專題5.1.1角的概念的推廣教學(xué)目標(biāo)1.掌握用“旋轉(zhuǎn)”定義角的概念，理解并掌握“正角”“負(fù)角”“零角”“終邊相同的角”的含義；2.掌握所有與α角終邊相同的角（包括α角）的表示方法；3.深刻理解推廣后的角的概念；能判斷一個任意角是第幾象限角，掌握判斷象限角及表示終邊相同的角的方法.教學(xué)重難點1.重點：（1）理解并掌握正角、負(fù)角、零角的定義.掌握終邊相同的角的表示方法.任意角的概念，象限角的表示.2.難點：（1）終邊相同的角的表示.（2）區(qū)間角的集合書寫.知識點01角的概念的推廣一條射線繞著端點以逆時針方向旋轉(zhuǎn)所成的角稱為正角；以順時針方向旋轉(zhuǎn)所成的角稱為負(fù)角；不旋轉(zhuǎn)所成的角稱為零角，用0°表示，零角的始邊與終邊重合.【即學(xué)即練】（2425高一上·上?！て谀┙?jīng)過5分鐘，分針的轉(zhuǎn)動角為（

）【答案】B【分析】根據(jù)任意角的概念計算可得；故選：B.知識點02與終邊相同角的集合表示當(dāng)=0時，角就是角本身.【即學(xué)即練】（多選）（2526高一上·全國·課前預(yù)習(xí)）（多選）下列說法正確的是（

）A．小于的角是銳角C．鈍角是第二象限角【答案】CD【分析】根據(jù)角的定義即可結(jié)合選項逐一求解.【詳解】小于的角還包括零角和負(fù)角，銳角是大于小于的角，故A錯誤；故選：CD題型01任意角的概念【典例1】（2425高一下·全國·課堂例題）如圖所示，當(dāng)摩天輪在持續(xù)不斷地轉(zhuǎn)動時，思考下列問題：(1)摩天輪所轉(zhuǎn)過的角度大小是否會超過360°？(2)如果甲、乙兩人分別站在摩天輪的兩側(cè)觀察，那么他們所看到的摩天輪旋轉(zhuǎn)方向相同嗎？如果不同，你能用合適的數(shù)學(xué)符號表示這種不同嗎？從這個實例出發(fā)，你能將以前所學(xué)的角進(jìn)行推廣嗎？【答案】(1)答案見解析(2)答案見解析【分析】（1）根據(jù)任意角的定義即可得解；（2）根據(jù)正角和負(fù)角的定義即可得解.【詳解】（1）只要時間足夠長，摩天輪所轉(zhuǎn)過的角的大小會超過360°；（2）甲、乙兩人所觀察到的摩天輪旋轉(zhuǎn)方向相反，如果其中一人觀察到的是逆時針旋轉(zhuǎn)，則另一人觀察到的是順時針旋轉(zhuǎn)．可以用正負(fù)號來區(qū)分，逆時針旋轉(zhuǎn)為正角，順時針旋轉(zhuǎn)為負(fù)角；由一條射線繞其定點旋轉(zhuǎn)，逆時針旋轉(zhuǎn)為正角，順時針旋轉(zhuǎn)為負(fù)角.【變式12】（2425高一下·貴州安順·期末）地球繞太陽的軌道稱為黃道，而二十四節(jié)氣正是按照太陽在黃道上的位置來劃分的．當(dāng)太陽垂直照射赤道時定為“黃經(jīng)零度”，即春分點．從這里出發(fā)，每前進(jìn)15度就為一個節(jié)氣，從春分往下依次順延，清明、谷雨、立夏等．待運行一周后就又回到春分點，此為一回歸年，共360度．因此分為24個節(jié)氣，則芒種為黃經(jīng)（

）A．60度 B．75度 C．270度 D．285度【答案】B【分析】結(jié)合題意與圖象計算即可得.故選：B.【變式11】（2425高一上·上海·期末）經(jīng)過5分鐘，分針的轉(zhuǎn)動角為（

）【答案】B【分析】根據(jù)任意角的概念計算可得；故選：B.【分析】根據(jù)任意角的概念得到所形成的角的度數(shù).題型02確定終邊相同的角【分析】先根據(jù)任意角的定義寫出滿足的條件，然后結(jié)合的范圍求解.【答案】C【分析】由終邊相同的角求出最小正角和最大負(fù)角即可求解.故ABD錯誤，C正確.故選：C【答案】C故選：C.【變式23】（2526高一上·全國·課后作業(yè)）下列角中與角的終邊相同的是（填序號）．【答案】②③④【分析】根據(jù)終邊相同的角的概念依次判斷即可.故答案為：②③④.題型03根據(jù)圖形寫出角的范圍（2）分別寫出終邊落在下列各圖所示的直線上的角的集合；（3）寫出終邊落在圖中陰影部分（包括邊界）的角的集合．【答案】（1）答案見解析；【分析】根據(jù)終邊相同的角的定義和集合表示即可得出．【變式31】（2425高一上·山東菏澤·階段練習(xí)）如圖，終邊在陰影部分（含邊界）的角的集合是（

）【答案】C【分析】根據(jù)陰影部分的邊界，寫出角的集合.故選：C B． C． D．【答案】C【分析】對按奇偶分類討論可得．故選：C．【變式33】（2425高一下·全國·課后作業(yè)）如圖所示，寫出終邊落在陰影部分的角的集合．【分析】根據(jù)圖中陰影直接寫出再合并即可.【詳解】設(shè)終邊落在陰影部分的角為，角的集合由兩部分組成．角的集合應(yīng)當(dāng)是集合①與②的并集：題型04寫出軸線角的集合【典例4】（2425高一上·全國·課后作業(yè)）用角度表示出第一、三象限的角平分線上角的集合為.【分析】分別求出角的終邊在第一象限角平分線上和角的終邊在第三象限角平分線上的角的集合，然后求出其并集即可.【變式41】（2526高一上·全國·課后作業(yè)）終邊與坐標(biāo)軸重合的所有角的集合是（

）【答案】B【分析】應(yīng)用任意角表示終邊與軸重合的角，即可得.故選：B【答案】A【分析】根據(jù)集合中角的特征分析集合間的關(guān)系即可得解.【詳解】表示終邊落在軸非正半軸上角的集合，表示終邊落在軸上角的集合，故選：A.A．x軸的非負(fù)半軸上 B．軸的非正半軸上C．軸的非負(fù)半軸上 D．軸的非正半軸上【答案】A【分析】根據(jù)給定條件，利用終邊相同的角的特征求解判斷.故選：A題型05確定已知角所在象限(1)；【答案】(1)作圖見解析；；不屬于任何一個象限(2)作圖見解析；、；不屬于任何一個象限【分析】利用終邊相同的角可得答案.【詳解】（1）作圖見下圖①；（2）作圖見下圖②；（3）作圖見下圖③；（4）作圖見下圖④；【變式51】（2425高一下·遼寧·期中）為鈍角是為第二象限角的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】利用推出來判斷是否充分和必要條件，即可.所以為鈍角是為第二象限角的充分不必要條件.故選：A.【答案】三故答案為：三【答案】三故答案為：三題型06由已知角所在象限確定某角的范圍A．第二象限 B．第一、二象限C．第一、三象限 D．第二、四象限【答案】D故選：DA．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角【答案】D【分析】根據(jù)象限角的定義及其范圍，進(jìn)行計算即可.【詳解】因為是第二象限角，故選：D.A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角【答案】C故選：CA．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】BD【分析】對分奇數(shù)、偶數(shù)兩種情況討論，結(jié)合象限角的定義可得結(jié)果.此時與角終邊相同，為第二象限角；故選：BD．題型07確定n倍（分）角所在象限【典例7】（2223高一·全國·課堂例題）若角是第二象限角，試確定角，是第幾象限角．【答案】可能是第三象限角、第四象限角或終邊在軸非正半軸上的角；可能是第一象限角、第二象限角或第四象限角【分析】根據(jù)象限角的表示方法，得到和的表示，進(jìn)而判定其象限，得到答案.所以可能是第三象限角、第四象限角或終邊在軸非正半軸上的角．綜上所述，可能是第一象限角、第二象限角或第四象限角．【變式71】（多選）（2223高一下·河北承德·開學(xué)考試）已知是銳角，則（

）C．是第一或第二象限角 D．是銳角【答案】ABD【分析】根據(jù)銳角的范圍，直接利用不等式的運算法則即可求解.【詳解】由題知，故選：ABD.【變式72】（多選）（2324高一下·江西·階段練習(xí)）如圖，若角的終邊落在陰影部分，則角的終邊可能在（

）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】AC【分析】利用象限角的定義即可得解.當(dāng)為偶數(shù)時，的終邊在第一象限；當(dāng)為奇數(shù)時，的終邊在第三象限．故選：AC.【變式73】（2122高一·湖南·課后作業(yè)）當(dāng)是銳角時，試判斷是哪個象限的角．【答案】第一象限角或第二象限角或終邊在軸正半軸上的角.【分析】根據(jù)銳角范圍求出2α范圍，根據(jù)任意角的分類即可判斷.一、單選題A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D故選：DA．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】C【分析】根據(jù)題意列出滿足的條件進(jìn)行判斷.故角的終邊所在的象限是第三象限．故選：C【答案】B【分析】根據(jù)任意角定義，結(jié)合集合描述判斷各集合的關(guān)系即可.由鈍角一定大于，但大于角不一定是鈍角，故是的真子集，B對，D錯；故選：B4．（2122高一上·廣東中山·階段練習(xí)）若α是第四象限角，則90o－α是（

）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角【答案】B【分析】根據(jù)角所在的象限判斷所求角所在象限即可.故選：B5．（2021高一·全國·課后作業(yè)）以下命題正確的是（

）A．第二象限比第一象限角大【答案】B【分析】A：運用特例法進(jìn)行判斷即可；B：根據(jù)子集的定義進(jìn)行判斷即可；C：根據(jù)象限角的定義進(jìn)行判斷即可；D：根據(jù)終邊在x軸上的角的特點進(jìn)行判斷即可,又C中，α為第一或第二象限角或在y軸的非負(fù)半軸上，∴C不正確．故選：B6．（2425高三上·黑龍江佳木斯·階段練習(xí)）已知與210°角的終邊關(guān)于x軸對稱，則是（

）A．第二或第四象限角 B．第一或第三象限角C．第三或第四象限角 D．第一或第四象限角【答案】B【分析】用終相同的角寫出角的表示，計算，讓整數(shù)取相鄰的整數(shù)代入確認(rèn)．故選：B．7．（2324高一上·江蘇連云港·階段練習(xí)）如果是第三象限角，則是（

）A．第一象限角 B．第一或第二象限角C．第一或第三象限角 D．第二或第四象限角【答案】C當(dāng)為偶數(shù)時，在第三象限；當(dāng)為奇數(shù)時，在第一象限；故選：C.8．（1516高一上·河北石家莊·期中）如果角的終邊在第三象限，則的終邊一定不在（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】B可得的終邊在第一象限；可得的終邊在第三象限，∴可得的終邊在第四象限，故選:B．二、多選題【答案】AD故選：AD．【答案】ACD故選：ACD.11．（2425高一上·全國·課后作業(yè)）下列關(guān)于角的說法正確的是（

）D．若角是三角形的一個內(nèi)角，則角必是第一、二象限角【答案】AC【詳解】對于A，終邊在第二象限的角的集合為故是第四象限角，故C正確；對于D，當(dāng)三角形其中一個內(nèi)角為直角時，該角終邊不在任何象限，故D錯誤.故選：AC.三、填空題【答案】（答案不唯一）【分析】直接根據(jù)終邊互為反向延長線的兩角特點計算即可.故答案為：（答案不唯一）.【分析】利用終邊相同的角的定義可得結(jié)果.14．（2526高一上·全國·課后作業(yè)）如圖，（1）終邊落在直線上的角的集合為；（2）角的終邊與終邊落在射線上的角的終邊關(guān)于軸對稱，則．【詳解】（1）設(shè)終邊落在直線上的角為，角的終邊是射線，則角的終邊落在直線上時有兩種情況：終邊為射線和終邊為（2）因為大小為的角的終邊落在射線上，大小為的角的終邊與大小為的角的終邊關(guān)于軸對稱，四、解答題15．（2425高一上·上海·課后作業(yè)）已知角x的終邊落在圖示陰影部分區(qū)域，寫出角x組成的集合．【分析】直接利用所給角，表示出范圍