第10講函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性【知識積累】知識點(diǎn)1函數(shù)的單調(diào)性1.定義函數(shù)增函數(shù)減函數(shù)圖示條件設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)锳,區(qū)間I?A.如果對于區(qū)間I內(nèi)的任意兩個(gè)值x1,x2,當(dāng)x1<x2時(shí),都有_____f(x1)<f(x2)____都有__f(x1)>f(x2)___結(jié)論(1)y=f(x)在區(qū)間I上是增函數(shù)(2)I稱為y=f(x)的增區(qū)間(1)y=f(x)在區(qū)間I上是減函數(shù)(2)I稱為y=f(x)的減區(qū)間(1)本質(zhì):函數(shù)的單調(diào)性反映的是兩個(gè)變量的對應(yīng)變換規(guī)律,定量地刻畫了函數(shù)在區(qū)間上圖象的變化趨勢,是函數(shù)諸多性質(zhì)中最核心、最本質(zhì)的性質(zhì).(2)應(yīng)用:證明函數(shù)的單調(diào)性、比較大小、解不等式、求參數(shù)范圍等.2.單調(diào)性定義的兩種變式：3.單調(diào)區(qū)間的定義強(qiáng)調(diào)：函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的局部性質(zhì)，也就是說函數(shù)有可能在不同的區(qū)間上具有不同的單調(diào)性.舉幾個(gè)函數(shù)圖象的例子來說明即可.4.判斷單調(diào)性的步驟：③定號：判斷差的符號；④下結(jié)論.【思考】函數(shù)y=f(x)在定義域內(nèi)的每一個(gè)區(qū)間D1,D2,…上都單調(diào)遞減,那么函數(shù)在定義域上是減函數(shù)嗎?你能舉例說明嗎?知識點(diǎn)2、函數(shù)的最大值和最小值(1)定義:條件設(shè)y=f(x)的定義域?yàn)锳,如果存在x0∈A,使得對于任意的x∈A,都有前提f(x)≤f(x0)f(x)≥f(x0)結(jié)論稱f(x0)為y=f(x)的最大值,記為ymax=f(x0)稱f(x0)為y=f(x)的最小值,記為__________.(2)本質(zhì):函數(shù)圖象上最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)即為最大值;最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)即為最小值.(3)應(yīng)用:求函數(shù)的值域,參數(shù)的范圍,解決實(shí)際問題.【思考】函數(shù)f(x)=x2的定義域?yàn)镽,存在實(shí)數(shù)1,對于任意x∈R,都有f(x)≤1.那么1是函數(shù)f(x)=x2的最大值嗎?為什么?知識點(diǎn)3、函數(shù)的奇偶性(1)奇偶性:奇偶性偶函數(shù)奇函數(shù)條件設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)锳,如果對于任意的x∈A,都有x∈A前提f(x)=_________f(x)=________結(jié)論函數(shù)y=f(x)是偶函數(shù)函數(shù)y=f(x)是奇函數(shù)圖象特點(diǎn)關(guān)于________對稱關(guān)于________對稱(1)本質(zhì):奇偶性是函數(shù)對稱性的表示方法.(2)應(yīng)用:奇偶性是函數(shù)的“整體”性質(zhì),只有對其定義域內(nèi)的每一個(gè)x,都有f(x)=f(x)(或f(x)=f(x)),才能說f(x)是奇(偶)函數(shù).(3)存在既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)的函數(shù),它們的特點(diǎn)是定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱,且解析式化簡后等于零.(4)等價(jià)性：若函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，知識點(diǎn)4、奇函數(shù)偶函數(shù)的判定定義法：利用定義法判斷函數(shù)的奇偶性的步驟:①考察定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱，如果定義域不關(guān)于原點(diǎn)對稱,那么此函數(shù)既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù);如果定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，則進(jìn)行下一步；③得出結(jié)論.2．函數(shù)圖象法：3.性質(zhì)法知識點(diǎn)5、函數(shù)奇偶性的性質(zhì)1、奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上的單調(diào)性相同，偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上的單調(diào)性相反。2、在公共定義域內(nèi)，亦即：相同相加減；乘除：同偶異奇；復(fù)合：一奇則奇，同偶則偶奇函數(shù)與奇函數(shù)奇函數(shù)與偶函數(shù)偶函數(shù)與偶函數(shù)和奇函數(shù)偶函數(shù)差奇函數(shù)偶函數(shù)積偶函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)商偶函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)復(fù)合奇函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)注：以上結(jié)論是在兩函數(shù)的公共定義域內(nèi)才成立；并且在選擇題、填空題中直接應(yīng)用，解答題需先證明再利用。3、整體性：奇偶性是函數(shù)的整體性質(zhì)，對定義域內(nèi)任意一個(gè)都必須成立；【專項(xiàng)訓(xùn)練】類型一利用圖象求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間例題1、圖中是定義在區(qū)間[5,5]上的函數(shù)y=f(x),則下列關(guān)于函數(shù)f(x)的說法錯(cuò)誤的是 ()A.函數(shù)在區(qū)間[5,3]上是增函數(shù)B.函數(shù)在區(qū)間[1,4]上是增函數(shù)C.函數(shù)在區(qū)間[3,1]∪[4,5]上是減函數(shù)D.函數(shù)在區(qū)間[5,5]上沒有單調(diào)性【解析】選C.若一個(gè)函數(shù)出現(xiàn)兩個(gè)或兩個(gè)以上的單調(diào)區(qū)間時(shí),不能用“∪”連接.訓(xùn)練1、下列函數(shù)中,在區(qū)間(0,1)上是增函數(shù)的是 ()【解析】選A.根據(jù)題意,依次分析選項(xiàng):【解題策略】圖象法求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟(1)作圖:作出函數(shù)的圖象.(2)結(jié)論:上升圖象對應(yīng)增區(qū)間,下降圖象對應(yīng)減區(qū)間.訓(xùn)練2、函數(shù)y=|x|(1x)在區(qū)間A上是減函數(shù),那么區(qū)間A是()再結(jié)合二次函數(shù)圖象可知函數(shù)y=|x|(1x)的減區(qū)間是(∞,0),類型二利用定義證明函數(shù)的單調(diào)性四步內(nèi)容理解題意思路探求任取x1,x2∈(2,+∞),且x1<x2?f(x1)>f(x2)?函數(shù)f(x)在區(qū)間(2,+∞)上是減函數(shù)四步內(nèi)容書寫表達(dá)設(shè)x1,x2為區(qū)間(2,+∞)上的任意兩個(gè)值,且x1<x2,在區(qū)間(2,+∞)上是減函數(shù).注意書寫的規(guī)范性:①x1,x2取值任意且分大小;②變形是解題關(guān)鍵.題后反思利用定義法證明函數(shù)單調(diào)性的關(guān)鍵是作差之后的變形,且變形的結(jié)果是幾個(gè)因式乘積的形式.【解題策略】利用定義證明函數(shù)單調(diào)性的步驟【證明】設(shè)x1,x2為(∞,0)上的任意兩個(gè)值,且x1<x2,因?yàn)閤1<x2<0,所以x1x2<0,x1·x2>0,所以f(x1)f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),【拓展延伸】1.性質(zhì)法判斷函數(shù)的單調(diào)性(2)在公共定義域內(nèi),兩增函數(shù)的和仍為增函數(shù),增函數(shù)減去一個(gè)減函數(shù)所得的函數(shù)為增函數(shù).(3)函數(shù)f(x)與f(x)+c(c為常數(shù))具有相同的單調(diào)性.(4)當(dāng)c>0時(shí),函數(shù)f(x)與cf(x)具有相同的單調(diào)性;當(dāng)c<0時(shí),函數(shù)f(x)與cf(x)具有相反的單調(diào)性.類型三函數(shù)單調(diào)性的簡單應(yīng)用例題3、角度1利用單調(diào)性解不等式【典例】函數(shù)f(x)在[0,+∞)上是減函數(shù),且f(2)=1,則滿足f(2x4)>1的實(shí)數(shù)x的取值范圍是 ()A.(3,+∞) B.(∞,3)C.[2,3) D.[0,3)【思路導(dǎo)引】從定義域,單調(diào)性兩個(gè)方面列不等式求范圍.【解析】選C.因?yàn)閒(2)=1,所以由f(2x4)>1得,f(2x4)>f(2),又因?yàn)閒(x)在[0,+∞)上是減函數(shù),所以0≤2x4<2,解得2≤x<3,所以滿足f(2x4)>1的實(shí)數(shù)x的取值范圍是[2,3).訓(xùn)練1、本例的條件若改為“增函數(shù)”,試求x的取值范圍.【解析】因?yàn)閒(2)=1,所以由f(2x4)>1,得f(2x4)>f(2),又f(x)在[0,+∞)上是增函數(shù),所以2x4>2,解得x>3.例題4、角度2分段函數(shù)的單調(diào)性【思路導(dǎo)引】分別考查x≥1,x<1,分界點(diǎn)三個(gè)方面的因素求范圍.【解題策略】1.解抽象函數(shù)不等式問題的方法利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式主要依據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義和性質(zhì),將符號“f”脫掉,列出關(guān)于未知量的不等式(組),然后求解,要注意函數(shù)的定義域.2.分段函數(shù)的單調(diào)性首先分析每段上的單調(diào)性,其次是分界點(diǎn)處函數(shù)值的大小,如果是增函數(shù),則分界點(diǎn)左側(cè)值小于等于右側(cè)值,如果是減函數(shù),則分界點(diǎn)左側(cè)值大于等于右側(cè)值.訓(xùn)練1、f(x)=x|x|,若f(2m+1)+f(1m)>0,則m的取值范圍是 ()A.(∞,1) B.(∞,2)C.(1,+∞) D.(2,+∞)所以f(x)在R上是增函數(shù),且f(x)=f(x),所以由f(2m+1)+f(1m)>0得,f(2m+1)>f(m1),所以2m+1>m1,解得m>2,所以m的取值范圍為(2,+∞).答案:[1,3]類型四抽象函數(shù)的單調(diào)性例題5、函數(shù)f(x)對任意的m,n∈R,都有f(m+n)=f(m)+f(n)1,并且x>0時(shí),恒有f(x)>1.(1)求證:f(x)是增函數(shù).(2)若f(3)=4,解不等式f(a2+a5)<2.【思路導(dǎo)引】(1)按照單調(diào)性的定義,構(gòu)造f(x2)f(x1),再判斷符號.(2)將2化為f(x0)的形式,再利用單調(diào)性解不等式.【解析】(1)設(shè)x1,x2是任意兩個(gè)實(shí)數(shù),且x1<x2,則x2x1>0,所以f(x2x1)>1,f(x2)f(x1)=f((x2x1)+x1)f(x1)=f(x2x1)+f(x1)1f(x1)=f(x2x1)1>0,即f(x2)>f(x1),所以f(x)是R上的增函數(shù).(2)因?yàn)閙,n∈R,不妨設(shè)m=n=1,所以f(1+1)=f(1)+f(1)1,即f(2)=2f(1)1,f(3)=f(2+1)=f(2)+f(1)1=2f(1)1+f(1)1=3f(1)2=4,所以f(1)=2.所以f(a2+a5)<f(1),因?yàn)閒(x)為增函數(shù),所以a2+a5<1,得3<a<2,即a∈(3,2).【解題策略】關(guān)于抽象函數(shù)的單調(diào)性證明(1)證明抽象函數(shù)的單調(diào)性的根本還是單調(diào)性的定義,要圍繞構(gòu)造定義式展開思維.(2)構(gòu)造定義式的依據(jù)是已知的抽象函數(shù)的性質(zhì)關(guān)系式,需要靈活進(jìn)行自變量的賦值、拆分、組合,直到構(gòu)造出f(x1)f(x2),再利用已知條件展開化簡.訓(xùn)練1、若f(x)的定義域?yàn)?0,+∞),當(dāng)0<x<1時(shí),f(x)<0,且對一切x,y>0,滿足f()=f(x)f(y).(1)證明函數(shù)f(x)是增函數(shù).(2)若f(6)=1,解不等式f(x+3)f()<2.【解析】(1)因?yàn)楫?dāng)0<x<1時(shí),f(x)<0,所以函數(shù)f(x)是增函數(shù).(2)因?yàn)閒(6)=1,所以2=1+1=f(6)+f(6),所以不等式f(x+3)f()<2,等價(jià)為不等式f(x+3)f()<f(6)+f(6).類型五利用函數(shù)的圖象求函數(shù)的最值例題6、函數(shù)f(x)在區(qū)間[2,5]上的圖象如圖所示,則此函數(shù)的最小值、最大值分別是 ()A.2,f(2) B.2,f(2)C.2,f(5) D.2,f(5)【解析】選C.由函數(shù)的圖象可知,最小值為2,最大值為f(5).【解析】作出f(x)的圖象如圖:類型六利用單調(diào)性求函數(shù)的最值(1)用定義證明f(x)在區(qū)間[3,+∞)上是增函數(shù).(2)求該函數(shù)在區(qū)間[3,5]上的最大值與最小值.四步內(nèi)容理解題意結(jié)論:(1)證明單調(diào)性;(2)求在區(qū)間[3,5]上的最值.思路探求利用定義證明函數(shù)的單調(diào)性,利用單調(diào)性求最值.四步內(nèi)容書寫表達(dá)(2)根據(jù)(1)可知f(x)在區(qū)間[3,+∞)上是增函數(shù),所以函數(shù)在區(qū)間[3,5]上是增函數(shù)題后反思求函數(shù)的最值時(shí)首先要關(guān)注函數(shù)的單調(diào)性,由單調(diào)性確定取最值時(shí)的自變量值.【解題策略】1.利用單調(diào)性求函數(shù)的最大(小)值的一般步驟(1)判斷函數(shù)的單調(diào)性.(2)利用單調(diào)性求出最大(小)值.2.函數(shù)的最大(小)值與單調(diào)性的關(guān)系(1)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上是增(減)函數(shù),則f(x)在區(qū)間[a,b]上的最小(大)值是f(a),最大(小)值是f(b).(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上是增(減)函數(shù),在區(qū)間[b,c]上是減(增)函數(shù),則f(x)在區(qū)間[a,c]上的最大(小)值是f(b),最小(大)值是f(a)與f(c)中較小(大)的一個(gè).類型七常見的最值問題例題8、角度1換元法求最值所以t=1時(shí),原函數(shù)的最小值為1.例題9、角度2基本不等式求最值A(chǔ).1 B.1 C.4 D.7【思路導(dǎo)引】利用基本不等式求最值.【解析】選A.因?yàn)閤<3,所以x3<0,故f(x)的最大值為1.例題10、角度3含參數(shù)的最值問題若函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,1]上的最大值為g(a),求g(a)的解析式,并求其最小值.【思路導(dǎo)引】求出函數(shù)的對稱軸,討論對稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系求最值.(1)當(dāng)≥1即a≥2時(shí),f(x)在[1,1]上為增函數(shù),可得g(a)=f(1)=,且g(a)的最小值為g(2)=1.此時(shí)g(a)的最小值為g(2)=3.且g(a)的最小值為.【解題策略】1.多種方法求函數(shù)的最值首先由函數(shù)解析式的特征確定求最值的方法,靈活應(yīng)用解不等式、換元法、單調(diào)性求最值.2.含參數(shù)的一元二次函數(shù)的最值以一元二次函數(shù)圖象開口向上、對稱軸為x=m為例,區(qū)間為[a,b]當(dāng)開口向下、區(qū)間是閉區(qū)間時(shí),用類似方法進(jìn)行討論,其實(shí)質(zhì)是討論對稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系.訓(xùn)練1、f(x)=x22ax+1,試求函數(shù)在區(qū)間[0,2]上的最大值.【解析】函數(shù)的對稱軸為x=a,當(dāng)a≤1時(shí),f(x)max=f(2)=54a；當(dāng)a>1時(shí),f(x)max=f(0)=1,類型八函數(shù)奇偶性的判斷A.奇函數(shù) B.偶函數(shù)C.非奇非偶函數(shù) D.既奇又偶函數(shù)A.奇函數(shù) B.偶函數(shù)C.非奇非偶函數(shù) D.既奇又偶函數(shù)【解析】選A.函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,因?yàn)閷τ谌我獾膞∈R都有x∈R,且于是有f(x)=f(x).所以f(x)為奇函數(shù).訓(xùn)練2、判斷函數(shù)f(x)=2x3x是否具有奇偶性.【解析】函數(shù)f(x)為奇函數(shù).理由如下:函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,因?yàn)閷τ谌我鈞∈R,都有x∈R,且f(x)=2(x)3(x)=2x3+x=(2x3x)=f(x),所以函數(shù)f(x)為奇函數(shù).【解題策略】判斷函數(shù)奇偶性的方法(1)定義法:根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義進(jìn)行判斷.步驟如下:①判斷函數(shù)f(x)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱.若不對稱,則函數(shù)f(x)為非奇非偶函數(shù),若對稱,則進(jìn)行下一步.②驗(yàn)證.f(x)=f(x)或f(x)=f(x).③下結(jié)論.若f(x)=f(x),則f(x)為奇函數(shù);若f(x)=f(x),則f(x)為偶函數(shù);若f(x)≠f(x),且f(x)≠f(x),則f(x)為非奇非偶函數(shù).(2)圖象法:f(x)是奇(偶)函數(shù)的等價(jià)條件是f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)(y軸)對稱.類型九奇偶函數(shù)的圖象問題例題12、已知函數(shù)y=f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且當(dāng)x≤0時(shí),f(x)=x2+2x.現(xiàn)已畫出函數(shù)f(x)在y軸左側(cè)的圖象,如圖所示.(1)請補(bǔ)出完整函數(shù)y=f(x)的圖象.(2)根據(jù)圖象寫出函數(shù)y=f(x)的增區(qū)間.(3)根據(jù)圖象寫出使y=f(x)<0的x的取值范圍.【思路導(dǎo)引】根據(jù)偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱,補(bǔ)全函數(shù)圖象,增函數(shù)的圖象是上升的,求出增區(qū)間,f(x)<0是指的函數(shù)圖象位于x軸下方的部分.【解析】(1)由題意作出函數(shù)圖象如圖:(2)據(jù)圖可知,增區(qū)間為(1,0),(1,+∞).(3)據(jù)圖可知,使f(x)<0的x的取值范圍為(2,0)∪(0,2).【解題策略】巧用奇偶性作函數(shù)圖象的步驟(1)確定函數(shù)的奇偶性.(2)作出函數(shù)在(0,+∞)(或(∞,0))上對應(yīng)的圖象.(3)根據(jù)奇(偶)函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)(y軸)對稱得出在(∞,0)(或(0,+∞))上對應(yīng)的函數(shù)圖象.訓(xùn)練1、已知奇函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)閇5,5],且在區(qū)間[0,5]上的圖象如圖所示.(1)畫出在區(qū)間[5,0]上的圖象.(2)寫出使f(x)<0的x的取值范圍.【解析】(1)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是奇函數(shù),所以y=f(x)在[5,5]上的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱.由y=f(x)在[0,5]上的圖象,可知它在[5,0]上的圖象,如圖所示.(2)由圖象知,使f(x)<0的x的取值范圍為(2,0)∪(2,5).類型十利用函數(shù)奇偶性求值例題13、角度1利用函數(shù)的奇偶性求參數(shù)【典例】若函數(shù)f(x)=ax2+bx+3a+b是偶函數(shù),定義域?yàn)閇a1,2a],則a=________,b=________.【思路導(dǎo)引】根據(jù)f(x)是偶函數(shù),得到定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱,求出a的值,再根據(jù)函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱,求出b的值.答案:0角度2利用函數(shù)的奇偶性求函數(shù)值【典例】已知f(x)=x7ax5+bx3+cx+2,若f(3)=3,則f(3)=________.【思路導(dǎo)引】根據(jù)f(x)的解析式發(fā)現(xiàn)f(x)為非奇非偶函數(shù),設(shè)一個(gè)新函數(shù)g(x),根據(jù)新函數(shù)的奇偶性求出f(3)的值.【解析】令g(x)=x7ax5+bx3+cx,則g(x)是奇函數(shù),所以f(3)=g(3)+2=g(3)+2,又f(3)=3,所以g(3)=5.又f(3)=g(3)+2,所以f(3)=5+2=7.答案:7【解題策略】已知函數(shù)的某一個(gè)自變量值,求對應(yīng)的函數(shù)值時(shí),常利用函數(shù)的奇偶性或部分函數(shù)的奇偶性求值.A.2 B.1 C.1 D.2設(shè)x>0,則x<0,則f(x)=ax22x,f(x)=(x)2+b(x)=x2bx,則有f(x)+f(x)=(ax22x)+(x2bx)=(a1)x2(b+2)x=0,分析可得a=1,b=2,故f(a+b)=f(1)=1+2=1.類型十一利用奇偶性求函數(shù)的解析式例題14、若函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)x>0時(shí),f(x)=x22x1,求函數(shù)f(x)的解析式.【思路導(dǎo)引】已知x>0時(shí)的解析式,用奇偶性求x<0時(shí)的解析式,應(yīng)通過(x)進(jìn)行過渡,但別忽視x=0的情況.【解析】當(dāng)x<0時(shí),x>0,f(x)=(x)22(x)1=x2+2x1,因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是奇函數(shù),所以f(x)=f(x),所以x<0時(shí),f(x)=x22x+1,類型十二奇偶性、單調(diào)性關(guān)系的應(yīng)用例題15、角度1比較大小問題【典例】設(shè)偶函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,當(dāng)x∈[0,+∞)時(shí),f(x)是增函數(shù),則f(2),f(π),f(3)的大小關(guān)系是 ()A.f(π)>f(3)>f(2)B.f(π)>f(2)>f(3)C.f(π)<f(3)<f(2)D.f(π)<f(2)<f(3)【思路導(dǎo)引】根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì),把f(2),f(π),f(3)轉(zhuǎn)化到同一個(gè)單調(diào)區(qū)間[0,+∞)上,再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小.【解析】選A.因?yàn)楹瘮?shù)f(x)為R上的偶函數(shù),所以f(3)=f(3),f(2)=f(2).又當(dāng)x∈[0,+∞)時(shí),f(x)是增函數(shù),且π>3>2,所以f(π)>f(3)>f(2),故f(π)>f(3)>f(2).訓(xùn)練1、將典例改為:函數(shù)y=f(x)在[0,2]上是增函數(shù),且函數(shù)f(x+2)是偶函數(shù),則下列結(jié)論成立的是 ()【解析】選B.因?yàn)楹瘮?shù)f(x+2)是偶函數(shù),所以函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=2對稱,例題16、角度2解不等式問題【典例】已知定義在[2,2]上的奇函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,2]上是減函數(shù),若f(1m)<f(m),求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【思路導(dǎo)引】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性,判斷1m與m的大小關(guān)系,注意函數(shù)的定義域,保證1m與m都在定義域內(nèi).【解題策略】比較大小的求解策略,看自變量是否在同一單調(diào)區(qū)間上(1)在同一單調(diào)區(qū)間上,直接利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小;(2)不在同一單調(diào)區(qū)間上,需利用函數(shù)的奇偶性把自變量轉(zhuǎn)化到同一單調(diào)區(qū)間上,然后利用單調(diào)性比較大小.【拓展延伸】利用函數(shù)的奇偶性比較大小時(shí),根據(jù)奇偶性的對稱性質(zhì),常需要比較自變量的絕對值的大小,即自變量距離原點(diǎn)的距離.訓(xùn)練1、定義在R上的偶函數(shù)f(x)在[0,+∞)上是增函數(shù),若f(a)<f(b),則一定可得()A.a<b B.a>bC.|a|<|b| D.0≤a<b【解析】選C.因?yàn)閒(x)是R上的偶函數(shù),且在[0,+∞)上是增函數(shù),所以由f(a)<f(b)可得|a|<|b|.訓(xùn)練2、偶函數(shù)y=f(x)在[0,+∞)上是減函數(shù),且滿足f(2x)>f(x+1),則x的取值范圍為__________.【解析】根據(jù)題意,函數(shù)y=f(x)為偶函數(shù)且在[0,+∞)上是減函數(shù),則f(2x)>f(x+1)?f(|2x|)>f(|x+1|)?|2x|<|x+1|,變形可得:3x22x1<0,類型十三奇偶性、單調(diào)性的綜合應(yīng)用(1)確定函數(shù)f(x)的解析式.(2)用定義證明f(x)在(1,1)上是增函數(shù).(3)解不等式:f(t1)+f(t)<0.(2)利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明.(3)利用奇偶性轉(zhuǎn)化不等式,再利用單調(diào)性證明不等式,證明時(shí)注意函數(shù)的定義域.(2)設(shè)x1,x2是(1,1)上任意兩個(gè)值且x1<x2,1<x1x2<1,所以1x1x2>0.所以f(x1)f(x2)<0,所以f(x)在(1,1)上是增函數(shù).【解題策略】奇偶性、單調(diào)性的綜合應(yīng)用利用函數(shù)的奇偶性將函數(shù)式轉(zhuǎn)化,利用單調(diào)性解決常見不等式問題,在綜合性題目中,要熟練掌握奇偶性、單調(diào)性的性質(zhì)及變形,適當(dāng)應(yīng)用解題技巧,化簡求值.解題時(shí),一定要特別注意函數(shù)的定義域.(1)求m的值,并求f(x)的解析式;(2)求f(x)的值域;(3)若f(3a+1)+f(a24a13)<0.求實(shí)數(shù)a的取值范圍.根據(jù)奇函數(shù)的對稱性可知,當(dāng)x<0時(shí),f(x)∈(3,0),根據(jù)分段函數(shù)的性質(zhì)可知,函數(shù)的值域?yàn)?3,3);(3)因?yàn)閒(x)為定義在R上的奇函數(shù),且在R上是增函數(shù),若f(3a+1)+f(a24a13)<0,則有f(a24a13)<f(3a+1),即f(a24a13)<f(13a),則有a24a13<13a,變形可得a2a12<0,解可得3<a<4,即a的取值范圍為(3,4).【課后練習(xí)】1.畫出函數(shù)y=|x|(x2)的圖象,并指出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.函數(shù)的圖象如圖所示.由函數(shù)的圖象知:函數(shù)的增區(qū)間為(∞,0)和[1,+∞),減區(qū)間為[0,1).2.定義域在R上的函數(shù)f(x)滿足對任意的x1,x2∈R,且x1≠x2,都有(x1x2)[f(x1)f(x2)]>0,則有 ()A.f(2)<f(1)<f(3)B.f(1)<f(2)<f(3)C.f(3)<f(2)<f(1) D.f(3)<f(1)<f(2)【解析】選A.因?yàn)閷θ我獾膞1,x2∈R,且x1≠x2,都有(x1x2)[f(x1)f(x2)]>0,當(dāng)x1<x2時(shí),x1x2<0,則f(x1)f(x2)<0,即f(x1)<f(x2);當(dāng)x1>x2時(shí),x1x2>0,則f(x1)f(x2)>0,即f(x1)>f(x2).可得函數(shù)f(x)是在R上的增函數(shù),所以f(2)<f(1)<f(3).則f(x)的最大值、最小值分別為________,________,減區(qū)間為________.【解析】作出函數(shù)f(x)的圖象(如圖).由圖象可知,當(dāng)x=±1時(shí),f(x)取最大值為f(±1)=1;當(dāng)x=0時(shí),f(x)取最小值f(0)=0,故f(x)的最大值為1,最小值為0.減區(qū)間為[1,0],[1,+∞).答案:1；0；[1,0],[1,+∞)【解題策略】圖象法求最值的步驟(1)在如圖所示給定的直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出f(x)的圖象.(2)由圖象指出當(dāng)x取什么值時(shí)f(x)有最值.【解析】(1)由題意知,當(dāng)x∈[1,2]時(shí),f(x)=x2+3,為二次函數(shù)的一部分;當(dāng)x∈(2,5]時(shí),f(x)=x3,為一次函數(shù)的一部分;所以,函數(shù)f(x)的圖象如圖所示.(2)由圖象可知,當(dāng)x=0時(shí),f(x)有最大值3;當(dāng)x=2時(shí),f(x)min=1.(1)判斷函數(shù)f(x)在(0,+∞)上的單調(diào)性并用定義加以證明.(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[2,5]上的最大值與最小值.【解析】(1)函數(shù)f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù),證明如下:設(shè)x1,x2是(0,+∞)上的任意兩個(gè)值,且x1<x2,因?yàn)?<x1<x2,所以x1x2<0,x1x2>0,所以f(x1)f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),所以函數(shù)f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù).(2)由(1)可知函數(shù)f(x)在[2,5]上是增函數(shù),所以f(x)max=f(5)=,f(x)min=f(2)=.A.奇函數(shù) B.偶函數(shù)C.非奇非偶函數(shù) D.既奇又偶函數(shù)【解析】函數(shù)f(x)為偶函數(shù).理由如下:函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,因?yàn)閷τ谌我鈞∈R,都有x∈R,且f(x)=2(x)2+5=2x2+5=f(x),所以函數(shù)f(x)為偶函數(shù)8.下列函數(shù)中是偶函數(shù)的有()A.①④