第05講二項(xiàng)分布、超幾何分布及正態(tài)分布目錄01TOC\o"13"\h\u考情解碼?命題預(yù)警 2TOC\o"13"\h\u02體系構(gòu)建·思維可視 203核心突破·靶向攻堅(jiān) 3知能解碼 3知識(shí)點(diǎn)1二項(xiàng)分布 3知識(shí)點(diǎn)2超幾何分布 4知識(shí)點(diǎn)3正態(tài)分布 4題型破譯 6題型1二項(xiàng)分布 6題型2超幾何分布 11題型3正態(tài)分布 1604真題溯源·考向感知 2205課本典例·高考素材 24考情分析：北京卷中對(duì)常見概率分布的考查常融入概率統(tǒng)計(jì)解答題中，作為核心建模與計(jì)算環(huán)節(jié)，屬于“中檔區(qū)分題”。核心考查二項(xiàng)分布與超幾何分布的模型識(shí)別、概率計(jì)算、期望與方差，以及正態(tài)分布的對(duì)稱性、3σ原則及概率估計(jì)。試題強(qiáng)調(diào)對(duì)分布模型適用條件的深刻理解（如“有放回”與“無放回”抽樣的本質(zhì)區(qū)別），常以生活或科學(xué)實(shí)驗(yàn)情境為載體。聚焦于準(zhǔn)確識(shí)別并區(qū)分二項(xiàng)分布與超幾何分布、正態(tài)分布下給定區(qū)間的概率求解與轉(zhuǎn)化，是解題的關(guān)鍵，也是主要的失分點(diǎn)。復(fù)習(xí)目標(biāo)：1.理解n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)?zāi)Ｐ?，掌握二?xiàng)分布的定義、概率公式、期望與方差及其推導(dǎo)過程。2.理解超幾何分布模型，掌握其定義、概率公式及適用場(chǎng)景（無放回抽樣）。3.能準(zhǔn)確辨析實(shí)際問題中的條件，正確選擇應(yīng)用二項(xiàng)分布或超幾何分布模型進(jìn)行計(jì)算。4.理解正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)（對(duì)稱性、鐘形曲線），了解參數(shù)μ和σ的統(tǒng)計(jì)意義。5.掌握正態(tài)分布的3σ原則，能利用對(duì)稱性計(jì)算給定區(qū)間的概率，并進(jìn)行簡(jiǎn)單的概率估計(jì)。6.能綜合運(yùn)用常見分布模型解決簡(jiǎn)單的實(shí)際應(yīng)用問題，并給出合理的解釋。知識(shí)點(diǎn)1二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布一般地，如果一次伯努利試驗(yàn)中，出現(xiàn)“成功”的概率為p，記q=1?p，且n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中出現(xiàn)“成功”的次數(shù)為X，則X的取值范圍是{0，1，…，k，…，n}，而且PX=k=CnkpkX01…k…nPCC…C…C注意到上述X的分布列第二行中的概率值都是二項(xiàng)展開式(q+p)n的展開式中對(duì)應(yīng)項(xiàng)的值，因此稱X服從參數(shù)為n，p的二項(xiàng)分布，記作X～Bn,p且有E(X)=np，D(X)=np(1?p).注：①n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生k次的概率與第k次才發(fā)生的概率計(jì)算公式分別是Pn(k)=C（3）二項(xiàng)分布的增減性與最大值記pk=P(x=k)，則當(dāng)k<(n+1)p時(shí)，pk>pk?1，pk遞增；當(dāng)k<(n+1)p時(shí)，pk<p(n+1)p非整數(shù)，則k取(n+1)p的整數(shù)部分時(shí)，pk自主檢測(cè)某籃球運(yùn)動(dòng)員投籃的命中率為0.2，現(xiàn)投了3次球．(1)求恰有2次命中的概率；(2)設(shè)命中的次數(shù)為X，求EX【答案】(1)0.096(2)0.6【分析】（1）利用二項(xiàng)分布可求恰有2次命中的概率；（2）利用二項(xiàng)分布求出分布列后可求EX【詳解】（1）設(shè)A為：“投了3次球，恰有2次命中”，故PA（2）由題設(shè)可得X～B3,0.2故PX=0=CPX=2=C故EX知識(shí)點(diǎn)2超幾何分布超幾何分布：若X～HN,M,n，則EX=自主檢測(cè)一袋中裝有50個(gè)白球，45個(gè)黑球，5個(gè)紅球，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取20個(gè)球，求取出的紅球個(gè)數(shù)ξ的數(shù)學(xué)期望．【答案】1【分析】由題設(shè)可得ξ服從超幾何分，根據(jù)公式可求數(shù)學(xué)期望.【詳解】袋中球的總數(shù)為50+45+5=100，根據(jù)題意可知，隨機(jī)抽取的20個(gè)球中紅球的個(gè)數(shù)ξ服從超幾何分布，即ξ~H100,5,20因?yàn)镹=100，M=5，n=20，所以Eξ知識(shí)點(diǎn)3正態(tài)分布（1）連續(xù)型隨機(jī)變量：隨機(jī)變量的取值充滿某個(gè)區(qū)間甚至整個(gè)實(shí)軸，但取一點(diǎn)的概率為0，我們稱這類隨機(jī)變量為連續(xù)型隨機(jī)變量.（2）正態(tài)分布：函數(shù)f（x）＝1σ2πe?(x?μ)22o2，x∈R，其中μ∈R，σ>0為參數(shù).我們稱f（x）為正態(tài)密度函數(shù)，稱它的圖象為正態(tài)密度曲線，簡(jiǎn)稱正態(tài)曲線，如圖所示.若隨機(jī)變量X的概率分布密度函數(shù)為f（x），則稱隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布.記為X～N（μ，σ2）.特別地，當(dāng)若X～N（μ，σ2），則如圖所示，X取值不超過x的概率P（X≤x）為圖中區(qū)域A的面積，而P（a≤X≤b）為區(qū)域B的面積.（3）正態(tài)曲線的特點(diǎn)①曲線是單峰的，它關(guān)于直線x＝μ對(duì)稱；②曲線在x＝μ處達(dá)到峰值1σ2③當(dāng)|x|無限增大時(shí)，曲線無限接近x軸.④在參數(shù)σ取固定值時(shí)，正態(tài)曲線的位置由μ確定，且隨著μ的變化而沿x軸平移，如圖1所示.

圖1⑤當(dāng)μ取定值時(shí)，正態(tài)曲線的形狀由σ確定.當(dāng)σ較小時(shí)，峰值高，曲線“瘦高”，表示隨機(jī)變量X的分布比較集中；當(dāng)σ較大時(shí)，峰值低，曲線“矮胖”，表示隨機(jī)變量X的分布比較分散，如圖2所示.

圖2（4）正態(tài)分布的均值、方差：若X～N（μ，σ2），則E（X）＝μ，D（X）＝σ2.（5）正態(tài)分布在三個(gè)特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率值①P（μ－σ≤X≤μ＋σ）≈0.6827；②P（μ－2σ≤X≤μ＋2σ）≈0.9545；③P（μ－3σ≤X≤μ＋3σ）≈0.9973.在實(shí)際應(yīng)用中，通常認(rèn)為服從于正態(tài)分布N（μ，σ2）的隨機(jī)變量X只取[μ－3σ，μ＋3σ]中的值，這在統(tǒng)計(jì)學(xué)中稱為3σ原則.（6）正態(tài)分布計(jì)算常用結(jié)論①P（X<a）＝1－P（X≥a）.②P（X<μ－a）＝P（X≥μ＋a）.③P（X<μ－b）＝1?P(μ?b≤X≤μ+b)2（b自主檢測(cè)1設(shè)隨機(jī)變量ξ～N(0,1)，若P(ξ≥1)=p，則P(?1<ξ<0)=．（用含有P(ξ≥1)=p的式子表示）【答案】1【分析】根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性計(jì)算．【詳解】∵ξ~N(0,1)，∴P(ξ≤?1)=P(ξ≥1)=p，∴P(?1<ξ<0)=1故答案為：12自主檢測(cè)2已知某場(chǎng)考試考生人數(shù)為10000人，考試的成績(jī)服從正態(tài)分布N300,2500，若錄取分?jǐn)?shù)線為350分，則錄取人數(shù)約為．（結(jié)果四舍五入取整數(shù)）(參考數(shù)據(jù)：若ξ服從正態(tài)分布Nμ,δ2【答案】1587【分析】首先確定正態(tài)分布的參數(shù)，然后計(jì)算分?jǐn)?shù)線對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)，利用已知的概率數(shù)據(jù)求出超過分?jǐn)?shù)線的概率，最后用總?cè)藬?shù)乘以該概率得到錄取人數(shù).【詳解】因?yàn)榭荚嚦煽?jī)服從正態(tài)分布N(300,2500)，故P(ξ≥350)=P(ξ≥300+50)=1?0.6827所以錄取人數(shù)為0.15865×10000≈1587人.故答案為：1587題型1二項(xiàng)分布例11有一個(gè)翻牌游戲，規(guī)則如下：每一輪翻牌兩次，每次翻出花色牌的概率為12(1)若甲參與一輪翻牌游戲，求甲獲得一份精美禮品的概率；(2)若乙參與三輪翻牌游戲，設(shè)乙獲得的精美禮品數(shù)量為X，求X的分布列與期望.【答案】(1)3(2)分布列見解析，E【詳解】（1）甲獲得一份精美禮品的概率為1?1?（2）由題意得X～B3,則PX=0PX=1PX=2PX=3所以X的分布列為X0123P192727EX例12某罐中裝有除顏色外完全相同的4個(gè)紅球和3個(gè)綠球，每次隨機(jī)摸出1個(gè)球．(1)若每次都是不放回地摸球，連續(xù)摸兩次，求在第二次摸球時(shí)摸得紅球的條件下，第一次摸球時(shí)摸得紅球的概率；(2)若每次都是有放回地摸球，連續(xù)摸四次，摸得紅球記1分，摸得綠球記0分，設(shè)四次摸球總得分為X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望．【答案】(1)1(2)X的分布列為X01234P81432864768256X的數(shù)學(xué)期望是EX【詳解】（1）記第一次摸到紅球?yàn)槭录嗀，第二次摸到紅球?yàn)槭录﨎.PB所以PA|B故在第二次摸球時(shí)摸得紅球的條件下，第一次摸球時(shí)摸得紅球的概率為12（2）由題可知，每次摸球，摸到紅球的概率為47，摸到綠球的概率為3記四次摸球活動(dòng)中，摸到紅球的次數(shù)為Y，則Y~B4,因?yàn)樗拇蚊蚩偟梅譃閄，所以Y=X.所以X~B4,所以PX=0PX=1PX=2PX=3PX=4所以X的分布列為X01234P81432864768256所以X的數(shù)學(xué)期望是EX例13某企業(yè)的生產(chǎn)設(shè)備控制系統(tǒng)由2k?1k∈N*個(gè)相同的元件組成，每個(gè)元件正常工作的概率均為p0<p<1，各元件之間相互獨(dú)立.當(dāng)控制系統(tǒng)有不少于k個(gè)元件正常工作時(shí)，設(shè)備正常運(yùn)行，否則設(shè)備停止運(yùn)行，記設(shè)備正常運(yùn)行的概率為Pk(1)若p=23，當(dāng)（i）求控制系統(tǒng)中正常工作的元件個(gè)數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望；（ii）求P2(2)討論P(yáng)k與P【答案】(1)（i）分布列見解析，2；（ii）20(2)答案見解析【詳解】（1）（1）（i）因?yàn)閗=2，所以控制系統(tǒng)中正常工作的元件個(gè)數(shù)X的可能取值為0，1，2，3，因?yàn)槊總€(gè)元件的工作相互獨(dú)立，且正常工作的概率均為p=23，所以所以PX=0=CPX=2=C所以控制系統(tǒng)中正常工作的元件個(gè)數(shù)X的分布列為：X0123P1248控制系統(tǒng)中正常工作的元件個(gè)數(shù)X的數(shù)學(xué)期望為EX（ii）P2（2）由Pk+1表示系統(tǒng)在原來2k?1個(gè)元件增加2個(gè)元件，則至少要有k+1個(gè)元件正常工作，設(shè)備才能正常工作的概率，設(shè)原系統(tǒng)中正常工作的元件個(gè)數(shù)為ξ第一類：原系統(tǒng)中至少有k+1個(gè)元件正常工作，其概率為Pξ≥k+1第二類：原系統(tǒng)中恰好有k個(gè)元件正常工作，新增2個(gè)元件中至少有1個(gè)正常工作，其概率為Pξ=k第三類：原系統(tǒng)中恰好有k?1個(gè)元件正常工作，新增2個(gè)元件全部正常工作，其概率為Pξ=k?1所以P=所以Pk+1所以當(dāng)12<p<1時(shí)，當(dāng)0<p<12時(shí)，當(dāng)p=12時(shí)，【變式訓(xùn)練11】某電子零部件代加工工廠生產(chǎn)的零部件次品率為10%(1)從一批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取4件，求抽到的零部件中正品數(shù)多于次品數(shù)的概率；(2)若從另一批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取3件，記抽到的零部件的正品數(shù)與次品數(shù)差的絕對(duì)值為X，求X的分布列與期望.【答案】(1)0.9477(2)分布列見解析，E【詳解】（1）從一批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取4件，抽到的零部件中正品數(shù)多于次品數(shù)，則次品數(shù)為0件或1件，所以所求概率為C4（2）設(shè)抽取的零部件次品數(shù)為ξ，則X=3?ξ?ξ所以X可能的取值依次為1，3，ξ～B3,0.1PX=1PX=3所以X的分布列為：X13P0.270.73故EX【變式訓(xùn)練12】甲、乙兩位同學(xué)參加答題活動(dòng)，已知兩人各答3道試題，答對(duì)每道試題的概率均為13(1)記甲同學(xué)答對(duì)的試題數(shù)為X，求X的分布列與期望；(2)求甲同學(xué)答對(duì)的試題數(shù)比乙同學(xué)答對(duì)的試題數(shù)多的概率.【答案】(1)分布列見詳解，EX(2)242729【詳解】（1）由題意可知，X~B3,所以PX=0=CPX=2=C所以X的分布列為X0123P81261EX（2）記乙同學(xué)答對(duì)的試題數(shù)為Y，則Y~B3,由（1）可知PY=0=827，PY=1所以PX=Y=0=8PX=Y=2=6所以PX=Y易知PX>Y所以PX>Y【變式訓(xùn)練13】為增強(qiáng)學(xué)生的法制意識(shí)，打造平安校園，某市組織該市的全體高中學(xué)生開展“智慧法治，平安校園”的知識(shí)競(jìng)賽，競(jìng)賽成績(jī)經(jīng)統(tǒng)計(jì)，得到如下的頻率分布直方圖：用樣本估計(jì)總體，以頻率代替概率.現(xiàn)從該市的高中學(xué)生中隨機(jī)抽取n人，用X表示成績(jī)?cè)?0,90的人數(shù).(1)若n=3，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望；(2)若n=20，求使得PX=k取得最大值時(shí)k【答案】(1)分布列答案見解析，E(2)6【詳解】（1）由頻率分布直方圖中所有直方圖的面積之和為1，可得0.005+0.01+0.015+x+0.04×10=1，所以x=0.03樣本中，成績(jī)?cè)?0,90的高中生所占的頻率為0.03×10=3當(dāng)n=3時(shí)，由題意可知X~B3,所以PX=0=7PX=2=C故隨機(jī)變量X的分布列如下表所示：X0123P34344118927所以，EX（2）由題意可知X~B20,310，因?yàn)镻所以C20k?因?yàn)閗∈N，可得k=6，故使得PX=k取得最大值時(shí)k的值為6題型2超幾何分布例21為大力弘揚(yáng)中華民族尊老、敬老、愛老的傳統(tǒng)美德，某醫(yī)院從A，B兩個(gè)科室的志愿者中隨機(jī)抽調(diào)4人為某社區(qū)養(yǎng)老院的老人進(jìn)行“免費(fèi)健康體檢”活動(dòng)，已知A，B兩個(gè)科室中的志愿者分布如下：

類別科室志愿者醫(yī)生護(hù)士A科室23B科室33(1)求抽到的4人中，恰好有2名醫(yī)生，且這2名醫(yī)生恰好來自同一科室的概率；(2)設(shè)X為選出的4人中醫(yī)生的人數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.【答案】(1)2(2)分布列見解析，E【詳解】（1）由已知，恰好有2名醫(yī)生的情況包含這2名醫(yī)生都來自A科室和都來自B科室，有C22C所以所求的概率為C2（2）隨機(jī)變量X的所有可能取值為0、1、2、3、4，PX=0=CPX=2=C52所以隨機(jī)變量X的分布列為X01234P110521所以EX例22甲、乙兩個(gè)箱子中，各裝有6個(gè)球，其中甲箱中有3個(gè)紅球和3個(gè)白球，乙箱中有m2≤m≤6個(gè)紅球，其余都是白球.擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，如果點(diǎn)數(shù)為1或2，則從甲箱中隨機(jī)摸出2個(gè)球；如果點(diǎn)數(shù)為3、4、5、6，則從乙箱中隨機(jī)摸出2個(gè)球.已知擲1次骰子后，摸出的球都是紅球的概率是1(1)求m的值；(2)若不擲骰子，直接從甲箱摸出2個(gè)球，記摸到紅球的個(gè)數(shù)為隨機(jī)變量X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.【答案】(1)m=4(2)分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為1.【詳解】（1）由題意可知，擲一枚骰子，點(diǎn)數(shù)為1或2的概率為26=1由于擲一枚骰子后摸出的球都是紅球的概率是13則P=13×解得m=4或者m=?3（舍去）.所以m=4.（2）由題意可知，隨機(jī)變量X可能取值為0，1，2.則PX=0PX=1PX=2所以X的分布列為：X012P131所以EX例23某校為了解高三學(xué)生每天的作業(yè)完成時(shí)長(zhǎng)，在該校高三學(xué)生中隨機(jī)選取了100人，對(duì)他們每天完成各科作業(yè)的總時(shí)長(zhǎng)進(jìn)行了調(diào)研，結(jié)果如下表所示：時(shí)長(zhǎng)（小時(shí)）0,22,2.52.5,33,3.53.5,4人數(shù)（人）34334218用表格中的頻率估計(jì)概率，且每個(gè)學(xué)生完成各科作業(yè)時(shí)互不影響.(1)從該校高三學(xué)生中隨機(jī)選取1人，估計(jì)該生可以在3小時(shí)內(nèi)完成各科作業(yè)的概率；(2)從樣本“完成各科作業(yè)的總時(shí)長(zhǎng)在2.5小時(shí)內(nèi)”的學(xué)生中隨機(jī)選取3人，其中共有X人可以在2小時(shí)內(nèi)完成各科作業(yè)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望E(X)；(3)從該校高三學(xué)生（學(xué)生人數(shù)較多）中隨機(jī)選取3人，其中共有Y人可以在3小時(shí)內(nèi)完成各科作業(yè)，求Y的分布列和方差DY【答案】(1)2(2)分布列見解析，E(X)=(3)分布列見解析，D【詳解】（1）設(shè)“從該校高三學(xué)生中隨機(jī)選取1人，這個(gè)學(xué)生可以在3小時(shí)內(nèi)完成各科作業(yè)”為事件A，則P(A)=3+4+33（2）樣本中“完成各科作業(yè)的總時(shí)長(zhǎng)在2.5小時(shí)內(nèi)”的學(xué)生有3+4=7（人），其中可以在2小時(shí)內(nèi)完成的有3人，X的所有可能取值為0，1，2，3.PX=0=C43C7X的分布列為：X0123P418121∴E(X)=0×4（3）由題意得，Y～B3,P(Y=0)=(3P(Y=2)=C3∴Y的分布列為：Y0123P2754368∴DY【變式訓(xùn)練21】為提高天津市的整體旅游服務(wù)質(zhì)量，市旅游局舉辦了天津市旅游知識(shí)競(jìng)賽，參賽單位為本市內(nèi)各旅游協(xié)會(huì)，參賽選手為持證導(dǎo)游．現(xiàn)有來自甲旅游協(xié)會(huì)的導(dǎo)游5名，其中高級(jí)導(dǎo)游4名；乙旅游協(xié)會(huì)的導(dǎo)游5名，其中高級(jí)導(dǎo)游2名、從這10名導(dǎo)游中隨機(jī)選擇4人參加比賽．(1)設(shè)A為事件“選出的4人中恰有2名高級(jí)導(dǎo)游，且這2名高級(jí)導(dǎo)游來自同一個(gè)旅游協(xié)會(huì)”，求事件A發(fā)生的概率；(2)設(shè)ξ為選出的4人中高級(jí)導(dǎo)游的人數(shù)，求隨機(jī)變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望【答案】(1)1(2)分布列見解析；期望為12【詳解】（1）由已知條件知，當(dāng)兩名高級(jí)導(dǎo)游來自甲旅游協(xié)會(huì)時(shí)，有C4當(dāng)兩名高級(jí)導(dǎo)游來自乙旅游協(xié)會(huì)時(shí)，有C2則PA（2）隨機(jī)變量ξ的所有可能取值為0，1，2，3，4，Pξ=0=CPξ=2=CPξ=4隨機(jī)變量ξ的分布列為ξ01234P14381隨機(jī)變量ξ的數(shù)學(xué)期望為Eξ=0×1【變式訓(xùn)練22】某校為了解高三學(xué)生每天的作業(yè)完成時(shí)長(zhǎng)，在該校高三學(xué)生中隨機(jī)選取了100人，對(duì)他們每天完成各科作業(yè)的總時(shí)長(zhǎng)進(jìn)行了調(diào)研，結(jié)果如下表所示：時(shí)長(zhǎng)（小時(shí)）0,22,2.52.5,33,3.53.5,4人數(shù)（人）34334218用表格中的頻率估計(jì)概率，且每個(gè)學(xué)生完成各科作業(yè)時(shí)互不影響.(1)從該校高三學(xué)生中隨機(jī)選取1人，估計(jì)該生可以在3小時(shí)內(nèi)完成各科作業(yè)的概率；(2)從樣本“完成各科作業(yè)的總時(shí)長(zhǎng)在2.5小時(shí)內(nèi)”的學(xué)生中隨機(jī)選取3人，其中共有X人可以在2小時(shí)內(nèi)完成各科作業(yè)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望E（X）；(3)從該校高三學(xué)生（學(xué)生人數(shù)較多）中隨機(jī)選取3人，其中共有Y人可以在3小時(shí)內(nèi)完成各科作業(yè)，直接寫出EY【答案】(1)2(2)分布列見解析，E(X)=(3)E【詳解】（1）設(shè)“從該校高三學(xué)生中隨機(jī)選取1人，這個(gè)學(xué)生可以在3小時(shí)內(nèi)完成各科作業(yè)”為事件A，則P(A)=3+4+33則從該校高三學(xué)生中隨機(jī)選取1人，這個(gè)學(xué)生可以在3小時(shí)內(nèi)完成各科作業(yè)的概率為25（2）樣本中“完成各科作業(yè)的總時(shí)長(zhǎng)在2.5小時(shí)內(nèi)”的學(xué)生有3+4=7（人），其中可以在2小時(shí)內(nèi)完成的有3人，X的所有可能取值為0，1，2，3.PX=0=C43C7∴X的分布列為：X0123P418121∴E(X)=0×4（3）由題意得，Y～B3,∴EY【變式訓(xùn)練23】某企業(yè)使用新技術(shù)生產(chǎn)某種產(chǎn)品，該產(chǎn)品在出廠前要經(jīng)歷生產(chǎn)和檢測(cè)兩道工序，生產(chǎn)工序的次品率為120(1)現(xiàn)有7件經(jīng)過生產(chǎn)工序但未經(jīng)檢測(cè)工序的產(chǎn)品，其中恰含2件次品，從這7件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取3件，求這3件產(chǎn)品中的次品數(shù)ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)若智能自動(dòng)檢測(cè)的準(zhǔn)確率為98%【答案】(1)分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為67(2)233【詳解】（1）ξ可能取的值為0，1，2，且Pξ=0=C20所以ξ的分布列為ξ012P241則Eξ（2）記A=“智能自動(dòng)檢測(cè)為合格品”，B=“產(chǎn)品為合格品”，則由題意知PAB=98100則PB所以由全概率公式知P=19所以一件產(chǎn)品進(jìn)入人工抽查檢測(cè)環(huán)節(jié)的概率為233250題型3正態(tài)分布例31若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N1,σ2，且PX≥0.5=0.86A．0.24 B．0.36 C．0.5 D．0.86【答案】B【詳解】因?yàn)殡S機(jī)變量X服從正態(tài)分布N1,σ2所以P1<X≤1.5=P0.5≤X<1故選：B.例32已知某企業(yè)加工某零件，根據(jù)長(zhǎng)期檢測(cè)結(jié)果，得知該企業(yè)生產(chǎn)的零件的質(zhì)量指標(biāo)值服從正態(tài)分布Nμ,(1)求這100件零件的質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)x和樣本方差s2(2)用這100件零件的質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)x作為μ的估計(jì)值，樣本標(biāo)準(zhǔn)差s作為σ的估計(jì)值．若質(zhì)量指標(biāo)值在43,87內(nèi)的產(chǎn)品為優(yōu)等品，根據(jù)正態(tài)分布Nμ,附：取30=5.5Pμ?σ≤X≤μ+σ=0.6827，Pμ?2σ≤X≤μ+2σ【答案】(1)x=65，(2)0.9545【詳解】（1）x=0.01×10×45+0.02×10×55+0.04×10×65+0.02×10×75+0.01×10×85=65s+(65?75)（2）由題意知μ=65，樣本方差s2=120，故所以該企業(yè)生產(chǎn)的零件的質(zhì)量指標(biāo)值服從正態(tài)分布N65,P43≤X≤87所以該企業(yè)生產(chǎn)的產(chǎn)品為優(yōu)等品的概率為0.9545．例33某個(gè)景點(diǎn)自從取消門票實(shí)行免費(fèi)開放后，迅速成為網(wǎng)紅打卡點(diǎn)，不僅帶動(dòng)了淡季的旅游，而且優(yōu)化了旅游產(chǎn)業(yè)的結(jié)構(gòu)．下表是該景點(diǎn)免費(fèi)開放后前五個(gè)月的打卡人y數(shù)（萬人）與第x個(gè)月的數(shù)據(jù)：x12345y23.137.062.1111.6150.8(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)可用一元線性回歸模型刻畫變量y與變量x之間的線性相關(guān)關(guān)系，且回歸方程y=bx+a中的b=32.88，請(qǐng)計(jì)算相關(guān)系數(shù)r(2)為更好地改進(jìn)服務(wù)，景點(diǎn)對(duì)每位游客進(jìn)行了滿意度調(diào)查，已知評(píng)分X近似服從正態(tài)分布N86,9，評(píng)分低于m的游客約占15.865%，求m(3)為進(jìn)一步了解游客性別與滿意度的關(guān)系，隨機(jī)抽查200名游客，得到如下列聯(lián)表，請(qǐng)?zhí)顚懴旅娴?×2列聯(lián)表，根據(jù)小概率值α=0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否推斷游客是否滿意與性別有關(guān)？喜歡不喜歡總計(jì)男100女60總計(jì)110參考公式：相關(guān)系數(shù)：若|r|≥0.75，則認(rèn)為y與x有較強(qiáng)的線性相關(guān)性．r=回歸方程y=bχ2=n臨界值表：α0.0100.0050.001x6.6357.87910.828參考數(shù)據(jù)：i=15若X～Nμ,σ，則PP【答案】(1)r≈0.98，可以認(rèn)為y與x有較強(qiáng)的線性相關(guān)性；(2)83(3)答案見解析【詳解】（1）由題可知x=1+2+3+4+55i=15則b=i=15相關(guān)系數(shù)r==328.8可以認(rèn)為y與x有較強(qiáng)的線性相關(guān)性.（2）因X～N86,9，則μ=86,σ=3因PX<μ?σ則m=μ?σ=86?3=83.（3）填寫下面的2×2列聯(lián)表喜歡不喜歡總計(jì)男7030100女4060100總計(jì)11090200由表可知，a=70,b=30,c=40,d=60,n=200，零假設(shè)H0則χ所以根據(jù)小概率值α=0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能推斷游客是否滿意與性別有關(guān).【變式訓(xùn)練31】某校舞蹈隊(duì)隊(duì)員的身高X（單位：cm）近似服從正態(tài)分布N(172,4)，則P(X≥168)≈（

）（附：若X~N(μ,σ2)，則P(μ?σ≤X≤μ+σ)≈0.6827A．0.6827 B．0.8414 C．0.9544 D．0.9772【答案】D【詳解】由X～N(172,4)，得P(X≥168)=P(172?2×2≤X≤172)+P(X>172)=1故選：D【變式訓(xùn)練32】已知甲、乙兩批袋裝食鹽的質(zhì)量（單位：g）分別服從正態(tài)分布Nμ甲,σ甲A．μ甲>μ乙，σ甲C．μ甲<μ乙，σ甲【答案】C【詳解】從圖總可以看出乙的對(duì)稱軸大于甲的對(duì)稱軸，故甲的平均數(shù)小于乙的平均數(shù)，即μ甲且乙“高瘦”，甲“矮胖”，即乙數(shù)據(jù)更加集中，方差比甲小，即σ甲故選：C【變式訓(xùn)練33】在雙碳戰(zhàn)略之下，新能源汽車發(fā)展成為乘用車市場(chǎng)轉(zhuǎn)型升級(jí)的重要方向，2024年我國(guó)新能源汽車銷量繼續(xù)走高．為了解新能源汽車車主對(duì)新能源汽車的滿意程度，某市某品牌的新能源汽車經(jīng)銷商從購買了該品牌新能源汽車的車主中隨機(jī)選取了100人進(jìn)行問卷調(diào)查，并根據(jù)其滿意度評(píng)分X（單位：分，總分100分）制作了如下的頻數(shù)分布表：滿意度評(píng)分X40,5050,6060,7070,8080,9090,100頻數(shù)101520301510(1)計(jì)算滿意度評(píng)分X的樣本平均數(shù)x和樣本中位數(shù)；（每組數(shù)據(jù)以該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）(2)根據(jù)頻數(shù)分布表可以認(rèn)為該市該品牌新能源汽車車主對(duì)新能源汽車的滿意度評(píng)分X近似地服從正態(tài)分布Nμ,σ2，其中μ近似為樣本平均數(shù)x,σ近似為樣本的標(biāo)準(zhǔn)差s，并求得(3)為提升新能源汽車的銷量，該品牌4S店針對(duì)購買該品牌新能源汽車的顧客設(shè)置了抽獎(jiǎng)環(huán)節(jié)，抽獎(jiǎng)規(guī)則如下：每人可參加2次抽獎(jiǎng)，每次抽獎(jiǎng)都從裝有3個(gè)紅球、3個(gè)白球（形狀、大小、質(zhì)地完全相同）的抽獎(jiǎng)箱里一次性摸出3個(gè)球，若摸出3個(gè)紅球，則返還2000元現(xiàn)金；若摸出2個(gè)紅球，則返還1000元現(xiàn)金，其余情況不返還任何現(xiàn)金（兩次抽獎(jiǎng)返現(xiàn)金額疊加）．已知小王參加了抽獎(jiǎng)，記他獲得的返現(xiàn)金額為Y，求隨機(jī)變量Y的分布列和數(shù)學(xué)期望．參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量X～Nμ,σ2【答案】(1)x=70.5，樣本中位數(shù)為(2)8186(3)分布列見解析，E【詳解】（1）由題意，平均數(shù)x=前3組的頻率為10+15+20=45，前4組的頻數(shù)為10+15+20+30=75，所以樣本中位數(shù)位于70,80，設(shè)為a，則45+a?7010×30=50，解得a≈71.67（2）由題意，X近似地服從正態(tài)分布Nμ,σ2，且μ≈由于P=≈1因此估計(jì)這些車主中滿意度評(píng)分位于區(qū)間41.88,84.81的人數(shù)為10000×0.8186=8186.（3）由題意，Y的所有取值為0,1000,2000,3000,4000，顧客每次抽獎(jiǎng)返還2000元現(xiàn)金的概率為C3顧客每次抽獎(jiǎng)返還1000元現(xiàn)金的概率為C3顧客每次抽獎(jiǎng)不返還任何現(xiàn)金的概率為1?1則PY=0=1PY=2000PY=3000PY=4000則Y的分布列為：Y01000200030004000P1910191所以EY【變式訓(xùn)練34】某企業(yè)的甲、乙兩條生產(chǎn)線都生產(chǎn)M型零件，一天中，甲、乙兩條生產(chǎn)線分別生產(chǎn)320件和1280件M型零件，為了解該企業(yè)M型零件的生產(chǎn)質(zhì)量，現(xiàn)利用分層隨機(jī)抽樣，從一天中生產(chǎn)的M型零件中隨機(jī)抽取40件，測(cè)量其尺寸（單位：mm），所得尺寸數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表：平均尺寸標(biāo)準(zhǔn)差甲生產(chǎn)線p件M型零件806乙生產(chǎn)線q件M型零件704(1)求這40件M型零件尺寸的平均數(shù)x；(2)求這40件M型零件尺寸的標(biāo)準(zhǔn)差s；(3)假設(shè)該企業(yè)一天中生產(chǎn)的M型零件尺寸服從正態(tài)分布Nμ,σ2，其中用樣本平均數(shù)x作為μ的估計(jì)值μ，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s作為σ的估計(jì)值σ.試估計(jì)：這一天生產(chǎn)的M參考數(shù)據(jù)：①n個(gè)數(shù)x1，x2，x3，…，xn的方差為s2=1ni=1nxi?【答案】(1)72；(2)6；(3)低于40件.【詳解】（1）由題設(shè)，p=40×320320+1280=8所以x=（2）由題設(shè)，甲的均值x1=80，方差s12=36所以s12=而s2=1所以8(s12+80所以40(s2+（3）由（1）（2）知零件服從N(72,36)，則P(X<60)=P(X<μ?2σ)=1?P這一天生產(chǎn)的M型零件中，尺寸小于60mm的零件有1600×0.02275=36.4<40所以這一天生產(chǎn)的M型零件中，尺寸小于60mm1．（2021·北京·高考真題）在核酸檢測(cè)中,“k合1”混采核酸檢測(cè)是指：先將k個(gè)人的樣本混合在一起進(jìn)行1次檢測(cè),如果這k個(gè)人都沒有感染新冠病毒，則檢測(cè)結(jié)果為陰性，得到每人的檢測(cè)結(jié)果都為陰性，檢測(cè)結(jié)束:如果這k個(gè)人中有人感染新冠病毒，則檢測(cè)結(jié)果為陽性，此時(shí)需對(duì)每人再進(jìn)行1次檢測(cè),得到每人的檢測(cè)結(jié)果，檢測(cè)結(jié)束.現(xiàn)對(duì)100人進(jìn)行核酸檢測(cè)，假設(shè)其中只有2人感染新冠病毒，并假設(shè)每次檢測(cè)結(jié)果準(zhǔn)確.（I）將這100人隨機(jī)分成10組，每組10人，且對(duì)每組都采用“10合1”混采核酸檢測(cè).(i)如果感染新冠病毒的2人在同一組，求檢測(cè)的總次數(shù);(ii)已知感染新冠病毒的2人分在同一組的概率為111.設(shè)X是檢測(cè)的總次數(shù)，求X分布列與數(shù)學(xué)期望E(X).(II）將這100人隨機(jī)分成20組，每組5人，且對(duì)每組都采用“5合1”混采核酸檢測(cè).設(shè)Y是檢測(cè)的總次數(shù)，試判斷數(shù)學(xué)期望E(Y)與(I)中E(X)的大小.(結(jié)論不要求證明)【答案】（1）①20次；②分布列見解析；期望為32011；（2）E(Y)>E(X)【詳解】（1）①對(duì)每組進(jìn)行檢測(cè)，需要10次；再對(duì)結(jié)果為陽性的組每個(gè)人進(jìn)行檢測(cè)，需要10次；所以總檢測(cè)次數(shù)為20次；②由題意，X可以取20，30，P(X=20)=111，則X的分布列:X2030P110所以E(X)=20×1（2）由題意，Y可以取25，30，兩名感染者在同一組的概率為P1=20則E(Y)=25×42．（2020·北京·高考真題）某校為舉辦甲、乙兩項(xiàng)不同活動(dòng)，分別設(shè)計(jì)了相應(yīng)的活動(dòng)方案：方案一、方案二．為了解該校學(xué)生對(duì)活動(dòng)方案是否支持，對(duì)學(xué)生進(jìn)行簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，獲得數(shù)據(jù)如下表：男生女生支持不支持支持不支持方案一200人400人300人100人方案二350人250人150人250人假設(shè)所有學(xué)生對(duì)活動(dòng)方案是否支持相互獨(dú)立．（Ⅰ）分別估計(jì)該校男生支持方案一的概率、該校女生支持方案一的概率；（Ⅱ）從該校全體男生中隨機(jī)抽取2人，全體女生中隨機(jī)抽取1人，估計(jì)這3人中恰有2人支持方案一的概率；（Ⅲ）將該校學(xué)生支持方案二的概率估計(jì)值記為p0，假設(shè)該校一年級(jí)有500名男生和300名女生，除一年級(jí)外其他年級(jí)學(xué)生支持方案二的概率估計(jì)值記為p1，試比較p0【答案】（Ⅰ）該校男生支持方案一的概率為13，該校女生支持方案一的概率為3（Ⅱ）1336,（Ⅲ）【詳解】（Ⅰ）該校男生支持方案一的概率為200200該校女生支持方案一的概率為300300（Ⅱ）3人中恰有2人支持方案一分兩種情況，（1）僅有兩個(gè)男生支持方案一，（2）僅有一個(gè)男生支持方案一，一個(gè)女生支持方案一，所以3人中恰有2人支持方案一概率為：(1（Ⅲ）p【點(diǎn)睛】本題考查利用頻率估計(jì)概率、獨(dú)立事件概率乘法公式，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.一、解答題1．從4名男生和2名女生中任選3人參加演講比賽，用X表示所選3人中女生的人數(shù)．(1)求X的分布列；(2)求PX≤1【答案】(1)分布列見解析(2)4【詳解】（1）解：∵從4名男生和2名女生中任選3人參加演講比賽，設(shè)隨機(jī)變量X表示所選3人中女生的人數(shù)，∴X的可能取值為0，1，2，P(X=0)=C43C6∴X的分布列為：X012P131（2）解：P2．從6名男生和4名女生中隨機(jī)選出3名同學(xué)參加一項(xiàng)競(jìng)技測(cè)試．(1)求選出的3名同學(xué)中至少有1名女生的概率；(2)設(shè)ξ表示選出的3名同學(xué)中男生的人數(shù)，求ξ的分布列．【答案】(1)5(2)見解析【詳解】（1）解：由題意可知，選出的3名同學(xué)全是男生的概率為C6所以選出的3名同學(xué)中至少有1名女生的概率1?C（2）解：根據(jù)題意，ξ的可能取值為0,1,2,3，則P(ξ=0)=C43P(ξ=2)=C6所以ξ的分布列為：ξ0123P1311.3．某金屬元件的抗拉強(qiáng)度服從正態(tài)分布，均值為10000kg/cm2，標(biāo)準(zhǔn)差是(1)求抗拉強(qiáng)度超過10150kg(2)如果要求所有元件的規(guī)格是9800～10200kg【答案】(1)6.68(2)4.55【詳解】（1）依題意X～N10000,10150?10000100查表可知，在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布Y～N0,1中，P則PY>1.5所以抗拉強(qiáng)度超過10150kg/cm（2）依題意X～N10000,Pμ?2σ<X<μ?2σ所以被報(bào)廢的元件的比例是1?0.9545×1004．已知隨機(jī)變量ξ～N0,1，φ(1)φ?x(2)Pξ(3)Pξ(4)Pξ【答案】(1)成立(2)不成立(3)成立(4)成立【詳解】（1）φx=Pξ≤x，φ?x=Pξ≤?x，根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性可知φ?x（2）Pξ（3）根據(jù)（2）的分析可知（3）成立.（4）根據(jù)（2）的分析可知Pξ5．一個(gè)車間有3臺(tái)車床，它們各自獨(dú)立工作.設(shè)同時(shí)發(fā)生故障的車床數(shù)為X，在下列兩種情形下分別求X的分布列.（1）假設(shè)這3臺(tái)車床型號(hào)相同，它們發(fā)生故障的概率都是20%；（2）這3臺(tái)車床中有A型號(hào)2臺(tái)，B型號(hào)1臺(tái)，A型車床發(fā)生故障的概率為10%，B型車床發(fā)生故障的概率為20%.【答案】（1）答案見詳解；（2）答案見詳解.【詳解】（1）由題意，X可取0，1，2，3，PX=0PX=1PX=2PX=3所以X的分布列如下：

X

0

1

2

3

P

64125

48125

12125

1125（2）X可取0，1，2，3，PX=0PX=1PX=2PX=3所以X的分布列如下：

X

0

1

2

3

P

0.648

0.306

0.044

0.0026．已知每門大炮擊中目標(biāo)的概率都是0.3，現(xiàn)存n門大炮同時(shí)對(duì)某一目標(biāo)各射擊一次．（1）當(dāng)n=10時(shí)，求恰好擊中目標(biāo)3次的概率（精確到0.001）；（2）如果使目標(biāo)至少被擊中一次的概率超過95%，至少需要多少門大炮？【答案】（1）0.267；（2）9【詳解】（1）10門大炮同時(shí)對(duì)某一目標(biāo)各射擊一次，設(shè)擊中目標(biāo)的次數(shù)為X，則X～B10,0.3故恰好擊中目標(biāo)3次的概率為C10（2）由題意，n門大炮同時(shí)對(duì)某一目標(biāo)各射擊一次，擊中0次的概率為1?0.3n則至少擊中一次的概率為1?0.7則1?0.7即nlg解得n>lg因?yàn)閚∈N?，所以如果使目標(biāo)至少被擊中一次的概率超過95%，至少需要7．從學(xué)校乘汽車到火車站的途中有3個(gè)交通崗，假設(shè)在各個(gè)交通崗遇到紅燈的事件是相互獨(dú)立的，并且概率都為14，設(shè)X為途中遇到紅燈的次數(shù)，求隨機(jī)變量X【答案】分布列見解析；至多遇到一次紅燈的概率為2732【詳解】由已知，有X~B(3,1可得P(X=k)=所以隨機(jī)變量X的分布列為X0123P272791設(shè)“至多遇到一次紅燈的概率”的事件記為A，則P(A)=