1．用待定系數(shù)法求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的一般步驟(1)定位置：根據(jù)條件判斷橢圓的焦點是在x軸上，還是在y軸上，還是兩個坐標(biāo)軸都有可能．(2)設(shè)方程：根據(jù)上述判斷設(shè)方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)或eq\f(x2,b2)＋eq\f(y2,a2)＝1(a＞b＞0)或整式形式mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)．(3)找關(guān)系：根據(jù)已知條件建立關(guān)于a，b，c(或m，n)的方程組．(4)得方程：解方程組，將解代入所設(shè)方程，寫出標(biāo)準(zhǔn)形式即為所求．2．橢圓定義在焦點三角形中的應(yīng)用技巧(1)橢圓的定義具有雙向作用，即若|MF1|＋|MF2|＝2a(2a＞|F1F2|)，則點M的軌跡是橢圓；反之，橢圓上任意一點M到兩焦點的距離之和必為2a.(2)涉及焦點三角形面積時，可把|PF1|，|PF2|看作一個整體，運(yùn)用|PF1|2＋|PF2|2＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|及余弦定理求出|PF1|·|PF2|，而無需單獨(dú)求解3．與橢圓有關(guān)的軌跡方程的求法常用方法有：直接法、定義法和代入法。4．對定義法求軌跡方程的認(rèn)識如果能確定動點運(yùn)動的軌跡滿足某種已知曲線的定義，則可以利用這種已知曲線的定義直接寫出其方程，這種求軌跡方程的方法稱為定義法．定義法在我們后續(xù)要學(xué)習(xí)的圓錐曲線的問題中被廣泛使用，是一種重要的解題方法．5．代入法(相關(guān)點法)若所求軌跡上的動點P(x，y)與另一個已知曲線C：F(x，y)＝0上的動點Q(x1，y1)存在著某種聯(lián)系，可以把點Q的坐標(biāo)用點P的坐標(biāo)表示出來，然后代入已知曲線C的方程F(x，y)＝0，化簡即得所求軌跡方程，這種求軌跡方程的方法叫做代入法(又稱相關(guān)點法)．知識點1橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程焦點在x軸上焦點在y軸上標(biāo)準(zhǔn)方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)【題1】求滿足下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)兩個焦點的坐標(biāo)分別為F1(－4,0)，F(xiàn)2(4,0)，并且橢圓上一點P與兩焦點的距離的和等于10；(2)焦點坐標(biāo)分別為(0，－2)，(0,2)，經(jīng)過點(4,3eq\r(2))；(3)經(jīng)過兩點(2，－eq\r(2))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(\r(14),2))).[解](1)因為橢圓的焦點在x軸上，且c＝4,2a＝10，所以a＝5，b＝eq\r(a2－c2)＝eq\r(25－16)＝3，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1.(2)因為橢圓的焦點在y軸上，所以可設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)．法一：由橢圓的定義知2a＝eq\r(4－02＋3\r(2)＋22)＋eq\r(4－02＋3\r(2)－22)＝12，解得a＝6.又c＝2，所以b＝eq\r(a2－c2)＝4eq\r(2).所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(y2,36)＋eq\f(x2,32)＝1.法二：因為所求橢圓過點(4,3eq\r(2))，所以eq\f(18,a2)＋eq\f(16,b2)＝1.又c2＝a2－b2＝4，可解得a2＝36，b2＝32.所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(y2,36)＋eq\f(x2,32)＝1.(3)法一：若焦點在x軸上，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)．由已知條件得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(4,a2)＋\f(2,b2)＝1，,\f(1,a2)＋\f(14,4b2)＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝8，,b2＝4.))所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,4)＝1.若焦點在y軸上，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)．由已知條件得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(4,b2)＋\f(2,a2)＝1，,\f(1,b2)＋\f(14,4a2)＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b2＝8，,a2＝4.))則a2＜b2，與a＞b＞0矛盾，舍去．綜上可知，所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,4)＝1.法二：設(shè)橢圓的一般方程為Ax2＋By2＝1(A＞0，B＞0，A≠B)．分別將兩點的坐標(biāo)(2，－eq\r(2))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(\r(14),2)))代入橢圓的一般方程，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4A＋2B＝1，,A＋\f(14,4)B＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A＝\f(1,8)，,B＝\f(1,4)，))所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,4)＝1.知識點二橢圓中的焦點三角形把平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點的軌跡叫做橢圓，這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距，焦距的一半稱為半焦距．【題2】已知橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1中，點P是橢圓上一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓的焦點，且∠PF1F2＝120°，則△PF1F2的面積為________．【答案】eq\f(3\r(3),5)【解析】由eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1，可知a＝2，b＝eq\r(3)，所以c＝eq\r(a2－b2)＝1，從而|F1F2|＝2c＝2.在△PF1F2中，由余弦定理得|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2－2|PF1||F1F2|cos∠PF1F2，即|PF2|2＝|PF1|2＋4＋2|PF1|. ①由橢圓定義得|PF1|＋|PF2|＝2a＝4. ②由①②聯(lián)立可得|PF1|＝eq\f(6,5).所以Seq\s\do5(△PF1F2)＝eq\f(1,2)|PF1||F1F2|sin∠PF1F2＝eq\f(1,2)×eq\f(6,5)×2×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3\r(3),5).]知識點三與橢圓有關(guān)的軌跡問題用定義法求橢圓的方程，首先要利用平面幾何知識將題目條件轉(zhuǎn)化為到兩定點的距離之和為定值，然后判斷橢圓的中心是否在原點、對稱軸是否為坐標(biāo)軸，最后由定義確定橢圓的基本量a，b，c.【題3】如圖所示，圓C：(x＋1)2＋y2＝25及點A(1,0)，Q為圓上一點，AQ的垂直平分線交CQ于點M，求點M的軌跡方程．【解析】由垂直平分線的性質(zhì)可知|MQ|＝|MA|，∴|CM|＋|MA|＝|CM|＋|MQ|＝|CQ|，∴|CM|＋|MA|＝5.∴點M的軌跡為橢圓，其中2a＝5，焦點為C(－1,0)，A(1,0)，∴a＝eq\f(5,2)，c＝1，∴b2＝a2－c2＝eq\f(25,4)－1＝eq\f(21,4).∴所求點M的軌跡方程為eq\f(x2,\f(25,4))＋eq\f(y2,\f(21,4))＝1，即eq\f(4x2,25)＋eq\f(4y2,21)＝1.考點數(shù)學(xué)運(yùn)算求橢圓的方程【題4】求與橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1有相同焦點，且過點(3，eq\r(15))的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【解析】因為所求橢圓與橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1的焦點相同，所以其焦點在x軸上，且c2＝25－9＝16.設(shè)所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)．因為c2＝16，且c2＝a2－b2，故a2－b2＝16 ①.又點(3，eq\r(15))在所求橢圓上，所以eq\f(32,a2)＋eq\f(\r(15)2,b2)＝1，即eq\f(9,a2)＋eq\f(15,b2)＝1 ②.由①②得a2＝36，b2＝20，所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,20)＝1.一、選擇題A．4 B．5 C．7 D．83．橢圓的焦距為8，且橢圓上一點到兩焦點的距離為10，則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）【答案】B4．已知F1，F(xiàn)2是橢圓＋＝1的兩焦點，過點F2的直線交橢圓于A，B兩點．在△AF1B中，若有兩邊之和是10，則第三邊的長度為()A．6 B．5 C．4 D．3【答案】A【解析】因為根據(jù)已知條件可知，橢圓＋＝1中16>9,說明焦點在x軸上，同時a=4,b=3,而過點F2的直線交橢圓于A，B兩點，則點A到F2，F(xiàn)1的距離和為2a=8,點B到F2，F(xiàn)1的距離和為2a=8，結(jié)合橢圓的定義可知△AF1B的周長為4a=16.在結(jié)合三角形的周長公式可知，其中兩邊之和為10，則另一邊的長度為1610=6故選A.5．△ABC的兩個頂點坐標(biāo)A（4，0），B（4，0），它的周長是18，則頂點C的軌跡方程是（）【答案】D【答案】D【答案】BD二、填空題解答題12.設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦點，設(shè)橢圓C上一點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)，\f(\r(3),2)))到兩焦點F1，F(xiàn)2的距離和等于4，寫出橢圓C的方程和焦點坐標(biāo)．【解析】∵橢圓上一點到兩焦點的距離之和為4，∴2a＝4，a2＝4，∵點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)，\f(\r(3),2)))是橢圓上的一點，∴eq\f(\r(3)2,4)＋eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))\s\up12(2),b2)＝1，∴b2＝3，∴c2＝1，∴橢圓C的方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.焦點坐標(biāo)分別為(－1,0)，(1,0)．13．