā)現(xiàn)題目數(shù)據(jù)錯(cuò)誤，應(yīng)為經(jīng)過(A(1,0))和(B(0,-1))）假設(shè)題目正確數(shù)據(jù)為(B(0,-1))，則：((a-1)^2+(a-4)^2=a^2+(a-4+1)^2\Rightarrow(a^2-2a+1)+(a^2-8a+16)=a^2+(a-3)^2\Rightarrow2a^2-10a+17=2a^2-6a+9\Rightarrow-4a=-8\Rightarrowa=2)，(b=2-4=-2)，半徑(r^2=(2-1)^2+(-2)^2=1+4=5)，圓方程((x-2)^2+(y+2)^2=5)。（修正后繼續(xù)）（2）圓心((2,-2))到直線(l:kx-y+1=0)的距離(d=\frac{|2k+2+1|}{\sqrt{k^2+1}}=\frac{|2k+3|}{\sqrt{k^2+1}})。由弦長公式(|MN|=2\sqrt{r^2-d^2}=2\sqrt{2})，得(\sqrt{5-d^2}=\sqrt{2}\Rightarrowd^2=3)，即(\frac{(2k+3)^2}{k^2+1}=3\Rightarrow4k^2+12k+9=3k^2+3\Rightarrowk^2+12k+6=0)，解得(k=\frac{-12\pm\sqrt{144-24}}{2}=-6\pm\sqrt{30})。答案：（1）((x-2)^2+(y+2)^2=5)；（2）(k=-6\pm\sqrt{30})。（本小題滿分12分）已知函數(shù)(f(x)=\log_a(x+1))（(a>0)且(a\neq1)）的圖像過點(diǎn)((1,1))。（1）求(a)的值；（2）若(f(x)\leq1)，求(x)的取值范圍；（3）判斷函數(shù)(f(x))的單調(diào)性，并證明。解析：（1）由(f(1)=\log_a2=1\Rightarrowa=2)。（2）(f(x)=\log_2(x+1)\leq1=\log_22)，由于(y=\log_2x)單調(diào)遞增，故(x+1\leq2)且(x+1>0\Rightarrow-1<x\leq1)。（3）函數(shù)(f(x)=\log_2(