2.1平方根（第2課時(shí)平方根）教學(xué)設(shè)計(jì)1.教學(xué)內(nèi)容本節(jié)課選自蘇科版2024八年級(jí)上冊(cè)第二章《實(shí)數(shù)的初步認(rèn)識(shí)》第2.1節(jié)“平方根”第2課時(shí)，核心知識(shí)點(diǎn)包括平方根的定義與性質(zhì)、算術(shù)平方根與平方根的區(qū)別與聯(lián)系、求數(shù)的平方根及開(kāi)平方與平方的互逆關(guān)系。通過(guò)典型例題與練習(xí)，幫助學(xué)生掌握正數(shù)的兩個(gè)平方根互為相反數(shù)、0的平方根只有0、負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根等概念。2.內(nèi)容解析本節(jié)課以“x2=a，a≥0時(shí)，x的取值”為主線，引導(dǎo)學(xué)生明確“有兩個(gè)平方根的為正數(shù)、0的平方根是0、負(fù)數(shù)無(wú)平方根”的結(jié)論；進(jìn)而區(qū)分“平方根”和“算術(shù)平方根”在定義、取值范圍、表示方式等方面的差異。通過(guò)對(duì)典型例題（如求給定數(shù)的平方根、解含平方根的簡(jiǎn)單方程）進(jìn)行示范與分析，培養(yǎng)學(xué)生對(duì)逆向思維和運(yùn)算能力的掌握。1.教學(xué)目標(biāo)?了解平方根的定義，會(huì)用根號(hào)表示一個(gè)數(shù)的平方根。?了解平方與開(kāi)平方是互逆的運(yùn)算，會(huì)用平方運(yùn)算求百以內(nèi)完全平方數(shù)的平方根。2.目標(biāo)解析?能準(zhǔn)確理解“平方根”的概念，知道對(duì)非負(fù)數(shù)可以求平方根，且正數(shù)有±兩種值。?能在數(shù)軸或幾何意義上理解算術(shù)平方根與平方根的區(qū)別，感知算術(shù)平方根是正數(shù)或零。?能運(yùn)用開(kāi)平方與平方的互逆關(guān)系，解答簡(jiǎn)單方程并解決常見(jiàn)平方根問(wèn)題。3.重點(diǎn)難點(diǎn)?教學(xué)重點(diǎn)：掌握平方根的定義、正數(shù)的兩個(gè)平方根互為相反數(shù)以及算術(shù)平方根的概念。?教學(xué)難點(diǎn)：區(qū)分“算術(shù)平方根”與“平方根”以及在運(yùn)算中準(zhǔn)確使用±符號(hào)，避免丟解或錯(cuò)解。學(xué)生在之前的學(xué)習(xí)中已初步接觸過(guò)平方運(yùn)算，了解完全平方數(shù)及簡(jiǎn)單的數(shù)形轉(zhuǎn)換。對(duì)“平方與反向運(yùn)算”有感性認(rèn)識(shí)，但對(duì)正數(shù)、零、負(fù)數(shù)求平方根時(shí)的結(jié)論區(qū)分不夠熟練，尤其在算術(shù)平方根與±號(hào)并存的情況下，易出現(xiàn)混淆或漏解。同時(shí)，部分學(xué)生對(duì)運(yùn)算過(guò)程的嚴(yán)謹(jǐn)性尚有欠缺，需要在練習(xí)中加以鞏固。創(chuàng)設(shè)情境，問(wèn)題引入教師提問(wèn)：若x2=4，則學(xué)生回答：x=2或x=-2。由此自然過(guò)渡到“當(dāng)x2=a時(shí)，x會(huì)是幾？有什么規(guī)律？探究點(diǎn)1：平方根的定義與基本性質(zhì)1.概念引入根據(jù)上述問(wèn)題，給出概念：一般地，如果x2=a(a≥0)，那么x叫作a2.師生活動(dòng)o 教師展示：x2=14、x2=0.04等，引導(dǎo)學(xué)生快速判斷xo 學(xué)生討論：當(dāng)a=0時(shí)，平方根有幾個(gè)？當(dāng)a<0時(shí)，是否存在平方根？o 教師總結(jié)：a=0時(shí)僅有一個(gè)平方根0；負(fù)數(shù)無(wú)平方根。性質(zhì)：一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根，這兩個(gè)平方根互為相反數(shù)；0的平方根是0；負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根?！驹O(shè)計(jì)意圖】通過(guò)方程的特征與具體數(shù)值例子，讓學(xué)生直觀感受“平方根有兩個(gè)且互為相反數(shù)”的特征，突破“負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根”的認(rèn)知障礙，培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力。探究點(diǎn)2：平方根與算術(shù)平方根的區(qū)別與聯(lián)系1.問(wèn)題引入o 教師提問(wèn)：我們常說(shuō)的“a”表示什么？它和a的平方根有什么聯(lián)系？o 引導(dǎo)學(xué)生對(duì)算術(shù)平方根的描述：“如果x2=a，那么(-x)2=x2=a，因此x總結(jié)：如果a為正數(shù)，那么a有兩個(gè)平方根±a，其中，正的平方根是算術(shù)平方根a，負(fù)的平方根是－a．2.關(guān)鍵知識(shí)點(diǎn)o 正數(shù)的平方根有±a兩個(gè)；其中a是算術(shù)平方根，非負(fù)。o 0的平方根和算術(shù)平方根都是0；負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根。3.師生活動(dòng)教師組織學(xué)生討論表格中的對(duì)比（平方根與算術(shù)平方根有什么區(qū)別與聯(lián)系？），并要求學(xué)生嘗試自我歸納?！驹O(shè)計(jì)意圖】通過(guò)表格和小組討論，深入認(rèn)識(shí)“平方根”與“算術(shù)平方根”。學(xué)生掌握區(qū)別與聯(lián)系后，能更靈活地進(jìn)行正負(fù)號(hào)的區(qū)分與運(yùn)算。探究點(diǎn)3：開(kāi)平方與平方的互逆關(guān)系1.新知導(dǎo)出o教師提問(wèn)：已知正數(shù)的兩個(gè)平方根是±a，那么“開(kāi)平方”與“平方”之間是什么關(guān)系？o開(kāi)平方與平方有下面的關(guān)系，如圖所示.得出：求一個(gè)數(shù)的平方根的運(yùn)算叫作開(kāi)平方（extractionofsquareroot），它與平方運(yùn)算互為逆運(yùn)算。2.重點(diǎn)說(shuō)明o只要a是非負(fù)數(shù)，才能進(jìn)行開(kāi)平方運(yùn)算；結(jié)果要注意有兩種符號(hào)。o在求解方程或解決幾何問(wèn)題時(shí)，“開(kāi)平方”是常用手段之一。3.討論交流(1)如圖(1)，將面積為2的正方形紙片放置在面積為3的正方形紙片上，據(jù)圖比較2與3的大?。猓喝鐖D，3＞2．(2)已知a＞b＞0，類似地，根據(jù)圖2比較a與b的大?。猓喝鐖D，a＞b．正方形面積與邊長(zhǎng)的關(guān)系：面積越大，邊長(zhǎng)(即算術(shù)平方根)越大．【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)對(duì)比與幾何直觀演示，讓學(xué)生清楚“開(kāi)平方”與“平方”是一對(duì)逆運(yùn)算，為后續(xù)靈活運(yùn)用打下基礎(chǔ)。典例分析例1求下列各數(shù)的平方根：(1)100；(2)625；(3)0.0081；(4)2.解：(1)∵102＝100，∴100的平方根±100＝±10；(2)∵252＝625，∴625的平方根±625＝±(3)∵0.092＝0.0081，∴0.0081的平方根±0.0081

＝±0.09(4)2的平方根是±2.例2一個(gè)正數(shù)的兩個(gè)平方根為2x－1與5x－13，求x的值和這個(gè)數(shù).解：根據(jù)題意得：(2x－1)＋(5x－13)＝02x－1＋5x－13＝02x＋5x＝1＋137x＝14x＝2∵當(dāng)x＝2時(shí)，2x－1＝2×2－1＝4－1＝3，∴32＝9.或∵當(dāng)x＝－2時(shí)，5x－13＝5×2－13＝10－13＝－3，∴(－3)2＝9.答：x的值為2，這個(gè)數(shù)為9.1. 判斷下列說(shuō)法是否正確：①-5是25的平方根(√)②25的平方根是-5(×)③只有正數(shù)有平方根(×)④(-3)2的平方根是-3(⑤3的平方的平方根是3(×)⑥-a沒(méi)有平方根(×)2. 求下列各數(shù)的平方根：0.01，2516，0，10，－1解：∵0.12＝0.01，∴0.01的平方根±0.01＝±0.1；∵542＝2516，∴250的平方根是0；10的平方根是±10；∵－132

＝1323. 求下列各數(shù)的平方根：169，225，14，11，0.16，3649，解：∵132＝169，∴169的平方根±169＝±13；∵152＝225，∴225的平方根±225＝±15；∵122＝14，∴111的平方根是±11；4. 求下列各式中的x：(1)x2＝49；(2)x2＝2564；(3)x2＝21； (4)4x2＝解：(1)x＝±49，x＝±7；(2)x＝±2564x＝±58(3)x＝±21；(4)x2＝814x＝±814x＝±925.觀察“平方”與“開(kāi)平方”的關(guān)系，并完成對(duì)應(yīng)的填空。6.圓的面積擴(kuò)大為原來(lái)的3倍，半徑擴(kuò)大為原來(lái)的多少倍?解：設(shè)原半徑為r，擴(kuò)大后的半徑為r'．由圓的面積公式得：π(r')2＝3πr2，化簡(jiǎn)得：(r')2＝3r2，解得：r'＝3r．答：半徑擴(kuò)大為原來(lái)的3倍．【設(shè)計(jì)意圖】本環(huán)節(jié)以多樣化的典型練習(xí)為主，通過(guò)判斷與求解等不同題型，幫助學(xué)生在練習(xí)中強(qiáng)化對(duì)平方根相關(guān)概念的理解，熟練掌握開(kāi)平方與平方的互逆關(guān)系，提高解題的準(zhǔn)確度與熟練度。本節(jié)課圍繞“平方根”展開(kāi)，明確了以下核心知識(shí)點(diǎn)：1. 平方根的概念與符號(hào)表示：若x2=a（a≥0），則x為a的平方根，記作±√a，其中正根√a是算術(shù)平方根。2. 平方與開(kāi)平方互為逆運(yùn)算：一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根，它們互為相反數(shù)；0的平方根是0，負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根。3. 運(yùn)用開(kāi)平方求簡(jiǎn)單數(shù)值（如百以內(nèi)完全平方數(shù)等）的平方根，并理解在具體問(wèn)題中如何確定正根或負(fù)根。1. 課題：2.1平方根（第2課時(shí)）平方根定義兩個(gè)平方根互為相反數(shù)算術(shù)平方根與開(kāi)平方2. 典型示例例1例23. 規(guī)律總結(jié)“正數(shù)有兩個(gè)平方根，0的平方根是0，負(fù)數(shù)無(wú)平方根”開(kāi)平方與平方的互逆關(guān)系1. 課本習(xí)題鞏固：完成本節(jié)教材中的對(duì)應(yīng)練習(xí)題。2. 拓展探究：假設(shè)某數(shù)x的兩個(gè)平方根分別為3x?2和2x?5，求x的值及原數(shù)；并說(shuō)明在列方程過(guò)程中如何處理正負(fù)根。3. 預(yù)習(xí)思考：回顧平方、立方及其根之間的關(guān)系，思考它們是否有相似點(diǎn)，為下節(jié)課立方根內(nèi)容做準(zhǔn)備。本節(jié)課學(xué)生對(duì)平方根的定義與算術(shù)平方根概念理解基本清晰，通過(guò)求具體數(shù)值的平方根練習(xí)，理