第四章一元一次方程知識點1：方程的概念1．定義：含有未知數(shù)的等式叫做方程.一個式子要想成為方程，需要同時滿足兩個條件：①是等式；②是含有未知數(shù)．2．方程的解：使方程左右兩邊的值相等的未知數(shù)的值，叫做方程的解.判斷一個數(shù)（或一組數(shù)）是否是某個方程的解，只需看兩點：①它們是方程中未知數(shù)的值；②將它們代入方程的左邊和右邊，若左邊等于右邊，則它們是方程的解，否則不是．3．解方程：求方程的解的過程叫做解方程.知識點2：等式的基本性質(zhì)1．等式的概念：用符號“=”來表示相等關(guān)系的式子叫做等式.2．等式的性質(zhì)： （1）基本性質(zhì)1：等式兩邊加（或減）同一個數(shù)（或式子），結(jié)果仍相等.（2）基本性質(zhì)2：等式兩邊乘同一個數(shù)，或除以同一個不為0的數(shù)，結(jié)果仍相等.名師點撥（1）根據(jù)等式的兩條性質(zhì)，對等式進行變形，等式兩邊必須同時進行完全相同的變形；知識點3：一元一次方程1.一元一次方程的定義：只含有一個未知數(shù)（元），且含有未知數(shù)的式子都是整式，未知數(shù)的次數(shù)都是1，這樣的方程叫做一元一次方程.名師點撥一元一次方程中的“元”是指未知數(shù)，“次”是指未知數(shù)的次數(shù)，一元一次方程需要同時滿足以下條件：① 是一個方程;② 必須只含有一個未知數(shù);③ 含有未知數(shù)的式子都是整式;④ 未知數(shù)的次數(shù)都是1．2.一元一次方程的解法：步驟數(shù)學依據(jù)具體做法注意事項1.去分母等式性質(zhì)2方程兩邊都乘以各分母的最小公倍數(shù)(1)不要漏乘不含分母的項(2)分子是一個整體的，去分母后應(yīng)加上括號2.去括號去括號法則去括號(1)不要漏乘括號里的項(2)不要弄錯符號3.移項等式性質(zhì)1含有未知數(shù)項都移到方程左邊，常數(shù)項都移到右邊移項要變號4.合并同類項合并同類項法則系數(shù)相加減，其他都不變5.系數(shù)化成1等式性質(zhì)2不要把分子、分母寫顛倒名師點撥解方程時，表中所給步驟是一般步驟，有些步驟可能用不到，要根據(jù)具體方程的形式而定，而且也不一定要按照表中順序，可以適當?shù)恼{(diào)整或刪減．知識點4：用一元一次方程解決實際問題由此可得解決此類題的一般步驟為：審、設(shè)、列、解、檢驗、答．名師指點（1）“審”是指讀懂題目，弄清題意，明確哪些是已知量，哪些是未知量，以及它們之間的關(guān)系，尋找等量關(guān)系；（2）“設(shè)”就是設(shè)未知數(shù)，一般求什么就設(shè)什么為x，但有時也可以間接設(shè)未知數(shù)；（3）“列”就是列方程，即列代數(shù)式表示相等關(guān)系中的各個量，列出方程，同時注意方程兩邊是同一類量，單位要統(tǒng)一；（4）“解”就是解方程，求出未知數(shù)的值；（5）“檢驗”就是指檢驗方程的解是否符合實際意義，當有不符合的解時，及時指出，舍去即可；（6）“答”就是寫出答案，注意單位要寫清楚．2.常見一元一次方程應(yīng)用題類型：(1)行程問題①三個基本量間的關(guān)系：路程=速度×時間②基本類型有： 相遇（或相向）問題： A．基本量及關(guān)系：相遇路程=速度和×相遇時間 B．尋找相等關(guān)系：甲走的路程+乙走的路程＝兩地距離．追及問題：A．基本量及關(guān)系：追及路程=速度差×追及時間B．尋找相等關(guān)系：第一， 同地不同時出發(fā)：前者走的路程＝追者走的路程；第二， 同時不同地出發(fā)：前者走的路程+兩者相距距離＝追者走的路程．③航行問題：A．基本量及關(guān)系：順流速度=靜水速度+水流速度，逆流速度=靜水速度－水流速度，順水速度－逆水速度＝2×水速；B．尋找相等關(guān)系：抓住兩地之間距離不變、水流速度不變、船在靜水中的速度不變來考慮．解此類題的關(guān)鍵是抓住甲、乙兩物體的時間關(guān)系或所走的路程關(guān)系，并且還常常借助畫草圖來分析．（2）工程問題三個基本量間的關(guān)系：工作效率×工作時間=工作總量；“一般把總工作量設(shè)為1”；3．利潤問題常用數(shù)量關(guān)系如下：(2)標價＝成本(或進價)×(1＋利潤率)(3)實際售價＝標價×打折率(4)利潤＝售價－成本(或進價)＝成本×利潤率注意：“商品利潤＝售價－成本”中的右邊為正時，是盈利；當右邊為負時，就是虧損.打幾折就是按標價的十分之幾或百分之幾十銷售．4．方案問題選擇設(shè)計方案的一般步驟：（1）運用一元一次方程解應(yīng)用題的方法求解兩種方案值相等的情況．（2）用特殊值試探法選擇方案，取小于（或大于）一元一次方程解的值，比較兩種方案的優(yōu)劣性后下結(jié)論．一、正確理解一元一次方程的概念注意：一元一次方程的概念中要求“含有未知數(shù)的式子都是整式”，而整式包括單項式和多項式，這個方程中含有，而這一項含有未知數(shù)，但它不是整式，所以這個方程也就不是一元一次方程;二、要熟練掌握一元一次方程的一般解法錯誤：對一元一次方程的5步解法掌握不熟練導致各種錯誤．注意：一元一次方程是所有方程的基礎(chǔ)，解法必須要非常熟練，而不是會就可以，每個步驟中都有易錯的地方．例如：第1步去分母中，學生最易犯的錯誤就是去分母時，不含分母的項忘記乘以各分母的最小公倍數(shù)。第2步去括號中，學生最易犯的錯誤就是去括號時，括號前面是減號時，括號內(nèi)的各項要改變符號。第3步移項中，學生最易犯的錯誤就是移項忘記改變符號，記?。核写┻^等號的項都要改變符號。第4步合并同類項中，學生最易犯的錯誤就是合并同類項的法則，系數(shù)相加減，其他都不變。第5步系數(shù)化為1中，不能整除的，分子分母最容易寫錯位置。三、一元一次方程應(yīng)用錯誤：一元一次方程不會找等量關(guān)系．規(guī)則：對一元一次方程的應(yīng)用題中找等量關(guān)系，首先要分清題目類型，對各種類型的基本數(shù)量關(guān)系要非常熟練，只有熟練這些基本的數(shù)量關(guān)系，才能借助各種解題策略正確找到等量關(guān)系，解題的常用策略有：畫示意圖，畫線段圖，列表等。題型01一元一次方程的概念【答案】B【知識點】判斷是否是方程的解、判斷是否是一元一次方程故選：B．2．下列方程是一元一次方程的是（

）【答案】D【知識點】判斷是否是一元一次方程【分析】本題主要考查一元一次方程的定義，熟練掌握一元一次方程的定義是解題的關(guān)鍵．根據(jù)一元一次方程的定義（只含有一個未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)為1，且為整式方程）逐一判斷選項即可．【詳解】解：A.方程中出現(xiàn)，分母含未知數(shù)，不符合整式方程的要求，故排除；B.方程含有兩個未知數(shù)和，不符合“一元”條件，故排除；C.方程中的最高次數(shù)為2，不符合“一次”條件，故排除；D.方程僅含一個未知數(shù)，次數(shù)為1，且為整式方程，符合一元一次方程的定義；故選D．3．下列方程中，是一元一次方程的是（

）【答案】B【知識點】判斷是否是一元一次方程【分析】此題考查了一元一次方程的定義，根據(jù)一元一次方程的定義：只含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)為1的整式方程，逐一判斷各選項即可．故選：B．4．下列四個方程中，一元一次方程是（

）【答案】D【知識點】判斷是否是一元一次方程【分析】本題考查一元一次方程的定義，根據(jù)一元一次方程的定義（只含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的次數(shù)為1的整式方程）逐一判斷選項．故選：D．5．下列方程是一元一次方程的是（）【答案】C【知識點】判斷是否是一元一次方程【分析】本題考查了一元一次方程的定義，根據(jù)一元一次方程的定義（只含有一個未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)為1，且為整式方程）逐一分析選項即可，熟練掌握一元一次方程的定義是解此題的關(guān)鍵．故選：C．題型02一元一次方程的解法1．下面解方程的過程，你認為正確的是（

）【答案】D【知識點】解一元一次方程（三）——去分母、解一元一次方程（一）——合并同類項與移項、解一元一次方程（二）——去括號【分析】本題考查一元一次方程的解法．逐一分析各選項步驟的正確性即可．故選：D．2．解方程：【知識點】解一元一次方程（二）——去括號、解一元一次方程（三）——去分母【分析】本題主要考查了解一元一次方程，熟知解一元一次方程的方法是解題的關(guān)鍵．（1）按照去括號，移項，合并同類項，系數(shù)化為1的步驟解方程即可；（2）按照去分母，去括號，移項，合并同類項，系數(shù)化為1的步驟解方程即可．3．解方程：【知識點】解一元一次方程（二）——去括號、解一元一次方程（三）——去分母【分析】本題主要考查一元一次方程的解法，熟練掌握一元一次方程的解法是解題關(guān)鍵．（1）先去括號，然后移項合并同類項，系數(shù)化為1求解即可；（2）先去分母，然后去括號，移項合并同類項，系數(shù)化為1求解即可．4．解下列方程： 【知識點】解一元一次方程（一）——合并同類項與移項、解一元一次方程（三）——去分母【分析】本題考查了一元一次方程的求解，熟練掌握一元一次方程的求解方法是解題關(guān)鍵．（1）根據(jù)移項合并同類項，系數(shù)化為1的順序進行求解即可；（2）根據(jù)去分母，去括號，移項合并同類項，系數(shù)化為1的順序進行求解即可．圓圓的解答過程是否有錯誤？如果有錯誤，請在上面的解題過程中劃出錯誤的地方，并寫出正確的解答過程．【答案】圓圓的解答過程有錯誤，劃出錯誤的地方見解析，正確的解答過程見解析【知識點】解一元一次方程（三）——去分母【分析】本題主要考查了解一元一次方程，去分母時，等式右邊的1沒有乘以系數(shù)6，去括號時等式左邊的1沒有乘以系數(shù)3，沒有乘以系數(shù)，等式右邊的1應(yīng)該是6，再按照去括號，去括號，移項，合并同類項的步驟解方程即可．【詳解】解：圓圓的解答過程有錯誤，劃出錯誤的地方如下：正確的解答過程如下：題型03一元一次方程的應(yīng)用1．在沿鐵路的公路上，甲乙兩汽車同時從站向站行駛．甲車每小時行30千米，乙車每小時行45千米，兩車同時出發(fā)半小時后，一輛列車也從站向站行駛，列車行駛一定時間后分別趕上了兩車．列車從追上甲車到完全超過甲車用了9秒鐘，從追上乙車到完全超過乙車用了12秒鐘．當列車完全超過乙車時，列車離開站多遠？（列方程解應(yīng)用題）【答案】45.3千米【知識點】行程問題(一元一次方程的應(yīng)用)【分析】本題考查一元一次方程的實際應(yīng)用，設(shè)列車的速度為每小時s千米，根據(jù)列車的長一定，列出方程，求出的值，設(shè)列車到達乙車的時間為t秒，根據(jù)列出行駛的總路程等于乙車行駛的總路程，列出方程求出，再根據(jù)路程等于速度乘以時間，進行求解即可．【詳解】解：列車的速度為每小時s千米，由題意可得：列車到達乙車的時間為t小時，由題意可得：答：當列車完全超過乙車時，列車離開A站45.3千米．(3)如果王鵬家月份所交水費的平均價為每立方米元，那么王鵬家月份用水多少立方米？請你設(shè)未知數(shù)列方程完成此問．【答案】(1)92.5元；(3)50立方米．【知識點】有理數(shù)四則混合運算的實際應(yīng)用、電費和水費問題(一元一次方程的應(yīng)用)、列代數(shù)式【分析】（1）根據(jù)收費標準計算即可；（2）根據(jù)題意列式即可；（3）根據(jù)等量關(guān)系列出方程求解即可．答：他上個月應(yīng)交水費92.5元．答：王鵬家12月份用水50立方米．【點睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，列代數(shù)式，有理數(shù)運算的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，由水費找出合適的等量關(guān)系列出方程，再求解．3．暑假期間，某校組織學生到北京研學，研學社報價每人收費400元，當研學人數(shù)超過50人時，研學社給出兩種優(yōu)惠方案（只選其中一種方案）：方案一：研學團隊先交1600元后，每人再收費320元；方案二：其中5人免費，其余每人收費打九折．(1)請用含的代數(shù)式分別表示方案一和方案二各收費多少元；(2)當兩種方案的收費相同時，求該校參加研學的總?cè)藬?shù)．(2)85【知識點】列代數(shù)式、方案選擇(一元一次方程的應(yīng)用)【分析】本題考查了列代數(shù)式，以及一元一次方程的應(yīng)用，找準等量關(guān)系，正確建立方程是解題關(guān)鍵．（1）根據(jù)兩種方案的優(yōu)惠方法列出關(guān)于的代數(shù)式即可；（2）根據(jù)采用兩種方案的收費列方程求解即可．答：當參加研學的總?cè)藬?shù)是85人時，采用兩種方案的收費是一樣的．4．為推進我國“碳達峰、碳中和”雙碳目標的實現(xiàn)，各地大力推廣分布式光伏發(fā)電項目．某公司計劃建設(shè)一座小型光伏發(fā)電站，若由甲工程隊單獨施工需要3周，若由乙工程隊單獨施工需要6周．(1)若甲、乙兩工程隊全程合作施工，需要幾周完成？(2)若由甲、乙兩工程隊先合作施工，剩下的由乙工程隊單獨完成，恰好用了4周完成建設(shè)任務(wù)，求甲工程隊施工了幾周？【答案】(1)甲、乙兩工程隊全程合作施工，需要2周完成(2)甲工程隊施工了1周【知識點】工程問題(一元一次方程的應(yīng)用)【分析】本題主要考查了一元一次方程的實際應(yīng)用，正確理解題意找到等量關(guān)系建立方程是解題的關(guān)鍵．（1）設(shè)甲、乙兩工程隊全程合作施工，需要x周完成，把工作總量看做單位“1”，求出兩個工程隊的工作效率，根據(jù)工作總量等于工作效率乘以工作時間建立方程求解即可．（2）設(shè)甲工程隊施工了y周，分別求出兩個施工隊的工作量，二者的和為1，據(jù)此建立方程求解即可．【詳解】（1）解；設(shè)甲、乙兩工程隊全程合作施工，需要x周完成，答：甲、乙兩工程隊全程合作施工，需要2周完成；（2）解；設(shè)甲工程隊施工了y周，答：甲工程隊施工了1周．5．《孫子算經(jīng)》是中國古代著名的數(shù)學著作，書中有一道題：“今有木，不知長短．引繩度之，余繩四尺五寸；屈繩量之，不足一尺．木長幾何？”譯文：用一根繩子去量一根木條，繩子多出4.5尺；將繩子對折后量木條，木條多出1尺．問木條的長度為多少？請你用方程的方法解決該問題．【答案】木條的長度為尺．【知識點】古代問題(一元一次方程的應(yīng)用)答：木條的長度為尺．(1)，；(2)如圖所示，有一輛玩具小火車CD放置在數(shù)軸上，小火車可以沿數(shù)軸左右水平移動，當點移動到點時，點所對應(yīng)的數(shù)為，當點移動到點時，點所對應(yīng)的數(shù)為，求玩具小火車的長度；【答案】(1)，9(2)玩具小火車的長度為4(3)點C所表示的數(shù)是3或9【知識點】動點問題（一元一次方程的應(yīng)用）、絕對值非負性、數(shù)軸上兩點之間的距離【分析】題目主要考查絕對值和平方的非負性，解一元一次方程，理解題意是解題關(guān)鍵．（1）根據(jù)絕對值和平方的非負性求解即可；故答案為：，9當點移動到點時，點所對應(yīng)的數(shù)為，當點移動到點時，點所對應(yīng)的數(shù)為玩具小火車的長度為4．點C所表示的數(shù)是3或9．【答案】(1)(2)或；【知識點】數(shù)軸上兩點之間的距離、動點問題（一元一次方程的應(yīng)用）【分析】本題考查整式的加減運算，一元一次方程的應(yīng)用．熟練掌握數(shù)軸上兩點間的距離公式，是解題的關(guān)鍵．（1）結(jié)合數(shù)軸，進行求解即可；（2）