2025年線性代數(shù)易錯(cuò)題集錦試題一、行列式與矩陣運(yùn)算1.行列式計(jì)算題目：設(shè)三階行列式$\begin{vmatrix}1&2&3\4&5&6\7&8&9\end{vmatrix}$，求其值。答案：0易錯(cuò)點(diǎn)分析：常見錯(cuò)誤：直接按對角線法則展開計(jì)算，忽略行列式行（列）成比例的性質(zhì)。正確思路：觀察到行列式第2行與第1行的差為（3，3，3），第3行與第2行的差也為（3，3，3），即后兩行元素對應(yīng)成比例，根據(jù)行列式性質(zhì)，此時(shí)行列式值為0。2.逆矩陣運(yùn)算題目：設(shè)矩陣$A=\begin{bmatrix}1&2\3&4\end{bmatrix}$，求$A^{-1}$。答案：$A^{-1}=\begin{bmatrix}-2&1\\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\end{bmatrix}$易錯(cuò)點(diǎn)分析：常見錯(cuò)誤：忘記逆矩陣公式中需除以行列式的值（即伴隨矩陣乘以$\frac{1}{|A|}$）；伴隨矩陣元素位置錯(cuò)誤（應(yīng)為$A_{ij}$的轉(zhuǎn)置）。正確步驟：計(jì)算行列式$|A|=1\times4-2\times3=-2$；伴隨矩陣$A^*=\begin{bmatrix}4&-2\-3&1\end{bmatrix}$；$A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^*=\frac{1}{-2}\begin{bmatrix}4&-2\-3&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-2&1\\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\end{bmatrix}$。二、線性方程組與向量組3.齊次線性方程組解的判定題目：齊次線性方程組$\begin{cases}x_1+x_2+x_3=0\x_1+tx_2+x_3=0\x_1+x_2+tx_3=0\end{cases}$只有零解，則$t$應(yīng)滿足什么條件？答案：$t\neq1$易錯(cuò)點(diǎn)分析：常見錯(cuò)誤：誤認(rèn)為系數(shù)矩陣的秩等于未知數(shù)個(gè)數(shù)時(shí)僅有零解，但未正確計(jì)算行列式。正確思路：系數(shù)矩陣行列式$D=\begin{vmatrix}1&1&1\1&t&1\1&1&t\end{vmatrix}=(t-1)^2$，當(dāng)$D\neq0$即$t\neq1$時(shí)，方程組僅有零解。4.向量組線性相關(guān)性題目：設(shè)$\alpha_1=(1,0,0)$，$\alpha_2=(1,1,0)$，$\alpha_3=(1,1,1)$，$\alpha_4=(2,3,4)$是四維列向量，則下列說法正確的是（）A.$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4$一定線性無關(guān)B.$\alpha_1$可由$\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4$線性表出C.$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4$一定線性相關(guān)D.$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$一定線性無關(guān)答案：C易錯(cuò)點(diǎn)分析：常見錯(cuò)誤：混淆向量維數(shù)與向量個(gè)數(shù)的關(guān)系，誤認(rèn)為“向量個(gè)數(shù)=維數(shù)則線性無關(guān)”。正確結(jié)論：向量組的線性相關(guān)性取決于“向量個(gè)數(shù)>維數(shù)”時(shí)必線性相關(guān)。本題中向量維數(shù)為3，個(gè)數(shù)為4，故$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4$一定線性相關(guān)（選項(xiàng)C正確）。三、特征值與矩陣對角化5.特征值計(jì)算題目：已知矩陣$A=\begin{bmatrix}4&2&1\2&4&2\1&2&4\end{bmatrix}$，求其特征值。答案：$\lambda_1=7$，$\lambda_2=3$（二重根）易錯(cuò)點(diǎn)分析：常見錯(cuò)誤：展開特征多項(xiàng)式時(shí)計(jì)算錯(cuò)誤，或忽略重根情況。正確步驟：特征多項(xiàng)式$|\lambdaE-A|=\begin{vmatrix}\lambda-4&-2&-1\-2&\lambda-4&-2\-1&-2&\lambda-4\end{vmatrix}=(\lambda-7)(\lambda-3)^2$，故特征值為7，3，3。6.矩陣相似的性質(zhì)題目：已知矩陣$A=\begin{bmatrix}2&3\0&x\end{bmatrix}$與$B=\begin{bmatrix}2&0\0&5\end{bmatrix}$相似，求$x$的值。答案：$x=5$易錯(cuò)點(diǎn)分析：常見錯(cuò)誤：認(rèn)為相似矩陣的對應(yīng)元素相等，錯(cuò)解$x=0$。正確性質(zhì)：相似矩陣的跡（主對角線元素之和）相等，即$2+x=2+5\Rightarrowx=5$。四、二次型與正定矩陣7.二次型正定性判定題目：二次型$f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+x_2^2+5x_3^2+2tx_1x_2-2x_1x_3+4x_2x_3$正定，則$t$的取值范圍是（）A.$-\frac{4}{5}<t<0$B.$-\frac{4}{5}<t<\frac{4}{5}$C.$0<t<\frac{4}{5}$D.$-\frac{4}{5}<t<-\frac{1}{5}$答案：A易錯(cuò)點(diǎn)分析：常見錯(cuò)誤：未計(jì)算各階順序主子式，或混淆正定的充要條件（各階順序主子式均大于0）。正確計(jì)算：二次型矩陣$A=\begin{bmatrix}1&t&-1\t&1&2\-1&2&5\end{bmatrix}$，順序主子式：$D_1=1>0$，$D_2=1-t^2>0\Rightarrow-1<t<1$，$D_3=|A|=-5t^2-4t>0\Rightarrow-\frac{4}{5}<t<0$，綜上，$-\frac{4}{5}<t<0$（選項(xiàng)A正確）。五、綜合應(yīng)用題8.矩陣方程求解題目：設(shè)矩陣$B=\begin{bmatrix}1&2&3&4\0&2&1&3\0&0&1&-1\0&0&0&1\end{bmatrix}$，$C=\begin{bmatrix}1&-1&0&0\0&1&-1&0\0&0&2&1\0&0&0&2\end{bmatrix}$，且滿足$X(C-B^T)=E$，求$X$。答案：$X=(C-B^T)^{-1}=\begin{bmatrix}1&1&1&1\0&1&1&2\0&0&\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\0&0&0&\frac{1}{2}\end{bmatrix}$易錯(cuò)點(diǎn)分析：常見錯(cuò)誤：未先計(jì)算$C-B^T$而直接求逆，或矩陣減法運(yùn)算錯(cuò)誤。正確步驟：計(jì)算$B^T=\begin{bmatrix}1&0&0&0\2&2&0&0\3&1&1&0\4&3&-1&1\end{bmatrix}$；$C-B^T=\begin{bmatrix}0&-1&0&0\-2&-1&-1&0\-3&0&1&1\-4&-3&1&1\end{bmatrix}$（此處需仔細(xì)核對元素位置）；求$(C-B^T)^{-1}$，通過初等行變換得$X=(C-B^T)^{-1}$（具體過程略）。六、高頻易錯(cuò)公式與結(jié)論知識點(diǎn)易錯(cuò)公式/結(jié)論正確公式/結(jié)論行列式性質(zhì)$kA逆矩陣運(yùn)算$(AB)^{-1}=A^{-1}B^{-1}$（錯(cuò)誤）$(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$矩陣相似與合同相似矩陣一定合同（錯(cuò)誤）實(shí)對稱矩陣相似必合同，反之未必二次型正定條件所有特征值非負(fù)（錯(cuò)誤）所有特征值大于0（嚴(yán)格正定）通過以上易