浙江省嘉興市2025-2026學(xué)年高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末質(zhì)量檢測試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．“”是“曲線為焦點(diǎn)在軸上的橢圓”的A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件2．在各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列中，首項(xiàng)，前3項(xiàng)和為21，則()A.84 B.72C.33 D.1893．函數(shù)的遞增區(qū)間是（）A. B.和C. D.和4．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)A在雙曲線上，且軸，若則雙曲線的離心率等于（）A. B.C.2 D.35．年月日，很多人的微信圈都在轉(zhuǎn)發(fā)這樣一條微信：“，所遇皆為對，所做皆稱心””．形如“”的數(shù)字叫“回文數(shù)”，即從左到右讀和從右到左讀都一樣的正整數(shù)，則位的回文數(shù)共有（）A. B.C. D.6．在正項(xiàng)等比數(shù)列中，，，則（）A27 B.64C.81 D.2567．下列函數(shù)中，以為最小正周期，且在上單調(diào)遞減的為（）A. B.C. D.8．設(shè)，，，則下列不等式中一定成立的是（）A. B.C. D.9．已知，則在方向上的投影為（）A. B.C. D.10．天文學(xué)家卡西尼在研究土星及其衛(wèi)星的運(yùn)行規(guī)律時(shí)發(fā)現(xiàn)：同一平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之積為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是卡西尼卵形線.在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)定點(diǎn)為，，，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動點(diǎn)滿足(且為常數(shù))，化簡得曲線E：.當(dāng)，時(shí)，關(guān)于曲線E有下列四個(gè)命題：①曲線E既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形；②的最大值為；③的最小值為；④面積的最大值為.其中，正確命題的個(gè)數(shù)為（）A.1個(gè) B.2個(gè)C.3個(gè) D.4個(gè)11．已知數(shù)列是等比數(shù)列，，數(shù)列是等差數(shù)列，，則的值是()A. B.C. D.12．已知拋物線：，焦點(diǎn)為，若過的直線交拋物線于、兩點(diǎn)，、到拋物線準(zhǔn)線的距離分別為3、7，則長為A.3 B.4C.7 D.10二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)在點(diǎn)處的切線為直線l，則l與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為___________.14．已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）求的單調(diào)區(qū)間；15．等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，則的值為_____16．已知等比數(shù)列滿足，則_________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在中，內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，滿足（1）求A的大??；（2）若，的面積為，求的周長18．（12分）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，動點(diǎn)M滿足（1）求動點(diǎn)M的軌跡方程；（2）若動點(diǎn)M在雙曲線C上，設(shè)雙曲線C的左支上有兩個(gè)不同的點(diǎn)P，Q，點(diǎn)，且，直線NQ與雙曲線C交于另一點(diǎn)B．證明：動直線PB經(jīng)過定點(diǎn)19．（12分）在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，橢圓E：過點(diǎn)，離心率為（1）求E的方程；（2）設(shè)直線（k∈R）與橢圓E交于A，B兩點(diǎn)，在y軸上是否存在定點(diǎn)M，使得對任意實(shí)數(shù)k，直線AM，BM的斜率乘積為定值？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，說明理由20．（12分）已知命題p為“方程沒有實(shí)數(shù)根”，命題q為“”.（1）若p為真命題，求m的取值范圍；（2）若p和q有且只有一個(gè)為真命題，求m的取值范圍.21．（12分）如圖，水平桌面上放置一個(gè)棱長為4的正方體的水槽，水面高度恰為正方體棱長的一半，在該正方體側(cè)面有一個(gè)小孔（小孔的大小忽略不計(jì)）E，E點(diǎn)到CD的距離為3，若該正方體水槽繞CD傾斜（CD始終在桌面上）.（1）證明圖2中的水面也是平行四邊形；（2）當(dāng)水恰好流出時(shí)，側(cè)面與桌面所成的角的大小.22．（10分）已知一張紙上畫有半徑為4的圓O，在圓O內(nèi)有一個(gè)定點(diǎn)A，且，折疊紙片，使圓上某一點(diǎn)剛好與A點(diǎn)重合，這樣的每一種折法，都留下一條直線折痕，當(dāng)取遍圓上所有點(diǎn)時(shí)，所有折痕與的交點(diǎn)形成的曲線記為C.（1）求曲線C的焦點(diǎn)在軸上的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過曲線C的右焦點(diǎn)（左焦點(diǎn)為）的直線l與曲線C交于不同的兩點(diǎn)M，N，記的面積為S，試求S的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】∵“”?“方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓”，“方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓”?“”，∴“”是“方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓”的充要條件，故選C.2、A【解析】分析：設(shè)等比數(shù)列的公比為，根據(jù)前三項(xiàng)的和為列方程，結(jié)合等比數(shù)列中，各項(xiàng)都為正數(shù)，解得，從而可以求出的值.詳解：設(shè)等比數(shù)列的公比為，首項(xiàng)為3，前三項(xiàng)的和為，，解之得或，在等比數(shù)列中，各項(xiàng)都為正數(shù)，公比為正數(shù)，舍去），，故選A.點(diǎn)睛：本題考查以一個(gè)特殊的等比數(shù)列為載體，通過求連續(xù)三項(xiàng)和的問題，著重考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)，等比數(shù)列的性質(zhì)和前項(xiàng)和等知識點(diǎn)，屬于簡單題.3、C【解析】求導(dǎo)后，由可解得結(jié)果.【詳解】因?yàn)榈亩x域?yàn)?，，由，得，解得，所以的遞增區(qū)間為.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的增區(qū)間，屬于基礎(chǔ)題.4、B【解析】由雙曲線定義結(jié)合通徑公式、化簡得出，最后得出離心率.【詳解】，，，解得故選：B5、C【解析】根據(jù)“回文數(shù)”的對稱性，只需計(jì)算前位數(shù)的排法種數(shù)即可，確定這四位數(shù)的選數(shù)的種數(shù)，利用分步乘法計(jì)數(shù)原理可得結(jié)果.【詳解】根據(jù)“回文數(shù)”的對稱性，只需計(jì)算前位數(shù)的排法種數(shù)即可，首位數(shù)不能放零，首位數(shù)共有種選擇，第二位、第三位、第四位數(shù)均有種選擇，因此，位的回文數(shù)共有個(gè).故選：C.6、C【解析】根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出公比，進(jìn)而求得答案.【詳解】設(shè)的公比為，則（負(fù)值舍去），所以.故選：C.7、B【解析】A.利用正切函數(shù)的性質(zhì)判斷；B.作出的圖象判斷；C.作出的圖象判斷；D.作出的圖象判斷.【詳解】A.是以為最小正周期，在上單調(diào)遞增，故錯誤；B.如圖所示：，由圖象知：函數(shù)是以為最小正周期，在上單調(diào)遞減，故正確；C.如圖所示：，由圖象知：是以為最小正周期，在上單調(diào)遞增，故錯誤；D.如圖所示：，由圖象知：是以為最小正周期，在上單調(diào)遞增，故錯誤；故選：B8、B【解析】利用特殊值法可判斷ACD的正誤，根據(jù)不等式的性質(zhì)，可判斷B的正誤.【詳解】對于A中，令，，，，滿足，，但，故A錯誤；對于B中，因?yàn)椋杂刹坏仁降目杉有?，可得，所以，故B正確；對于C中，令，，，，滿足，，但，故C錯誤；對于D中，令，，，，滿足，，但，故D錯誤故選：B9、C【解析】利用向量數(shù)量積的幾何意義即得【詳解】,故在方向上的投影為：故選：C10、D【解析】①：根據(jù)軸對稱圖形、中心對稱圖形的方程特征進(jìn)行判斷即可；②：結(jié)合兩點(diǎn)間距離公式、曲線方程特征進(jìn)行判斷即可；③：根據(jù)卡西尼卵形線的定義，結(jié)合基本不等式進(jìn)行判斷即可；④：根據(jù)方程特征，結(jié)合三角形面積公式進(jìn)行判斷即可.【詳解】當(dāng)，時(shí)，.①：因?yàn)橐源匠滩蛔?，以代方程不變，同時(shí)代，以代方程不變，所以曲線E既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，因此本命題正確；②：由，所以有，所以，當(dāng)時(shí)成立，因此本命題正確；③：因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號，因此本命題正確；④：，因?yàn)椋?，的面積為，因此本命題正確，故選：D【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用方程特征進(jìn)行求解判斷是解題的關(guān)鍵.11、B【解析】根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列下標(biāo)和的性質(zhì)即可求解.【詳解】為等比數(shù)列，，，，；為等差數(shù)列，，，，，∴.故選：B.12、D【解析】利用拋物線的定義，把的長轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離的和得解【詳解】解：拋物線：，焦點(diǎn)為，過的直線交拋物線于、兩點(diǎn)，、到拋物線準(zhǔn)線的距離分別為3、7，則故選D【點(diǎn)睛】本題考查拋物線定義的應(yīng)用，意在考查學(xué)生對該知識的理解掌握水平和分析推理能力.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】先求出切線方程，分別得到直線與x、y軸交點(diǎn)，即可求出三角形的面積.【詳解】由函數(shù)可得：函數(shù)，所以，.所以切線l：，即.令，得到；令，得到；所以l與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為.故答案為：.14、（1）（2）詳見解析【解析】（1）分別求得和，從而得到切線方程；（2）求導(dǎo)后，令求得兩根，分別在、和三種情況下根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.【詳解】（1），，，，又，在處的切線方程為.（2），令，解得：，.①當(dāng)時(shí)，若和時(shí)，；若時(shí)，；的單調(diào)遞增區(qū)間為，；單調(diào)遞減區(qū)間為；②當(dāng)時(shí)，在上恒成立，的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間；③當(dāng)時(shí)，若和時(shí)，；若時(shí)，；的單調(diào)遞增區(qū)間為，；單調(diào)遞減區(qū)間為；綜上所述：當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，；單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，；單調(diào)遞減區(qū)間為.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解曲線在某一點(diǎn)處的切線方程、利用導(dǎo)數(shù)討論含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的問題，屬于?？碱}型.15、【解析】根據(jù)等比數(shù)列前項(xiàng)和公式的特點(diǎn)列方程，解方程求得的值.【詳解】由于等比數(shù)列前項(xiàng)和，本題中，故.故填：.【點(diǎn)睛】本小題主要考查等比數(shù)列前項(xiàng)和公式的特點(diǎn)，考查觀察與思考的能力，屬于基礎(chǔ)題.16、84【解析】設(shè)公比為q，求出，再由通項(xiàng)公式代入可得結(jié)論【詳解】設(shè)公比為q，則，解得所以故答案為：84三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）通過正弦定理將邊化為角的關(guān)系，可得，進(jìn)而可得結(jié)果；（2）由面積公式得，結(jié)合余弦定理得，進(jìn)而得結(jié)果.【小問1詳解】∵∴由正弦定理，得∴∵，∴，故【小問2詳解】由（1）知，∵∴∵由余弦定理知，∴，故∴，故∴的周長為18、（1）（2）證明見解析【解析】（1）根據(jù)雙曲線的定義求得的值得雙曲線方程；（2）確定垂直于軸，設(shè)直線BP的方程為，設(shè)，，則，直線方程代入雙曲線方程，由相交求得范圍，由韋達(dá)定理，利用N、B、Q三點(diǎn)共線，且NQ斜率存在，由斜率相等得出的關(guān)系，代入韋達(dá)定理的結(jié)論可求得的值，從而得直線BP所過定點(diǎn)【小問1詳解】因?yàn)椋?，動點(diǎn)M的軌跡是以點(diǎn)、為左、右焦點(diǎn)的雙曲線的左支，則，可得，，所以，點(diǎn)M的軌跡方程為；【小問2詳解】證明：∵，∴直線PQ垂直于x軸，易知，直線BP的斜率存在且不為0，設(shè)直線BP的方程為，設(shè)，，則，聯(lián)立，化簡得：，直線與雙曲線左支、右支各有一個(gè)交點(diǎn)，需滿足或，∴，，又，又N、B、Q三點(diǎn)共線，且NQ斜率存在，∴，即，∴，∴，∴，化簡得：，∴，∴，即，滿足判別式大于0，即直線BP方程為，所以直線BP過定點(diǎn)19、（1）（2）存在，或者【解析】（1）由離心率和橢圓經(jīng)過的點(diǎn)列出方程組，求出，得到橢圓方程；（2）假設(shè)存在，設(shè)出直線，聯(lián)立橢圓，利用韋達(dá)定理得到兩根之和，兩根之積，結(jié)合斜率乘積為定值得到關(guān)于的方程，求出答案.【小問1詳解】由題可得，，①由，得，即，則，②將②代入①，解得，，故E的方程為【小問2詳解】設(shè)存在點(diǎn)滿足條件記，由消去y，得．顯然，判別式＞0，所以，，于是＝＝＝上式為定值，當(dāng)且僅當(dāng)，解得或此時(shí)，或所以，存在定點(diǎn)或者滿足條件20、（1）（2）【解析】（1）方程無根，利用根的判別式小于0求出m的取值范圍；（2）和有且只有一個(gè)為真命題，分兩種情況進(jìn)行求解，最終求出結(jié)果.【小問1詳解】由方程沒有實(shí)數(shù)根，得，解得：.所以m的取值范圍為.【小問2詳解】和有且只有一個(gè)為真命題，分為下列兩種情況：①當(dāng)真且假時(shí)，且，得；②當(dāng)假且真時(shí)，且，得.所以，的取值范圍為.21、（1）證明見解析（2）【解析】（1）由水的體積得出，進(jìn)而得出，，從而證明圖2中的水面也是平行四邊形；（2）在平面內(nèi)，過點(diǎn)作，交于，由四邊形是平行四邊形，得出側(cè)面與桌面所成的角即側(cè)面與水面所成的角，再由直角三角形的邊角關(guān)系得出其夾角.【小問1詳解】由題意知，水的體積為，如圖所示，設(shè)正方體水槽傾斜后，水面分別與棱，，，交于，，，，則，水的體積為，，即，，故四邊形為平行四邊形，即，且又，，，四邊形為平行四邊形，即圖2中的水面也是平行四邊形；【小問2詳解】在平面內(nèi)，過點(diǎn)作，交于，則四邊形是平行四邊形，，，側(cè)面與桌面所成的角即側(cè)面與水面所成的角，即側(cè)面與平面所成的角，即為所求，而，在中，，側(cè)面與桌面所成角的為22、（1）；（2）﹒【解析】(1)根據(jù)