第11講指數(shù)與指數(shù)函數(shù)【基礎(chǔ)回顧】知識(shí)點(diǎn)1．根式(1)一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.(2)式子eq\r(n,a)叫做根式，這里n叫做根指數(shù)，a叫做被開(kāi)方數(shù)．(3)(eq\r(n,a))n＝a.當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，eq\r(n,an)＝a，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，eq\r(n,an)＝|a|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a，a≥0，,－a，a<0.))知識(shí)點(diǎn)2．分?jǐn)?shù)指數(shù)冪正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪：＝eq\r(n,am)(a>0，m，n∈N*，n>1)．正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪：＝＝eq\f(1,\r(n,am))(a>0，m，n∈N*，n>1)．0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0,0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒(méi)有意義．知識(shí)點(diǎn)3．指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r，s∈R)．知識(shí)點(diǎn)4．指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)(1)概念：一般地，函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指數(shù)函數(shù)，其中指數(shù)x是自變量，定義域是R.(2)指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)a>10<a<1圖象定義域R值域(0，＋∞)性質(zhì)過(guò)定點(diǎn)(0,1)，即x＝0時(shí)，y＝1當(dāng)x>0時(shí)，y>1；當(dāng)x<0時(shí)，0<y<1當(dāng)x<0時(shí)，y>1；當(dāng)x>0時(shí)，0<y<1增函數(shù)減函數(shù)常用結(jié)論1．指數(shù)函數(shù)圖象的關(guān)鍵點(diǎn)(0,1)，(1，a)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,a))).2.如圖所示是指數(shù)函數(shù)(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的圖象，則c>d>1>a>b>0，即在第一象限內(nèi)，指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)的圖象越高，底數(shù)越大．題型一指數(shù)運(yùn)算與化簡(jiǎn)求值(1)指數(shù)冪的運(yùn)算首先將根式、分?jǐn)?shù)的分?jǐn)?shù)指數(shù)冪統(tǒng)一為整數(shù)的分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，以便利用法則計(jì)算，還應(yīng)注意：①必須同底數(shù)冪相乘，指數(shù)才能相加．②運(yùn)算的先后順序．(2)運(yùn)算結(jié)果不能同時(shí)含有根號(hào)和分?jǐn)?shù)指數(shù)，也不能既有分母又含有負(fù)指數(shù)．【例題精講】1．如果a2025+b2025＝0，那么一定有（）A．（|a|+|b|）2025＝0 B．（a﹣b）2025＝0 C．（a?b）2025＝0 D．（a+b）2025＝02．下列式子成立的是（）A．a(chǎn)?a=?a3 B．C．a(chǎn)?a=a3 3．已知x＜0，y＞0，化簡(jiǎn)49A．?3x2y B．3x2y C．﹣3x（多選）4．已知a＝2，b＝π，則下列代數(shù)式中值為3π的是（）A．（a14bB．（a﹣4?a4）b+a(bC．(2?abD．（3a43b（多選）5．x，y，z為正實(shí)數(shù)，若(1A．x＞y＞z B．z＞y＞x C．5z＞4y＞3x D．3x＞4y＞5z題型二指數(shù)函數(shù)的定義域與值域定義域：值域：復(fù)合函數(shù)法：【例題精講】1．函數(shù)f(x)=1A．（﹣∞，2] B．（﹣∞，2） C．（0，2] D．（0，2）2．函數(shù)f(x)=1?(A．（﹣∞，0） B．（0，+∞） C．[0，1） D．[0，+∞）3．函數(shù)y=2A．[2，+∞） B．（﹣∞，2] C．(0，12（多選）4．已知函數(shù)f（x）＝ax+1（a＞0，且a≠1），若f（x）在[0，1]上的最大值為M，最小值為N，且M?N=a2，則實(shí)數(shù)A．12 B．23 C．3（多選）5．已知函數(shù)f（x）=54x+1，x≤a2x，x＞a，若f（A．﹣1 B．32 C．3 D．ln題型三指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與比較大小【例題精講】1．設(shè)a＝0.80.4，b＝0.2﹣0.9，c＝0.90.4，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A．a(chǎn)＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．a(chǎn)＜c＜b2．設(shè)a＝0.30.2，b＝1.10.2，c＝1.10.3，則（）A．b＜c＜a B．a(chǎn)＜c＜b C．a(chǎn)＜b＜c D．c＜a＜b3．已知函數(shù)f（x）＝a|x|（a＞0且a≠1），若f（﹣3）＜f（4），則不等式f（2x﹣3）≤f（5）的解集為（）A．（﹣∞，﹣1]∪[4，+∞） B．（﹣∞，﹣1）∪（4，+∞） C．[﹣1，4] D．（﹣1，4）（多選）4．已知實(shí)數(shù)x，y滿足(1A．e2x+1＞e2y+1 B．sinx＞siny C．x3＞y3 D．2x﹣2y＞3﹣x﹣3﹣y（多選）5．下列判斷正確的有（）A．(5B．20.3＜20.5 C．π2D．0.70.8＜0.70.7題型四指數(shù)方程與不等式指數(shù)方程：指數(shù)不等式：換元法：類似指數(shù)方程，通過(guò)換元轉(zhuǎn)化為整式不等式，注意新變量范圍．【例題精講】1．若2m+3﹣n≥2n+3﹣m，其中m，n均為實(shí)數(shù)，則（）A．m+n≤0 B．m﹣n≤0 C．m﹣n≥0 D．m+n≥02．設(shè)不等式4x﹣m（4x+2x+1）≥0對(duì)于任意的x∈[0，1]恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A．（﹣∞，13] B．[13，37] C．[33．用函數(shù)觀點(diǎn)解不等式：不等式x5+5x＞6的解集為．4．已知函數(shù)f（x）＝a?2x﹣2﹣x是定義在R上的奇函數(shù)．（1）求a的值，并證明：f（x）在R上單調(diào)遞增；（2）求不等式f（3x2﹣5x）+f（x﹣4）＞0的解集；（3）若g（x）＝4x+4﹣x﹣2mf（x）在區(qū)間[﹣1，+∞）上的最小值為﹣2，求m的值．5．已知函數(shù)f（x）＝4x﹣2x﹣6．（1）若f（x）＜0，求x的取值范圍；（2）若關(guān)于x的方程f（x）＝m有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，設(shè)為x1，x2．（i）求m的取值范圍；（ii）證明：x1+x2＜﹣2．題型五指數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用對(duì)于有關(guān)指數(shù)型函數(shù)的圖象問(wèn)題，一般是從最基本的指數(shù)函數(shù)的圖象入手，通過(guò)平移、伸縮、對(duì)稱變換得到．特別地，當(dāng)?shù)讛?shù)a與1的大小關(guān)系不確定時(shí)應(yīng)注意分類討論．【例題精講】1．函數(shù)f（x）＝ax與g（x）＝x+a的圖象大致是（）2．已知函數(shù)f（x）＝ax﹣1過(guò)定點(diǎn)M，點(diǎn)M在直線mx+ny＝1上且m，n＞0，則1mA．3+22 B．4+22 C．3+23．若直線y=a2與函數(shù)y＝|ax﹣1|（a＞0且a≠1）的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)，則A．38 B．34 C．34．若函數(shù)f（x）＝|2﹣x﹣1|﹣m的圖象不經(jīng)過(guò)第一象限，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是．5．函數(shù)f(x)=(12)|x|的圖象與平行線y＝m，y＝n，m≠n有且僅有三個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m+課時(shí)精練一．選擇題（共8小題）1．已知a＞0，b＞0，4a＝b2＝16，則2a﹣b的值是（）A．83 B．14 C．24 2．設(shè)a＝0.30.2，b＝1.10.2，c＝1.10.3，則（）A．b＜c＜a B．a(chǎn)＜c＜b C．a(chǎn)＜b＜c D．c＜a＜b3．已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閇﹣1，2]，則函數(shù)g(x)=f(2x)+1?A．[0，1] B．[﹣1，0] C．[?12，1]4．設(shè)a≠b，函數(shù)y＝|2x+a|與y＝|2x+b|在[0，1]上的值域相同，則a+b＝（）A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣35．函數(shù)f(x)=x?1A．[﹣2，+∞） B．[﹣1，+∞） C．[0，+∞） D．[1，+∞）6．若函數(shù)y＝ax（a＞0，且a≠1）的圖象過(guò)點(diǎn)(12，13)，則函數(shù)A． B． C． D．7．已知函數(shù)f(x)=(12025A．12 B．﹣1 C．1 D．18．若直線y=a2與函數(shù)y＝|ax﹣1|（a＞0且a≠1）的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)，則A．38 B．34 C．3二．多選題（共3小題）（多選）9．下列結(jié)論中，正確的是（）A．函數(shù)y＝2x﹣1是指數(shù)函數(shù) B．函數(shù)y=(13C．若am＞an（a＞0，a≠1）則m＞n D．函數(shù)f（x）＝ax﹣2﹣3（a＞0，a≠1）的圖像必過(guò)定點(diǎn)（2，﹣2）（多選）10．若函數(shù)f(x)=1?42ax+aA．a(chǎn)＝2 B．f（x）為減函數(shù) C．f（x）的值域?yàn)椋?，1） D．f（x）的值域?yàn)椋ī?，1）（多選）11．已知函數(shù)f（x）=54x+1，x≤a2x，x＞a，若f（A．﹣1 B．32 C．3 D．ln三．填空題（共3小題）12．計(jì)算：（278）?213．已知函數(shù)f（x）＝amx+1+（n﹣3）a（其中m，n∈R，a＞0且a≠1）的圖象恒過(guò)定點(diǎn)（2，1），若f(1)=2，則[f（m+n）]2＝14．設(shè)某死亡生物經(jīng)過(guò)t年后，其機(jī)體內(nèi)碳14所剩的質(zhì)量C（t）=C0(12)t5730（C0為碳14的初始質(zhì)量）．當(dāng)該死亡生物經(jīng)過(guò)11460年，其機(jī)體內(nèi)碳14所剩質(zhì)量與原有質(zhì)量的比值為四．解答題（共5小題）15．已知函數(shù)f（x）＝（a2﹣3a﹣3）?（a﹣1）x是指數(shù)函數(shù)．（1）求實(shí)數(shù)a的值；（2）已知函數(shù)g（x）＝f2（x）﹣4f（x）+6，x∈[﹣1，2]，求g（x）的值域．16．已知函數(shù)f（x）＝ax﹣1（a＞0，a≠1）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3，19（1）求a的值；（2）求函數(shù)F（x）＝a2x﹣ax﹣2+8，當(dāng)x∈[﹣2，1]時(shí)的值域．17．一般地，函數(shù)y＝ax（a＞0且a≠1）叫做指數(shù)函數(shù)．已知函數(shù)f（x）＝（2a